第一篇：勾股定理的證明及應用

勾股定理的證明及應用

【重點】：

學習勾股定理的文化背景，欣賞歷史上經典的勾股定理證明方法，體會其蘊含的創(chuàng)新思維，初步運用勾股定理分析處理具體問題

【難點】：

通過圖示欣賞，還原推測圖示所含的證明方法

【勾股文化學習】

勾股定理是歐式平面幾何的一個核心結果，是三角學的出發(fā)點，與“黃金分割”一起被開普勒稱為“幾何學兩個寶藏”。它在‘RT△的三條邊之間建立了固定關系’，使人們對原來幾何學的感性認識精確化，其中體現出來的“數形統(tǒng)一”的思想方法，啟發(fā)了人類對數學的深入思考，促成了解析幾何與三角學的建立，使數學的兩大門類代數和幾何結合起來，許多大科學家都認為勾股定理以及處理數據的數學方法深深地影響了現在許多學科的思考模式。

千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家、畫家，也有業(yè)余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因為勾股定理既重要又簡單又實用，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。

在西方國家，一般稱勾股定理為畢達哥拉斯（前500）定理，因為人們相信是畢達哥拉斯最早提出并證明了這一定理。并且據說，他在發(fā)現這一結論時，欣喜若狂，殺牛百只以供奉神靈。因而這一定理又有了“百牛定理“的稱法。在法國和比利時這個定理被稱為“驢橋定理”。在中世紀的阿拉伯國家和印度，這一定理還有一個綽號，叫“新娘圖”。至于綽號由來，現代人眾說紛紜，莫衷一是。

在我國以前也稱這一定理為畢達哥拉斯定理。五十年代初，曾展開過關于這一定理命名的討論。有人主張叫“商高定理”。因這一結論的在我國最早是由西周初的商高提出的。在數學著作《周髀算經》(前1世紀)一書中，記載有商高(前1120)與周公的對話，其中商高提出了“勾三股四弦五”的說法。不過據推斷，他還只是了解三邊滿足3：4：5關系的特例情況，普遍性的結論，由陳子(前716)提出。他說：“??勾股各自乘，并而開方除之??”這是普遍勾股定理在我國的最早記載。故有人主張應稱為“陳子定理”。后來決定不用人名，而稱為“勾股定理”。單就名稱之多，勾股定理就可創(chuàng)下一項平面幾何之最了。

今天有人戲稱，勾股定理為‘宇宙大定理’，因為現在看來，世界上各民族都在差不多接近的時間內獨立地發(fā)現了勾股定理及其逆定理。目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。據說我國著名數學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種“語言”的。

勾股定理在每一個時代都會被當代的精英們給出新的內涵外延，從柏拉圖尋求不定方程通解到費馬大定理，到今天的分形勾股樹(如右上兩圖)，每每讀到這些智慧的創(chuàng)造都會讓人神往。

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【勾股定理的證明】

觀察下列圖形，推測勾股定理的證明方法

1、下圖是《幾何原本》（公元前4世紀前后）中提供的一種證明方法，過A作AH⊥BC于H延長交FK于G．

可證明：

證明思路很多，較簡捷的是過F作FP⊥AB于P

易證△FPB≌△CBA進而可知

而

2、下圖最早是由我國三國時期數學家趙爽（東漢末至三國東吳人）提出的一種證法．

該圖叫弦圖，由圖示可知

．

3、下圖最早是由我國三國時魏國的數學家劉徽（公元三世紀）為注釋《九章算術》時提出的一種證法“青朱入出圖”，由圖示．

邊長為a、b的兩個正方形，如圖示裁割．

M補入 處，N補入處，Q補入

處

4、下圖最早是由古代印度數學家婆什迦羅提出的一種證法．

圖示的裁割線索很清晰，你試試給出解釋．

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【勾股定理的應用】

1、已知在△ABC中，a，b，c分別是∠A、∠B，∠C的對邊，且a=3，b=4，且b

錯解：由勾股定理可得

分析：上面的解法受“勾

三、股

四、弦五”的影響，沒有認真審題，錯在沒有注意到題目中的三角形是否為直角三角形。

正解：，又，∴，即4

評述：運用勾股定理解決問題時，必須是在直角三角形的條件下，不可不加分析就用勾股定理來進行計算。

2、已知：三角形兩邊的長分別是5和12，如果這個三角形是直角三角形，則其第三邊長為_____，∴ x=13

錯解：設第三邊長為x，則由勾股定理可得：

分析：由于此題中己知直角三角形的兩邊長，但沒有明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，故需要分情況討論

正解：當x為斜邊時，x=13；當x為直角邊時，故第三邊長為13或。

評述：在運用勾股定理進行計算時，一定明確哪條是直角邊，哪條是斜邊，以防止運用不當。

3、利用勾股定理求線段長的簡單應用

(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=7，b=24，則c=________；②若a=5，c=13，則b=________；

③若b=15，c=25，則a=________

(2)等腰直角三角形的斜邊長為，則此直角三角形的腰長為________________

(3)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，則斜邊AB=________________，斜邊AB上的高線長

為________________。(與面積的結合)

(4)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9，c-a=4，則b=________。

(5)如果一個直角三角形有一條直角邊長為11，另兩條邊長為自然數，則這個直角三角形的周長是___

解析：（1）①

（2）2 ②

③

（3）AB=10，（4）

（5）設斜邊長為c，另一直角邊為a，則

∵ c、a為自然數

∴

∴ 周長為132

4、勾股定理在幾何中的應用。

己知：△ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點，且AD⊥AC，求BD的長。

解：過A作AE⊥BC于E。

∵ AB=AC，∴

在Rt△ABE中，AB=20，BE=16，∴

∴ AE=12

故在Rt△ADE中，設DE=x，則

∵ AD⊥AC于A，∴

解得，即，∴ BD=BE-DE=16-9=7

評述：勾股定理是解決直線形中線段計算問題的常用方法，題目中含有直角三角形別忘記使用，題目中沒有給出直角三角形可以考慮作垂線構建直角三角形。

5、利用勾股定理解決實際問題

(1)平面上有A、B兩點處有甲、乙兩只螞蟻，它們都發(fā)現C處有食物，已知點C在A的東南方向，在B的西南方向。甲、乙兩只螞蟻同時從A、B兩地出發(fā)爬向C處，速度都是30cm／min。結果甲螞蟻用了2 min，乙螞蟻2分40秒到達C處分享食物，試問兩只螞蟻原來所處地點相距多遠?

解析：首先結合題設畫出圖形，C在A東南，則A在C西北；C在B西南，則B在C東北

∴ 可知∠ACB=90°，依題設AC=60cm，BC=80cm

∴ AB=100cm

(2)如圖A、B為兩個村莊，AB、BC、CD為公路，BD為田地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直?，F要從點E處開設通往村莊A、村莊B的一條電纜，現在共有兩種鋪設方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A。經測量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°。已知：地下電纜的修建費為2萬元／千米，水下電纜的修建費為4萬元／千米。

求：1)河寬AD(結果保留根號)；

2)公路CD的長：

3)哪種方案鋪設電纜的費用低?請說明理由。

解析：過B作BF⊥AD交DA延長線于F

在Rt△ABF中可知∠BAF=60°，AB

∴ BF=6，在Rt△BFD中，知∠BDF=45°

∴ DF=BF=6

∴

過B作BG⊥CD于G，則BG=6，BC=10，有CG=8

∴ DC=CG+DG=14

設CE=x，則方案一、二費用分別為

由

∴ 當

當0＜CE＜

當CE=

6、畫出長為的線段，可作圖 可解得，＜CE＜14時，方案一較省

時，方案二較省 時，方案一、二均可．

解析：考慮到

線段AB為所求

考慮到，可作圖

線段CD為所求

第二篇：如何證明勾股定理

如何證明勾股定理

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明．下面結合幾種圖形來進行證明。

一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）

左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。

在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發(fā)現并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法（圖2）

第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的直

角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形“小洞”。

因為邊長為的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3）

這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。

第三篇：勾股定理 專題證明

勾股定理 專題證明

1.我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊。

(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：----------，----------；

(2)如圖1，已知格點(小正方形的頂點)O（0,0），A（3,0）,B(0,4)請你畫出以格點為頂

點，OA,OB為勾股邊且對角線相等的兩個勾股四邊形OAMB ；

(3)如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到 △DBE，連結AD,DC,∠DCB=

30°。寫出線段DC,AC,BC的數量關系為----------------；

2.（1）如圖1，已知∠AOB，OA＝OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF 是平行四邊形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）如圖2，10×10的正方形網格中，點A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），①依次連結A、B、C、D四點得到四邊形ABCD，四邊形ABCD的形狀是------------；

②在x軸上找一點P，使得△PCD的周長最短（直接畫出圖形，不要求寫作法）；

此時，點P的坐標為------------，最短周長為------------------；

3.如圖正方形ABCD ,E 為AD邊上一點，F為CD邊上一點，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF與CF的數量關系；

4.如圖1 等腰直角 △ABC，將 等腰直角△DMN如圖 放置，△DMN的斜邊MN與△ABC的一直角邊AC重合.⑴ 在圖1中，繞點 D旋轉△DMN，使兩直角邊DM、DN分別與 交于點E，F如圖2，求證：AE2+BF2=EF2 ；

⑵ 在圖1 中，繞點 C旋轉△DMN，使它的斜邊CM、直角邊 CD的延長線分別與 AB交于點E，F，如圖3，此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.⑶ 如圖4，在正方形 ABCD中，E、F 分別是邊BC、CD 上的點且滿足△CEF 的周長等于正方形ABCD 的周長的一半，AE、AF 分別與對角線 BD交于點M、N.線段BM、MN、DN 恰能構成三角形.請指出線段BM、MN、DN 所構成的三角形的形狀，并給出證明；

5.將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉（如圖①②③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點，⑴如圖①三角板一直角邊與OD重合，則線段BN、CD、CN間的數量關系為-----------------------；

⑵如圖②三角板一直角邊與OC重合，則線段BN、CD、CN間的數量關系為-----------------------；

⑶如圖③，探究線段BN、CN、CM、DM間的數量關系，寫出你的結論，加以說明；

④若將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，探究線段BN、CN、CM、DM間的數量關系，寫出你的結論，加以說明；

6.如圖，四邊形ABCD, AD∥BC，AD≠BC，∠B=90°，AD=AB ,點E是AB邊上一動點(點E不與點A、B重合)，連結ED，過ED的中點F作ED的垂線，交AD于點G,交BC于點K,過點K作KM⊥AD于M．若AB=k AE , 探究DM與DG 的數量關系；（用含 的式子表示）．

第四篇：勾股定理證明

勾股定理證明

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理中國是發(fā)現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此，勾股定理在中國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

以下即為一種證明方法：

如圖，這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜邊長的平方等于兩直角邊的平方和

初二十四班秦煜暄

第五篇：證明勾股定理

勾股定理的應用

一、引言

七年級上冊的數學有講到如何精確地畫出根號2。老師說，要畫一個2×2的，邊長都為1的方格。然后在里面再做出一個菱形（表示方格面積的一半）。這個菱形的邊長就是根號2。當時有人就埋怨方法的麻煩了，老師就回答用勾股定理會簡便許多。還有印度數學家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”： “平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”用勾股定理就可以很簡便的解出。就勾股定理，我查閱了一些資料，弄清楚了它的意義以及它的2種證明方法。

二、提出問題

1、什么是勾股定理？

2、怎么證明勾股定理？

三、問題求解（1）中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

勾股定理用文字表述：在任何一個的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方（也可以理解成兩個長邊的平方相減與最短邊的平方相等）。勾股定理示意圖

用數學式表達：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么

（2）針對它的證明方法，我查閱了一些相關的資料，通過我自己的整理和理解，得出了2種證明方法。

方法一：（課本的證明）

做8個全部相同的直角三角形，設它們的直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，再做3個邊長分別為a，b，c的正方形，把它們拼成兩個大正方形，如下圖所示：

由上圖可知，兩個大正方形的邊長都是a加b，所以面積是相等的。用方程表

1示它們的面積關系，得：（a+b）2=c2+4× ab

2（a+b）(a+b)=c2+2ab

a(a+b)+b(a+b)=c2+2ab

a2+ab+ab+b2=c2+2ab

a2+b2+2ab=c2+2ab

a2+b2=c2

方法二：（利用相似三角形性質證明）

在直角三角形ABC中，設直角邊AC和BC的長度分別為a和b，斜邊AB的長度為c。過點C做AB的垂線CD，垂足是D。如圖所示：

在直角三角形ABC與直角三角形ACD中，因為角ADC=角ACB=90度

角CAD=角BAC，所以它們互為相似的直角三角形。

因為它們互為相似的直角三角形，所以它們在各個線

段上的三角形邊長的比值都是相同的。即ADAC =ACAB

對角相乘得AC2=AD·AB，同理可證，右邊的直角三角形BCD與直角三角形ABC也是互為相似的直角三角形的。從而有了BCAB =BDBC

對角相乘得 BC2=BD·AB，因為（AC2=AD·AB）=（BC2=BD·AB）

所以AC2+BC2= AD·AB+BD·AB

AC2+BC2=(AD+BD)·AB

AC2+BC2=AB·AB

AC2+BC2=AB2

即a2+b2=c2.四、總結與感想 隨著數學水平的提高，很多數學的定理和公式都被人們一一推敲了出來，勾股定理就是其中的一個重大的發(fā)現。勾股定理是人們認識宇宙中形規(guī)律的自然起點，無論在東方還是西方文明起源過程中，都有著很多動人的故事。勾股定理在幾何學中的實際應用非常廣泛，比如用它就可以很方便地把引言中的問題解決掉。答案是3.75尺。從勾股定理出發(fā)開平方、開立方、求圓周率等，運用勾股定理數學家還發(fā)現了無理數，就如引言中的畫根號2一樣。

我想說的是，雖然勾股定理看似簡單，只是一句話，但是它的意義以及作用是無窮大的。認識和掌握勾股定理對初一的無理數有著一定的幫助。我作為一個初一的學生，能力畢竟有限，只能把勾股定理推敲到這里。以后我一定會再接再厲，玩轉勾股定理！

2013.11