第一篇：勾股定理證明

勾股定理證明

中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：

周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢?”

商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。”

從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦(c)來表示斜邊，則可得：

勾2+股2=弦

2亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。其實，我國古代得到人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例(32+42=52)。所以現在數學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當的。

在稍后一點的《九章算術一書》中，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說;“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為：

弦=(勾2+股2)(1/2)

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)

中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為(b-a)2。于是便可得如下的式子：

4×(ab/2)+(b-a)2=c2

化簡后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)

趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數學家大多繼承了這一風格并且代有發展。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。

中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。事實上，“形數統一”的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：“在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發展著的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓后的重現與繼續。”。

第二篇：如何證明勾股定理

如何證明勾股定理

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統都愿意探討和研究它的證明．下面結合幾種圖形來進行證明。

一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）

左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。

在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法（圖2）

第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的直

角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形“小洞”。

因為邊長為的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國第20任總統茄菲爾德的證法（圖3）

這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。

第三篇：勾股定理 專題證明

勾股定理 專題證明

1.我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊。

(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：----------，----------；

(2)如圖1，已知格點(小正方形的頂點)O（0,0），A（3,0）,B(0,4)請你畫出以格點為頂

點，OA,OB為勾股邊且對角線相等的兩個勾股四邊形OAMB ；

(3)如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到 △DBE，連結AD,DC,∠DCB=

30°。寫出線段DC,AC,BC的數量關系為----------------；

2.（1）如圖1，已知∠AOB，OA＝OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF 是平行四邊形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）如圖2，10×10的正方形網格中，點A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），①依次連結A、B、C、D四點得到四邊形ABCD，四邊形ABCD的形狀是------------；

②在x軸上找一點P，使得△PCD的周長最短（直接畫出圖形，不要求寫作法）；

此時，點P的坐標為------------，最短周長為------------------；

3.如圖正方形ABCD ,E 為AD邊上一點，F為CD邊上一點，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF與CF的數量關系；

4.如圖1 等腰直角 △ABC，將 等腰直角△DMN如圖 放置，△DMN的斜邊MN與△ABC的一直角邊AC重合.⑴ 在圖1中，繞點 D旋轉△DMN，使兩直角邊DM、DN分別與 交于點E，F如圖2，求證：AE2+BF2=EF2 ；

⑵ 在圖1 中，繞點 C旋轉△DMN，使它的斜邊CM、直角邊 CD的延長線分別與 AB交于點E，F，如圖3，此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.⑶ 如圖4，在正方形 ABCD中，E、F 分別是邊BC、CD 上的點且滿足△CEF 的周長等于正方形ABCD 的周長的一半，AE、AF 分別與對角線 BD交于點M、N.線段BM、MN、DN 恰能構成三角形.請指出線段BM、MN、DN 所構成的三角形的形狀，并給出證明；

5.將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉（如圖①②③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點，⑴如圖①三角板一直角邊與OD重合，則線段BN、CD、CN間的數量關系為-----------------------；

⑵如圖②三角板一直角邊與OC重合，則線段BN、CD、CN間的數量關系為-----------------------；

⑶如圖③，探究線段BN、CN、CM、DM間的數量關系，寫出你的結論，加以說明；

④若將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，探究線段BN、CN、CM、DM間的數量關系，寫出你的結論，加以說明；

6.如圖，四邊形ABCD, AD∥BC，AD≠BC，∠B=90°，AD=AB ,點E是AB邊上一動點(點E不與點A、B重合)，連結ED，過ED的中點F作ED的垂線，交AD于點G,交BC于點K,過點K作KM⊥AD于M．若AB=k AE , 探究DM與DG 的數量關系；（用含 的式子表示）．

第四篇：勾股定理證明

勾股定理證明

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此，勾股定理在中國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

以下即為一種證明方法：

如圖，這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜邊長的平方等于兩直角邊的平方和

初二十四班秦煜暄

第五篇：證明勾股定理

勾股定理的應用

一、引言

七年級上冊的數學有講到如何精確地畫出根號2。老師說，要畫一個2×2的，邊長都為1的方格。然后在里面再做出一個菱形（表示方格面積的一半）。這個菱形的邊長就是根號2。當時有人就埋怨方法的麻煩了，老師就回答用勾股定理會簡便許多。還有印度數學家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”： “平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”用勾股定理就可以很簡便的解出。就勾股定理，我查閱了一些資料，弄清楚了它的意義以及它的2種證明方法。

二、提出問題

1、什么是勾股定理？

2、怎么證明勾股定理？

三、問題求解（1）中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

勾股定理用文字表述：在任何一個的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方（也可以理解成兩個長邊的平方相減與最短邊的平方相等）。勾股定理示意圖

用數學式表達：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么

（2）針對它的證明方法，我查閱了一些相關的資料，通過我自己的整理和理解，得出了2種證明方法。

方法一：（課本的證明）

做8個全部相同的直角三角形，設它們的直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，再做3個邊長分別為a，b，c的正方形，把它們拼成兩個大正方形，如下圖所示：

由上圖可知，兩個大正方形的邊長都是a加b，所以面積是相等的。用方程表

1示它們的面積關系，得：（a+b）2=c2+4× ab

2（a+b）(a+b)=c2+2ab

a(a+b)+b(a+b)=c2+2ab

a2+ab+ab+b2=c2+2ab

a2+b2+2ab=c2+2ab

a2+b2=c2

方法二：（利用相似三角形性質證明）

在直角三角形ABC中，設直角邊AC和BC的長度分別為a和b，斜邊AB的長度為c。過點C做AB的垂線CD，垂足是D。如圖所示：

在直角三角形ABC與直角三角形ACD中，因為角ADC=角ACB=90度

角CAD=角BAC，所以它們互為相似的直角三角形。

因為它們互為相似的直角三角形，所以它們在各個線

段上的三角形邊長的比值都是相同的。即ADAC =ACAB

對角相乘得AC2=AD·AB，同理可證，右邊的直角三角形BCD與直角三角形ABC也是互為相似的直角三角形的。從而有了BCAB =BDBC

對角相乘得 BC2=BD·AB，因為（AC2=AD·AB）=（BC2=BD·AB）

所以AC2+BC2= AD·AB+BD·AB

AC2+BC2=(AD+BD)·AB

AC2+BC2=AB·AB

AC2+BC2=AB2

即a2+b2=c2.四、總結與感想 隨著數學水平的提高，很多數學的定理和公式都被人們一一推敲了出來，勾股定理就是其中的一個重大的發現。勾股定理是人們認識宇宙中形規律的自然起點，無論在東方還是西方文明起源過程中，都有著很多動人的故事。勾股定理在幾何學中的實際應用非常廣泛，比如用它就可以很方便地把引言中的問題解決掉。答案是3.75尺。從勾股定理出發開平方、開立方、求圓周率等，運用勾股定理數學家還發現了無理數，就如引言中的畫根號2一樣。

我想說的是，雖然勾股定理看似簡單，只是一句話，但是它的意義以及作用是無窮大的。認識和掌握勾股定理對初一的無理數有著一定的幫助。我作為一個初一的學生，能力畢竟有限，只能把勾股定理推敲到這里。以后我一定會再接再厲，玩轉勾股定理！

2013.11