第一篇：勾股定理復習小結

勾股定理知識小結

一、知識結構

1：勾股定理

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a+b=c）

要點詮釋：

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊

在⊿ABC中，∠C=90 o，則c=a?b，b=c-b，a=c-a）

（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊

（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關系a+b=c，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：

勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：

（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；

（2）驗證c與a+b是否具有相等關系，若a+b=c，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形

（若c> a+b，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c﹤a+b，則△ABC為銳角三角形）。（定理中a+b=c?只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a+ c = b?，那么以a，b，c為三邊的三角形也是直角三角形，但是b為斜邊）

3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系

區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；

聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。

規律方法指導

1)勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。

2）．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。

3）．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。

4）.勾股定理的逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法，應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對“數形結合”的理解．

5）勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法

用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是

①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變

名人堂：眾名人帶你感

******受他們的驅動人生馬云任志強李嘉誠柳傳志史玉柱

②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理

二.知識點回顧

1、勾股定理的應用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用有：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊

（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系。求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題

2、如何判定一個三角形是直角三角形

（1）先確定最大邊（如c）

（2）驗證a+b與c是否具有相等關系

（3）若具有相等關系，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形；若不具有相等關系 則△ABC不是直角三角形。2223、勾股數

①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即a+b=c?中，a，b，c為正整數時，稱a，b，c為一組勾股數

②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 41?（7）前面各組數的整式倍如3n，4n，5n（n是正整數）； ③用含字母的代數式表示n組勾股數：

2n,n-1, n+1（n＞2?n為正整數）；例如

8，15，17（第一個數是偶數）2n+1, 2n+2n, 2n+2n+1（n為正整數）例如 9, 40, 41（第一個數是奇數）m-n,2mn,m+n（,m﹥n?m，n為正整數）222222222224、練習題

1．一個直角三角形，有兩邊長分別為6和8，下列說法中正確的是（）

A.第三邊一定為10 B.三角形的周長為24 C.三角形的面積為24 D.第三邊有可能為10 2．已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A、25

B、14

C、7

D、7或25 3．下列各組數中，以a，b，c為邊的三角形不是Rt△的是（）A、a=1.5，b=2, c=3

B、a=7,b=24,c=25 C、a=6，b=8, c=10 D、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三邊長為（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是（）A.等邊三角形;

B.鈍角三角形;C.直角三角形;

D.銳角三角形.4、一個三角形的三邊的長分別是3，4，5，則這個三角形最長邊上的高是（）A．4

B．

C.D． 5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（）A、24cm2

B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2

6、直角三角形中，斜邊長為5cm，周長為12cm，則它的面積為（）。

A．12

B．6

C．8

D．9 7．等腰三角形底邊上的高為6，周長為36，則三角形的面積為（）A、56

B、48

C、40

D、32 8．Rt△一直角邊的長為9，另兩邊為連續自然數，則Rt△的周長為（）A、121 B、120

C、90 D、不能確定

9．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A、25海里

B、30海里

C、35海里 D、40海里

10.放學以后，小紅和小穎從學校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若

小紅和小穎行走的速度都是40米/分，小紅用15分鐘到家，小穎20分鐘到家，小紅和小穎家的直線距離為（）。

A、600米

B、800米

C、1000米

D、不能確定

12.直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個正方形的面積為36，64，則以斜邊為邊長的正方形的面積為__________.13.在△ABC中，∠C=90°，若AB＝5，則++=__________.14.一個三角形的三邊之比為3：4：5，這個三角形的形狀是__________.15．直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為__________。

16、直角三角形的三邊長為連續偶數，則其這三個數分別為__________.17.一根旗桿在離地面9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處．旗桿折斷之前有__________米.18.如果梯子的底端離建筑物9m，那么15m長的梯子可以到達建筑物的高度是__________m.19.若直角三角形的兩邊長為12和5，求以第三邊為邊長的正方形的面積是________.。20．在△ABC中，∠C=90°，AB=m+2，BC=m-2，AC=m，求△ABC三邊的長。

三、勾股定理單元試卷

一、填空題（每小題2分，共24分）

1.如圖，在長方形ABCD中，已知BC=10cm，AB=5cm，則對角線BD=

cm。2.如圖，在正方形ABCD中，對角線為2，則正方形邊長為。

3.把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，則其斜邊擴大到原來的。4.三角形中兩邊的平方差恰好等于第三邊的平方，則這個三角形是

三角形。

5.飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到小剛頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機距離小剛5000米，則飛機每小時飛行

千米。6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，則a=，b=

。7.已知一個直角三角形的兩邊長分別是3和4，則第三邊長為。

8.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，將矩形沿AC折疊，點D落在點E處，且CE與AB交于點F，那么AF=。

9.如圖，將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形茶杯中，設筷子露在杯子外面的長為acm（茶杯裝滿水），則a的取值范圍是

。10.如圖，數軸上有兩個Rt△ABC、Rt△ABC，OA、OC是斜邊，且 OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分別以O為圓心，OA、OC為半徑 畫弧交x軸于E、F，則E、F分別對應的數是。

11.一艘輪船以16海里/時的速度離開港口向東南方向航行，另一艘輪船在同時同地以12海里/時的速度向西南方向航行，則一個半小時后兩船相距

海里。

12.所謂的勾股數就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三個自然數。我國清代數學家羅士林鉆研出一種求勾股數的方法，即對于任意正整數m、n（m＞n），取a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，則a、b、c就是一組勾股數。請你結合這種方法，寫出85（三個數中最大）、84和

組成一組勾股數。

二、選擇題（每小題3分，共18分）13.在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的對邊長分別為a、b、c，則下列結論錯誤的是（）

（A）a2+b2=c2

（B）b2+c2=a2（C）a2-b2=c2（D）a2-c2=b2 14.在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，則△ABC的面積等于（）

（A）108cm2

（B）90cm2

（C）180cm2

（D）54cm2 15.在直角坐標系中，點P（-2，3）到原點的距離是

（）

（A）

（B）

（C）

（D）2 16.池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺處長著一朵紅蓮，一陣風吹來把荷花吹倒在一邊，紅蓮倒在水面位置距荷花生長處水平距離為2尺，則池塘深（）

（A）3.75尺

（B）3.25尺

（C）4.25尺

（D）3.5尺

17.2002年8月在北京召開的國際數學家大會會徽取材于我國古代數學家趙爽的《勾股園方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形式面積是1，直角三角形的短直角邊為a，較長直角邊為b，那么(a+b)2的值為

（）

（A）13

（B）19

（C）25

（D）169 18.如圖所示，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2m，梯子的頂端B到地面距離為7m，現將梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墻根O距離為3m，同時梯子頂端B下降至B′，那么BB′（）

（A）等于1m

（B）小于1m

（C）大于1m

（D）以上都不對

三、解答題（共58分）

19.（8分）如圖，從電線桿離地6米處向地面拉一條長10米的纜繩，這條纜繩在地面的固定點距離電線桿底部有多遠？

20.（8分）三個半圓的面積分別為S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三個半圓拼成如圖所示的圖形，則△ABC一定是直角三角形嗎？說明理由。

21.（12分）求知中學有一塊四邊形的空地ABCD，如下圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經測量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，問學校需要投入多少資金買草皮？ 22.（12分）如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長。

23.（10分）如圖，李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD和BC是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了有刻度的卷尺。

（1）你能替他想辦法完成任務嗎？

（2）李叔叔量得AD長30厘米，AB長40厘米，BD長50厘米，則AD邊垂直于AB邊嗎？

24.（8分）觀察下列各式，你有什么發現？

32=4+5，52=12+13，72=24+25

92=40+41......這到底是巧合，還是有什么規律蘊涵其中呢？（1）填空：132=

+（2）請寫出你發現的規律。

（3）結合勾股定理有關知識，說明你的結論的正確性。

參考答案

一、填空題

1.5

2.2

3.2倍

4.直角

5.540

6.12、16 7.5或

8.10

9.12cm≤a≤13cm

10.-、11.30

12.13

二、選擇題

13.A

14.D

15.B

16.A

17.C

18.B

三、解答題19.13米20.△ABC一定是直角三角形。理由略。

21.學校需投入7200元購買草皮。22.3cm23.（1）用卷尺分別測量AD、AB、BD的長，然后計算AD2+AB2，看是否與BD2相等，如果相等，則△ABC是直角三角形，AD⊥AB；否則不是直角三角形，DA不垂直AB，同理，可判斷BC與AB是否垂直。（2）∵AD2+AB2=302+402=502=BD2 ∴∠DAB=90°

∴AD邊垂直AB邊 24.（1）132=84+85（2）任意一個大于1的奇數的平方可拆成兩個連續整數的和，并且這兩個連續整數與原來的奇數構成一組勾股數。

（3）略

第二篇：勾股定理復習

《勾股定理復習》說課稿

李小英

一、教學內容與學情分析

1、本課內容在教材、新課標中的地位和作用

本節內容是《勾股定理》的復習。本章是以“勾股定理——平方根——立方根——實數——近似數與有效數字——勾股定理的應用”為線索展開的，溝通勾股定理、平方根、立方根、實數之間的聯系，力圖體現本套教材“數與代數”和“空間與圖形”內容整合設計思路，本節是復習的第一課時，主要內容是勾股定理的復習。

勾股定理是初中數學中的重要內容，它不僅溝通了數與形之間的聯系，而且也是解決其他許多數學問題和實際問題的有力工具，歷來都是考試的重要知識點。新課標對這一內容明確要求：會運用勾股定理解決簡單問題；會運用勾股定理的逆定理判定直角三角形。因此，學生對這一內容的熟練掌握是至關重要的。

2、學生已有的知識基礎和學習新知的障

本章新授內容共14課時，其中勾股定理及其應用占4課時，學生對基礎知識基本掌握，但可能時間隔的比較長會有所遺忘，不能構建知識體系；另外本章的應用問題非常多，也非常重要，而學生利用數學知識解決實際問題的能力是較低的，往往看不懂題目的意思或不能很好的理解題意。因此如何通過本節課幫助學生進一步鞏固基礎知識，構建知識體系；提高學生分析解決實際問題的能力是本節課所要面臨的兩大問題。學生解答問題的條理性，書寫的規范性也是一個問題。

二、目標的設定

1、目標的設定 根據本課在教材及新課標中的地位和作用，結合學生現有的知識基礎將本節課的教學目標設定如下：

（1）知識與技能：掌握勾股定理和勾股定理的逆定理以及簡單應用；（2）過程與方法：通過對本節內容的復習，培養學生綜合運用知識分析問題和解決問題的能力；感悟數形結合的數學思想。

（3）情感、態度與價值觀：通過簡單的基礎題的訓練，提高學生學數學的信心和熱情；通過師生間的互動調動學生學習的積極性，讓學生體會成功的快樂。

2、重、難點的確立及依據

基于本節課所復習的內容的重要地位，將本節課的重點設定為：運用勾股定理和勾股定理的逆定理解決相關問題。由于學生利用數學知識解決實際問題的能力是較低的，往往看不懂題目的意思或不能很好的理解題意，故將本節課難點設定為：綜合運用知識分析問題和解決問題

三、教法選擇：

1、教學結構及教學基本思路

用導學案的形式組織教學，通過學生課前對幾道基礎題的訓練，使學生對勾股定理和勾股定理的逆定理及其簡單應用有一定的認識；然后再通過對四個例題的分析和總結，使學生體會和解決問題的一般方法和思路；最后在時間允許的情況下，完成部分達標測試題加以鞏固和提高。基本思路：①學生分析基礎訓練題，教師點評和歸納；

②黑板顯示典型例題，師生合作共同分析，學生板演解題過程，教師評講，并及時總結解題思路和方法；

③學生總結本節課所復習的內容以及有何收獲； ④學生完成部分達標測試題，教師評講并及時進行補標。

2、重難點的突破方法： 運用勾股定理和勾股定理的逆定理解決相關問題是本節課的重點，因此，課前完成的訓練題復習勾股定理和勾股定理的逆定理及其簡單應用，通過四個例題的分析和解決突出重點，并突破難點。由于學生的分析問題和解決問題的能力欠缺，所以通過師生合作共同分析解決問題的策略，并及時總結解題方法，進一步突破難點。通過達標測試來消化重點和難點。

3、導入和過渡的設計

由學生的課前對幾道基礎題的訓練來復習勾股定理及其逆定理導入本課，使學生體會到本節課所復習的主要內容，過渡到典型例題的講解師生合作共同分析解題的方法和技巧，并及時總結。最后通過達標測試進一步鞏固所學的知識。各個環節環環相扣，有機的形成一個整體。

4、教輔手段的使用

本節課用導學案的形式組織教學，先做后導，提高教學效果，增大課堂容量。用小黑板展示例題，有利于學生集中精力進行觀察分析問題。

5、尊重學生個體差異，因材施教

由于學生間存在較大的差異，因此課堂教學中注重激發學生的學習興趣和參與熱情，鼓勵學生大膽發言，尊重學生的差異，讓每個學生都有所發展，增強他們學習的興趣。

四、學法指導

勾股定理學生已經學過，因此通過課前訓練讓學生自己回憶出勾股定理和勾股定理的逆定理，使學生自己進入復習的角色。學生可能遇到的障礙是如何構建直角三角形然后利用勾股定理解決，先由學生討論并請個別學生進行分析，教師作適當的補充和說明，突破學生的障礙。

五、作業設計

一組基礎題的訓練幫助學生回憶和復習知識點；達標測試中的大部分題目是鞏固所復習的知識，個別題用來提高學生綜合運用知識解決問題的能力。

第三篇：勾股定理復習課教學反思

本節課首先由口答引入相關知識點,激起本單元知識的初步回顧,再借小題夯實基礎知識點,構建本單元知識的結構框架,然后運用例題規范知識點應用,梳理本單元的數學思想方法,接著通過對課本習題延伸,拓寬學生分析問題的視野和思路,最后分層設計課堂練習,讓所有學生都能獲得成功的體驗。整個設計體現了以教師為主導、學生為主體,以知識為載體、以培養學生的思維能力為重點的教學思想。在經歷解決問題的過程中,培養了學生分類、探究、歸納等能力。通過本節課的復習,學生對勾股定理及其逆定理有關概念及其相關知識有了更深更新的認識。

本單元復習課的設計著重體現把學生作為主動的人而不是接受知識的容器,強調學生對知識的建構和注重提升全體學生的科學素養,激發了學生對知識繼續探求的動力。在復習時給于了學生不同題目的類型，使他們能夠充分了解勾股定理及其逆定理的重通過復習，讓學生能對本單元所學知識系統化，加強前后各部分知識之間的聯系，綜合運用所學知識分析解決問題，反思本節復習課的教學，大致有以下幾點成功之處：

1.開始設計的問題：①勾股定理的圖形證明，②直角三角形的判定及聯想，③知識綜合應用。通過對這些問題的回答，達到梳理本章內容，建立一定知識體系的目的。關注了學生運用例子說明自己對有關知識的理解，而不是簡單復述教科書上的結論。

2.設計的題目既考察了對基本知識的掌握情況，又注重了綜合課的特點，注重對所學知識的綜合利用。

3.設計的問題盡量與實際問題有聯系，體現了數學來源于實際，又應用于生活實際，這一點符合新課標的要求。

不足之處：

1.設計題目多，不夠精，時間緊，沒能按時完成。

2.教師不善于運用激勵性的語言去激發學生學習的興趣，導致有些學生還是沒有掌握相關的知識點。

3.教師在課堂靈活處理上還是有許多不足之處，需要在日常教學中學習完善。

第四篇：勾股定理的應用方法小結

勾股定理的應用方法小結

綿竹市紫巖雨潤中學

岳關芬

談到勾股定理，學數學的學生以及經常使用數學知識的科研技術人員都非常的熟悉。它的具體內容就是：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個重要的結論為我們解決直角三角形中線段長度的計算帶來很大的方便。

但是作為一名從事數學教學工作的教師，在教學的過程當中，仍然發現有許多學生在涉及到這個方面的問題是，還是不明白該如何入手解決問題。所以在此把自己總結的一些經驗與大家分享，共同學習。

在直角三角形中：

（一）：直接變式法

已知兩條邊的具體的值，求第三邊。例1：已知：在⊿ABC中:∠C=90°

(1)AC=4, BC=3 , 求AB的長。

(2)AB=13，AC=12，求BC的長

小結：像這個題，他就是勾股定理的一個直接的應用。

（二）設未知數法

已知一條邊具體的值，同時已知另外兩邊的關系，求邊長。例2：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，（1）AC + BC= 7, AB=5 ,求AC ,BC的長。

（2）AB –AC =8, BC=12，求AB ,AC 的長。

小結：像這兩個小題，它需要根據勾股定理結合條件

把它轉化成帶有一個未知數的方程來解決問題。以（1）為例，設AC = x,則

BC=7-x,那么x+(7-x)= 25,就可以找出線段的值。

變式訓練：

已知：小紅用一張舉行紙片驚醒折紙。已知該紙片的寬AB為8厘米，長BC為10厘米，當小紅折疊時，頂點D落在邊BC上的點F處（折痕為）。想一想，此時CE有多長?

(三)面積法

已知兩直角邊的長，求斜邊上的高。2例3：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，AC =3, BC=4，求AB邊上的高CD。

小結：這個題目先利用勾股定理求出斜邊，再結合三角形的面積求可以求出斜邊上的高。

變式訓練

已知；在在⊿ABC中:∠C=90°，AC=7，BC=24，P是⊿ABC內的一點，并且P到三角形三邊的距離相等，求這個距離。

(四)構建等式法

例4：已知：鐵路上A,B兩點相距25㎞，C, D為兩村莊，已知：AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,已知：AD=15㎞，BC=10㎞。現在要在鐵路AB上修建一個土特品收購站E，使得C,D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多遠處？

小結：這個題目單獨利用直角三角形ADE沒有辦法解決問題，恰好⊿ADE和⊿BCE都是2222直角三角形，并且相等的邊DE和CE,于是設AE=x,BE=25-x,得15+x=10+(25-x).即可找出線段的長。變式訓練：

已知：在正方形ABCD中，E為BC的中點，折疊正方形，使點A與點E重合，壓平后折痕為MN,則提醒ADMN與BCMN的面積之比為________.

第五篇：七年級數學勾股定理全章復習

勾股定理全章復習

一、復習要求：

1．體驗勾股定理的探索過程；已知直角三角形的兩邊長，會求第三邊長。

2．會用勾股定理知識解決簡單問題；會用勾股定理逆定理判定直角三角形。

3．會用勾股定理解決有關的實際問題。

二、知識網絡：

三、知識梳理：

1、勾股定理

(1)重視勾股定理的三種敘述形式：

①在直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個正方形(《幾何原本》)．

②直角三角形直角邊上的兩個正方形的面積之和等于斜邊上的正方形的面積．

③直角三角形斜邊長度的平方，等于兩個直角邊長度平方之和．

從這三種提法的意義來看，勾股定理有“形的勾股定理”和“數的勾股定理”之分。

(2)定理的作用：

①已知直角三角形的兩邊，求第三邊。

②證明三角形中的某些線段的平方關系。

③作長為的線段。

勾股定理揭示的是平面幾何圖形本身所蘊含的代數關系。利用勾股定理探究長度為，??的無理數線段的幾何作圖方法，并在數軸上將這些點表示出來，進一步反映了數與形的互相表示、相互交融，加深對無理數概念的直觀認識。

(3)勾股定理的證明：

經典證法有：①歐幾里得證法②趙爽《勾股圓方圖注》證法③劉徽《青朱出入圖》證法④美國總統加菲的證明⑤印度婆什迦羅的證明⑥面積法證明；除此之外，還有文字證明、拼圖證明和動態證明。(4)勾股定理的應用：

勾股定理只適用于直角三角形，首先分清直角及其所對的斜邊。當已知中沒有直角時，可作輔助線，構造直角三角形后，再運用勾股定理解決問題。求線段的長度，常常綜合運用勾股定理和直角三角形的其它性質，等腰三角形的性質，軸對稱的性質來解決。

2、勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理的證明方法，也是學生不熟悉的，引導學生用所學過的全等三角形的知識，通過

構造一個三角形與直角三角形全等，達到證明的目的。

(2)逆定理的作用：判定一個三角形是否為直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理是把數轉化為形，是利用代數計算來證明幾何問題。要注意敘述及書寫格式。

運用勾股定理的逆定理的步驟：

①首先確定最大的邊(如c)

②驗證：

若

當

當

與

是否具有相等關系：，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形。時，△ABC是銳角三角形； 時，△ABC是鈍角三角形。

(4)通過總結歸納，記住一些常用的勾股數。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，4l；??以及這些數組的倍數組成的數組。勾股數組的一般規律：

丟番圖發現的：式子

畢達哥拉斯發現的：

柏拉圖發現的：，，(，的整數)

(的正整數)(的整數)

3、注意總結直角三角形的性質與判定。

(1)直角三角形的性質：

角的關系：直角三角形兩銳角互余。

邊的關系：直角三角形斜邊大于直角邊。

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。

邊角關系：直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半。

雙垂圖中的線段關系。

(2)直角三角形的判定：

①有一個角是直角的三角形是直角三角形。

②有兩個角互余的三角形是直角三角形。

③兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形是直角三角形。(最長的邊的平方等于另外兩邊的平方和的三角形是直角三角形)

4、已知直角三角形的兩邊長，會求第三邊長。

設直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊長為c，由勾股定理知道：得：，。變形，因此已知直角三角形的任意兩邊，利用勾股定理可求出第三條邊。

5、當直角三角形中含有30°與45°角時，已知一邊，會求其它的邊。

(1)含有30°的直角三角形的三邊的比為：1：1：2：3，則三邊

的比為1：：2)。

：2。(一個三角形的三個內角的比為

(2)含有45°的直角三角形的三邊的比為：1：1：

(3)等邊三角形的邊長為，則高為，面積為。

6、典型方法的總結：

(1)斜三角形轉化為直角三角形

(2)圖形的割、補、拼接

(3)面積法與代數方法證明幾何問題

四、例題分析

1．如圖，把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠，D=30°，斜邊AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△如圖乙．這時AB與

(1)求

(2)求線段

(3)若把三角板

相交于點O，與AB相交于點F． 的度數： 的長．

繞著點C順時針再旋轉30°得，這時點B在的內部、外部、還是邊上?證明你的判斷．

解：(1)∵ ∠2=15°，∠

=90°，∴ ∠1=75°．又∵ ∠B=45°，∴

(2)連結

∵

又∵

∴

又∵

∴。，． ,，.，∵

又∵

在(3)點B在，∴，∴ 中，內部。

于點。。

理由如下：設BC(或延長線)交

∵，在中，又∵，即，∴ 點B在內部。

2．如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連結PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連結CQ．

(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論．

(2)若PA：PB：PC=3：4：5，連結PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．

解：(1)猜想：AP=CQ

證明：在△ABP與△CBQ中，∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°

∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ

∴ △ABP≌△CBQ ∴ AP=CQ

(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可設PA=3a，PB=4a，PC=5a

連結PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°

∴ △PBQ為正三角形 ∴ PQ=4a

于是在△PQC中，∵

∴ △PQC是直角三角形

3．如圖(1)所示為一上面無蓋的正方體紙盒，現將其剪開展成平面圖，如圖(2)所示．已知展開圖中每個正方形的邊長為1．

(1)求在該展開圖中可畫出最長線段的長度?這樣的線段可畫幾條?

(2)試比較立體圖中∠BAC與平面展開圖中的大小關系?

解：(1)在平面展開圖中可畫出最長的線段長為

如圖(1)中的∵

∴，在中，由勾股定理得：

。．

答：這樣的線段可畫4條(另三條用虛線標出)．

(2)∵ 立體圖中∠BAC為平面等腰直角三角形的一銳角，∴ ∠BAC=45°．

在平面展開圖中，連接線段

又∵

由勾股定理的逆定理可得

又∵

∴ △，為等腰直角三角形． ∴

．，為直角三角形．，由勾股定理可得：。

所以∠BAC與相等．