第一篇：第六講勾股定理及其證明

八年級數學（下）講義

第六講勾股定理及其證明

勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，那么

a2+b2= c

2如圖，若a、b為直邊，c為斜邊，則有a2+b2= c

2簡述為：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和。

勾股定理的證明：（附后）

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2= c2，那么這個三角形是直角三角形。簡述為：一邊的平方等于另兩邊的平方之和的三角形是直角三角形。

注意兩個定理條件和結論的互換關系。

勾股定理的證明

【證法1】（課本的證明）

做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即

11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22，整理得a2?b2?c2.【證法2】（趙爽證明）

以a、b 為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角

1三角形的面積等于2ab.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.∵ RtΔDAH ≌

RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，∴ ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.2??b?a∴ EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于.124?ab??b?a??c

22∴.222∴ a?b?c.趙爽，又名嬰，字君卿，中國數學家。東漢末至三國時代吳國人。他是我國歷史上著名的數學家與天文學家。生平不

詳，約生活于公元3世紀初。他的主要貢獻是約在222年深入研究了《周髀》，該書是我國最古老的天文學著作，唐初改名為《周髀算經》。它詳細解釋了《周髀算經》中勾股定理，將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實。開方除之，即弦。”。又給出了新的證明：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實?！?。“又”“亦”二字表示趙爽認為勾股定理還可以用另一種方法證明

【證法3】（1876年美國總統Garfield證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于2ab.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于

1又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等于2(a+b)2.?a?b?2?2?1ab?1c2

22.∴ 2

∴ a?b?c.【證法4】（辛卜松證明）

D

設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃

??a?b分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為

?a2?b2?2ab；把正方形ABCD劃分成上

方右圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為

?a?b?2?4?1ab?c

2=2ab?c.∴a?b?2ab?2ab?c,∴a?

b?c.222222

勾股定理基礎練習

一 選擇（24）一個等腰直角三角形的斜邊長為2，則其面積為（）A

2B

C 1D22 2若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長為（）A 14B 14、4C8D 4、8

／／

3如圖7,已知矩形ABCD沿著直線BD折疊,使點C落在C處,BC交AD于E,AD=8,AB=4,則DE的長為（）

A、3；B、4；C、5；D、6。

4如圖

6、是我校的長方形水泥操場，如果一學生要從A角走到C角，至少要走（）

A、140米B、100米C、120米D、90米

5如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2。則對角線AC的長為（）A21B

21221．C．D．3 3

36在直角三角形中，斜邊與較小直角邊的和、差分別為8、2，則較長直角邊長為（）

（A）5(B)4(C)3(D)

2a

7如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a>b），余下的部分拼成一個矩形（如圖2），通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個

b等式。則這個等式是（）

a

→

b

圖2圖1（A）a2-b2=(a-b)(a+b)(B)(a+b)2=a2+2ab+b2

(C)(a-b)2=a2-2ab+b2(D)(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2

8把直角三角形的兩直角邊同時擴大為原來的兩倍, 則斜邊擴大為原來的_____ A．２倍Ｂ３倍Ｃ．４倍Ｄ．６倍

9放學以后小林和小明從學校出發, 分別沿東南方向和西南方向回家, 他們的行走速度都是40m/min, 小林用了15分鐘到家, 小明用了20分鐘到家, 則他們兩家的距離為_____

A．600mＢ．800mＣ．1000mＤ．以上都不對 10已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4A．5B．25C．D．5或已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（）

2222

A.24cmB.36cmC.48cmD.60cm

12一架25分米長的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯足距離墻底端7分米.如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯足將滑動()

A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米

二填空（36）

1小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為30cm、40cm、50cm的木箱中，他能放進去嗎？答：_______________（填“能”、或“不能”）2直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個正方形的面積為7cm2，8cm2，則以斜邊為邊長的正方形的面積為_________cm2．

3把一根長為10㎝的鐵絲彎成一個直角三角形的兩條直角邊，如果要使三角形的面積是9㎝2，那么還要準備一根長為____的鐵絲才能把三角形做好． 4 在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC中點，E是AB邊上的一動點，則EC+ED的最小值是

5如圖1，正方形A的面積是144，正方形B的面積是169，則正方形C的邊長是。

6、如圖2，一個梯子AB長為10米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C間的距離為6米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得DB的長為2米，則梯子頂端A下落了米。

7、如圖3，將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度是為hcm，則h的取值范圍是。

8、如圖4，要將樓梯鋪上地毯，則需要米的地毯。

A

9在直角ΔABC中，斜邊長為2，周長為2+6，則ΔABC的面積為10 △ABC中，CE是AB邊上的中線，CD⊥AB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,則DE的長為_______.B

11如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是

12在△ABC中，∠C＝90°，（1）已知 a＝2.4，b＝3.2，則c＝；（2）已知c＝17，b＝15，則△ABC面積等于；（3）已知∠A＝45°，c＝18，則a＝.三 解下列各題（40）已知：如圖，⊿ABC中，∠ACB =90?，AB = 5cm，BC = 3 cm，CD⊥AB于D，求CD的長及三角形的面積；（4分）一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高.（4分）

3如圖四邊形ABCD是實驗中學的一塊空地的平面圖，其中∠B=90°，AC⊥CD，AB=3m，BC=4m，AD=13m現計劃在空地上植上草地綠化環境，若每平方米的草皮需150元；問需投入資金多少元？（5）B

4．如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內是受臺風影響的區域。（5）北

（1）A城是否受到這次臺風的影響？為什么？

E（2）若A城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？

P

B東如圖，△ABC中，AB=13，BC=14，CA=15，求BC邊上的高AD。（5）有一只小鳥在一棵高4m的小樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高20m的一棵大樹的樹梢上發出友好的叫

聲，它立刻以4m/s的速度飛向大樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達大樹和伙伴在一起？（5）已知長方體的長為2cm、寬為1cm、高為4cm，一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B點,那么沿哪條路最近,最短的路程是多少?（5）（2009年四川省數學競賽題）如圖，點A坐標為（0，2），在一次函數y=-2x 的圖像上是否存在一點P，使P與OA構成等腰三角形，若存在求出所有滿足條件的點P的坐標，不存在說明理由。（7）

第二篇：勾股定理證明

勾股定理的歷史及證明

勾股定理是“人類最偉大的十個科學發現之一”，是初等幾何中的一個基本定理。

那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？我可以告訴大家，有：畢達哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。

勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先發現的。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。著名的希臘數學家歐幾里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個很好的證明。（下圖為歐幾里得和他的證明圖）

中國古代對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數學著作——《周髀算經》，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：

周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？”

商高回答說：“ 數的產生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形?矩'得到的一條直角邊?勾'等于3，另一條直角邊?股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵?！?/p>

如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例。所以現在數學界把它稱為“勾股定理”是非常恰當的。

在稍后一點的《九章算術》一書中（約在公元50至100年間），勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦”。

中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明（右圖）。中國古代數學家

們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。

【證法】（辛卜松證明）

D

D

圖一圖二

設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成圖一所示的幾個部分，則正方形ABCD

2??a?b?a2?b2?2ab； 的面積為

把正方形ABCD劃分成 圖二所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為 =2ab?c2.∴a2?b2?2ab?2ab?c2,∴a2?b2?c2.?a?b?2?4?1ab?c22

第三篇：證明勾股定理

勾股定理的應用

一、引言

七年級上冊的數學有講到如何精確地畫出根號2。老師說，要畫一個2×2的，邊長都為1的方格。然后在里面再做出一個菱形（表示方格面積的一半）。這個菱形的邊長就是根號2。當時有人就埋怨方法的麻煩了，老師就回答用勾股定理會簡便許多。還有印度數學家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”： “平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”用勾股定理就可以很簡便的解出。就勾股定理，我查閱了一些資料，弄清楚了它的意義以及它的2種證明方法。

二、提出問題

1、什么是勾股定理？

2、怎么證明勾股定理？

三、問題求解（1）中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

勾股定理用文字表述：在任何一個的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方（也可以理解成兩個長邊的平方相減與最短邊的平方相等）。勾股定理示意圖

用數學式表達：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么

（2）針對它的證明方法，我查閱了一些相關的資料，通過我自己的整理和理解，得出了2種證明方法。

方法一：（課本的證明）

做8個全部相同的直角三角形，設它們的直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，再做3個邊長分別為a，b，c的正方形，把它們拼成兩個大正方形，如下圖所示：

由上圖可知，兩個大正方形的邊長都是a加b，所以面積是相等的。用方程表

1示它們的面積關系，得：（a+b）2=c2+4× ab

2（a+b）(a+b)=c2+2ab

a(a+b)+b(a+b)=c2+2ab

a2+ab+ab+b2=c2+2ab

a2+b2+2ab=c2+2ab

a2+b2=c2

方法二：（利用相似三角形性質證明）

在直角三角形ABC中，設直角邊AC和BC的長度分別為a和b，斜邊AB的長度為c。過點C做AB的垂線CD，垂足是D。如圖所示：

在直角三角形ABC與直角三角形ACD中，因為角ADC=角ACB=90度

角CAD=角BAC，所以它們互為相似的直角三角形。

因為它們互為相似的直角三角形，所以它們在各個線

段上的三角形邊長的比值都是相同的。即ADAC =ACAB

對角相乘得AC2=AD·AB，同理可證，右邊的直角三角形BCD與直角三角形ABC也是互為相似的直角三角形的。從而有了BCAB =BDBC

對角相乘得 BC2=BD·AB，因為（AC2=AD·AB）=（BC2=BD·AB）

所以AC2+BC2= AD·AB+BD·AB

AC2+BC2=(AD+BD)·AB

AC2+BC2=AB·AB

AC2+BC2=AB2

即a2+b2=c2.四、總結與感想 隨著數學水平的提高，很多數學的定理和公式都被人們一一推敲了出來，勾股定理就是其中的一個重大的發現。勾股定理是人們認識宇宙中形規律的自然起點，無論在東方還是西方文明起源過程中，都有著很多動人的故事。勾股定理在幾何學中的實際應用非常廣泛，比如用它就可以很方便地把引言中的問題解決掉。答案是3.75尺。從勾股定理出發開平方、開立方、求圓周率等，運用勾股定理數學家還發現了無理數，就如引言中的畫根號2一樣。

我想說的是，雖然勾股定理看似簡單，只是一句話，但是它的意義以及作用是無窮大的。認識和掌握勾股定理對初一的無理數有著一定的幫助。我作為一個初一的學生，能力畢竟有限，只能把勾股定理推敲到這里。以后我一定會再接再厲，玩轉勾股定理！

2013.11

第四篇：勾股定理證明

勾股定理證明

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此，勾股定理在中國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

以下即為一種證明方法：

如圖，這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜邊長的平方等于兩直角邊的平方和

初二十四班秦煜暄

第五篇：勾股定理證明方法

勾股定理證明方法

勾股定理的種證明方法(部分)

【證法1】(梅文鼎證明)

做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點p.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o―90o=90o.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個邊長為c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o.即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o，∠BCp=90o，BC=BD=a.∴BDpC是一個邊長為a的正方形.同理，HpFG是一個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S，則,∴.【證法2】(項明達證明)

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作Qp‖BC，交AC于點p.過點B作BM⊥pQ，垂足為M;再過點

F作FN⊥pQ，垂足為N.∵∠BCA=90o，Qp‖BC，∴∠MpC=90o，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90o，∴BCpM是一個矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.【證法3】(趙浩杰證明)

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90o，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90o,∴∠ABG+∠CBJ=90o,∵∠ABC=90o,∴G,B,I,J在同一直線上，【證法4】(歐幾里得證明)

做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結

BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積

=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積

∴，即.勾股定理的別名

勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

我國是發現和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理.為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”.前任美國第二十屆總統加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。

證明

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數的泰勒級數)來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環論證)。