第一篇：勾股定理回顧與思考教案

勾股定理回顧與思考（教案）（北師大版八年級第一章）渭南市臨渭區三馬路中學孫莉玲 教學目標 教學知識點

對直角三角形的特殊性質全面進行總結。讓學生回顧本章的知識，同時重溫這些知識尤其是勾股定理的獲得和驗證的過程，在勾股定理及其逆定理應用過程中，體會各種數學思想方法的應用。了解勾股定理的歷史。能力訓練要求

體會在結論獲得和驗證過程中的數形結合的思想方法。

在回顧與思考的過程中，提高學生分析問題、解決問題的能力，鼓勵學生要善于思考、善于創新。

情感與價值觀要求

在反思和交流的過程中，體驗學習帶來的無盡樂趣。

通過對勾股定理歷史的了解，培養學生的愛國主義精神，體驗科學給人類帶來的力量。教學重點

回顧并思考勾股定理及其逆定理的獲得和驗證過程；總結直角三角形邊、角之間分別存在的關系。

在勾股定理及其逆定理應用過程中，體會各種數學思想方法。教學難點

在勾股定理及其逆定理應用過程中，體會各種數學思想方法。建立本章的知識框架圖。教學方法

交流與反思-----合作與探究 教具準備 無

教學過程

創設情境，導入新課 活動一：展示兩幅圖片，第一幅圖片為2002年在我國北京召開的第24屆國際數學家大會的場景，值得一提的是這次大會的會徽，為著名的趙爽弦圖。

第二幅圖片為我國著名數學家華羅庚教授提議的向宇宙發射的勾股定理的圖形，用來與外星人聯系。我國著名數學家華羅庚曾經說過：“把勾股定理送到外星球，與外星人進行數學交流”。

勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數學的發展中起著重要作用，在現實世界中有著廣泛的應用。勾股定理的發現、驗證及應用的過程蘊含了豐富的文化價值。這節課，我們將通過回顧與思考中的幾個問題更進一步了解勾股定理的歷史和它的廣泛應用。

設計意圖：這樣的導入富有科學特色和濃郁的數學氣息，激起學生強烈的興趣和求知欲。

二、反思交流，探求新知，：

一、議一議：

1、直角三角形的邊、角之間分別存在什么關系？ ⑴在△ABC中，∠C＝90o，a，b，c為三角形的三邊，則 角與角之間的關系：∠A＋∠B＝90o 邊與邊之間的關系：a2 + b2 = c2 ⑵在△ABC中，a，b，c為三角形的三邊，如果∠A＋∠B＝90o，則三角形為直角三角形。a2 + b2 = c2則三角形為直角三角形。

活動三：回顧勾股定理及直角三角形的判別條件

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2 + b2 = c2 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

直角三角形的判別條件：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2 +b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。

滿足a2 +b2=c2的三個正整數，稱為勾股數

游戲：叫一列學生玩常見勾股數的接龍游戲。3、4、5；6、8、10；9、12、15；15、20、25；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41等。

二、方格紙中勾股定理的驗證

方法一：分割為四個直角三角形和一個小正方形。

方法二：補成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積。

方法三：將幾個小塊拼成一個正方形，如圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個小正方形。方法四：利用皮克公式

正方形周邊上的格點數a=12，正方形內部的格點數b=13，所以，正方形C的面積為：S=1/2a+b-1.三、史話勾股定理的證明

1、三國時期數學家趙爽在為《周髀算經》作注時，創制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明.它用幾何圖形來證明代數式之間的恒等關系,體現了以形證數、形數統一、代數和幾何的緊密結合.2、傳說古希臘的畢達哥拉斯用下面的兩個圖形證明了勾股定理,你能直接觀察驗證勾股定理嗎？

活動：通過本章的學習，你還知道勾股定理的哪些證明方法？請同學們介紹。

1、美國總統伽菲爾德的證明.他的方法直觀、簡捷、易懂、明了。

2、劉徽的“青朱出入圖”，證明不需用任何數學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”.3、著名畫家達芬奇的證明 同學們，通過了解勾股定理的歷史，我們感受到古代數學家的偉大成就和勾股定理豐富的文化價值，希望同學們在今后的學習中善于探索，善于創新，并且把這些成就發揚光大。

四、欣賞美麗的勾股樹，感受數學圖形之美，創造之美。

五、拓展與應用勾股定理中的思想方法 數學思想方法是解決數學問題的靈魂．正解的運用數學思想方法也是成功解題的關鍵．尤其是在運用勾股定理解題時，更應注重思想方法的運用，那么你知道運用勾股定理解題應注重哪些思想方法呢？為了幫助同學們能清楚地知道這一問題，現就常用的思想方法舉例說明，供同學們學習時參考． 類型之

一、分類討論思想

已知一個直角三角形的兩邊長是和，求第三邊的長． 分析 已知一個直角三角形的兩邊長，并沒有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類討論． 解 當和是兩條直角邊時，則利用勾股定理求得第三條邊即斜邊是＝5；當是直角邊，是斜邊時，仍由勾股定理求得另一條直角邊是㎝．

說明 求解本題許多同學往往受勾3股4弦5的思維定勢，而誤認為和就是直角三角形的兩條直角邊，斜邊當然是了，從而漏掉一解導致錯誤． 構造直角三角形解題

類型之二轉化思想臺階中的最值問題

空間圖形的距離最短問題是勾股定理在實際生活中的具體應用，一般地求距離最短問題要把“立體圖形”轉化為“平面圖形”，再利用“兩點之間線段最短”，以及“勾股定理”等知識來解決問題，這類問題涉及的幾何體主要有長方體、正方體、圓柱等。

1、臺階中的最值問題

如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于５cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物。請你想一想，這只螞蟻從A點出發，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？ 解：臺階展開成平面如圖所示，連接AB 因為BＣ＝３×３＋１×３＝１２，AC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，ＡＢ＝１３㎝，所以螞蟻爬行的最短路線為１３㎝。B 類型之三方程思想

3、如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面3尺。突然，一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為6尺，請問水深多少？ 分析：由題意，我們知在圖1-1中為AB湖水的深度，AC為荷花的長，△ABC為直角三角形． 解：設水深為x尺，則荷花的長為（x+3）尺，由勾股定理得： 62+ x2=（x+3）2

解得：x=4.5,所以這個湖的水深為4.5尺． 類型之四數形結合思想

應用勾股定理及其逆用解決有關航海問題的應用題，首先要能從實際問題中抽象出數學模型，畫出圖形，結合其他知識求出直角三角形的未知邊或相關的量。

例如：甲、乙兩船從港口A同時出發，甲船以30海里/小時的速度向北偏東35°的方向航行，乙船以40海里/小時的速度另一個方向航行,2小時后，甲船達到C島，乙船到達B島。若兩島相距100海里，問：乙船航行的方向是南偏東多少度？ 解：如圖所示，在△ABC中，因為AC=2 × 30=60，AB=2 × 40=80，BC=100，所以AC2+BC2=602+802=3600+6400=10000=1002=BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.由于180°－35°－ 90°= 55°，所以乙船航行的方向是南偏東55 °。

六、跟蹤練習

1、已知一個Rt△ABC的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是

2、有一個圓柱，它的高等于13厘米，底面半徑等于3厘米.一只螞蟻從距底面1米的A點爬行到對角B點處去食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3).解：將圓柱的側面展開成平面圖形，連接AB 因為ＡＣ＝１３－１＝１２㎝，BC=３×３＝９㎝，所以AB2=AC2+BC2=２２５，ＡＢ＝１５㎝，所以螞蟻爬行的最短路線為１５㎝。

七、感悟與收獲

1、通過這節課的學習活動你有哪些收獲？

2、通過本節課的學習，你獲得了那些數學思想和方法？

3、學習過程中你還有什么困惑？

八、分層作業 必做題：

1、課本第16頁復習題

3，4，5

B組1

2、獨立完成一份小結，用自己的語言梳理本章的內容。選做題：

勾股定理不僅在數學的發展中起著重要作用，而且在現實世界中有著廣泛應用，請同學們試舉幾例，感受數學與生活緊密相連。

第二篇：八年級上冊勾股定理回顧與思考教學設計

第一章

勾股定理

回顧與思考

成都市石室聯合中學

林武

一、學生起點分析

通過前面三節的學習，學生已經基本掌握了勾股定理及逆定理的知識，并能應用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，因而學生已經具備解決本課問題所需的知識基礎和活動經驗基礎．同時在以前的數學學習中學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力．

八年級學生已初步具有幾何圖形的觀察，幾何證明的理論思維能力．他們希望老師創設便于他們進行觀察的幾何環境，給他們發表自己見解和表現自己才華的機會，希望老師滿足他們的創造愿望，讓他們實際操作，使他們獲得施展自己創造才能的機會．但對于勾股定理的綜合應用，還需要學生具備一定的分析、歸納的思維方法和運用數學的思想意識，但學生在這一方面的可預見性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同學會有一些困難．

二、教學任務分析

勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，將形與數密切聯系起來，理論上占有重要的地位，它有著悠久的歷史，在數學發展中起過重要的作用，在現實世界中也有著廣泛的應用，勾股定理的應用蘊含著豐富的文化價值．勾股定理也是后續有關幾何度量運算和代數學習必要的基礎，具有學科的基礎性與廣泛的應用．

本課時教學是復習課，強調讓學生經歷數學知識的形成與應用過程，鼓勵學生自主探索與合作交流，以學生自主探索為主，并強調同桌之間的合作與交流，強化應用意識，培養學生多方面的能力．讓學生通過動手、動腦、動口自主探索，感受數學的美，以提高學習興趣．

為此，本節課的教學目標是：

①讓學生回顧本章的知識，同時重溫這些知識尤其是勾股定理的獲得和驗證的過程，體會勾股定理及其逆定理的廣泛應用．

②在回顧與思考的過程中，提高解決問題，反思問題的能力．

③在反思和交流的過程中，體驗學習帶來的無盡的樂趣．通過對勾股定理歷史的再認識，培養愛國主義精神，體驗科學給人來帶來的力量．

三、教學過程設計

本節課設計了六個環節．第一環節：情境引入；第二環節：知識結構梳理；第三環節：合作探究；第四環節：拓展提升；第五環節：交流小結；第六環節：布置作業．

第一環節

情境引入

勾股定理，我們把它稱為世界第一定理．它的重要性，通過這一章的學習已深有體驗，首先，勾股定理是數形結合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學知道，正是由于勾股定理得發現，導致無理數的發現，引發了數學的第一次危機，這一點，我們將在《實數》一章里講到，第三，勾股定理中的公式是第一個不定方程，有許許多多的數滿足這個方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最為著名的就是費馬大定理，直到1995年，數學家懷爾斯才將它證明．

勾股定理是我們數學史的奇跡，我們已經比較完整地研究了這個先人給我們留下來的寶貴的財富，這節課，我們將通過回顧與思考中的幾個問題更進一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應用．

目的：

通過對勾股定理歷史及地位的解讀，讓學生了解知識脈絡及前后聯系，激發學習探究熱情．

效果：

從歷史的深度提出問題，學生探究熱情高漲，為下一環節奠定了良好基礎．

第二環節：知識結構梳理

本章知識要點及結構：

（第1—6題由學生獨立思考完成，小組代表展示）

1．勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用和分別表示直角三角形的直角邊和斜邊，那么__________．

2．勾股定理各種表達式：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊也分別為，則=_________，=_________，=_________．

3．勾股定理的逆定理：

在△ABC中，若三邊滿足___________，則△ABC為___________．

4．勾股數：

滿足___________的三個___________，稱為勾股數．

5．幾何體上的最短路程是將立體圖形的________展開，轉化為_________上的路程問題，再利用___________兩點之間，___________解決最短線路問題．

6．直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關系？

（教師引導，小組討論、總結）

從邊的關系來說，當然就是勾股定理；從角度的關系來說，由于直角三角形中有一個特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個銳角互余．

直角三角形作為一個特殊的三角形．如果又有一個銳角是，那么的角所對的直角邊時斜邊的一半．

7．舉例說明，如何判斷一個三角形是直角三角形．

判斷一個三角形是直角三角形可以從角、邊兩個方面去判斷．

（1）從定義即從角出發去判斷一個三角形是直角三角形．

例如：①在△ABC中，根據三角形的內角和定理，可得，根據定義可判斷△ABC是直角三角形．

②在△ABC中，由三角形的內角和定理可知，，△ABC是直角三角形．

（2）從邊出發來判斷一個三角形是直角三角形．其實從邊來判斷直角三角形它的理論依據就是判定直角三角形的條件（即勾股定理的逆定理）．

例如：①△ABC的三條邊分別為，而，根據勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，但這里要注意的是b所對的角．

②在△ABC三條邊的比為，△ABC是直角三角形．

8．通過回顧與思考中的問題的交流，由同學們自己建立本章的知識結構圖．

（小組內展示自己總結的知識框圖，相互交流完善知識框圖；每個小組選取一名代表，展示本組的知識框圖．）

三邊的關系--勾股定理→歷史、應用

直角三角形

直角三角形的判別→應用

目的：

復習與直角三有形有關的知識，加強知識的前后聯系，把勾股定理及判定納入直角三角形的知識體系中，把以前的零散的知識形成知識體系．通過學生相互交流，整理知識框圖復習本章知識點，自覺內化到自身的知識體系中．

效果：

學生有獨立思考的空間，與有合作交流的舞臺，動靜結合，相得益彰．

第三環節：合作探究

內容：

探究一：利用勾股定理求邊長

已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長的平方．

解：（1）當兩直角邊為3和4時，第三邊長的平方為25；

（2）當斜邊為4，一直角邊為3時，第三邊長的平方為7．

注意事項：

因學生習慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時，斜邊長為5．但這一理解的前提是3、4為直角邊．而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊．

探究二：利用勾股定理求圖形面積：

1．求出下列各圖中陰影部分的面積．

_

（3)

圖（1）陰影部分的面積為＿＿＿＿；（答案：1）

圖（2）陰影部分的面積為＿＿＿＿；（答案：81）

圖（3）陰影部分的面積為＿＿＿＿；（答案：5）

2．已知Rt△ABC中，若，求Rt△ABC的面積．

探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形狀或求角度

1.在△ABC中，的對邊分別為，且，則（）.（A）為直角

（B）為直角

（C）為直角

（D）不是直角三角形

解：，∴．故選（A）.注意事項：

因為常見的直角三角形表示時，一般將直角標注為，因而有同學就習慣性的認為就一定表示直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，導致錯誤.該題中的條件應轉化為，即，因根據這一公式進行判斷．

2．已知△ABC的三邊為a，b，c，有下列各組條件，判定△ABC的形狀．

（1）；

（2）．

解：（1）（2）均為直角三角形．

探究四：勾股定理及逆定理的綜合應用：

B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時8

n

mile的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15

n

mile的速度前進，2小時后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34

n

mile，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？

解：甲船航行的距離為BM=（n

mile），乙船航行的距離為BP=（n

mile）．

∵，∴，∴△MBP為直角三角形，∴，∴乙船是沿著南偏東方向航行的．

注意事項：

勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題需對三角形做出判斷，判斷的依據是勾定理的逆定理，其形式為“若，則．學生容易不先對三角形做出判斷而直接應用勾股定理進行計算．

目的：

通過對四大問題的探究，培養同學們歸納知識的能力，并將各種數學基本思想方法滲透其中，如對數形結合思想的滲透，鼓勵學生由代數表示聯想到幾何圖形，由幾何圖形聯想到有關代數表示，從而認識數學的內在聯系．如對分類討論的滲透，培養學生嚴謹的數學態度．

效果：

探究四綜合運用勾股定理及其逆定理解決實際問題，這種貼近生活的實例，訓練學生解決實際問題的能力，通過學生的解答和討論，讓學生自我解決疑難，既是對所學知識的鞏固應用，又讓學生體驗成功的喜悅．

第四環節：拓展提升

內容：

我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由“弦圖”變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是

．

（答案為）

目的：

學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應用，了解我國古代人民的聰明才智，在我們的數學史上，好多結論的發現都是這樣一個過程，都是從幾個或大量的特例中發現規律，大膽猜想出結論，然后以前面的理論作為基礎，證明猜想，一個偉大的成果就誕生了，掌握這種研究數學的方法，大膽創新，刻苦鉆研，說不一定你就是未來的商高，第二個趙爽．

效果：

運用勾股定理和方程思想解決實際問題，讓學生體會生活中處處皆數學，并且使新知得到了鞏固，能力得到了訓練，認識得到了升華．

第五環節：交流小結

內容：

師生相互交流總結：

1.本章知識要點及在學習中用到了哪些數學思想方法？

2．你在學習過程中是否積極參與？是否與同伴進行了有效的合作交流？

目的：

鼓勵學生結合本節課的學習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應用及它們的悠久歷史．

效果：

學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結解決問題的思路與方法，并贊嘆我國古代數學的成就．

第六環節：布置作業

1．課本《復習題》．

2．思考題：一個正方體物體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示．正方形DEFH的邊長為2

m，坡角m．當正方形DEFH運動到什么位置，即當AE＝

m時，有．

（答案為：．）

四、教學設計反思

本節課是復習課，利用勾股定理和勾股逆定理來解決實際問題．勾股定理是在學生已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的，它揭示了一個三角形三條邊之間的數量關系，而勾股定理逆用的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形．針對我班學生的知識結構和心理特征，本節課的設計思路是引導學生“‘做’數學”，先由淺入深，在學生的自主探究與合作交流中解決問題，這樣既遵循了學生的認知規律，又充分體現了“學生是數學學習的主人、教師是數學學習的組織者、引導者與合作者”的教學理念.本節課圍繞激趣引入，歸納知識--綜合練習，應用知識—課堂小結三部分，發展學生應用數學的意識與能力，增強了學生學好數學的愿望和信心．讓學生自己繪制知識網絡圖，進一步體會本章所學知識之間的前后聯系，并培養了學生這方面的能力．設計的題目既考察了對基本知識的掌握情況，又注重了綜合課的特點，注重對所學知識的綜合利用．設計的問題盡量與實際問題有聯系，體現了數學來源于實際，又應用于生活實際，這一點符合新課標的要求．

附：板書設計

回顧與思考

一

情境引入

二

本章知識結構

三邊的關系--勾股定理→歷史、應用

直角三角形

直角三角形的判別→應用

三

合作探究

探究一：利用勾股定理求邊長

探究二：利用勾股定理求圖形面積

探究三：利用勾股定理及逆定理判定△ABC的形狀或求角度

探究四：勾股定理及逆定理的綜合應用

四

拓展與提升

五

交流小結

六

布置作業

第三篇：示范教案一回顧與思考

第八課時

●課 題 回顧與思考 ●教學目標

（一）教學知識點

1.進一步認識軸對稱及其基本性質.2.進一步了解基本圖形的軸對稱性.3.按要求能夠作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形.4.能利用軸對稱進行一些圖案設計.（二）能力訓練要求

1.通過回顧進一步認識軸對稱及它的基本性質.掌握對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質.2.通過回顧進一步了解基本圖形（線段、角、等腰三角形）的軸對稱性及其相關性質.3.能夠按要求作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形.探索簡單圖形之間的軸對稱關系，并能指出對稱軸.4.能欣賞現實生活中的軸對稱圖形，利用軸對稱能進行一些圖案設計.（三）情感與價值觀要求

1.通過回顧與思考的活動，讓學生進一步了解軸對稱在現實生活中的廣泛應用和豐富的文化價值，并且增進學生學習數學的興趣.2.通過回顧與思考的活動，進一步發展空間觀念和審美意識.●教學重點

軸對稱的基本性質，欣賞并體驗軸對稱在現實生活中的廣泛應用.●教學難點

欣賞并體驗軸對稱在現實生活中的廣泛應用.●教學方法 小組討論法.●教具準備 投影片兩張

第一張：問題串（記作投影片“回顧與思考”A）第二張：知識框架圖（記作投影片“回顧與思考”B）學生用具：

剪刀、正方形紙片.●教學過程

Ⅰ.巧設現實情景，引入新課

［師］到今天為止，我們學習完了第七章：生活中的軸對稱，由這一章的學習，知道了我們生活在圖形的世界中，由于有軸對稱圖形，而使得生活豐富多彩.在本章豐富的活動中認識理解了軸對稱的基本性質.這節課我們就來共同回顧這一章的內容.Ⅱ.講授新課

［師］大家先來回顧本章的內容，然后小組討論，總結本章知識，再回答以下問題（出示投影片“回顧與思考”A）

1.舉出生活中軸對稱的例子.2.舉例說明軸對稱有哪些性質？

3.指出角、線段、等腰三角形的對稱軸，每個圖形的對稱軸與這個圖形有怎樣的位置關系？

4.分別找出具有一條、兩條、三條、四條對稱軸的圖形.［生甲］家中的床、書柜、衣柜等家具都是軸對稱圖形.［生乙］一些建筑物、汽車、飛機等都是具有對稱軸的圖形.［生丙］還有我們書中提到的：如：楓葉、雙喜字、腳印、樹與其在水中的倒影等.??

［師］同學們認識了生活中這么多的軸對稱圖形，真棒，那它們有哪些性質呢？ ［生?。葺S對稱圖形中的對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角也相等.［生戊］也可以說：沿一條直線對折后，直線兩旁的部分或圖形能完全重合.［師］很好，在軸對稱圖形中，我們還研究了一些基本圖形的軸對稱性及相關性質，那大家想一想第3個問題.［生甲］角的對稱軸是它的角平分線所在的直線.［生乙］線段的對稱軸有兩條：一條是它本身所在的直線，另一條是線段的垂直平分線.［生丙］等腰三角形的對稱軸是頂角的平分線所在的直線.［生?。莸妊切蔚膶ΨQ軸也可以說是底邊上的中線所在的直線或底邊上的高所在的直線.因為等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合.［生戊］每個圖形的對稱軸與這個圖形的位置關系如圖7－39所示：

圖7－39

（1）圖的對稱軸平分這個角.（2）圖的對稱軸平分垂直線段AB；還可以說它的對稱軸與本身重合.（3）圖的對稱軸平分頂角∠BAC，或垂直底邊BC，或平分底邊BC.對稱軸兩旁的部分能夠互相重合.［師］同學們討論、歸納得很好.下面看第4個問題，你能舉出例子嗎？ ［生甲］等腰三角形的對稱軸只有一條.矩形的對稱軸有兩條.等邊三角形的對稱軸有三條.正方形的對稱軸有四條.［生乙］等腰梯形的對稱軸也有一條.線段的對稱軸有兩條.［生丙］角的對稱軸只有一條.［師］同學們能運用例子說明自己對有關知識的理解，很好.下面我們分組交流，梳理本章的內容，來建立知識框架.（學生分組交流、討論，教師適當作指導）

［師］好，下面我們共同來建立本章的知識框架圖.（教師可光引導，板書，然后出示投影片“回顧與思考”B）

［師］接下來我們通過做練習以鞏固本章的知識.Ⅲ.課堂練習

（一）課本P210復習題A組 1、2、3、4、5.1.找出下列圖形中的軸對稱圖形，并指出它們的對稱軸.答案：（2）（3）（5）是軸對稱圖形.（2）中有六條對稱軸，（3）中有4條對稱軸，（5）中有4條對稱軸.2.將一張紙對折后，用筆尖扎出一個你喜歡的圖案，將紙打開，觀察得到的圖案，你發現了什么？

答案：通過操作、觀察發現：得到的圖案是以折痕為對稱軸的軸對稱圖形（或兩個圖形成軸對稱，以折痕為對稱軸）.3.將一張彩色正方形紙沿對角線對折，再沿等腰三角形底邊上的高對折.用剪刀在折好的紙上剪一個漂亮的圖案，并將紙打開，與同伴交流你的作品，你的作品中有幾條對稱軸？

答案：至少有兩條對稱軸.4.在26個英文大寫字母中，有些字母可以看成是軸對稱的，請你找出來，你能找到軸對稱的漢字嗎？

答案：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y等都可以看成是軸對稱的.“

一、中、畫、日、田、木、出”等都可以看成是軸對稱圖形.5.以虛線為對稱軸畫出圖7－40的另一半.圖7－40

答案：

圖7－41

（二）回顧本章內容，然后小結.Ⅳ.課時小結

這節課主要回顧、思考了第七章的主要內容，并建立了知識框架圖.從中我們還體會了數學的廣泛應用和文化價值.Ⅴ.課后作業

（一）課本P211復習題B組 1、2、3、4 C組 1、2、3

（二）自己獨立完成一份小結，用自己的語言來梳理本章內容，并回顧自己在本章學習中的收獲、困難和需要改進的地方.Ⅵ.活動與探究

1.A、B、C三個村莊在一條東西向的公路沿線上.如7－42圖，AB=2 km、BC=3 km,在B村的正北方有一個D村，測得∠ADC=45°，今將△ACD區域規劃為開發區，除其中4 2km的水

塘外，均作為建筑或綠化用地.圖7－42 ［試求］這個開發區的建筑或綠化用地的面積是多少平方千米？

［過程］通過學生解決這個實際問題，讓他們進一步體會理論聯系實際.［結果］解：作Rt△ADB關于DA所在直線的軸對稱圖形Rt△ADB.易知：Rt△ADB1≌Rt△ADB.作Rt△BCD關于DC所在直線的軸對稱圖形Rt△B2CD,易知Rt△B2CD≌Rt△BCD.延長B1A、B2C相交于點E，則四邊形DB1EB2是正方形.設BD=x，則B1D=DB2=B2E=B1E=x AB1=AB=2，CB2=BC=3，AC=5 ∴AE=x－2，CE=x－3 在Rt△AEC中AE2+CE2=AC2（x－2）2+（x－3）2=（2+3）2 x2－5x－6=0，（x－6）（x+1）=0 ∵x＞0則x+1＞0，∴x－6=0,x=6 ∴DB=6，S△ADC=12×6×5=15 由于有4平方千米的水塘，所以作為建筑或綠化用地的面積為： 15－4=11，即：11平方千米.●板書設計 回顧與思考

一、問題串

二、知識結構圖

三、課堂練習

四、課時小結

五、課后作業

第四篇：示范教案一1.10.1 回顧與思考(一)

第十七課時

●課 題

§1.10.1 回顧與思考(一)●教學目標(一)教學知識點

1.整式的概念及其加減混合運算.2.冪的運算性質(即同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪的除法、零指數冪和負整數指數冪).3.整式的乘法運算(即包括單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式、平方差公式、完全平方公式).4.整式的除法運算(即單項式除以單項式，多項式除以單項式).(二)能力訓練要求

1.以“問題情景——數學模型——求解模型”為主要線索，經歷從問題情景中尋求數量關系，發展符號感，并用符號運算解決一些問題.2.回顧整式的運算法則的探究過程，發展推理能力和表達能力，培養學生“觀察——歸納——概括”的思維方法和策略.3.回顧從面積的角度解釋多項式乘法、平方差公式、完全平方公式等內容，并直觀上認識和解釋它們.4.回顧整式運算的每一步算理，重視冪的意義的作用和乘方分配律的作用，滲透轉化、類比的思想.(三)情感與價值觀要求

1.在回顧與思考的過程中，培養學生應“用數學”的意識和信心.2.在用符號表示現實情景中問題時，體會數學的簡捷美，培養對學習數學的興趣.●教學重點

在回顧與思考本章重要內容的同時，建立本章的知識結構網絡圖.●教學難點

靈活運用所學知識解決問題.●教學方法 啟發引導法

以問題的形式幫助學生總結本章的內容，在學生充分思考、交流的基礎上，引導學生梳理本章的結構框架.●教具準備 投影片三張

第一張：問題串(一)，記作(§1.10.1 A)第二張：問題串(二)，記作(§1.10.1 B)第三張：問題串(三)，記作(§1.10.1 C)●教學過程

Ⅰ.創設情景，引入新課

［師］這一章，我們學習了整式的概念及整式的運算.這一節課，我們一起回顧與反思這一章的重要內容.Ⅱ.講述新課，建立本章知識結構框架圖 出示投影片§1.10.1 A 1.舉例說明什么是整式.2.說說如何進行整式的加減運算.［師］請同學們針對上面的兩個問題，然后再作回答.［生］例如：一件夾克標價為a元，現按標價的7折出售，則售價用代數式表示為0.7a元.再例如：3月12日是植樹節，七年級一班和二班的同學參加了植樹活動，一班種了a棵樹，二班種的比一班的2倍還多b棵，兩個班一共種了(3a+b)棵樹.我們把像0.7a這樣表示數字與字母的乘積的代數式叫做單項式；像(3a+b)表示的是幾個單項式的和的代數式叫做多項式，單項式和多項式統稱為整式.［師］0是整式嗎？

［生］是.因為單獨的一個數或一個字母也是單項式，所以所有的有理數都是單項式.［師］關于單項式和多項式還有什么規定？

［生］單項式的次數是這個單項式中所有字母的指數和.單獨的一個非零數的次數是0.一個多項式中次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數.例如7n的次數是1，x－by3的次數是4.［師］我們來回顧一下第2個問題的內容？你能舉例說明嗎？

［生］進行整式的加減時，如果遇到有括號先去括號，然后再合并同類項.例如(5mn－2m+3n)－(7m+7mn)=5mn－2m+3n－7m－7mn(去括號)=－2mn－9m+3n(合并同類項)［師］接下來，我們再來一塊回顧冪的運算性質，并回答下面兩個問題(出示投影片§1.10.1 B)3.說一說如何進行冪的運算，每一步的依據是什么？ 4.用2、3、4組成一個算式，使得運算結果最大.［生］冪的運算性質，包括有同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底冪的除法，我們會結合下列表格說明如何進行冪的運算，及其每一步的依據(學生自我展示，用實物投影儀).同時我們還由同底數冪的除法得出了零指數冪和負整數指數冪的定義： 當m=n時，am÷an=am－n=a0=1(m、n是正整數，a≠0);當m

m個?a????a?a???a=(a?a???a)?(a?a???a??????????m個a(n?m)個a=－1=amn.a?a????a????(n?m)個a即1an?m=amn(a≠0,m、n是正整數)－令n－m=p, 則m－n=－p.所以ap=－1ap(a≠0,p是正整數)［師生共析］我們知道乘方運算可以使數增長的速度飛快.用2、3、4組成的算式，為使運算結果盡量大，于是我們想到了用2、3、4組成冪的形式，而且冪的指數也是冪的形式，可以使數盡量大.由這三個數可組成6個盡量大的算式.即23,24,32,32,34,42,43.比較它們的大小，有計算器的同學借助于計算器，沒有可計算、估測一下.例如23和24，由于3=81，4=64，所以23=2，24=2，所以23>24.?? 344344232

4348

1364

43把它們從大到小的順序排列為

23>24=32=34>43>42.434223所以，運算結果最大的一個算式應該是23.［師］接下來，我們來看第5、6個問題(出示投影片§1.10.1 C)5.說一說如何做整式的乘法.有關整式的乘法公式有哪些？

6.舉例說明如何進行單項式除以單項式，多項式除以單項式運算.［生］整式的乘法包括單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式(包含乘法公式).例如(a2b3)·(－15a2b2c3)=［×(－15)］·(a2·a2)·(b3·b2)·c3－5a4b5c3

由此看出單項式與單項式相乘，是利用乘法的交換律、結合律把它們的系數、相同字母的冪相乘,其余字母連同它的指數不變，作為積的因式.1223112=(xy2)·(x2y)+ xy2·(－6xy)22341313［生］例如xy2(x2y－6xy)單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.［生］也就是說，單項式與多項式相乘可根據乘法分配律轉化成單項式與單項式的乘法.［師］多項式與多項式該如何乘？

［生］多項式與多項式的乘法也可以利用乘法分配律，把其中的一個多項式看成一個整體，轉化成單項式與多項式相乘的方法運算.例如：(m+b)(m+a)=m(m+a)+b(m+a)=m2+ma+bm+ab

［生］在多項式與多項式相乘中，還有特殊的多項式乘法即乘法公式，利用乘法公式進行計算，必須抓住其公式的特點.平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2,其中a、b可以是數，也可以是整式.它表示兩個數和與差的積等于它們的平方差.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,其中a、b可以是數，也可以是整式，它表示兩數和(差)的平方等于它們的平方和加上(減去)它們積的2倍.同時我們還可以利用拼圖做出上述兩個公式的幾何解釋.［生］6.單項式除以單項式，例如：a4b2c2d÷(ab2c)=(1÷)·(a4÷a)·(b2÷b2)·(c2÷c)·d=2a3cd.即單項式除以單項式，把系數、同底的冪分別相除后作為商的一個因式；只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式.多項式除以單項式.例如：(4a3b－6a2b2+12ab3)÷(2ab)=(4a3b)÷(2ab)－(6a2b2)÷(2ab)+(12ab3)÷(2ab)=2a2－3ab+6b2

即多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.其實，多項式除以單項式，是利用乘法分配律轉化成為單項式除以單項式來運算的.Ⅲ.建立本章的知識框架圖

［師］同學們通過反思本章的內容，可以交流一下，本章的框架圖應如何建立.［師生共析］本章的框架圖如下：

1212Ⅳ.課時小結

本節課我們結合具體實例，回顧與反思了知識間的內在聯系，師生共建了本章的知識結構框架圖.Ⅴ.課后作業

課本P44，復習題A組

Ⅵ.活動與探究

求圖1－27中陰影部分的面積.圖1－27 ［過程］求圖中陰影部分的面積遵循一個原則即把一個幾何圖形分成若干個基本圖形，再計算它的面積.［結果］解法①：長是a、寬是b的長方形(外長方形)的面積是ab.長是(a－2x),寬是(b

－2x)的長方形(內長方形)的面積是(a－2x)·(b－2x).所以陰影部分的面積是ab－(a－2x)(b－2x)=ab－［ab－2ax－2bx+4x2］=2ax+2bx－4x2

解法②：把陰影部分的面積看成長為(2a+2b－4x)、寬是x的長方形的面積，則陰影部分的面積是x(2a+2b－4x)=2ax+2bx－4x2.解法③:把陰影部分分割成：兩個長為a,寬為x的長方形和兩個長為b,寬為x的長方形，再去掉多考慮的四個邊長為x的小正方形.于是陰影部分的面積是2ax+2bx－4x2.解法④：把陰影部分分割成兩個長為(a－2x),寬為x的長方形和兩個長為(b－2x),寬為x的長方形及四個邊長為x的正方形，則陰影部分面積為2x(a－2x)+2x·(b－2x)+4x2=2ax+2bx－4x2.●板書設計

§1.10.1 回顧與思考(一)●備課資料

一、正確認識(a+b)2與a2+b2

正確認識(a+b)2與a2+b2的不同：

1.讀法不同：(a+b)2讀作“a與b兩數的和的平方”；a2+b2讀作“a與b兩數的平方和”.圖1－28 2.運算順序不同：(a+b)是先求和然后平方；而a2+b2是先平方再求和.3.幾何意義不同：如圖1－28中大正方形的面積是(a+b)2,而圖1－28中陰影部分的面積是a2+b2.4.項數不同：(a+b)2是二項式的平方和，它的展開式a2+2ab+b2是一個二次三項式；a2+b2是二次二項式，有a2+b2=(a+b)2－2ab.當a=0或b=0時，有a2+b2=(a+b)2.正確應用(a+b)2與a2+b2的關系：

等式a2+b2=(a+b)2－2ab是一個公式的重要變形，在解題中應用很廣.例如：已知(a+b)6=125,ab=2,求a2+b2的值.解：∵(a+b)6=125，2

∴(a+b)2=5, ∴a2+b2=(a+b)2－2ab =5－4=1.

第五篇：勾股定理教案

勾股定理

作者：范丹初中 耿占華

一、素質教育目標

（一）知識教育點

1、用驗證法發現直角三角形中存在的邊的關系。

2、掌握定理證明的基本方法。

（二）能力訓練點

觀察和分析直角三角形中，兩邊的變化對第三邊的影響，總結出直角三角形各邊的基本關系。

（三）德育滲透點

培養學生掌握由特殊到一般的化歸思想，從具體到抽象的思維方法，以及化歸的思想，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍；又從一般到特殊，從抽象到具體，應用到實踐中去。

二、教學重點、難點及解決辦法

1、重點：發現并證明勾股定理。

2、難點：圖形面積的轉化。

3、突出重點，突破難點的辦法：《幾何畫板》輔助教學。

三、教學手段 ：

利用計算機輔助面積轉化的探求。

四、課時安排：

本課題安排1課時

五、教學設想：

想培養學生的思維能力，為學生提供一個豐富的思維空間，使學生能夠根據“式，數、形”等不同的結構從不同的角度去分析問解決問題

六、教學過程（略）