第一篇：勾股定理的多種證明方法

勾股定理的多種證明方法

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（《畢達哥拉斯命題》）一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恒等式（例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級數(shù)）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環(huán)論證）。

證法

1作兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QP∥BC，交AC于點P.過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點

F作FN⊥PQ，垂足為N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90°.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^

2證法2

作兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再作一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直線上，a^2+b^2=c^

2證法3(歐幾里得的證法)

《幾何原本》中的證明

在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：

如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理

3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉(zhuǎn)換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個同等面積的長方形。

其證明如下：

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA?！螩AB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應(yīng)的，同理可證B、A和H。∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。因為 AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等于△FBC。因為 A 與 K 和 L是線性對應(yīng)的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于△ABD。因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2。同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2。把這兩個結(jié)果相加，AB^2+ AC^2;= BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC)= BD×BC 由于CBDE是個正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的證法4（歐幾里德(Euclid)射影定理證法）

如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，通過證明三角形相似則有射影定理如下：

1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC，（3）（BC）^2;=CD·AC。由公式（2）+（3）得：

（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，圖

1即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，這就是勾股定理的結(jié)論。

證法5（趙爽弦圖）

在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化簡后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

勾股定理的別名 勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

我國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩?！币虼耍垂啥ɡ碓谖覈址Q“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”．

前任美國第二十屆總統(tǒng)伽菲爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。1 周髀算經(jīng), 文物出版社,1980年3月, 據(jù)宋代嘉定六年本影印,1-5頁。

2.陳良佐: 周髀算經(jīng)勾股定理的證明與出入相補原理的關(guān)系.刊於《漢學(xué)研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281頁。

3.李國偉: 論「周髀算經(jīng)」“商高曰數(shù)之法出于圓方”章.刊於《第二屆科學(xué)史研討會匯刊》, 臺灣, 1991年7月，227-234頁。

4.李繼閔: 商高定理辨證.刊於《自然科學(xué)史研究》,1993年第12卷第1期,29-41頁。

5.曲安京: 商高、趙爽與劉徽關(guān)於勾股定理的證明.刊於《數(shù)學(xué)傳播》20卷, 臺灣, 1996年9月第3期, 20-27頁

證法6（達芬奇的證法）

達芬奇的證法

三張紙片其實是同一張紙，把它撕開重新拼湊之后，中間那個“洞”的面積前后仍然是一樣的，但是面積的表達式卻不再相同，讓這兩個形式不同的表達式相等，就能得出一個新的關(guān)系式——勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這么個共同點。觀察紙片一，因為要證的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因為紙片的兩邊是對稱的，所以能夠知道四邊形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結(jié)AD，因為對稱的緣故，所以

∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明顯，圖三中角A'和角D'都是直角。證明：第一張紙片多邊形ABCDEF的面積S1=S正方形ABOF+S正方形

CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE 第三張紙片中多邊形A'B'C'D'E'F'的面積S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E'因為S1=S2 所以

OF^2+OE^2+OF·OE=E'F'^2+C'D'·D'E'又因為C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以

OF·OE=C'D'·D'E' 則OF^2+OE^2=E'F'^2因為E'F'=EF所以O(shè)F^2+OE^2=EF^2勾股定理得證

第二篇：勾股定理證明方法

勾股定理證明方法

勾股定理的種證明方法(部分)

【證法1】(梅文鼎證明)

做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點p.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o―90o=90o.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個邊長為c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o.即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o，∠BCp=90o，BC=BD=a.∴BDpC是一個邊長為a的正方形.同理，HpFG是一個邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則,∴.【證法2】(項明達證明)

做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作Qp‖BC，交AC于點p.過點B作BM⊥pQ，垂足為M;再過點

F作FN⊥pQ，垂足為N.∵∠BCA=90o，Qp‖BC，∴∠MpC=90o，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90o，∴BCpM是一個矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.【證法3】(趙浩杰證明)

做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90o，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90o,∴∠ABG+∠CBJ=90o,∵∠ABC=90o,∴G,B,I,J在同一直線上，【證法4】(歐幾里得證明)

做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié)

BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積

=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積

∴，即.勾股定理的別名

勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

我國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀一中國學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理.為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”.前任美國第二十屆總統(tǒng)加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。

證明

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級數(shù))來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環(huán)論證)。

第三篇：勾股定理證明方法（精選）

勾股定理證明方法

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。

中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？” 商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩'得到的一條直角邊‘勾'等于3，另一條直角邊’股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵。” 如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理是非常恰當?shù)摹?/p>

在《九章算術(shù)》一書中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦?！薄毒耪滤阈g(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢以來的數(shù)學(xué)成就，共收集了246個數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題和各個問題的解法，列為九章，可能是所有中國數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。

中國古代的數(shù)學(xué)家們最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。

上中間的那個小正方形組成的。

每個直角三角形的面積為ab/2；

中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化簡后便可得： a2+b2=c2

在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加

劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法

古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。

第四篇：勾股定理五種證明方法

勾股定理五種證明方法

【證法1】

做8

個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即

11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22，整理得a2?b2?c2.【

證法2】（鄒元治證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角

1ab2形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.2??a?b∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于.∴ ?a?b?21?4?ab?c

22222.∴ a?b?c.【證法3】（梅文鼎證明）

做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為

c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點P.∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.即∠CBD= 90o.又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，ABC = BD = a.∴ BDPC是一個邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則

11a2?b2?S?2?ab,c2?S?2?ab22,222∴a?b?c.【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角1ab2形的面積等于.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形，12c2它的面積等于.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.1?a?b?

2∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等于2.1?a?b?2?2?1ab?1c2

22.∴ 2

222∴ a?b?c.【證法5】（辛卜松證明）

DD

設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD

222??a?b?a?b?2ab；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個的面積為

部分，則正方形ABCD的面積為

222∴a?b?2ab?2ab?c,222∴a?b?c.?a?b?21?4?ab?c222 =2ab?c.初二（1）

第五篇：勾股定理的證明方法

這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角

三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式

化簡得。