第一篇：《 勾股定理的應用方法小結》

談談勾股定理及其逆定理的應用

綿竹市紫巖雨潤中學

岳關芬

談到勾股定理及它的逆定理，它是中學數學中最重要的定理之一，是幾何學中的明珠，充滿了魅力，我國把它又稱為畢達哥拉斯定理。這是由于，他們認為最早發現直角三角具有“勾2+股2=弦2”這一性質并且最先給出嚴格證明的是古希臘的數學家畢達哥拉斯。勾股定理揭示了直角三角形三邊的數量關系。具體內容就是：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。逆定理揭示了從三角形三邊的數量關系來判斷三角形是否是直角三角形。具體的內容是：在三角形中，如果較小兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么三角形是直角三角形。它們不但是解直角三角形的重要依據，是每年中考的必考知識點之一，而且在實際生活中的應用十分的廣泛。

我國偉大的數學家華羅庚將勾股定理稱為茫茫宇宙星際交流的“語言”因為數學是一切有智慧生物的共同語言，所以我們有更多的理由要學好它。學習勾股定理時，應抓住三大關鍵，一是勾股定理及其逆定理的證明方法，二是勾股定理及其逆定理的應用，三是怎樣尋找勾股數。對于第二個問題，又應抓住四個方面，一：是勾股定理在幾何計算中的應用。二：是勾股定理在幾何證明中的應用。三：是勾股定理及其逆定理的綜合應用。四：是勾股定理在代數證題中的應用。在初中數學中常常提到的數學思想方法有數形結合思想、分類討論思想、轉化思想、方程思想、整體思想.在勾股定理的應用中，滲透了上述四種數學思想。

作為一名長期從事中學數學教學工作的教師，在教學的過程當中，我經常發現有許多學生在涉及到計算直角三角形中線段的長以及判斷三角形的形狀等問題時，還是不明白該如何入手解決問題。在此，我主要想談談在這兩類問題上，怎樣正確快速的應用勾股定理和它的逆定理解決問題。所以把自己總結的一些經驗與大家一起分享，共同學習。一：怎樣應用勾股定理在直角三角形中求線段的長： 1：

直接把勾股定理變式計算線段的長

已知兩條邊的具體的值，求第三邊。例1：已知：在⊿ABC中:∠C=90°

(1)AC=4, BC=3 , 求AB的長。

(2)AB=13，AC=12，求BC的長

分析：根據題意可知：AC?BC?AB,直接帶值進行計算就可以了。小結：像這個題，他就是勾股定理的一個直接的應用。

變式訓練：

已知：在⊿ABC中:∠C=90°AB=13，AC=12，求以陰影部分的面積。

2：

結合勾股定理設未知數計算線段的長

已知一條邊具體的值，同時已知另外兩邊的關系，求邊長。例2：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，(1)AC + BC= 7, AB=5 ,求AC ,BC的長。

222(2)AB –AC =8, BC=12，求AB ,AC 的長

分析：以（1）為例，設AC = x, 則 BC=7-x.又因為x+(7-x)= 25, 就可以找出線段的值。

小結：像這兩個小題，它可以根據勾股定理再結合已知條件，把它轉化成帶有一個未知數的方程來解決問題。變式訓練：

已知：小紅用一張矩形紙片進行折紙。已知該紙片的寬AB為8厘米，長BC為10厘米，當小紅折疊時，頂點D落在邊BC上的點F處（折痕為AE）。想一想，此時CE有多長?

3: 應用三角形面積的不同表示方法求線段的長

已知兩直角邊的長，求斜邊上的高。

例3：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，AC =3, BC=4，求AB邊上的高CD。

分析：先根據AC?BC?AB，求出AB的長，再根據三角形的面積

2222211AC?BC?AB?CD,就可以計算出斜邊上的高CD 22

小結：這個題目先利用勾股定理求出斜邊，再結合三角形面積不同的表示方法就可以求出斜邊上的高。

變式訓練

已知；在⊿ABC中:∠C=90°，AC=7，BC=24，點P是⊿ABC內的一點，并且點P到三角形三邊的距離相等，求這個距離。

4：兩次應用勾股定理構建等式計算線段的長

已知兩個直角三角形有一條公共邊或相等邊，求線段的長

例4：已知：鐵路上A,B兩點相距25㎞，C, D為兩村莊，已知：AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,已知：AD=15㎞，BC=10㎞。現在要在鐵路AB上修建一個土特品收購站E，使得C,D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多遠處？

小結：這個題目單獨利用直角三角形ADE沒有辦法解決問題，恰好⊿ADE和⊿BCE都是直角三角形，并且有相等的邊DE和CE,于是設AE=x,BE=25-x,根據DE=CE222215+x=10+(25-x).即可找出線段的長。

變式訓練：

已知：在正方形ABCD中，E為BC的中點，折疊正方形，使點A與點E重合，壓平后折痕為MN,則梯形ADMN與BCMN的面積之比為________.5：應用全等三角形的知識計算線段的長

在一個直角三角形已知邊和其它相等的角，計算線段的長

例：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求：AC的長？

分析：首先構造直角三角形，過點D向AB邊做垂線DE，再結合條件得出CD=DE ,AC=AE,找出BE的長，最后利用Rt⊿ABC中AC?BC?AB解決問題.二：怎樣應用勾股逆定理判斷三角形的形狀及計算圖形的面積

1：判斷三角形的形狀

例：已知：在三角形中，a, b, c分別是它的三邊，并且a+b=10, ab=18, c=8.判斷三角形的形狀。

分析：首先根據條件結合完全平方公式得出a+b的值，再檢驗a+b與c的大小，就可以得出結論。變式訓練：

已知：在⊿ABC中: AB=13，BC=10, BC邊上的中線AD=12.求證：⊿ABC是等腰三角形

22222

得2:與勾股定理結合計算圖形的面積

例：已知：在四邊形ABBCD中，∠ABC=90°，AB=3, BC=4, AD=12,CD=13.求：四邊形ABCD的面積

分析：由于這種圖形是不規則的四邊形，所以要通過構造直角三角形再利用三角形的面積的和或差進行計算。

我們今天學習勾股定理，不但要學會利用它進行計算、證明和作圖，更要學習和了解它的歷史，了解其中體現出來的“形數結合”、“形數統一”的思想方法，這對我們今后的數學發展和科學創新都將具有十分重大的意義。

第二篇：勾股定理的應用方法小結

勾股定理的應用方法小結

綿竹市紫巖雨潤中學

岳關芬

談到勾股定理，學數學的學生以及經常使用數學知識的科研技術人員都非常的熟悉。它的具體內容就是：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個重要的結論為我們解決直角三角形中線段長度的計算帶來很大的方便。

但是作為一名從事數學教學工作的教師，在教學的過程當中，仍然發現有許多學生在涉及到這個方面的問題是，還是不明白該如何入手解決問題。所以在此把自己總結的一些經驗與大家分享，共同學習。

在直角三角形中：

（一）：直接變式法

已知兩條邊的具體的值，求第三邊。例1：已知：在⊿ABC中:∠C=90°

(1)AC=4, BC=3 , 求AB的長。

(2)AB=13，AC=12，求BC的長

小結：像這個題，他就是勾股定理的一個直接的應用。

（二）設未知數法

已知一條邊具體的值，同時已知另外兩邊的關系，求邊長。例2：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，（1）AC + BC= 7, AB=5 ,求AC ,BC的長。

（2）AB –AC =8, BC=12，求AB ,AC 的長。

小結：像這兩個小題，它需要根據勾股定理結合條件

把它轉化成帶有一個未知數的方程來解決問題。以（1）為例，設AC = x,則

BC=7-x,那么x+(7-x)= 25,就可以找出線段的值。

變式訓練：

已知：小紅用一張舉行紙片驚醒折紙。已知該紙片的寬AB為8厘米，長BC為10厘米，當小紅折疊時，頂點D落在邊BC上的點F處（折痕為）。想一想，此時CE有多長?

(三)面積法

已知兩直角邊的長，求斜邊上的高。2例3：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，AC =3, BC=4，求AB邊上的高CD。

小結：這個題目先利用勾股定理求出斜邊，再結合三角形的面積求可以求出斜邊上的高。

變式訓練

已知；在在⊿ABC中:∠C=90°，AC=7，BC=24，P是⊿ABC內的一點，并且P到三角形三邊的距離相等，求這個距離。

(四)構建等式法

例4：已知：鐵路上A,B兩點相距25㎞，C, D為兩村莊，已知：AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,已知：AD=15㎞，BC=10㎞。現在要在鐵路AB上修建一個土特品收購站E，使得C,D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多遠處？

小結：這個題目單獨利用直角三角形ADE沒有辦法解決問題，恰好⊿ADE和⊿BCE都是2222直角三角形，并且相等的邊DE和CE,于是設AE=x,BE=25-x,得15+x=10+(25-x).即可找出線段的長。變式訓練：

已知：在正方形ABCD中，E為BC的中點，折疊正方形，使點A與點E重合，壓平后折痕為MN,則提醒ADMN與BCMN的面積之比為________.

第三篇：勾股定理證明方法

勾股定理證明方法

勾股定理的種證明方法(部分)

【證法1】(梅文鼎證明)

做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點p.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o―90o=90o.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個邊長為c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o.即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o，∠BCp=90o，BC=BD=a.∴BDpC是一個邊長為a的正方形.同理，HpFG是一個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S，則,∴.【證法2】(項明達證明)

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作Qp‖BC，交AC于點p.過點B作BM⊥pQ，垂足為M;再過點

F作FN⊥pQ，垂足為N.∵∠BCA=90o，Qp‖BC，∴∠MpC=90o，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90o，∴BCpM是一個矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.【證法3】(趙浩杰證明)

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90o，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90o,∴∠ABG+∠CBJ=90o,∵∠ABC=90o,∴G,B,I,J在同一直線上，【證法4】(歐幾里得證明)

做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結

BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積

=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積

∴，即.勾股定理的別名

勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

我國是發現和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理.為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”.前任美國第二十屆總統加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。

證明

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數的泰勒級數)來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環論證)。

第四篇：勾股定理證明方法（精選）

勾股定理證明方法

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。

中國古代對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？” 商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩'得到的一條直角邊‘勾'等于3，另一條直角邊’股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。” 如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例。所以現在數學界把它稱為勾股定理是非常恰當的。

在《九章算術》一書中，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”《九章算術》系統地總結了戰國、秦、漢以來的數學成就，共收集了246個數學的應用問題和各個問題的解法，列為九章，可能是所有中國數學著作中影響最大的一部。

中國古代的數學家們最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。

上中間的那個小正方形組成的。

每個直角三角形的面積為ab/2；

中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化簡后便可得： a2+b2=c2

在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加

劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統”證法

古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。

第五篇：勾股定理的應用

1、勾股定理的應用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用有：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系。求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題

2、如何判定一個三角形是直角三角形（1）先確定最大邊（如c）（2）驗證c與a+b則△ABC不是直角三角形。

3、勾股數 滿足c=a+b的三個正整數，稱為勾股數 如（1）3，4，5；（2）5，12，13；

（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 412、三角形的三邊長為abcba2)(22+=+,則這個三角形是()

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

3.已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）

（A）25（B）14（C）7（D）7或25

6.將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數, 得到的三角形是()（A）鈍角三角形

（B）銳角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如圖小方格都是邊長為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是()

（A）25（B）12.5（C）9（D）8.54、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱 形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取 值范圍是（）．

A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm3、如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2m，梯子的頂端B到地面的距離為7m，現將梯子的底端A向外移動到A′，使梯子的底端A′到墻根O的距離等于3m．同時梯子的頂端B下降 至B′，那么BB′（）．

A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m11、如圖，甲船以16海里/時的速度離開港口，向東南航行，乙船在同時同地向西南方向航行，已知他們離開港口一個半小時后 分別到達B、A兩點，且知AB＝30海里，問乙船每小時航行多少 海里

222222是否具有相等關系（3）若c2=a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形；若c2≠a2+b2