勾股定理教案1

一、教學(xué)目標(biāo)

1．靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題．

2．進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)．

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．重點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題．

2．難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題．

3．難點(diǎn)的突破方法：

三、課堂引入

創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法．

四、例習(xí)題分析

例1（P83例2）

分析：⑴了解方位角，及方位名詞；

⑵依題意畫出圖形；

⑶依題意可得PR=12×1。5=18，PQ=16×1。5=24，QR=30；

⑷因?yàn)?42+182=302，PQ2+PR2=QR2，根據(jù)勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR—∠QPS=45°．

小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識(shí)．

例2（補(bǔ)充）一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng)7米，比較長(zhǎng)邊短1米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀．

分析：⑴若判斷三角形的`形狀，先求三角形的三邊長(zhǎng)；

⑵設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長(zhǎng)5、12、13；

⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形．

解略．

本題幫助培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的意識(shí)．

勾股定理教案2

一、例題的意圖分析

例1（P83例2）讓學(xué)生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的意識(shí)。

例2（補(bǔ)充）培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的意識(shí)。

二、課堂引入

創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。

三、例習(xí)題分析

例1（P83例2）

分析：⑴了解方位角，及方位名詞；

⑵依題意畫出圖形；

⑶依題意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；

⑷因?yàn)?42+182=302，PQ2+PR2=QR2，根據(jù)勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識(shí)。

例2（補(bǔ)充）一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng)7米，比較長(zhǎng)邊短1米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。

分析：⑴若判斷三角形的'形狀，先求三角形的三邊長(zhǎng)；

⑵設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長(zhǎng)5、12、13；

⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形。

解略。

四、課堂練習(xí)

1．小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走了80m后，又走60m的方向是。

2．如圖，在操場(chǎng)上豎直立著一根長(zhǎng)為2米的測(cè)影竿，早晨測(cè)得它的影長(zhǎng)為4米，中午測(cè)得它的影長(zhǎng)為1米，則A、B、C三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形？為什么？

3．如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?0°，問：甲巡邏艇的航向

勾股定理教案3

教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能目標(biāo)：探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)探究能夠發(fā)現(xiàn)直角三角形中兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方和。

2、過(guò)程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷用測(cè)量和數(shù)格子的辦法探索勾股定理的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)主動(dòng)探究的習(xí)慣，并進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。

教學(xué)重點(diǎn)

了解勾股定理的由來(lái)，并能用它來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的問題。

教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理的探究以及推導(dǎo)過(guò)程。

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問題情景、導(dǎo)入新課

首先出示：投影1（章前的圖文）并介紹我國(guó)古代在勾股定理研究方面的貢獻(xiàn)，結(jié)合課本第六頁(yè)談一談我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，介紹商高（三千多年前周期的數(shù)學(xué)家）在勾股定理方面的貢獻(xiàn)。

出示課件觀察后回答：

1、觀察圖1—2，正方形A中有_______個(gè)小方格，即A的面積為______個(gè)單位。

正方形B中有_______個(gè)小方格，即B的面積為______個(gè)單位。

正方形C中有_______個(gè)小方格，即C的面積為______個(gè)單位。

2、你是怎樣得出上面的結(jié)果的？

3、在學(xué)生交流回答的基礎(chǔ)上教師進(jìn)一步設(shè)問：圖1—2中，A，B，C面積之間有什么關(guān)系？學(xué)生交流后得到結(jié)論：A+B=C。

二、層層深入、探究新知

1、做一做

出示投影3（書中P3圖1—3）

提問：（1）圖1—3中，A，B，C之間有什么關(guān)系？（2）從圖1—2，1—3中你發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生討論、交流后，得出結(jié)論：以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊為邊的正方形面積。

2、議一議

圖1—2、1—3中，你能用三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？

（1）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？在同學(xué)交流的基礎(chǔ)上，共同探討得出：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理”。也就是說(shuō)如果直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c那么。我國(guó)古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長(zhǎng)的為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來(lái)。

（2）分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度（學(xué)生測(cè)量后回答斜邊長(zhǎng)為13）請(qǐng)大家想一想（2）中的規(guī)律，對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？

3、想一想

我們常見的電視的尺寸：29英寸（74厘米）的電視機(jī)，指的.是屏幕的長(zhǎng)嗎？還是指的是屏幕的寬？那他指什么呢？能否運(yùn)用剛才所學(xué)的知識(shí)，檢驗(yàn)一下電視劇的尺寸是否合格？

三、鞏固練習(xí)。

1、在圖1—1的問題中，折斷之前旗桿有多高？

2、錯(cuò)例辨析：△ABC的兩邊為3和4，求第三邊

解：由于三角形的兩邊為3、4

所以它的第三邊的c應(yīng)滿足

=25即：c=5辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應(yīng)具備直角三角形這個(gè)必不可少的條件，可本題三角形ABC并未說(shuō)明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據(jù)。（2）若告訴△ABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足，題目中并未交待C是斜邊。

綜上所述這個(gè)題目條件不足，第三邊無(wú)法求得

四、課堂小結(jié)

鼓勵(lì)學(xué)生自己總結(jié)、談?wù)勛约罕竟?jié)課的收獲，以及自己對(duì)勾股定理的理解，老師加以糾正和補(bǔ)充。

五、布置作業(yè)

勾股定理教案4

一、利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算

1.求面積

例1:如圖1,在等腰△ABC中,腰長(zhǎng)AB=10cm,底BC=16cm,試求這個(gè)三角形面積。

析解:若能求出這個(gè)等腰三角形底邊上的高,就可以求出這個(gè)三角形面積。而由等腰三角形“三線合一”性質(zhì),可聯(lián)想作底邊上的高AD,此時(shí)D也為底邊的中點(diǎn),這樣在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-82=36,所以AD=6cm,所以這個(gè)三角形面積為×BC×AD=×16×6=48cm2。

2.求邊長(zhǎng)

例2:如圖2,在△ABC中,∠C=135?,BC=,AC=2,試求AB的長(zhǎng)。

析解:題中沒有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考慮過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于D點(diǎn),構(gòu)成Rt△CBD和Rt△ABD。在Rt△CBD中,因?yàn)椤螦CB=135?,所以∠BCB=45?,所以BD=CD,由BC=,根據(jù)勾股定理得BD2+CD2=BC2,得BD=CD=1,所以AD=AC+CD=3。在Rt△ABD中,由勾股定理得AB2=AD2+BD2=32+12=10,所以AB=。

點(diǎn)評(píng):這兩道題有一個(gè)共同的特征,都沒有現(xiàn)成的直角三角形,都是通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線,巧妙構(gòu)造直角三角形,借助勾股定理來(lái)解決問題的,這種解決問題的方法里蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中很重要的轉(zhuǎn)化思想,請(qǐng)同學(xué)們要留心。

二、利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形

例3:已知a,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng),且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷△ABC的形狀。

析解:由于所給條件是關(guān)于a,b,c的一個(gè)等式,要判斷△ABC的形狀,設(shè)法求出式中的a,b,c的值或找出它們之間的關(guān)系(相等與否)等,因此考慮利用因式分解將所給式子進(jìn)行變形。因?yàn)閍2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,所以(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0。因?yàn)?a-5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。因?yàn)?2+122=132,所以a2+b2=c2,即△ABC是直角三角形。

點(diǎn)評(píng):用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問題是勾股定理的逆定理的“數(shù)形結(jié)合思想”的重要體現(xiàn)。

三、利用勾股定理說(shuō)明線段平方和、差之間的`關(guān)系

例4:如圖3,在△ABC中,∠C=90?,D是AC的中點(diǎn),DE⊥AB于E點(diǎn),試說(shuō)明:BC2=BE2-AE2。

析解:由于要說(shuō)明的是線段平方差問題,故可考慮利用勾股定理,注意到∠C=∠BED=∠AED=90?及CD=AD,可連結(jié)BD來(lái)解決。因?yàn)椤螩=90?,所以BD2=BC2+CD2。又DE⊥AB,所以∠BED=∠AED=90?,在Rt△BED中,有BD2=BE2+DE2。在Rt△AED中,有AD2=DE2+AE2。又D是AC的中點(diǎn),所以AD=CD。故BC2+CD2=BC2+AD2=BC2+DE2+AE2=BE2+DE2,所以BE2=BC2+AE2,所以BC2=BE2-AE2。

點(diǎn)評(píng):若所給題目的已知或結(jié)論中含有線段的平方和或平方差關(guān)系時(shí),則可考慮構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來(lái)解決問題。

勾股定理教案5

重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是勾股定理的逆定理及其應(yīng)用。它可用邊的關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形。為判斷三角形的形狀提供了一個(gè)有力的依據(jù)。

本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是勾股定理的逆定理的應(yīng)用。在用勾股定理的逆定理時(shí)，分不清哪一條邊作斜邊，因此在用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時(shí)而出錯(cuò)；另外，在解決有關(guān)綜合問題時(shí)，要將給的邊的數(shù)量關(guān)系經(jīng)過(guò)代數(shù)變化，最后達(dá)到一個(gè)目標(biāo)式，這種“轉(zhuǎn)化”對(duì)學(xué)生來(lái)講也是一個(gè)困難的地方。

教法建議：

本節(jié)課教學(xué)模式主要采用“互動(dòng)式”教學(xué)模式及“類比”的教學(xué)方法。通過(guò)前面所學(xué)的垂直平分線定理及其逆定理，做類比對(duì)象，讓學(xué)生自己提出問題并解決問題。在課堂教學(xué)中營(yíng)造輕松、活潑的課堂氣氛。通過(guò)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、學(xué)生與教材之間的互動(dòng)，造成“情意共鳴，溝通信息，反饋流暢，思維活躍”，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的。具體說(shuō)明如下：

（1）讓學(xué)生主動(dòng)提出問題

利用類比的學(xué)習(xí)方法，由學(xué)生將上節(jié)課所學(xué)習(xí)的勾股定理的逆命題書寫出來(lái)。這里分別找學(xué)生口述文字；用符號(hào)、圖形的形式板書逆命題的內(nèi)容。所有這些都由學(xué)生自己完成，估計(jì)學(xué)生不會(huì)感到困難。這樣設(shè)計(jì)主要是培養(yǎng)學(xué)生善于提出問題的習(xí)慣及能力。

（2）讓學(xué)生自己解決問題

判斷上述逆命題是否為真命題？對(duì)這一問題的解決，學(xué)生會(huì)感到有些困難，這里教師可做適當(dāng)?shù)?點(diǎn)撥，但要盡可能的讓學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和探索，找到解決問題的思路。

（3）通過(guò)實(shí)際問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)目標(biāo)：

（1）理解并會(huì)證明勾股定理的逆定理；

（2）會(huì)應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否為直角三角形；

（3）知道什么叫勾股數(shù)，記住一些覺見的勾股數(shù)。

2、能力目標(biāo)：

（1）通過(guò)勾股定理與其逆定理的比較，提高學(xué)生的辨析能力；

（2）通過(guò)勾股定理及以前的知識(shí)聯(lián)合起來(lái)綜合運(yùn)用，提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

3、情感目標(biāo)：

（1）通過(guò)自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感受；

（2）通過(guò)知識(shí)的縱橫遷移感受數(shù)學(xué)的辯證特征。

教學(xué)重點(diǎn)：

勾股定理的逆定理及其應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：

勾股定理的逆定理及其應(yīng)用

教學(xué)用具：

直尺，微機(jī)

教學(xué)方法：

以學(xué)生為主體的討論探索法

教學(xué)過(guò)程：

1、新課背景知識(shí)復(fù)習(xí)（投影）

勾股定理的內(nèi)容

文字?jǐn)⑹觯ㄍ队帮@示）

符號(hào)表述

圖形（畫在黑板上）

2、逆定理的獲得

（1）讓學(xué)生用文字語(yǔ)言將上述定理的逆命題表述出來(lái)

（2）學(xué)生自己證明

逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng) 有下面關(guān)系：

那么這個(gè)三角形是直角三角形

強(qiáng)調(diào)說(shuō)明：

（1）勾股定理及其逆定理的區(qū)別

勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，逆定理是直角三角形的判定定理。

（2）判定直角三角形的方法：

①角為 、

②垂直、

③勾股定理的逆定理

2、定理的應(yīng)用（投影顯示題目上）

例1 如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為

則這三角形是直角三角形

例2 如圖，已知：CD⊥AB于D，且有

求證：△ACB為直角三角形。

以上例題，分別由學(xué)生先思考，然后回答。師生共同補(bǔ)充完善。（教師做總結(jié)）

4、課堂小結(jié)：

（1）逆定理應(yīng)用時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤：分不清哪一條邊作斜邊（最大邊）

（2）判定是否為直角三角形的一種方法：結(jié)合勾股定理和代數(shù)式、方程綜合運(yùn)用。

5、布置作業(yè)：

a、書面作業(yè)P131＃9

b、上交作業(yè)：已知：如圖，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF邊上的中線DG＝8

求證：△DEF是等腰三角形

勾股定理教案6

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)目標(biāo)：

（1）掌握勾股定理；

（2）學(xué)會(huì)利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算、證明與作圖；

（3）了解有關(guān)勾股定理的歷史.

2、能力目標(biāo)：

（1）在定理的證明中培養(yǎng)學(xué)生的拼圖能力；

（2）通過(guò)問題的解決，提高學(xué)生的運(yùn)算能力

3、情感目標(biāo)：

（1）通過(guò)自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感受；

（2）通過(guò)有關(guān)勾股定理的歷史講解，對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育．

教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理及其應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)有關(guān)勾股定理的歷史講解，對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育

教學(xué)用具：直尺，微機(jī)

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體的討論探索法

教學(xué)過(guò)程：

1、新課背景知識(shí)復(fù)習(xí)

（1）三角形的三邊關(guān)系

（2）問題：（投影顯示）

直角三角形的三邊關(guān)系，除了滿足一般關(guān)系外，還有另外的特殊關(guān)系嗎？

2、定理的獲得

讓學(xué)生用文字語(yǔ)言將上述問題表述出來(lái)．

勾股定理：直角三角形兩直角邊 的平方和等于斜邊 的平方

強(qiáng)調(diào)說(shuō)明：

（1）勾――最短的邊、股――較長(zhǎng)的直角邊、弦――斜邊

（2）學(xué)生根據(jù)上述學(xué)習(xí)，提出自己的問題（待定）

學(xué)習(xí)完一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，給學(xué)生留有一定的時(shí)間和機(jī)會(huì)，提出問題，然后大家共同分析討論．

3、定理的證明方法

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示的'正方形.

方法二:將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖2所示的正方形,

方法三：“總統(tǒng)”法.如圖所示將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形

以上證明方法都由學(xué)生先分組討論獲得，教師只做指導(dǎo).最后總結(jié)說(shuō)明

4、定理與逆定理的應(yīng)用

例1 已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝ ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的長(zhǎng).

解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有

∴ ∠2＝∠C

又

∴

∴CD的長(zhǎng)是2.4cm

例2 如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，D是BC上任一點(diǎn)，

求證：

證法一：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E

則在Rt△ADE中，

又∵AB＝AC，∠BAC＝

∴AE＝BE＝CE

即

證法二：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F

則DE∥AC，DF∥AB

又∵AB＝AC，∠BAC＝

∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC＝AE

在Rt△EBD和Rt△FDC中

在Rt△AED中，

∴

例3 設(shè)

求證：

證明：構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng) 的矩形ABCD，如圖

在Rt△ABE中

在Rt△BCF中

在Rt△DEF中

在△BEF中，BE+EF＞BF

即

例4 國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某村六組有四個(gè)村莊A、B、C、D正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分．請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．

解：不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則圖1、圖2中的總線路長(zhǎng)分別為

AD+AB+BC＝3，AB+BC+CD＝3

圖3中，在Rt△DGF中

同理

∴圖3中的路線長(zhǎng)為

圖4中，延長(zhǎng)EF交BC于H，則FH⊥BC，BH＝CH

由∠FBH＝ 及勾股定理得：

EA＝ED＝FB＝FC＝

∴EF＝1－2FH＝1－

∴此圖中總線路的長(zhǎng)為4EA+EF＝

∵3＞2.828＞2.732

∴圖4的連接線路最短，即圖4的架設(shè)方案最省電線．

5、課堂小結(jié)：

（1）勾股定理的內(nèi)容

（2）勾股定理的作用

已知直角三角形的兩邊求第三邊

已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系

6、布置作業(yè)：

a、書面作業(yè)P130＃1、2、3

b、上交作業(yè)P132＃1、3

板書設(shè)計(jì)：

探究活動(dòng)

臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東 方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過(guò)四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響

（1）該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由

（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？

（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？

解：（1）由點(diǎn)A作AD⊥BC于D，

則AD就為城市A距臺(tái)風(fēng)中心的最短距離

在Rt△ABD中，∠B= ，AB＝220

∴

由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)（12－4）20＝160（千米）時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響．

故該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響．

（2）由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)60千米時(shí)，

將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，則AE＝AF＝160．當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心從E到F處時(shí)，

該城市都會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響

由勾股定理得

∴EF＝2DE＝

因?yàn)檫@次臺(tái)風(fēng)中心以15千米/時(shí)的速度移動(dòng)

所以這次臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間為 小時(shí)

（3）當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于D處時(shí)，A城市所受這次臺(tái)風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為 級(jí)．

勾股定理教案7

教學(xué)課題：

勾股定理的應(yīng)用

教學(xué)時(shí)間

（日期、課時(shí)）

教材分析：

學(xué)情分析：

教 學(xué)目標(biāo)：

能運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實(shí)際問題。

在運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的“轉(zhuǎn)化” 思想（把解斜三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題），進(jìn)一步發(fā)展有條理思考和有條理表達(dá)的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

教學(xué)準(zhǔn)備

《數(shù)學(xué)學(xué)與練》

集體備課意見和主要參考資料

頁(yè)邊批注

教學(xué)過(guò)程

一、新課導(dǎo)入

本課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容是勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用。除課本提供的情境外，教學(xué)中可以根據(jù)實(shí)際情況另行設(shè)計(jì)一些具體情境，也利用課本提供的素材組織數(shù)學(xué)活動(dòng)。比如，把課本例2改編為開放式的問題情境：

一架長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m。如果梯子的頂端下滑0.5m，你認(rèn)為梯子的底端會(huì)發(fā)生什么變化？與同學(xué)交流 。

創(chuàng)設(shè)學(xué)生身邊的問題情境，為每一個(gè)學(xué)生提供探索的空間，有利于發(fā)揮學(xué)生的主體性；這樣的問題學(xué)生常常會(huì)從自己的`生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，產(chǎn)生不同的思考方法和結(jié)論（教學(xué)中學(xué)生可能的結(jié)論有：底端也滑動(dòng) 0.5m；如果梯子的`頂端滑到地面 上，梯子的頂端則滑動(dòng)8m，估計(jì)梯子底端的滑動(dòng)小于8m，所以梯子的頂端 下滑0.5m，它的底端的滑動(dòng)小于0.5m；構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理計(jì)算梯子滑動(dòng)前、后底端到墻的垂直距離的差，得出梯子底端滑動(dòng)約0.61m的結(jié)論等）；通過(guò)與同學(xué)交流，完善各自的想法，有利于學(xué)生主動(dòng)地把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 ，從中感受用數(shù)學(xué)的眼光審視客觀世界的樂趣 。

二、新課講授

問題一 在上面的情境中，如果梯子的頂端下滑 1m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？

組織學(xué)生嘗試用勾股定理解決問題，對(duì)有困難的學(xué)生教師給予及時(shí)的幫助和指導(dǎo)。

問題二 從上面所獲得的信息中，你對(duì)梯子下滑的變化過(guò)程有進(jìn)一步的思考嗎？與同學(xué)交流。

設(shè)計(jì)問題二促使學(xué)生能主動(dòng)積 極地從數(shù)學(xué)的角度思考實(shí)際問題。教學(xué)中學(xué)生可能會(huì)有多種思考、比如，①這個(gè)變化過(guò)程中，梯子底端滑動(dòng)的距離總比頂端下滑的距離大；②因?yàn)樘葑禹敹?下滑到地面時(shí)，頂端下滑了8m，而底端只滑動(dòng)4m，所以這個(gè)變化過(guò)程中，梯子底端滑動(dòng)的距離不一定比頂端下滑的距離大；③由勾股數(shù)可知，當(dāng)梯子頂端下滑到離地面的垂直距離為6m，即頂端下滑2m時(shí)，底端到墻的垂直距離是8m，即底端電滑動(dòng)2m等。教學(xué)中不要把尋找規(guī)律作為這個(gè)探索活動(dòng)的目標(biāo)，應(yīng)讓學(xué)生進(jìn)行充分的交流，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光去審視客觀世界，從不同的角度去思考問題，獲得一些研究問題的經(jīng)驗(yàn)和方法、

3、例題教學(xué)

課本的例1是勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，教學(xué)中可根據(jù)教學(xué)的實(shí)際情況補(bǔ)充一些實(shí)際應(yīng)用問題，把課本習(xí)題2.7第4題作為補(bǔ)充例題。通過(guò)這個(gè)問題的討論，把“32+b2=c2”看作一個(gè)方程，設(shè)折斷處離地面x尺，依據(jù)問題給出的條件就把它轉(zhuǎn)化為熟悉的會(huì)解的一元二次方程32+x2=（10—x）2，從中可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的“轉(zhuǎn)化”思想，進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和我國(guó)古代人民的聰明才智、

三、鞏固練習(xí)

1、甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲往東走了4km，乙往南走了6km，這時(shí)甲、乙兩人相距__________km。

2、如圖，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）。

（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）無(wú)法確定

3、如圖，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m。求這塊草坪的面積。

四、小結(jié)

我們知道勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，已知直角 三角形中的任意兩邊就可以依據(jù)勾股定理求出第三邊。從應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題中，我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到把直角三角形中三邊關(guān)系“a2+b2=c2”看成一個(gè)方程，只要 依據(jù)問題的條件把它轉(zhuǎn)化為我們會(huì)解的方程，就把解實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解方程。

勾股定理教案8

一、學(xué)生知識(shí)狀況分析

本節(jié)將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實(shí)際問題，其中需要學(xué)生了解空間圖形、對(duì)一些空間圖形進(jìn)行展開、折疊等活動(dòng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)七年級(jí)上第一章時(shí)對(duì)生活中的立體圖形已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，并從事過(guò)相應(yīng)的實(shí)踐活動(dòng)，因而學(xué)生已經(jīng)具備解決本課問題所需的知識(shí)基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)(上)第一章《勾股定理》第3節(jié)。具體內(nèi)容是運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。當(dāng)然，在這些具體問題的解決過(guò)程中，需要經(jīng)歷幾何圖形的抽象過(guò)程，需要借助觀察、操作等實(shí)踐活動(dòng)，這些都有助于發(fā)展學(xué)生的分析問題、解決問題能力和應(yīng)用意識(shí)；一些探究活動(dòng)具體一定的`難度，需要學(xué)生相互間的合作交流，有助于發(fā)展學(xué)生合作交流的能力。

三、本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.通過(guò)觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

2.在將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過(guò)程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.

3.在利用勾股定理解決實(shí)際問題的過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性.

利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問題是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn).

四、教法學(xué)法

1.教學(xué)方法

引導(dǎo)—探究—?dú)w納

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是初二學(xué)生，他們的參與意識(shí)教強(qiáng)，思維活躍，為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，我力求以下三個(gè)方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：

(1)從創(chuàng)設(shè)問題情景入手，通過(guò)知識(shí)再現(xiàn)，孕育教學(xué)過(guò)程;

(2)從學(xué)生活動(dòng)出發(fā)，順勢(shì)教學(xué)過(guò)程;

(3)利用探索研究手段，通過(guò)思維深入，領(lǐng)悟教學(xué)過(guò)程.

2.課前準(zhǔn)備

教具：教材、電腦、多媒體課件.

學(xué)具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習(xí)本、文具.

五、教學(xué)過(guò)程分析

本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)：情境引入;第二環(huán)節(jié)：合作探究;第三環(huán)節(jié)：做一做;第四環(huán)節(jié)：小試牛刀;第五環(huán)節(jié)：舉一反三;第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié);第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè).

1.3勾股定理的應(yīng)用：課后練習(xí)

一、問題引入：

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的________等于________。如果用a,b和c表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么________。

2、勾股定理逆定理：如果三角形三邊長(zhǎng)a,b，c滿足________，那么這個(gè)三角形是直角三角形

1.3勾股定理的應(yīng)用：同步檢測(cè)

1.為迎接新年的到來(lái)，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備召開新年晚會(huì)，小劉搬來(lái)一架高2.5米的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到2.4米高的墻上，則梯腳與墻角距離應(yīng)為( )

A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米

2.小華和小剛兄弟兩個(gè)同時(shí)從家去同一所學(xué)校上學(xué)，速度都是每分鐘走50米.小華從家到學(xué)校走直線用了10分鐘，而小剛從家出發(fā)先去找小明再到學(xué)校(均走直線)，小剛到小明家用了6分鐘，小明家到學(xué)校用了8分鐘，小剛上學(xué)走了個(gè)( )

A.銳角彎B.鈍角彎C.直角彎D.不能確定

3.如圖，是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長(zhǎng)度(罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì))范圍是( )

A.5≤a≤12 B.5≤a≤13 C.12≤a≤13 D.12≤a≤15

4.一個(gè)木工師傅測(cè)量了一個(gè)等腰三角形木板的腰、底邊和高的長(zhǎng)，但他把這三個(gè)數(shù)據(jù)與其它的數(shù)據(jù)弄混了，請(qǐng)你幫助他找出來(lái)，是第( )組.

A.13，12，12 B.12，12，8 C.13，10，12 D.5，8，4

勾股定理教案9

一、全章要點(diǎn)

1、勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。(即：a2+b2=c2)

2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

3、勾股定理的證明 常見方法如下：

方法一： ， ，化簡(jiǎn)可證.

方法二：

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為

大正方形面積為 所以

方法三： ， ，化簡(jiǎn)得證

4、勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如 ; ; ; ;8,15,17;9,40,41等

二、經(jīng)典訓(xùn)練

(一)選擇題：

1. 下列說(shuō)法正確的是( )

A.若 a、b、c是△ABC的三邊，則a2+b2=c2;

B.若 a、b、c是Rt△ABC的.三邊，則a2+b2=c2;

C.若 a、b、c是Rt△ABC的三邊， ，則a2+b2=c2;

D.若 a、b、c是Rt△ABC的三邊， ，則a2+b2=c2.

2. △ABC的三條邊長(zhǎng)分別是 、、，則下列各式成立的是( )

A. B. C. D.

3.直角三角形中一直角邊的長(zhǎng)為9，另兩邊為連續(xù)自然數(shù)，則直角三角形的周長(zhǎng)為( )

A.121 B.120 C.90 D.不能確定

4.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長(zhǎng)為( )

A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33

(二)填空題：

5.斜邊的邊長(zhǎng)為 ，一條直角邊長(zhǎng)為 的直角三角形的面積是 .

6.假如有一個(gè)三角形是直角三角形，那么三邊 、、之間應(yīng)滿足 ，其中 邊是直角所對(duì)的邊;如果一個(gè)三角形的三邊 、、滿足 ，那么這個(gè)三角形是 三角形，其中 邊是 邊， 邊所對(duì)的角是 .

7.一個(gè)三角形三邊之比是 ，則按角分類它是 三角形.

8. 若三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是 ，最短邊長(zhǎng)為 ，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為 ，則這個(gè)三角形三個(gè)角度數(shù)分別是 ，另外一邊的平方是 .

9.如圖，已知 中， ， ， ，以直角邊 為直徑作半圓，則這個(gè)半圓的面積是 .

10. 一長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為 ，面積為 ，那么它的一條對(duì)角線長(zhǎng)是 .

三、綜合發(fā)展:

11.如圖，一個(gè)高 、寬 的大門，需要在對(duì)角線的頂點(diǎn)間加固一個(gè)木條，求木條的長(zhǎng).

12.一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)分別為 ， ， ，這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高是多少?

13.如圖，小李準(zhǔn)備建一個(gè)蔬菜大棚，棚寬4m，高3m，長(zhǎng)20m，棚的斜面用塑料薄膜遮蓋，不計(jì)墻的厚度，請(qǐng)計(jì)算陽(yáng)光透過(guò)的最大面積.

14.如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起?

15.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn) 離點(diǎn) 的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn) 爬到點(diǎn) ，需要爬行的最短距離是多少?

16.中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過(guò) km/h.如圖，，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正前方 m處，過(guò)了2s后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為 m，這輛小汽車超速了嗎?

勾股定理教案10

教學(xué)目標(biāo)

1．靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

2．進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

重難點(diǎn)

1．重點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

2．難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

一、自主學(xué)習(xí)

1、若三角形的三邊是 ⑴1、、2； ⑵； ⑶32，42，52⑷9，40，41；

⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；則構(gòu)成的是直角三角形的有（ ）

A．2個(gè) B．3個(gè)?????C．4個(gè)??????D．5個(gè)

2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，分別為下列長(zhǎng)度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6； ⑶a=2，b=，c=4；

二、交流展示

例1（P33例2）某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于Q、R處，并相距30海里. 如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？

分析：⑴了解方位角，及方位名詞；⑵依題意畫出圖形；⑶依題意可求PR，PQ，QR；

⑷根據(jù)勾股定理 的逆定理，求∠QPR；⑸求∠RPN。

小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識(shí)。

例2、一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng)7米，比較長(zhǎng)邊短1米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。

分析：⑴若判斷三角形的'形狀，先求三角形的三邊長(zhǎng)；

⑵設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長(zhǎng)；

⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷三角形是否為直角三角形。

三、合作探究

例3．如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算一下土地的面積，以便計(jì)算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測(cè)得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

四、達(dá)標(biāo)測(cè)試

1．一根24米繩子，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長(zhǎng)分別為，此三角形的形狀為。

2．小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走了80m后，又走60m的方向是。

3．一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲AC=15米，AD=13米，又測(cè)得地面上B、C兩點(diǎn)之間距離是9米，B、D兩點(diǎn)之間距離是5米，

則電線桿和地面是否垂直，為什么？

4．如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?0°，問：甲巡邏艇的航向？

五、教學(xué)反思

勾股定理教案11

一、教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)對(duì)幾種常見的勾股定理驗(yàn)證方法，進(jìn)行分析和欣賞。理解數(shù)

學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，進(jìn)一步感悟勾股定理的文化價(jià)值。

通過(guò)拼圖活動(dòng)，嘗試驗(yàn)證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐和創(chuàng)新能力。

(3)讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究、合作交流、觀察比較、計(jì)算推理、動(dòng)手操作等過(guò)程，獲得一些研究問題的方法，取得成功和克服困難的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，增進(jìn)他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

二、教學(xué)的重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：探索和驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程

難點(diǎn)：

(1)“數(shù)形結(jié)合”思想方法的理解和應(yīng)用

通過(guò)拼圖，探求驗(yàn)證勾股定理的新方法

三、學(xué)情分析

八年級(jí)的學(xué)生已具備一定的生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新事物容易產(chǎn)生興趣，動(dòng)手實(shí)踐能力也比較強(qiáng)，在班級(jí)上已初步形成合作交流，勇于探索與實(shí)踐的良好班風(fēng)，估計(jì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)中學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥下自主探索歸納勾股定理。

四、教學(xué)程序分析

（一）導(dǎo)入新課

介紹勾股世界

兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。

我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中。

（二）講解新課

1、探索活動(dòng)一：

觀察下圖，并回答問題：

(1)觀察圖1

正方形A中含有

個(gè)小方格，即A的面積是

個(gè)單位面積；

正方形B中含有

個(gè)小方格，即B的面積是

個(gè)單位面積；

正方形C中含有

個(gè)小方格，即C的面積是

個(gè)單位面積。

(2)在圖2、圖3中，正方形A、B、C中各含有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？你是如何得到上述結(jié)果的？與同伴交流。

(3)請(qǐng)將上述結(jié)果填入下表，你能發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，的面積關(guān)系嗎？

A的面積

(單位面積)

B的面積

(單位面積)

C的面積

(單位面積)

圖1

9

9

18

圖2

4

4

8

2、探索活動(dòng)二：

(1)觀察圖3，圖4

并填寫下表：

A的面積

(單位面積)

B的面積

(單位面積)

C的面積

(單位面積)

圖3

16

9

25

圖4

4

9

13

你是怎樣得到上面結(jié)果的？與同伴交流。

(2)三個(gè)正方形A，B，C的面積之間的關(guān)系？

3、議一議(合作交流，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn))

(1)你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？

勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c

,那么a2+b2=c2。

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

(2)我們?cè)趺醋C明這個(gè)定理呢？

教師指導(dǎo)第一種證明方法，學(xué)生合作探究第二種證明方法。

可得：

想一想：大正方形的面積該怎樣表示？

想一想：這四個(gè)直角三角形還能怎樣拼？

可得：

4、例題分析

如圖，一根電線桿在離地面5米處斷裂，電線桿頂部落在離電線桿底部12米處，電線桿折斷之前有多高？

解：∵，

∴在中，

,根據(jù)勾股定理，

∴電線桿折斷之前的'高度＝BC＋AB＝5米+13米＝18米

（三）課堂小結(jié)

勾股定理從邊的角度刻畫了直角三角形的又一個(gè)特征．人類對(duì)勾股定理的研究已有近30的歷史，在西方，勾股定理又被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”、“百牛定理”、“驢橋定理”等等

．

（四）布置作業(yè)

收集有關(guān)勾股定理的證明方法，下節(jié)課展示、交流．

五、板書設(shè)計(jì)

勾股定理的探索與證明

做一做

勾股定理

議一議

（直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c，則a2＋b2=c2）

六、課后反思

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中還沒有普及與推廣，實(shí)際上，通過(guò)學(xué)生的合作探究、動(dòng)手實(shí)踐、歸納證明等活動(dòng)，讓數(shù)學(xué)課堂生動(dòng)起來(lái)，也讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)是可以動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)的，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與激情。本節(jié)課，我充分利用學(xué)生動(dòng)手能力強(qiáng)、表現(xiàn)欲高的特點(diǎn)，在充裕的時(shí)間里，放手讓學(xué)生動(dòng)手操作，自己歸納與分析。最后得出結(jié)論。我認(rèn)為本節(jié)課是成功的，一方面體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，另一方面讓實(shí)驗(yàn)走進(jìn)了數(shù)學(xué)課堂，真正體現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)的巨大作用。

勾股定理教案12

一、教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法.

2.運(yùn)用勾股解決一些實(shí)際問題.

(二)能力訓(xùn)練要求

1.學(xué)會(huì)用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力.

2.在拼圖過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí).

(三)情感與價(jià)值觀要求

利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的一大貢獻(xiàn).借助對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育.并在拼圖的過(guò)程中獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

二.教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：勾股定理的證明及其應(yīng)用.

難點(diǎn)：勾股定理的證明.

三.教學(xué)方法

教師引導(dǎo)和學(xué)生自主探索相結(jié)合的.方法.

在用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程中.教師要引導(dǎo)學(xué)生善于聯(lián)想，將形的問題與數(shù)的問題聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生自主探索，大膽地聯(lián)系前面知識(shí)，推導(dǎo)出勾股定理，并自己嘗試用勾股定理解決實(shí)際問題.

四.教具準(zhǔn)備

1.每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一張硬紙板;

2.投影片三張：

第一張：?jiǎn)栴}串(記作1.1.2 A);

第二張：議一議(記作1.1.2 B);

第三張：例題(記作1.1.2 C).

五.教學(xué)過(guò)程

Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課

[師]我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)整式的運(yùn)算，其中平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式(ab)2=a22ab+b2是非常重要的內(nèi)容.誰(shuí)還能記得當(dāng)時(shí)這兩個(gè)公式是如何推出的?

[生]利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則從公式的左邊就可以推出右邊.例如(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2，所以平方差公式是成立的.

[生]還可以用拼圖的方法來(lái)推出.例如：(a+b)2=a2+2ab+b2.我們可以用一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形，兩個(gè)長(zhǎng)和寬分別為a和b的長(zhǎng)方形可拼成如下圖所示的邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形，那么這個(gè)大的正方形的面積可以表示為(a+b)2;又可以表示為a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2.

勾股定理教案13

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、通過(guò)拼圖,用面積的方法說(shuō)明勾股定理的正確性.

2.探索勾股定理的過(guò)程，發(fā)展合情推理的能力，體會(huì)數(shù)型結(jié)合的思想。

重點(diǎn)難點(diǎn)

或?qū)W習(xí)建議學(xué)習(xí)重點(diǎn)：用面積的方法說(shuō)明勾股定理的正確.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.

學(xué)習(xí)過(guò)程教師

二次備課欄

自學(xué)準(zhǔn)備與知識(shí)導(dǎo)學(xué)：

這是1955年希臘為紀(jì)念一位數(shù)學(xué)家曾經(jīng)發(fā)行的'郵票。

郵票上的圖案是根據(jù)一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理設(shè)計(jì)的。

學(xué)習(xí)交流與問題研討：

1、探索

問題：分別以圖中的直角三角形三邊為邊向三角形外

作正方形，小方格的面積看做1，求這三個(gè)正方形的面積?

S正方形BCED=S正方形ACFG=S正方形ABHI=

發(fā)現(xiàn)：

2、實(shí)驗(yàn)

在下面的方格紙上，任意畫幾個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形;并分別以這個(gè)三角形的各邊為一邊向三角形外做正方形并計(jì)算出正方形的面積。

請(qǐng)完成下表：

S正方形BCEDS正方形ACFGS正方形ABHIS正方形BCED、S正方形ACFG、S正方形ABHI的關(guān)系

112

145

41620

91625

發(fā)現(xiàn)：

如何用直角三角形的三邊長(zhǎng)來(lái)表示這個(gè)結(jié)論?

這個(gè)結(jié)論就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理：

如圖：我國(guó)古代把直角三角形中，較短的直角邊叫做“勾”，較長(zhǎng)的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”，所以勾股定理可表示為：弦股還可以表示為：或勾

練習(xí)檢測(cè)與拓展延伸：

練習(xí)1、求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)

練習(xí)2、下列各圖中所示的線段的長(zhǎng)度或正方形的面積為多少。

(注：下列各圖中的三角形均為直角三角形)

例1、如圖，在四邊形中，∠，∠，，求.

檢測(cè)：

1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)若a=5，b=12，則c=________;

(2)b=8，c=17，則S△ABC=________。

2、在Rt△ABC中，∠C=90，周長(zhǎng)為60，斜邊與一條直角邊之比為13∶5，則這個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別是

A、5、4、3、;B、13、12、5;C、10、8、6;D、26、24、10

3、若等腰三角形中相等的兩邊長(zhǎng)為10cm,第三邊長(zhǎng)為16cm,那么第三邊上的高為()

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

4、要登上8m高的建筑物，為了安全需要，需使梯子底端離建筑物6m，至少需要多長(zhǎng)的梯子?(畫出示意圖)

5、飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4千米處，過(guò)了20秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩5千米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米?

課后反思或經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：

1、什么叫勾股定理;

2、什么樣的三角形的三邊滿足勾股定理;

3、用勾股定理解決一些實(shí)際問題。

勾股定理教案14

一、回顧交流，合作學(xué)習(xí)

【活動(dòng)方略】

活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師先將學(xué)生分成四人小組，交流各自的小結(jié)，并結(jié)合課本P87的小結(jié)進(jìn)行反思，教師巡視，并且不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入復(fù)習(xí)軌道．然后進(jìn)行小組匯報(bào)，匯報(bào)時(shí)可借助投影儀，要求學(xué)生上臺(tái)匯報(bào)，最后教師歸納．

【問題探究1】（投影顯示）

飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到小明頭頂正上方4000米處，過(guò)了20秒，飛機(jī)距離小明頭頂5000米，問：飛機(jī)飛行了多少千米？

思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意，可以先畫出符合題意的圖形，如右圖，圖中△ABC中的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米，要求出飛機(jī)這時(shí)飛行多少千米，就要知道飛機(jī)在20秒時(shí)間里飛行的路程，也就是圖中的BC長(zhǎng)，在這個(gè)問題中，斜邊和一直角邊是已知的，這樣，我們可以根據(jù)勾股定理來(lái)計(jì)算出BC的長(zhǎng)．（3000千米）

【活動(dòng)方略】

教師活動(dòng)：操作投影儀，引導(dǎo)學(xué)生解決問題，請(qǐng)兩位學(xué)生上臺(tái)演示，然后講評(píng)．

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成“問題探究1”，然后踴躍舉手，上臺(tái)演示或與同伴交流．

【問題探究2】（投影顯示）

一個(gè)零件的形狀如右圖，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A與∠BDC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4，AB=3，DB=5，DC=12，BC=13，請(qǐng)你判斷這個(gè)零件符合要求嗎？為什么？

思路點(diǎn)撥：要檢驗(yàn)這個(gè)零件是否符合要求，只要判斷△ADB和△DBA是否為直角三角形，這樣可以通過(guò)勾股定理的`逆定理予以解決：

AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，得∠A=90°，同理可得∠CDB=90°，因此，這個(gè)零件符合要求．

【活動(dòng)方略】

教師活動(dòng)：操作投影儀，關(guān)注學(xué)生的思維，請(qǐng)兩位學(xué)生上講臺(tái)演示之后再評(píng)講．

學(xué)生活動(dòng)：思考后，完成“問題探究2”，小結(jié)方法．

解：在△ABC中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，

∴△ABD為直角三角形，∠A=90°．

在△BDC中，BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2．

∴△BDC是直角三角形，∠CDB=90°

因此這個(gè)零件符合要求．

【問題探究3】

甲、乙兩位探險(xiǎn)者在沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米／時(shí)的速度向東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米／時(shí)的速度向北行進(jìn)，上午10：00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？

思路點(diǎn)撥：要求甲、乙兩人的距離，就要確定甲、乙兩人在平面的位置關(guān)系，由于甲往東、乙往北，所以甲所走的路線與乙所走的路線互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求出甲、乙兩人的距離．（13千米）

【活動(dòng)方略】

教師活動(dòng)：操作投影儀，巡視、關(guān)注學(xué)生訓(xùn)練，并請(qǐng)兩位學(xué)生上講臺(tái)“板演”．

學(xué)生活動(dòng)：課堂練習(xí)，與同伴交流或舉手爭(zhēng)取上臺(tái)演示

勾股定理教案15

重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．它可用邊的關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形．為判斷三角形的形狀提供了一個(gè)有力的依據(jù)．

本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是勾股定理的逆定理的應(yīng)用．在用勾股定理的逆定理時(shí)，分不清哪一條邊作斜邊，因此在用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時(shí)而出錯(cuò)；另外，在解決有關(guān)綜合問題時(shí)，要將給的邊的數(shù)量關(guān)系經(jīng)過(guò)代數(shù)變化，最后達(dá)到一個(gè)目標(biāo)式，這種“轉(zhuǎn)化”對(duì)學(xué)生來(lái)講也是一個(gè)困難的地方．

教法建議：

本節(jié)課教學(xué)模式主要采用“互動(dòng)式”教學(xué)模式及“類比”的教學(xué)方法．通過(guò)前面所學(xué)的垂直平分線定理及其逆定理，做類比對(duì)象，讓學(xué)生自己提出問題并解決問題．在課堂教學(xué)中營(yíng)造輕松、活潑的課堂氣氛．通過(guò)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、學(xué)生與教材之間的互動(dòng)，造成“情意共鳴，溝通信息，反饋流暢，思維活躍”，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的'目的．具體說(shuō)明如下：

（1）讓學(xué)生主動(dòng)提出問題

利用類比的學(xué)習(xí)方法，由學(xué)生將上節(jié)課所學(xué)習(xí)的勾股定理的逆命題書寫出來(lái)．這里分別找學(xué)生口述文字；用符號(hào)、圖形的形式板書逆命題的內(nèi)容．所有這些都由學(xué)生自己完成，估計(jì)學(xué)生不會(huì)感到困難．這樣設(shè)計(jì)主要是培養(yǎng)學(xué)生善于提出問題的習(xí)慣及能力．

（2）讓學(xué)生自己解決問題

判斷上述逆命題是否為真命題？對(duì)這一問題的解決，學(xué)生會(huì)感到有些困難，這里教師可做適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，但要盡可能的讓學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和探索，找到解決問題的思路．

（3）通過(guò)實(shí)際問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)．

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)目標(biāo)：

（1）理解并會(huì)證明勾股定理的逆定理；

（2）會(huì)應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否為直角三角形；

（3）知道什么叫勾股數(shù)，記住一些覺見的勾股數(shù).

2、能力目標(biāo)：

（1）通過(guò)勾股定理與其逆定理的比較，提高學(xué)生的辨析能力；

（2）通過(guò)勾股定理及以前的知識(shí)聯(lián)合起來(lái)綜合運(yùn)用，提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

3、情感目標(biāo)：

（1）通過(guò)自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感受；

（2）通過(guò)知識(shí)的縱橫遷移感受數(shù)學(xué)的辯證特征．

教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的逆定理及其應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的逆定理及其應(yīng)用

教學(xué)用具：直尺，微機(jī)

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體的討論探索法

教學(xué)過(guò)程：

1、新課背景知識(shí)復(fù)習(xí)（投影）

勾股定理的內(nèi)容

文字?jǐn)⑹觯ㄍ队帮@示）

符號(hào)表述

圖形（畫在黑板上）

2、逆定理的獲得

（1）讓學(xué)生用文字語(yǔ)言將上述定理的逆命題表述出來(lái)

（2）學(xué)生自己證明

逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng) 有下面關(guān)系：

那么這個(gè)三角形是直角三角形

強(qiáng)調(diào)說(shuō)明：（1）勾股定理及其逆定理的區(qū)別

勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，逆定理是直角三角形的判定定理．

（2）判定直角三角形的方法：

①角為 、②垂直、③勾股定理的逆定理

2、定理的應(yīng)用（投影顯示題目上）

例1 如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為

則這三角形是直角三角形

例2 如圖，已知：CD⊥AB于D，且有

求證：△ACB為直角三角形。

以上例題，分別由學(xué)生先思考，然后回答．師生共同補(bǔ)充完善．（教師做總結(jié)）

4、課堂小結(jié)：

（1）逆定理應(yīng)用時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤：分不清哪一條邊作斜邊（最大邊）

（2）判定是否為直角三角形的一種方法：結(jié)合勾股定理和代數(shù)式、方程綜合運(yùn)用。

5、布置作業(yè)：

a、書面作業(yè)P131＃9

b、上交作業(yè)：已知：如圖，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF邊上的中線DG＝8

求證：△DEF是等腰三角形

勾股定理專題 第 1 講

一、《標(biāo)準(zhǔn)》要求

1．在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)等過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。2．在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力。

3．經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過(guò)程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性。4．探究勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用他們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

二、教學(xué)目標(biāo)：

（一）、知識(shí)與技能：

經(jīng)歷勾股定理及其逆定理的探索過(guò)程，了解勾股定理的各種探究法方法及其內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，解和掌握勾股定理內(nèi)容及簡(jiǎn)單應(yīng)用，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和推理能力。

（二）、過(guò)程與方法：

1．掌握勾股定理及其逆定理的內(nèi)容；

2．能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長(zhǎng)（只限于常用的數(shù)）；

3．通過(guò)對(duì)勾股定理的探索解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題．

（三）、情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)實(shí)例了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。

三、教學(xué)重點(diǎn)

勾股定理及其逆定理在解決數(shù)學(xué)問題中的靈活應(yīng)用

四、教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理及其逆定理的證明

五、教學(xué)過(guò)程

一、引入新課

據(jù)傳兩千多年前的一天（公元前580-490年左右），古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來(lái)，原來(lái)朋友家的地面是由許多直角三角形組成的圖案，黑白相間，美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過(guò)去問他，誰(shuí)知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟地站了起來(lái)，大笑著跑回去了，原來(lái)，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系。

那么黑白相間的地磚上的正方形之間存在怎樣的關(guān)系呢？讓我們一起來(lái)探索！

勾股定理被稱為“幾何學(xué)的基石”，勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國(guó)，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

別名：商高定理、畢達(dá)哥拉斯定理、百牛定理。1（1）、動(dòng)手畫一個(gè)直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用

刻度尺量出AB的長(zhǎng)。（2）、再畫一個(gè)兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長(zhǎng)

你能觀察出直角三角形的三邊關(guān)系嗎？看不出來(lái)的話我們先來(lái)看一下下面的活動(dòng)。

4.如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個(gè)單位長(zhǎng)度和2.4個(gè)單位長(zhǎng)度，上面的猜想關(guān)系還成立嗎？

二、新知傳授

通過(guò)上面的活動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。因?yàn)槲覈?guó)古代把直角三角形較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此我國(guó)把上面的這個(gè)結(jié)論稱為勾股定理。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a,b,c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a?b?c。22

勾股定理的一些變式：

2a2?c2?b2，b2?c2?a2，c??a?b??2ab．

2勾股定理的證明

勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明的，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．

方法一：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．

，所以．

(這個(gè)方法叫加菲爾德證法。加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國(guó)第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。)

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．

圖（1）中，所以

．

這是加菲爾德證法變式 如果將大正方形邊長(zhǎng)為c的小正方形沿對(duì)角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個(gè)梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積，即:

方法三：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．

圖（2）中，所以

．

(這個(gè)方法是以前一個(gè)叫趙爽的人對(duì)這個(gè)圖做出的描述，所以這個(gè)圖又叫趙爽弦圖，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積。)

那么勾股定理到底可以用來(lái)干什么呢？

勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊； 2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題； 3． 與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算； 4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．

類型

一、勾股定理的直接應(yīng)用

例

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．

5（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．

【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理a2?b2?c2來(lái)求未知邊長(zhǎng)．

解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，a＝5，b＝12，所以c2?a2?b2?52?122?25?144?169．所以c＝13．

（2）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，c＝26，b＝24，所以a2?c2?b2?262?242?676?576?100．所以a＝10．

練習(xí)1

△ABC，AC=6，BC=8,當(dāng)AB=________時(shí)，∠C=90°

2.在△ABC中，?A?900，則下列式子中不成立的是（）A.BC2?AB2?AC

2B.AC2?BC2-AB2 B.AB2?BC2?AC2

D.AB2?AC2?BC2

3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a；

（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c．

【答案】

解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ a?c?b?10?6?64，∴ a＝8．（2）設(shè)a?3k，c?5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ a?b?c．

222(3k)?32?(5k)即． 22222222解得k＝8．

∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．

類型

二、與勾股定理有關(guān)的證明

例

2、（2015?豐臺(tái)區(qū)一模）閱讀下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．

由圖1可以得到（a+b）=4×222

2，整理，得a+2ab+b=2ab+c．

222所以a+b=c．

如果把圖1中的四個(gè)全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請(qǐng)你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由圖2可以得到

，整理，得

，所以

．

【答案與解析】

證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2． 故答案是：4?1ab?（b-a)2?c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 2

練習(xí)2 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（）

A．AC2

B．BD2

C．BC2

D．DE2

【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得，選A．

類型

三、與勾股定理有關(guān)的線段長(zhǎng)

例

3、如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F 處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長(zhǎng)為（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D； 【解析】

解：設(shè)AB＝x，則AF＝x，∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6．

2類型

四、與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算

例

4、如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）

A．6

B．5

C．11

D．16 【思路點(diǎn)撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積． 【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵??ABC??CDE???ACB??DEC?AC?CE?

∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB?BC?AC ∴AB?DE?AC

∴b的面積為5+11=16，故選D．

練習(xí)4如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，請(qǐng)?jiān)趫D中找出若干圖形，使得它們的面積之和恰好等于最大正方形①的面積，嘗試給出兩種以上的方案。22222

24.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，則S=（）

A.25 B.31 C.32 D.40

【答案】解：如圖，由題意得： AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故選B．

類型

五、利用勾股定理解決實(shí)際問題

例

5、有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對(duì)角線長(zhǎng)，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高．

【答案與解析】

解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺．

練習(xí)5

如圖，某儲(chǔ)藏室入口的截面是一個(gè)半徑為1.2m的半圓形，一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是1.2m,1m,0.8m的箱子能放進(jìn)儲(chǔ)藏室嗎？

5.如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？

【答案】

解：因?yàn)槠鞐U是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴

AB?BC?222AC?52?122?169 ．∴

AB?13(m)．

∴

BC＋AB＝5＋13＝18(m)．

∴

旗桿折斷前的高度為18m．