第一篇：勾股定理的證明方法探究

《勾股定理的證明方法探究》

勾股定理又叫畢氏定理：在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和。

據(jù)考證，人類對這條定理的認(rèn)識，少說也超過 4000 年！又據(jù)記載，現(xiàn)時(shí)世上一共有超過 300 個(gè)對這定理的證明！

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾唵危菀孜耍攀顾砂俅蔚胤磸?fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。

勾股定理的證明：在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。

首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據(jù)說分別來源于中國和希臘。

1．中國方法：畫兩個(gè)邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。

左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個(gè)正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。于是a^2+b^2=c^2。

這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

2．希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。

容易看出，△ABA’ ≌△AA'C。

過C向A’’B’’引垂線，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’與正方形ACDA’同底等高,前者面積為后者面積的一半，△AA’’C與矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面積也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方

形ACDA’的面積等于矩形AA’’C’’C’的面積。同理可得正方形BB’EC的面積等于矩形B’’BC’C’’的面積。

于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即 a2+b2=c2。

至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補(bǔ)法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。

這就是希臘古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

以上兩個(gè)證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀念：

⑴ 全等形的面積相等；

⑵ 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。

這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。

我國歷代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經(jīng)》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。采用的是割補(bǔ)法：

如圖，將圖中的四個(gè)直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實(shí)，以弦為邊的正方形稱為弦實(shí)，然后經(jīng)過拼補(bǔ)搭配，“令出入相補(bǔ)，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之，即弦也”。

趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡明、直觀。

西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的。據(jù)說當(dāng)他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達(dá)哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。

下面介紹的是美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德對勾股定理的證明。

如圖，S梯形ABCD=(a+b)

2=(a2+2ab+b2)，①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

= ab+ ba+ c2

=(2ab+c2)。②

比較以上二式，便得

a2+b2=c2。

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當(dāng)簡潔。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證明。5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統(tǒng)”證法，這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。

在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA，①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。②

我們發(fā)現(xiàn)，把①、②兩式相加可得

BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有 BC2+AC2=AB2，這就是

a2+b2=c2。

這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。

在對勾股定理為數(shù)眾多的證明中，人們也會犯一些錯(cuò)誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：

設(shè)△ABC中，∠C=90°，由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC，因?yàn)椤螩=90°，所以cosC=0。所以

a2+b2=c2。

這一證法，看來正確，而且簡單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯(cuò)誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。

人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和”。

從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應(yīng)棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個(gè)多面體表面積之和。

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。

第二篇：勾股定理的證明方法探究

勾股定理的證明方法

勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們的生活實(shí)際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明．下面乃幾千年來前人所發(fā)現(xiàn)的證明方法。

【證法1】（梅文鼎證明）

做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P.∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則,∴ BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：a^2+b^2=c^2

【證法2】（項(xiàng)明達(dá)證明）

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作QP∥BC，交AC于點(diǎn)P.過點(diǎn)B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點(diǎn)

F作FN⊥PQ，垂足為N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一個(gè)矩形，即∠MBC = 90°.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

【證法3】（趙浩杰證明）

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直線上，所以a^2+b^2=c^2

【證法4】（歐幾里得證明）

做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)

BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴ 矩形ADLM的面積 =.同理可證，矩形MLEB的面積 =.∵ 正方形ADEB的面積

= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積

∴ 即a的平方+b的平方=c的平方

【證法5】歐幾里得的證法

《幾何原本》中的證明

在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線

把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。

在正式的證明中，我們需要四個(gè)輔助定理如下：

如果兩個(gè)三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長的乘積。任意一個(gè)四方形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)換成兩個(gè)同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個(gè)同等面積的長方形。

其證明如下：

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為CAB

其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點(diǎn)A之BD、CE的平行線。

此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。

分別連接CF、AD，形成兩個(gè)三角形BCF、BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應(yīng)的，同理可證B、A和H。

∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。

因?yàn)?AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等于△FBC。

因?yàn)?A 與 K 和 L是線性對應(yīng)的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于△ABD。

因?yàn)镃、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。

因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2。

同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2。

把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB^2+ AC^2;= BD×BK + KL×KC

由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC)= BD×BC

由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的

第三篇：數(shù)學(xué)論文——勾股定理的證明方法探究

勾股定理的證明方法探究

勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方等于斜邊的平方。數(shù)學(xué)公式中常寫作：a2 + b2=c2（直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c）。

那么勾股定理是怎么證明的呢？方法很多很多。1940年出版過一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。

在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。

在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達(dá)哥拉斯定理．這是由于，他們認(rèn)為最早發(fā)現(xiàn)直角三角形具有“勾2+股2=弦2（即如上所說：a2 + b2=c2）”這一性質(zhì)并且最先給出嚴(yán)格證明的是古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580－公元前500）．

實(shí)際上，在更早期的人類活動中，人們就已經(jīng)認(rèn)識到這一定理的某些特性．除我國在公元前1000多年前發(fā)現(xiàn)勾股定理外，據(jù)說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角．但是，這一傳說引起過許多數(shù)學(xué)史家的懷疑．比如，美國的數(shù)學(xué)史家M·克萊因教授曾經(jīng)指出：“我們也不知道埃及人是否認(rèn)識到畢達(dá)哥拉斯定理．我們知道他們有拉繩人，但所傳他們在繩上打結(jié)，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實(shí)．”不過，考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥版書，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：“一根長度為30個(gè)單位的棍子直立在墻上，當(dāng)其上端滑下6個(gè)單位時(shí)，請問其下端離開墻角有多遠(yuǎn)？”這是一個(gè)三邊為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊版板上面刻著一個(gè)奇特的數(shù)表，表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個(gè)勾股數(shù)表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值，一共記載著15組勾股數(shù)．這說明，勾股定理實(shí)際上早已開始在人們的知識土地中“萌芽”了。

因?yàn)楣垂啥ɡ淼淖C明方法太多，不可能全數(shù)敘述。所以，我們就來了解一下較簡潔、易懂的幾種方法。

方法一：課本內(nèi)的方法

如圖所示，S大正方形=S三角形×4+S小正方形。即(a+b)2= 4(1/2ab)+c2，化簡后為：a2 + b2=c2。

方法二：

以a,b為直角邊（b＞a），以c為斜邊作4個(gè)全等的直

角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積為1/2ab。把這4個(gè)三角形拼成如圖所示的正方形。

∵Rt△DAH≌Rt△ABE

∴∠HDA=∠EAB

∵∠HDA+∠HAD=90°

∴∠HAD+∠EAB=90°

∵ABCD是個(gè)邊長為c的正方形，面積為c

2又∵∠HEF+∠BEA=180°

∴∠HEF=90°

∴EFGH是一個(gè)邊長為b-a的正方形，面積為（b-a）2

∴4×1/2ab+（b-a）2=c2

∴a2 + b2=c2

方法三： C

以a、b為直角邊，以c為斜邊做兩個(gè)全等的直角三角

形，則每個(gè)直角三角形的面積等于1/2ab。把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A,E,B三點(diǎn)在一條直線上。

∵RtEAD≌Rt△CBE

∴∠ADE=∠BEC

∵∠AED+∠ADE=90°

∴∠AED+∠BEC=90°

∴∠DEC=180°—90°=90°

∴△DEC是一個(gè)等腰直角三角形，面積為1/2 c

2又∵∠DAE=90°，∠EBC=90°

∴AD∥BC

∴ABCD是個(gè)直角梯形，面積為1/2（a+b）2

∴1/2（a+b）2=2×1/2ab+1/2 c2

∴a2 + b2=c2

方法四：

作三個(gè)變長分別為a,b,c的正方形，把它們拼成如圖所示的形狀，是H,C,B三點(diǎn)在一條直線上，連接BF,CD.過C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L。∵AF=AC , AB=AD

∠FAB=∠GAD

∴△FAB≌△GAD

∵△FAB≌△GAD

∵△FAB的面積為1/2a2.△GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半。

∴矩形ADLM的面積為a2，同理可得，矩形MLEB的面積為b2

∵矩形ADLM+矩形MLEB的面積=矩形ADEB的面積

∴a2 + b2=c2

如上列舉了的4種方法，都較為簡潔、通俗的證明了勾股定理。勾股定理的證明方法仍然在不斷增加，探究也在不斷深入。

第四篇：勾股定理證明方法

勾股定理證明方法

勾股定理的種證明方法(部分)

【證法1】(梅文鼎證明)

做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)p.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o―90o=90o.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o.即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o，∠BCp=90o，BC=BD=a.∴BDpC是一個(gè)邊長為a的正方形.同理，HpFG是一個(gè)邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則,∴.【證法2】(項(xiàng)明達(dá)證明)

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作Qp‖BC，交AC于點(diǎn)p.過點(diǎn)B作BM⊥pQ，垂足為M;再過點(diǎn)

F作FN⊥pQ，垂足為N.∵∠BCA=90o，Qp‖BC，∴∠MpC=90o，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90o，∴BCpM是一個(gè)矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.【證法3】(趙浩杰證明)

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90o，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90o,∴∠ABG+∠CBJ=90o,∵∠ABC=90o,∴G,B,I,J在同一直線上，【證法4】(歐幾里得證明)

做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)

BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積

=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積

∴，即.勾股定理的別名

勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

我國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀(jì)一中國學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

在法國和比利時(shí)，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理.為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做“百牛定理”.前任美國第二十屆總統(tǒng)加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。

證明

這個(gè)定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級數(shù))來證明勾股定理，但是，因?yàn)樗械幕救呛愕仁蕉际墙ɑ诠垂啥ɡ恚圆荒茏鳛楣垂啥ɡ淼淖C明(參見循環(huán)論證)。

第五篇：勾股定理證明方法（精選）

勾股定理證明方法

勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。

中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？” 商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩'得到的一條直角邊‘勾'等于3，另一條直角邊’股'等于4的時(shí)候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來的呵。” 如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

在《九章算術(shù)》一書中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦。”《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢以來的數(shù)學(xué)成就，共收集了246個(gè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題和各個(gè)問題的解法，列為九章，可能是所有中國數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。

中國古代的數(shù)學(xué)家們最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。

上中間的那個(gè)小正方形組成的。

每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；

中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化簡后便可得： a2+b2=c2

在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加

劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補(bǔ)法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法

古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。