第一篇：勾股定理應用教案（最終版）

18.1勾股定理（第二課時）

一、教學目標：

1、運用勾股定理進行簡單的計算.2、運用勾股定理解釋生活中的實際問題.3、通過從實際中抽象出直角三角形這一幾何模型，初步掌握轉化和數形結合的思想方法.4、通過研究一系列富有探究性的問題，培養學生于他人交流、合作的意識和品質.二、重點：勾股定理的運用.難點：勾股定理在實際生活中的應用.三、教學流程安排

活動一（導練————自主探究）

問題

（1）求出下列三角形中未知的邊.①在解決上述問題時，每個直角三角形需要知道幾個條件？

②直角三角形中那條邊最長？

（2）在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m，求AC長.活動二（導疑————自主發現）

問題

（1）在長方形ABCD中，AB、BC、AC的關系？（2）一個門框的尺寸如圖1所示.①若有一塊長3m，寬0.8m的薄木板，怎樣從門框通過？ ②若薄木板長3m，款1.5m呢？

③若薄木板長3m，款2.2m呢？為什么？

（3）如圖2，一個長3m的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5m.①梯子的底端B據墻角O多少米？

②如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m至C，請同學們： 猜一猜，底端也將滑動0.5m么？

算一算，底端滑動的距離近似值（結果保留兩位小數）.圖1

圖2 活動三（導練————自主創新）

（1）如圖2，一個長5m的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時梯子的底端距墻底的

距離為3m.梯子的頂端沿墻下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動1m么？用所學知識論證你的結論.（2）一棵樹原高18m，折斷后數的頂部落在離樹根底部6m處，這棵樹斷裂處離地面高為多少？

（3）如圖3，分別以Rt?ABC三邊為邊向外做三個正方形，其面積分別為S1,S2,S3,容易得出S1,S2,S3之間的關系為_______________.變式：教科書習題18.1第11題，如圖4.活動四

（1）小節

（2）作業：教科書習題18.1第2、3、4、5、12題.圖3

圖4

第二篇：14.2勾股定理的應用教案

14.2 勾股定理的應用

執筆人：

審核：八年級數學組 課型：新授 時間：

1、知識與方法目標：通過對一些典型題目的思考、練習，能正確、熟練的進行勾股定理有關計 算，深入對勾股定理的理解。

2、過程與方法目標：通過對一些題目的探討，以達到掌握知識的目的。

3、情感與態度目標：感受數學在生活中的應用，感受數學定理的美。

課前復習

1、勾股定理的內容是什么？

問：是這樣的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系。

今天我們來看看這個定理的應用。新課過程 分析：

大家分組合作探究：

解：在RtΔABC中，由題意有：

AC＝

＝

≈2.236

∵AC大于木板的寬

∴薄木板能從門框通過。學生進行練習：

1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.①已知a=5，b=12，求c； ②已知a=20，c=29，求b（請大家畫出圖來，注意不要簡單機械的套a+b＝c，要根據本質來看問題）

2、如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6厘米和8厘米，那么這個三角形的周長是多少

22厘米？

解：①當6cm和8cm分別為兩直角邊時；

斜邊＝

＝10

∴周長為：6+8+10＝24cm ②當6cm為一直角邊，8cm是斜邊時，另一直角邊＝

周長為：6+8+2

＝2＝14+2

解：由題意有：∠O＝90°，在RtΔABO中

∴AO＝

又∵下滑了0.4米

∴OC＝2.0米 在RtΔODC中 ∴OD＝∴外移BD＝0.8米 答：梯足將外移0.8米。例3 再來看一道古代名題：

這是一道成書于公元前一世紀，距今約兩千多年前的，《九章算術》中記錄的一道古代趣題：

=1.5（米）

＝2.4（米）

“現在有一個貯滿水的正方形池子，池子的中央長著一株蘆葦，水池的邊長為10尺，蘆葦露出水面1尺。若將蘆葦拉到岸邊，剛好能達到水池岸與水面的交接線的中點上。請求出水深與蘆葦的長各有多少尺？

解：由題意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。設EF＝x尺，則DF＝（x+1）尺 由勾股定理有： x2+52＝（x+1）2 解之得：x＝12 答：水深12尺，蘆葦長13尺。

例4 如圖，校園內有兩棵樹，相距12米，一棵樹高16米，另一棵樹高11米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛多少米？

解：由題意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。在RtΔABC中 AB＝＝13 答：小鳥至少要飛13米。

三、作業：完成書P77頁1，P78頁2、3

四、教學反思：

第三篇：勾股定理的應用

1、勾股定理的應用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用有：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系。求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題

2、如何判定一個三角形是直角三角形（1）先確定最大邊（如c）（2）驗證c與a+b則△ABC不是直角三角形。

3、勾股數 滿足c=a+b的三個正整數，稱為勾股數 如（1）3，4，5；（2）5，12，13；

（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 412、三角形的三邊長為abcba2)(22+=+,則這個三角形是()

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

3.已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）

（A）25（B）14（C）7（D）7或25

6.將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數, 得到的三角形是()（A）鈍角三角形

（B）銳角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如圖小方格都是邊長為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是()

（A）25（B）12.5（C）9（D）8.54、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱 形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取 值范圍是（）．

A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm3、如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2m，梯子的頂端B到地面的距離為7m，現將梯子的底端A向外移動到A′，使梯子的底端A′到墻根O的距離等于3m．同時梯子的頂端B下降 至B′，那么BB′（）．

A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m11、如圖，甲船以16海里/時的速度離開港口，向東南航行，乙船在同時同地向西南方向航行，已知他們離開港口一個半小時后 分別到達B、A兩點，且知AB＝30海里，問乙船每小時航行多少 海里

222222是否具有相等關系（3）若c2=a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形；若c2≠a2+b2

第四篇：勾股定理應用說課稿

聯校教研活動《勾股定理應用》說課稿

旦馬中學 沈俊山

一．教材內容分析：

本課時是人教版版八年級（下）§18《勾股定理》部分的“勾股定理”第二課時內容。本節課是應用結論解決應用問題，教材中通過2個例題安排學習內容。勾股定理作為數學學習的工具，掌握好本節課內容對其他知識內容的學習創造良好的條件。通過學生積極參與數學活動，培養學生敢于面對數學學習中的困難并有獨立克服困難和運用知識解決問題的能力，進一步體會數學的應用價值。

二．課例的設計思想：

教學中通過發現學生問題，用溫故知新的方式解決問題。尤其是在知識點上通過設置追問，落實每個同學對知識的盲點，彌補對知識點掌握的不足，對學生合情推理、邏輯論證進行全方位思維訓練。

課例的設計思路是：對于例1的教學通過情景創設將問題深入并解決。培養學生數形結合的思想。

例2是勾股定理及直角三角形判定定理的綜合應用，重點在于培養學生的演繹推理能力。教學中側重于學生的觀察、分析和說理。

練習題的設計再次訓練學生運用勾股定理解決實際問題的能力。

教學方法：教學中通過設置小組討論的辦法，讓學生通過交流合作解決老師提出的問題，落實本課的學習目標。

三、教學過程設計

1、教學目標： 知識與能力目標：（1）股定理進行相關計算（2）能運用勾股定理的數學模型解決現實世界中的實際問題

2、方法與情感目標：

通過從實際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，初步掌握轉化與數形結合的思想方法。培養學生合作、交流的意識和品質，讓學生感受探究的苦中之趣。

3、教學重點：運用勾股定理解決實際問題

4、教學難點： 際問題轉化建模與勾股定理的靈活運用

5、教學流程：先從上節課知識復習勾股定理的相關計算，再有笑話一則引入實際問題的解決，然后設置兩道探究題進行探究，最后設置習題進行練習，檢查上課效果。最后結本節課知識，再次回顧本節課目標，布置作業。四．課后反思：

成功之處：

1、完成教學目標，教學任務。

2、每一位同學都能積極參與探究問題，發揮了組長帶領組員學習的作用，教師只起到指導作用，基本上沿用我校“學生學、教師導、學生動”的模式。不足之處：

1、學生的積極性、激情程度不高，沒有很好發揮小組的團隊合作精神。

2、數字計算能力較差，在開根號時用時太多

3、學生準備不充分，計算機沒帶

總之，在上課的過程中有好多不足之處，希望各位領導和老師提出寶貴的意見和建議，一便在今后的教學中更加完善自己！

2012年4月13日

第五篇：勾股定理教案

勾股定理專題 第 1 講

一、《標準》要求

1．在研究圖形性質和運動等過程中，進一步發展空間觀念。2．在多種形式的數學活動中，發展合情推理能力。

3．經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性。4．探究勾股定理及其逆定理，并能運用他們解決一些簡單的實際問題。

二、教學目標：

（一）、知識與技能：

經歷勾股定理及其逆定理的探索過程，了解勾股定理的各種探究法方法及其內在聯系，體驗數形結合的思想，解和掌握勾股定理內容及簡單應用，進一步發展空間觀念和推理能力。

（二）、過程與方法：

1．掌握勾股定理及其逆定理的內容；

2．能夠運用勾股定理求解三角形中相關的邊長（只限于常用的數）；

3．通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題．

（三）、情感態度與價值觀

通過實例了解勾股定理的歷史與應用，體會勾股定理的文化價值。

三、教學重點

勾股定理及其逆定理在解決數學問題中的靈活應用

四、教學難點

勾股定理及其逆定理的證明

五、教學過程

一、引入新課

據傳兩千多年前的一天（公元前580-490年左右），古希臘著名的數學家畢達哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發起呆來，原來朋友家的地面是由許多直角三角形組成的圖案，黑白相間，美觀大方。主人看到畢達哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達哥拉斯突然恍然大悟地站了起來，大笑著跑回去了，原來，他發現了地磚上的三個正方形存在某種數學關系。

那么黑白相間的地磚上的正方形之間存在怎樣的關系呢？讓我們一起來探索！

勾股定理被稱為“幾何學的基石”，勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

別名：商高定理、畢達哥拉斯定理、百牛定理。1（1）、動手畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用

刻度尺量出AB的長。（2）、再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長

你能觀察出直角三角形的三邊關系嗎？看不出來的話我們先來看一下下面的活動。

4.如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個單位長度和2.4個單位長度，上面的猜想關系還成立嗎？

二、新知傳授

通過上面的活動，可以發現：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。因為我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此我國把上面的這個結論稱為勾股定理。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a,b,c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a?b?c。22

勾股定理的一些變式：

2a2?c2?b2，b2?c2?a2，c??a?b??2ab．

2勾股定理的證明

勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化進行證明的，體現了數形結合的思想．

方法一：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．

，所以．

(這個方法叫加菲爾德證法。加菲爾德在證出此結論5年后，成為美國第20任總統，所以人們又稱其為“總統證法”。)

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．

圖（1）中，所以

．

這是加菲爾德證法變式 如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個梯形拼在一起，就變為了此證明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即:

方法三：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．

圖（2）中，所以

．

(這個方法是以前一個叫趙爽的人對這個圖做出的描述，所以這個圖又叫趙爽弦圖，用現代的數學語言描述就是大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個三角形的面積。)

那么勾股定理到底可以用來干什么呢？

勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊； 2.用于解決帶有平方關系的證明問題； 3． 與勾股定理有關的面積計算； 4．勾股定理在實際生活中的應用．

類型

一、勾股定理的直接應用

例

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．

5（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．

【思路點撥】利用勾股定理a2?b2?c2來求未知邊長．

解：（1）因為△ABC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，a＝5，b＝12，所以c2?a2?b2?52?122?25?144?169．所以c＝13．

（2）因為△ABC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，c＝26，b＝24，所以a2?c2?b2?262?242?676?576?100．所以a＝10．

練習1

△ABC，AC=6，BC=8,當AB=________時，∠C=90°

2.在△ABC中，?A?900，則下列式子中不成立的是（）A.BC2?AB2?AC

2B.AC2?BC2-AB2 B.AB2?BC2?AC2

D.AB2?AC2?BC2

3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a；

（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c．

【答案】

解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ a?c?b?10?6?64，∴ a＝8．（2）設a?3k，c?5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ a?b?c．

222(3k)?32?(5k)即． 22222222解得k＝8．

∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．

類型

二、與勾股定理有關的證明

例

2、（2015?豐臺區一模）閱讀下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．

由圖1可以得到（a+b）=4×222

2，整理，得a+2ab+b=2ab+c．

222所以a+b=c．

如果把圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由圖2可以得到

，整理，得

，所以

．

【答案與解析】

證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2． 故答案是：4?1ab?（b-a)2?c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 2

練習2 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（）

A．AC2

B．BD2

C．BC2

D．DE2

【答案】連接AD構造直角三角形，得，選A．

類型

三、與勾股定理有關的線段長

例

3、如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F 處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D； 【解析】

解：設AB＝x，則AF＝x，∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6．

2類型

四、與勾股定理有關的面積計算

例

4、如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）

A．6

B．5

C．11

D．16 【思路點撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積． 【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵??ABC??CDE???ACB??DEC?AC?CE?

∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB?BC?AC ∴AB?DE?AC

∴b的面積為5+11=16，故選D．

練習4如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，請在圖中找出若干圖形，使得它們的面積之和恰好等于最大正方形①的面積，嘗試給出兩種以上的方案。22222

24.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，則S=（）

A.25 B.31 C.32 D.40

【答案】解：如圖，由題意得： AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故選B．

類型

五、利用勾股定理解決實際問題

例

5、有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．

【思路點撥】根據題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構成直角三角形，運用勾股定理可求出門高．

【答案與解析】

解：設門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺．

練習5

如圖，某儲藏室入口的截面是一個半徑為1.2m的半圓形，一個長、寬、高分別是1.2m,1m,0.8m的箱子能放進儲藏室嗎？

5.如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？

【答案】

解：因為旗桿是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴

AB?BC?222AC?52?122?169 ．∴

AB?13(m)．

∴

BC＋AB＝5＋13＝18(m)．

∴

旗桿折斷前的高度為18m．