第一篇：勾股定理的證明方法

勾股定理的證明方法

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統都愿意探討和研究它的證明．下面結合幾種圖形來進行證明。

一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）

左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。

在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法（圖2）

第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的直

角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的

角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形“小洞”。

因為邊長為的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國第20任總統茄菲爾德的證法（圖3）

這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為 的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

勾股定理的證明

勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。

在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。

首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源于中國和希臘。

1．中國方法

畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。

左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。于是

a2+b2=c2。

這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

2．希臘方法

直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。

容易看出，△ABA’ ≌△AA’’ C。

過C向A’’B’’引垂線，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’與正方形ACDA’同底等高,前者面積為后者面積的一半，△AA’’C與矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面積也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面積等于矩形AA’’C’’C’的面積。同理可得正方形BB’EC的面積等于矩形B’’BC’C’’的面積。

于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即 a2+b2=c2。

至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。

這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：

⑴ 全等形的面積相等；

⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。

這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。

我國歷代數學家關于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經》之中穆畚摹豆垂稍卜酵甲ⅰ分械鬧っ鰲2捎玫氖歉畈狗ǎ?

如圖，將圖中的四個直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然后經過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦也”。

趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。

西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。

下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。

如圖，S梯形ABCD=(a+b)2 =(a2+2ab+b2)，①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 =(2ab+c2)。② 比較以上二式，便得

a2+b2=c2。

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的這一證明。5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統。后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統”證法，這在數學史上被傳為佳話。

在學習了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA，①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。②

我們發現，把①、②兩式相加可得

BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有 BC2+AC2=AB2，這就是

a2+b2=c2。

這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。

在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：

設△ABC中，∠C=90°，由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC，因為∠C=90°，所以cosC=0。所以

a2+b2=c2。

這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。

人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。

從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和。

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。

如此等等。

【附錄】

一、【《周髀算經》簡介】

《周髀算經》算經十書之一。約成書于公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀注》一書的《勾股圓方圖注》中給出的。

《周髀算經》使用了相當繁復的分數算法和開平方法。

二、【伽菲爾德證明勾股定理的故事】

1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么？那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊長分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不假思索地回答道：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。

于是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

轉引自：http://tw.ntu.edu.cn/education/yanjiu/中“數學的發現”欄目。圖無法轉貼，請查看原文。

勾股定理的證明(因為圖形不能顯示,請詳見www.tmdps.cn的留言).據不完全統計，勾股定理的證明方法已經多達400多種了。下面我便向大家介紹幾種十分著名的證明方法。

【證法1】（趙爽證明）

以a、b 為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，∴ ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于.∴

∴.【證法2】（課本的證明）

做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即，整理得.【證法3】（1876年美國總統Garfield證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o，∴ AD‖BC.∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等于

∴.∴.【趣聞】：在1876年一個周末的傍晚，在美國華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統。”證法。

【證法4】（歐幾里得證明）

做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴ 矩形ADLM的面積 =.同理可證，矩形MLEB的面積 =.∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積

∴，即.【證法5】（利用相似三角形性質證明）

如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC，∴ ΔADC ∽ ΔACB.∴AD∶AC = AC ∶AB，即.同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有.∴，即 【證法6】（鄒元治證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于.∴.∴.【證法7】（利用切割線定理證明）

在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a.因為∠BCA = 90o，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線.由切割線定理，得

= = =，即，∴.【證法8】（作直角三角形的內切圓證明）

在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c.作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r.∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴

= = r + r = 2r,即，∴.∴，即，∵，∴，又∵ = = = =，∴，∴，∴，∴.參考資料：根據網絡搜索 1 | 評論

***13b12c736166696esafin1stsafin1st00根據網絡搜索0426199***4 2007-7-13 10:27 宇宙大爆炸2號 魅力無比的定理證明

——勾股定理的證明

| 二級 勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。

在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。

首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源于中國和希臘。

1．中國方法

畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。

左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。于是

a2+b2=c2。

這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

2．希臘方法

直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。

容易看出，△ABA’ ≌△AA’’ C。

過C向A’’B’’引垂線，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’與正方形ACDA’同底等高,前者面積為后者面積的一半，△AA’’C與矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面積也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面積等于矩形AA’’C’’C’的面積。同理可得正方形BB’EC的面積等于矩形B’’BC’C’’的面積。

于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即 a2+b2=c2。

至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。

這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：

⑴ 全等形的面積相等； ⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。

這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。

我國歷代數學家關于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。采用的是割補法：

如圖，將圖中的四個直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然后經過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦也”。

趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。

西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。

下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。

如圖，S梯形ABCD=(a+b)2 =(a2+2ab+b2)，①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 =(2ab+c2)。②

比較以上二式，便得

a2+b2=c2。

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的這一證明。5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統。后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統”證法，這在數學史上被傳為佳話。

在學習了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA，①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。②

我們發現，把①、②兩式相加可得

BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有 BC2+AC2=AB2，這就是

a2+b2=c2。

這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。

在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：

設△ABC中，∠C=90°，由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC，因為∠C=90°，所以cosC=0。所以

a2+b2=c2。

這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。

人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。

從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和。

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。

第二篇：如何證明勾股定理

如何證明勾股定理

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統都愿意探討和研究它的證明．下面結合幾種圖形來進行證明。

一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）

左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。

在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法（圖2）

第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的直

角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形“小洞”。

因為邊長為的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國第20任總統茄菲爾德的證法（圖3）

這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。

第三篇：勾股定理 專題證明

勾股定理 專題證明

1.我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊。

(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：----------，----------；

(2)如圖1，已知格點(小正方形的頂點)O（0,0），A（3,0）,B(0,4)請你畫出以格點為頂

點，OA,OB為勾股邊且對角線相等的兩個勾股四邊形OAMB ；

(3)如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到 △DBE，連結AD,DC,∠DCB=

30°。寫出線段DC,AC,BC的數量關系為----------------；

2.（1）如圖1，已知∠AOB，OA＝OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF 是平行四邊形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）如圖2，10×10的正方形網格中，點A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），①依次連結A、B、C、D四點得到四邊形ABCD，四邊形ABCD的形狀是------------；

②在x軸上找一點P，使得△PCD的周長最短（直接畫出圖形，不要求寫作法）；

此時，點P的坐標為------------，最短周長為------------------；

3.如圖正方形ABCD ,E 為AD邊上一點，F為CD邊上一點，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF與CF的數量關系；

4.如圖1 等腰直角 △ABC，將 等腰直角△DMN如圖 放置，△DMN的斜邊MN與△ABC的一直角邊AC重合.⑴ 在圖1中，繞點 D旋轉△DMN，使兩直角邊DM、DN分別與 交于點E，F如圖2，求證：AE2+BF2=EF2 ；

⑵ 在圖1 中，繞點 C旋轉△DMN，使它的斜邊CM、直角邊 CD的延長線分別與 AB交于點E，F，如圖3，此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.⑶ 如圖4，在正方形 ABCD中，E、F 分別是邊BC、CD 上的點且滿足△CEF 的周長等于正方形ABCD 的周長的一半，AE、AF 分別與對角線 BD交于點M、N.線段BM、MN、DN 恰能構成三角形.請指出線段BM、MN、DN 所構成的三角形的形狀，并給出證明；

5.將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉（如圖①②③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點，⑴如圖①三角板一直角邊與OD重合，則線段BN、CD、CN間的數量關系為-----------------------；

⑵如圖②三角板一直角邊與OC重合，則線段BN、CD、CN間的數量關系為-----------------------；

⑶如圖③，探究線段BN、CN、CM、DM間的數量關系，寫出你的結論，加以說明；

④若將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，探究線段BN、CN、CM、DM間的數量關系，寫出你的結論，加以說明；

6.如圖，四邊形ABCD, AD∥BC，AD≠BC，∠B=90°，AD=AB ,點E是AB邊上一動點(點E不與點A、B重合)，連結ED，過ED的中點F作ED的垂線，交AD于點G,交BC于點K,過點K作KM⊥AD于M．若AB=k AE , 探究DM與DG 的數量關系；（用含 的式子表示）．

第四篇：勾股定理證明

勾股定理證明

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此，勾股定理在中國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

以下即為一種證明方法：

如圖，這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜邊長的平方等于兩直角邊的平方和

初二十四班秦煜暄

第五篇：證明勾股定理

勾股定理的應用

一、引言

七年級上冊的數學有講到如何精確地畫出根號2。老師說，要畫一個2×2的，邊長都為1的方格。然后在里面再做出一個菱形（表示方格面積的一半）。這個菱形的邊長就是根號2。當時有人就埋怨方法的麻煩了，老師就回答用勾股定理會簡便許多。還有印度數學家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”： “平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”用勾股定理就可以很簡便的解出。就勾股定理，我查閱了一些資料，弄清楚了它的意義以及它的2種證明方法。

二、提出問題

1、什么是勾股定理？

2、怎么證明勾股定理？

三、問題求解（1）中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

勾股定理用文字表述：在任何一個的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方（也可以理解成兩個長邊的平方相減與最短邊的平方相等）。勾股定理示意圖

用數學式表達：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么

（2）針對它的證明方法，我查閱了一些相關的資料，通過我自己的整理和理解，得出了2種證明方法。

方法一：（課本的證明）

做8個全部相同的直角三角形，設它們的直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，再做3個邊長分別為a，b，c的正方形，把它們拼成兩個大正方形，如下圖所示：

由上圖可知，兩個大正方形的邊長都是a加b，所以面積是相等的。用方程表

1示它們的面積關系，得：（a+b）2=c2+4× ab

2（a+b）(a+b)=c2+2ab

a(a+b)+b(a+b)=c2+2ab

a2+ab+ab+b2=c2+2ab

a2+b2+2ab=c2+2ab

a2+b2=c2

方法二：（利用相似三角形性質證明）

在直角三角形ABC中，設直角邊AC和BC的長度分別為a和b，斜邊AB的長度為c。過點C做AB的垂線CD，垂足是D。如圖所示：

在直角三角形ABC與直角三角形ACD中，因為角ADC=角ACB=90度

角CAD=角BAC，所以它們互為相似的直角三角形。

因為它們互為相似的直角三角形，所以它們在各個線

段上的三角形邊長的比值都是相同的。即ADAC =ACAB

對角相乘得AC2=AD·AB，同理可證，右邊的直角三角形BCD與直角三角形ABC也是互為相似的直角三角形的。從而有了BCAB =BDBC

對角相乘得 BC2=BD·AB，因為（AC2=AD·AB）=（BC2=BD·AB）

所以AC2+BC2= AD·AB+BD·AB

AC2+BC2=(AD+BD)·AB

AC2+BC2=AB·AB

AC2+BC2=AB2

即a2+b2=c2.四、總結與感想 隨著數學水平的提高，很多數學的定理和公式都被人們一一推敲了出來，勾股定理就是其中的一個重大的發現。勾股定理是人們認識宇宙中形規律的自然起點，無論在東方還是西方文明起源過程中，都有著很多動人的故事。勾股定理在幾何學中的實際應用非常廣泛，比如用它就可以很方便地把引言中的問題解決掉。答案是3.75尺。從勾股定理出發開平方、開立方、求圓周率等，運用勾股定理數學家還發現了無理數，就如引言中的畫根號2一樣。

我想說的是，雖然勾股定理看似簡單，只是一句話，但是它的意義以及作用是無窮大的。認識和掌握勾股定理對初一的無理數有著一定的幫助。我作為一個初一的學生，能力畢竟有限，只能把勾股定理推敲到這里。以后我一定會再接再厲，玩轉勾股定理！

2013.11