第一篇：勾股定理教案

勾股定理（課時一）

教學目標

知識與技能：

通過觀察猜想得出勾股定理的結論。過程與方法：

通過觀察、歸納、猜想、探索的過程，發展學生的合情推理能力，體會數形結合的思想。

情感態度與價值觀：

通過對勾股定理歷史的了解，感受數學文化，激發學生的愛國熱情。

教學重、難點

重點：探索三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結論，從而發現勾股定理。

難點：勾股定理的證明。教學過程

1、創設問題情境、引入新課

問題1：我國古代，人們將直角三角形中的短的直角邊叫做鉤、長的直角邊叫做股、斜邊叫做弦。根據我國古算書《周髀算經》記載，約在公元前1100年人們已經知道鉤是

三、股是四，那么弦就是五，你知道是為什么嗎？

（設計意圖：問題設置具有一定的挑戰性，為的是激發學生探究的欲望。在學生感到困惑時教師指出：通過本章的學習可以解開困惑。）

2、探索交流、開展新科 活動1 問題2：畢得格拉斯是古希臘著名的哲學家、數學家、天文學家，相傳2500年前，一次他去朋友家做客，發現朋友家的用磚鋪成的地面反映了直角三角形三邊的某種關系。我們來觀察一下圖中的地面，看看能發現些什么？

問題3：你能發現下圖中等腰直角三角形A、B、C有什么性質嗎？

問題4：等腰三角形都有上述性質嗎？觀察下圖，回答問題。（1）觀察圖1 正方形A中含有 個小方格，即A的面積是 個單位面積。正方形B中含有 個小方格，即B的面積是 個單位面積。正方形C中含有 個小方格，即C的面積是 個單位面積。（2）在圖

2、圖3中，正方形A、B、C中個含有多少個小方格？它們的面積各是多少？你如何得到上述結果的？與同伴交流。

（2）請將上述結果填入下表，你能發現正方形A、B、C的面積關系嗎？

（設計意圖：通過學生觀察計算，發現對于等腰直角三角形而言，滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。通過探究、發現，體會數形結合思想。）命題一 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2

活動2 問題5：等腰三角形有上述性質，其他的三角形也有這個性質嗎？如下圖，每個小方格的面積均為1，請分別計算出下圖中A、B、C、A‘、B‘、C’的面積，看看能得出什么結論？（問題6：給出一個邊長為0.5、1.2、1.3，這種含小數的直角三角形，也滿足上述結論嗎？

（設計意圖：進一步讓學生體會觀察、猜想、歸納這一數學結論的發現過程，提高學生的分析問題、解決問題的能力。體會結論具有一般性。）介紹趙爽弦圖

3、案例剖析，知識升華 活動3 問題7：小明的媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機，小明量了電視機的音幕后，發現銀幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？

問題8：（1）如圖，一根旗桿在離地面9m出斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，問旗桿折斷之前有多高？

（2）就斜邊長17cm，一條直角邊長15cm的直角三角形的面積。

（設計意圖：兩個問題都是貼近學生生活的實例，學生可利用勾股定理解決。直角三角形的三邊關系告訴我們已知兩邊可求出第三邊，從而體驗用勾股定理解決實際問題的過程。）

4、課堂回顧，知識小結

掌握勾股定理及應用；會利用勾股定理解決實際問題。板書設計

5、作業設計

教材69頁習題18.1第1題、第2題。

第二篇：勾股定理教案

勾股定理專題 第 1 講

一、《標準》要求

1．在研究圖形性質和運動等過程中，進一步發展空間觀念。2．在多種形式的數學活動中，發展合情推理能力。

3．經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性。4．探究勾股定理及其逆定理，并能運用他們解決一些簡單的實際問題。

二、教學目標：

（一）、知識與技能：

經歷勾股定理及其逆定理的探索過程，了解勾股定理的各種探究法方法及其內在聯系，體驗數形結合的思想，解和掌握勾股定理內容及簡單應用，進一步發展空間觀念和推理能力。

（二）、過程與方法：

1．掌握勾股定理及其逆定理的內容；

2．能夠運用勾股定理求解三角形中相關的邊長（只限于常用的數）；

3．通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題．

（三）、情感態度與價值觀

通過實例了解勾股定理的歷史與應用，體會勾股定理的文化價值。

三、教學重點

勾股定理及其逆定理在解決數學問題中的靈活應用

四、教學難點

勾股定理及其逆定理的證明

五、教學過程

一、引入新課

據傳兩千多年前的一天（公元前580-490年左右），古希臘著名的數學家畢達哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發起呆來，原來朋友家的地面是由許多直角三角形組成的圖案，黑白相間，美觀大方。主人看到畢達哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達哥拉斯突然恍然大悟地站了起來，大笑著跑回去了，原來，他發現了地磚上的三個正方形存在某種數學關系。

那么黑白相間的地磚上的正方形之間存在怎樣的關系呢？讓我們一起來探索！

勾股定理被稱為“幾何學的基石”，勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

別名：商高定理、畢達哥拉斯定理、百牛定理。1（1）、動手畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用

刻度尺量出AB的長。（2）、再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長

你能觀察出直角三角形的三邊關系嗎？看不出來的話我們先來看一下下面的活動。

4.如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個單位長度和2.4個單位長度，上面的猜想關系還成立嗎？

二、新知傳授

通過上面的活動，可以發現：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。因為我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此我國把上面的這個結論稱為勾股定理。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a,b,c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a?b?c。22

勾股定理的一些變式：

2a2?c2?b2，b2?c2?a2，c??a?b??2ab．

2勾股定理的證明

勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化進行證明的，體現了數形結合的思想．

方法一：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．

，所以．

(這個方法叫加菲爾德證法。加菲爾德在證出此結論5年后，成為美國第20任總統，所以人們又稱其為“總統證法”。)

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．

圖（1）中，所以

．

這是加菲爾德證法變式 如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個梯形拼在一起，就變為了此證明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即:

方法三：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．

圖（2）中，所以

．

(這個方法是以前一個叫趙爽的人對這個圖做出的描述，所以這個圖又叫趙爽弦圖，用現代的數學語言描述就是大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個三角形的面積。)

那么勾股定理到底可以用來干什么呢？

勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊； 2.用于解決帶有平方關系的證明問題； 3． 與勾股定理有關的面積計算； 4．勾股定理在實際生活中的應用．

類型

一、勾股定理的直接應用

例

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．

5（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．

【思路點撥】利用勾股定理a2?b2?c2來求未知邊長．

解：（1）因為△ABC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，a＝5，b＝12，所以c2?a2?b2?52?122?25?144?169．所以c＝13．

（2）因為△ABC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，c＝26，b＝24，所以a2?c2?b2?262?242?676?576?100．所以a＝10．

練習1

△ABC，AC=6，BC=8,當AB=________時，∠C=90°

2.在△ABC中，?A?900，則下列式子中不成立的是（）A.BC2?AB2?AC

2B.AC2?BC2-AB2 B.AB2?BC2?AC2

D.AB2?AC2?BC2

3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a；

（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c．

【答案】

解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ a?c?b?10?6?64，∴ a＝8．（2）設a?3k，c?5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ a?b?c．

222(3k)?32?(5k)即． 22222222解得k＝8．

∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．

類型

二、與勾股定理有關的證明

例

2、（2015?豐臺區一模）閱讀下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．

由圖1可以得到（a+b）=4×222

2，整理，得a+2ab+b=2ab+c．

222所以a+b=c．

如果把圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由圖2可以得到

，整理，得

，所以

．

【答案與解析】

證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2． 故答案是：4?1ab?（b-a)2?c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 2

練習2 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（）

A．AC2

B．BD2

C．BC2

D．DE2

【答案】連接AD構造直角三角形，得，選A．

類型

三、與勾股定理有關的線段長

例

3、如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F 處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D； 【解析】

解：設AB＝x，則AF＝x，∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6．

2類型

四、與勾股定理有關的面積計算

例

4、如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）

A．6

B．5

C．11

D．16 【思路點撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積． 【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵??ABC??CDE???ACB??DEC?AC?CE?

∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB?BC?AC ∴AB?DE?AC

∴b的面積為5+11=16，故選D．

練習4如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，請在圖中找出若干圖形，使得它們的面積之和恰好等于最大正方形①的面積，嘗試給出兩種以上的方案。22222

24.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，則S=（）

A.25 B.31 C.32 D.40

【答案】解：如圖，由題意得： AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故選B．

類型

五、利用勾股定理解決實際問題

例

5、有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．

【思路點撥】根據題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構成直角三角形，運用勾股定理可求出門高．

【答案與解析】

解：設門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺．

練習5

如圖，某儲藏室入口的截面是一個半徑為1.2m的半圓形，一個長、寬、高分別是1.2m,1m,0.8m的箱子能放進儲藏室嗎？

5.如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？

【答案】

解：因為旗桿是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴

AB?BC?222AC?52?122?169 ．∴

AB?13(m)．

∴

BC＋AB＝5＋13＝18(m)．

∴

旗桿折斷前的高度為18m．

第三篇：勾股定理教案

勾股定理教案1

一、教學目標

1．靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題．

2．進一步加深性質定理與判定定理之間關系的認識．

二、重點、難點

1．重點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題．

2．難點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題．

3．難點的突破方法：

三、課堂引入

創設情境：在軍事和航海上經常要確定方向和位置，從而使用一些數學知識和數學方法．

四、例習題分析

例1（P83例2）

分析：⑴了解方位角，及方位名詞；

⑵依題意畫出圖形；

⑶依題意可得PR=12×1。5=18，PQ=16×1。5=24，QR=30；

⑷因為242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根據勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR—∠QPS=45°．

小結：讓學生養成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識．

例2（補充）一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀．

分析：⑴若判斷三角形的`形狀，先求三角形的三邊長；

⑵設未知數列方程，求出三角形的三邊長5、12、13；

⑶根據勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形．

解略．

本題幫助培養學生利用方程思想解決問題，進一步養成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識．

勾股定理教案2

一、例題的意圖分析

例1（P83例2）讓學生養成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。

例2（補充）培養學生利用方程思想解決問題，進一步養成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。

二、課堂引入

創設情境：在軍事和航海上經常要確定方向和位置，從而使用一些數學知識和數學方法。

三、例習題分析

例1（P83例2）

分析：⑴了解方位角，及方位名詞；

⑵依題意畫出圖形；

⑶依題意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；

⑷因為242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根據勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小結：讓學生養成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識。

例2（補充）一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀。

分析：⑴若判斷三角形的'形狀，先求三角形的三邊長；

⑵設未知數列方程，求出三角形的三邊長5、12、13；

⑶根據勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形。

解略。

四、課堂練習

1．小強在操場上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是。

2．如圖，在操場上豎直立著一根長為2米的測影竿，早晨測得它的影長為4米，中午測得它的影長為1米，則A、B、C三點能否構成直角三角形？為什么？

3．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，問：甲巡邏艇的航向

勾股定理教案3

教學目標

1、知識與技能目標：探索并理解直角三角形的三邊之間的數量關系，通過探究能夠發現直角三角形中兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方和。

2、過程與方法目標：經歷用測量和數格子的辦法探索勾股定理的過程，進一步發展學生的合情推理能力。

3、情感態度與價值觀目標：通過本節課的學習，培養主動探究的習慣，并進一步體會數學與現實生活的緊密聯系。

教學重點

了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題。

教學難點

勾股定理的探究以及推導過程。

教學過程

一、創設問題情景、導入新課

首先出示：投影1（章前的圖文）并介紹我國古代在勾股定理研究方面的貢獻，結合課本第六頁談一談我國是最早了解勾股定理的國家之一，介紹商高（三千多年前周期的數學家）在勾股定理方面的貢獻。

出示課件觀察后回答：

1、觀察圖1—2，正方形A中有_______個小方格，即A的面積為______個單位。

正方形B中有_______個小方格，即B的面積為______個單位。

正方形C中有_______個小方格，即C的面積為______個單位。

2、你是怎樣得出上面的結果的？

3、在學生交流回答的基礎上教師進一步設問：圖1—2中，A，B，C面積之間有什么關系？學生交流后得到結論：A+B=C。

二、層層深入、探究新知

1、做一做

出示投影3（書中P3圖1—3）

提問：（1）圖1—3中，A，B，C之間有什么關系？（2）從圖1—2，1—3中你發現什么？

學生討論、交流后，得出結論：以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊為邊的正方形面積。

2、議一議

圖1—2、1—3中，你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？

（1）你能發現直角三角形三邊長度之間的關系嗎？在同學交流的基礎上，共同探討得出：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理”。也就是說如果直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c那么。我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來。

（2）分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，并測量斜邊的長度（學生測量后回答斜邊長為13）請大家想一想（2）中的規律，對這個三角形仍然成立嗎？

3、想一想

我們常見的電視的尺寸：29英寸（74厘米）的電視機，指的.是屏幕的長嗎？還是指的是屏幕的寬？那他指什么呢？能否運用剛才所學的知識，檢驗一下電視劇的尺寸是否合格？

三、鞏固練習。

1、在圖1—1的問題中，折斷之前旗桿有多高？

2、錯例辨析：△ABC的兩邊為3和4，求第三邊

解：由于三角形的兩邊為3、4

所以它的第三邊的c應滿足

=25即：c=5辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應具備直角三角形這個必不可少的條件，可本題三角形ABC并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據。（2）若告訴△ABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足，題目中并未交待C是斜邊。

綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得

四、課堂小結

鼓勵學生自己總結、談談自己本節課的收獲，以及自己對勾股定理的理解，老師加以糾正和補充。

五、布置作業

勾股定理教案4

一、利用勾股定理進行計算

1.求面積

例1:如圖1,在等腰△ABC中,腰長AB=10cm,底BC=16cm,試求這個三角形面積。

析解:若能求出這個等腰三角形底邊上的高,就可以求出這個三角形面積。而由等腰三角形“三線合一”性質,可聯想作底邊上的高AD,此時D也為底邊的中點,這樣在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-82=36,所以AD=6cm,所以這個三角形面積為×BC×AD=×16×6=48cm2。

2.求邊長

例2:如圖2,在△ABC中,∠C=135?,BC=,AC=2,試求AB的長。

析解:題中沒有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考慮過點B作BD⊥AC,交AC的延長線于D點,構成Rt△CBD和Rt△ABD。在Rt△CBD中,因為∠ACB=135?,所以∠BCB=45?,所以BD=CD,由BC=,根據勾股定理得BD2+CD2=BC2,得BD=CD=1,所以AD=AC+CD=3。在Rt△ABD中,由勾股定理得AB2=AD2+BD2=32+12=10,所以AB=。

點評:這兩道題有一個共同的特征,都沒有現成的直角三角形,都是通過添加適當的輔助線,巧妙構造直角三角形,借助勾股定理來解決問題的,這種解決問題的方法里蘊含著數學中很重要的轉化思想,請同學們要留心。

二、利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形

例3:已知a,b,c為△ABC的三邊長,且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷△ABC的形狀。

析解:由于所給條件是關于a,b,c的一個等式,要判斷△ABC的形狀,設法求出式中的a,b,c的值或找出它們之間的關系(相等與否)等,因此考慮利用因式分解將所給式子進行變形。因為a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,所以(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0。因為(a-5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。因為52+122=132,所以a2+b2=c2,即△ABC是直角三角形。

點評:用代數方法來研究幾何問題是勾股定理的逆定理的“數形結合思想”的重要體現。

三、利用勾股定理說明線段平方和、差之間的`關系

例4:如圖3,在△ABC中,∠C=90?,D是AC的中點,DE⊥AB于E點,試說明:BC2=BE2-AE2。

析解:由于要說明的是線段平方差問題,故可考慮利用勾股定理,注意到∠C=∠BED=∠AED=90?及CD=AD,可連結BD來解決。因為∠C=90?,所以BD2=BC2+CD2。又DE⊥AB,所以∠BED=∠AED=90?,在Rt△BED中,有BD2=BE2+DE2。在Rt△AED中,有AD2=DE2+AE2。又D是AC的中點,所以AD=CD。故BC2+CD2=BC2+AD2=BC2+DE2+AE2=BE2+DE2,所以BE2=BC2+AE2,所以BC2=BE2-AE2。

點評:若所給題目的已知或結論中含有線段的平方和或平方差關系時,則可考慮構造直角三角形,利用勾股定理來解決問題。

勾股定理教案5

重點、難點分析

本節內容的重點是勾股定理的逆定理及其應用。它可用邊的關系判斷一個三角形是否為直角三角形。為判斷三角形的形狀提供了一個有力的依據。

本節內容的難點是勾股定理的逆定理的應用。在用勾股定理的逆定理時，分不清哪一條邊作斜邊，因此在用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時而出錯；另外，在解決有關綜合問題時，要將給的邊的數量關系經過代數變化，最后達到一個目標式，這種“轉化”對學生來講也是一個困難的地方。

教法建議：

本節課教學模式主要采用“互動式”教學模式及“類比”的教學方法。通過前面所學的垂直平分線定理及其逆定理，做類比對象，讓學生自己提出問題并解決問題。在課堂教學中營造輕松、活潑的課堂氣氛。通過師生互動、生生互動、學生與教材之間的互動，造成“情意共鳴，溝通信息，反饋流暢，思維活躍”，達到培養學生思維能力的目的。具體說明如下：

（1）讓學生主動提出問題

利用類比的學習方法，由學生將上節課所學習的勾股定理的逆命題書寫出來。這里分別找學生口述文字；用符號、圖形的形式板書逆命題的內容。所有這些都由學生自己完成，估計學生不會感到困難。這樣設計主要是培養學生善于提出問題的習慣及能力。

（2）讓學生自己解決問題

判斷上述逆命題是否為真命題？對這一問題的解決，學生會感到有些困難，這里教師可做適當的'點撥，但要盡可能的讓學生的發現和探索，找到解決問題的思路。

（3）通過實際問題的解決，培養學生的數學意識。

教學目標：

1、知識目標：

（1）理解并會證明勾股定理的逆定理；

（2）會應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否為直角三角形；

（3）知道什么叫勾股數，記住一些覺見的勾股數。

2、能力目標：

（1）通過勾股定理與其逆定理的比較，提高學生的辨析能力；

（2）通過勾股定理及以前的知識聯合起來綜合運用，提高綜合運用知識的能力。

3、情感目標：

（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征。

教學重點：

勾股定理的逆定理及其應用

教學難點：

勾股定理的逆定理及其應用

教學用具：

直尺，微機

教學方法：

以學生為主體的討論探索法

教學過程：

1、新課背景知識復習（投影）

勾股定理的內容

文字敘述（投影顯示）

符號表述

圖形（畫在黑板上）

2、逆定理的獲得

（1）讓學生用文字語言將上述定理的逆命題表述出來

（2）學生自己證明

逆定理：如果三角形的三邊長 有下面關系：

那么這個三角形是直角三角形

強調說明：

（1）勾股定理及其逆定理的區別

勾股定理是直角三角形的性質定理，逆定理是直角三角形的判定定理。

（2）判定直角三角形的方法：

①角為 、

②垂直、

③勾股定理的逆定理

2、定理的應用（投影顯示題目上）

例1 如果一個三角形的三邊長分別為

則這三角形是直角三角形

例2 如圖，已知：CD⊥AB于D，且有

求證：△ACB為直角三角形。

以上例題，分別由學生先思考，然后回答。師生共同補充完善。（教師做總結）

4、課堂小結：

（1）逆定理應用時易出現的錯誤：分不清哪一條邊作斜邊（最大邊）

（2）判定是否為直角三角形的一種方法：結合勾股定理和代數式、方程綜合運用。

5、布置作業：

a、書面作業P131＃9

b、上交作業：已知：如圖，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF邊上的中線DG＝8

求證：△DEF是等腰三角形

勾股定理教案6

教學目標：

1、知識目標：

（1）掌握勾股定理；

（2）學會利用勾股定理進行計算、證明與作圖；

（3）了解有關勾股定理的歷史.

2、能力目標：

（1）在定理的證明中培養學生的拼圖能力；

（2）通過問題的解決，提高學生的運算能力

3、情感目標：

（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

（2）通過有關勾股定理的歷史講解，對學生進行德育教育．

教學重點：勾股定理及其應用

教學難點：通過有關勾股定理的歷史講解，對學生進行德育教育

教學用具：直尺，微機

教學方法：以學生為主體的討論探索法

教學過程：

1、新課背景知識復習

（1）三角形的三邊關系

（2）問題：（投影顯示）

直角三角形的三邊關系，除了滿足一般關系外，還有另外的特殊關系嗎？

2、定理的獲得

讓學生用文字語言將上述問題表述出來．

勾股定理：直角三角形兩直角邊 的平方和等于斜邊 的平方

強調說明：

（1）勾――最短的邊、股――較長的直角邊、弦――斜邊

（2）學生根據上述學習，提出自己的問題（待定）

學習完一個重要知識點，給學生留有一定的時間和機會，提出問題，然后大家共同分析討論．

3、定理的證明方法

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖1所示的'正方形.

方法二:將四個全等的直角三角形拼成如圖2所示的正方形,

方法三：“總統”法.如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形

以上證明方法都由學生先分組討論獲得，教師只做指導.最后總結說明

4、定理與逆定理的應用

例1 已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝ ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的長.

解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有

∴ ∠2＝∠C

又

∴

∴CD的長是2.4cm

例2 如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，D是BC上任一點，

求證：

證法一：過點A作AE⊥BC于E

則在Rt△ADE中，

又∵AB＝AC，∠BAC＝

∴AE＝BE＝CE

即

證法二：過點D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F

則DE∥AC，DF∥AB

又∵AB＝AC，∠BAC＝

∴EB＝ED，FD＝FC＝AE

在Rt△EBD和Rt△FDC中

在Rt△AED中，

∴

例3 設

求證：

證明：構造一個邊長 的矩形ABCD，如圖

在Rt△ABE中

在Rt△BCF中

在Rt△DEF中

在△BEF中，BE+EF＞BF

即

例4 國家電力總公司為了改善農村用電電費過高的現狀，目前正在全國各地農村進行電網改造，某村六組有四個村莊A、B、C、D正好位于一個正方形的四個頂點，現計劃在四個村莊聯合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分．請你幫助計算一下，哪種架設方案最省電線．

解：不妨設正方形的邊長為1，則圖1、圖2中的總線路長分別為

AD+AB+BC＝3，AB+BC+CD＝3

圖3中，在Rt△DGF中

同理

∴圖3中的路線長為

圖4中，延長EF交BC于H，則FH⊥BC，BH＝CH

由∠FBH＝ 及勾股定理得：

EA＝ED＝FB＝FC＝

∴EF＝1－2FH＝1－

∴此圖中總線路的長為4EA+EF＝

∵3＞2.828＞2.732

∴圖4的連接線路最短，即圖4的架設方案最省電線．

5、課堂小結：

（1）勾股定理的內容

（2）勾股定理的作用

已知直角三角形的兩邊求第三邊

已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關系

6、布置作業：

a、書面作業P130＃1、2、3

b、上交作業P132＃1、3

板書設計：

探究活動

臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數十千米范圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如圖，據氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現正以15千米/時的速度沿北偏東 方向往C移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或走過四級，則稱為受臺風影響

（1）該城市是否會受到這交臺風的影響？請說明理由

（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市持續時間有多少？

（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？

解：（1）由點A作AD⊥BC于D，

則AD就為城市A距臺風中心的最短距離

在Rt△ABD中，∠B= ，AB＝220

∴

由題意知，當A點距臺風（12－4）20＝160（千米）時，將會受到臺風影響．

故該城市會受到這次臺風的影響．

（2）由題意知，當A點距臺風中心不超過60千米時，

將會受到臺風的影響，則AE＝AF＝160．當臺風中心從E到F處時，

該城市都會受到這次臺風的影響

由勾股定理得

∴EF＝2DE＝

因為這次臺風中心以15千米/時的速度移動

所以這次臺風影響該城市的持續時間為 小時

（3）當臺風中心位于D處時，A城市所受這次臺風的風力最大，其最大風力為 級．

勾股定理教案7

教學課題：

勾股定理的應用

教學時間

（日期、課時）

教材分析：

學情分析：

教 學目標：

能運用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實際問題。

在運用勾股定理解決實際問題的過程中，感受數學的“轉化” 思想（把解斜三角形問題轉化為解直角三角形的問題），進一步發展有條理思考和有條理表達的能力，體會數學的應用價值。

教學準備

《數學學與練》

集體備課意見和主要參考資料

頁邊批注

教學過程

一、新課導入

本課時的教學內容是勾股定理在實際中的應用。除課本提供的情境外，教學中可以根據實際情況另行設計一些具體情境，也利用課本提供的素材組織數學活動。比如，把課本例2改編為開放式的問題情境：

一架長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m。如果梯子的頂端下滑0.5m，你認為梯子的底端會發生什么變化？與同學交流 。

創設學生身邊的問題情境，為每一個學生提供探索的空間，有利于發揮學生的主體性；這樣的問題學生常常會從自己的`生活經驗出發，產生不同的思考方法和結論（教學中學生可能的結論有：底端也滑動 0.5m；如果梯子的`頂端滑到地面 上，梯子的頂端則滑動8m，估計梯子底端的滑動小于8m，所以梯子的頂端 下滑0.5m，它的底端的滑動小于0.5m；構造直角三角形，運用勾股定理計算梯子滑動前、后底端到墻的垂直距離的差，得出梯子底端滑動約0.61m的結論等）；通過與同學交流，完善各自的想法，有利于學生主動地把實際問題轉化為數學問題 ，從中感受用數學的眼光審視客觀世界的樂趣 。

二、新課講授

問題一 在上面的情境中，如果梯子的頂端下滑 1m，那么梯子的底端滑動多少米？

組織學生嘗試用勾股定理解決問題，對有困難的學生教師給予及時的幫助和指導。

問題二 從上面所獲得的信息中，你對梯子下滑的變化過程有進一步的思考嗎？與同學交流。

設計問題二促使學生能主動積 極地從數學的角度思考實際問題。教學中學生可能會有多種思考、比如，①這個變化過程中，梯子底端滑動的距離總比頂端下滑的距離大；②因為梯子頂端 下滑到地面時，頂端下滑了8m，而底端只滑動4m，所以這個變化過程中，梯子底端滑動的距離不一定比頂端下滑的距離大；③由勾股數可知，當梯子頂端下滑到離地面的垂直距離為6m，即頂端下滑2m時，底端到墻的垂直距離是8m，即底端電滑動2m等。教學中不要把尋找規律作為這個探索活動的目標，應讓學生進行充分的交流，使學生逐步學會運用數學的眼光去審視客觀世界，從不同的角度去思考問題，獲得一些研究問題的經驗和方法、

3、例題教學

課本的例1是勾股定理的簡單應用，教學中可根據教學的實際情況補充一些實際應用問題，把課本習題2.7第4題作為補充例題。通過這個問題的討論，把“32+b2=c2”看作一個方程，設折斷處離地面x尺，依據問題給出的條件就把它轉化為熟悉的會解的一元二次方程32+x2=（10—x）2，從中可以讓學生感受數學的“轉化”思想，進一步了解勾股定理的悠久歷史和我國古代人民的聰明才智、

三、鞏固練習

1、甲、乙兩人同時從同一地點出發，甲往東走了4km，乙往南走了6km，這時甲、乙兩人相距__________km。

2、如圖，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）。

（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）無法確定

3、如圖，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m。求這塊草坪的面積。

四、小結

我們知道勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的數量關系，已知直角 三角形中的任意兩邊就可以依據勾股定理求出第三邊。從應用勾股定理解決實際問題中，我們進一步認識到把直角三角形中三邊關系“a2+b2=c2”看成一個方程，只要 依據問題的條件把它轉化為我們會解的方程，就把解實際問題轉化為解方程。

勾股定理教案8

一、學生知識狀況分析

本節將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，其中需要學生了解空間圖形、對一些空間圖形進行展開、折疊等活動。學生在學習七年級上第一章時對生活中的立體圖形已經有了一定的認識，并從事過相應的實踐活動，因而學生已經具備解決本課問題所需的知識基礎和活動經驗基礎。

二、教學任務分析

本節是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級(上)第一章《勾股定理》第3節。具體內容是運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題。當然，在這些具體問題的解決過程中，需要經歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實踐活動，這些都有助于發展學生的分析問題、解決問題能力和應用意識；一些探究活動具體一定的`難度，需要學生相互間的合作交流，有助于發展學生合作交流的能力。

三、本節課的教學目標是：

1.通過觀察圖形，探索圖形間的關系，發展學生的空間觀念.

2.在將實際問題抽象成數學問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想.

3.在利用勾股定理解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性.

利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題是本節課的重點也是難點.

四、教法學法

1.教學方法

引導—探究—歸納

本節課的教學對象是初二學生，他們的參與意識教強，思維活躍，為了實現本節課的教學目標，我力求以下三個方面對學生進行引導：

(1)從創設問題情景入手，通過知識再現，孕育教學過程;

(2)從學生活動出發，順勢教學過程;

(3)利用探索研究手段，通過思維深入，領悟教學過程.

2.課前準備

教具：教材、電腦、多媒體課件.

學具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習本、文具.

五、教學過程分析

本節課設計了七個環節.第一環節：情境引入;第二環節：合作探究;第三環節：做一做;第四環節：小試牛刀;第五環節：舉一反三;第六環節：交流小結;第七環節：布置作業.

1.3勾股定理的應用：課后練習

一、問題引入：

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的________等于________。如果用a,b和c表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么________。

2、勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b，c滿足________，那么這個三角形是直角三角形

1.3勾股定理的應用：同步檢測

1.為迎接新年的到來，同學們做了許多拉花布置教室，準備召開新年晚會，小劉搬來一架高2.5米的木梯，準備把拉花掛到2.4米高的墻上，則梯腳與墻角距離應為( )

A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米

2.小華和小剛兄弟兩個同時從家去同一所學校上學，速度都是每分鐘走50米.小華從家到學校走直線用了10分鐘，而小剛從家出發先去找小明再到學校(均走直線)，小剛到小明家用了6分鐘，小明家到學校用了8分鐘，小剛上學走了個( )

A.銳角彎B.鈍角彎C.直角彎D.不能確定

3.如圖，是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的直吸管在罐內部分a的長度(罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計)范圍是( )

A.5≤a≤12 B.5≤a≤13 C.12≤a≤13 D.12≤a≤15

4.一個木工師傅測量了一個等腰三角形木板的腰、底邊和高的長，但他把這三個數據與其它的數據弄混了，請你幫助他找出來，是第( )組.

A.13，12，12 B.12，12，8 C.13，10，12 D.5，8，4

勾股定理教案9

一、全章要點

1、勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。(即：a2+b2=c2)

2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。

3、勾股定理的證明 常見方法如下：

方法一： ， ，化簡可證.

方法二：

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為

大正方形面積為 所以

方法三： ， ，化簡得證

4、勾股數 記住常見的勾股數可以提高解題速度，如 ; ; ; ;8,15,17;9,40,41等

二、經典訓練

(一)選擇題：

1. 下列說法正確的是( )

A.若 a、b、c是△ABC的三邊，則a2+b2=c2;

B.若 a、b、c是Rt△ABC的.三邊，則a2+b2=c2;

C.若 a、b、c是Rt△ABC的三邊， ，則a2+b2=c2;

D.若 a、b、c是Rt△ABC的三邊， ，則a2+b2=c2.

2. △ABC的三條邊長分別是 、、，則下列各式成立的是( )

A. B. C. D.

3.直角三角形中一直角邊的長為9，另兩邊為連續自然數，則直角三角形的周長為( )

A.121 B.120 C.90 D.不能確定

4.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為( )

A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33

(二)填空題：

5.斜邊的邊長為 ，一條直角邊長為 的直角三角形的面積是 .

6.假如有一個三角形是直角三角形，那么三邊 、、之間應滿足 ，其中 邊是直角所對的邊;如果一個三角形的三邊 、、滿足 ，那么這個三角形是 三角形，其中 邊是 邊， 邊所對的角是 .

7.一個三角形三邊之比是 ，則按角分類它是 三角形.

8. 若三角形的三個內角的比是 ，最短邊長為 ，最長邊長為 ，則這個三角形三個角度數分別是 ，另外一邊的平方是 .

9.如圖，已知 中， ， ， ，以直角邊 為直徑作半圓，則這個半圓的面積是 .

10. 一長方形的一邊長為 ，面積為 ，那么它的一條對角線長是 .

三、綜合發展:

11.如圖，一個高 、寬 的大門，需要在對角線的頂點間加固一個木條，求木條的長.

12.一個三角形三條邊的長分別為 ， ， ，這個三角形最長邊上的高是多少?

13.如圖，小李準備建一個蔬菜大棚，棚寬4m，高3m，長20m，棚的斜面用塑料薄膜遮蓋，不計墻的厚度，請計算陽光透過的最大面積.

14.如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高8m的一棵小樹樹梢上發出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達小樹和伙伴在一起?

15.如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點 離點 的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點 爬到點 ，需要爬行的最短距離是多少?

16.中華人民共和國道路交通管理條例規定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過 km/h.如圖，，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方 m處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為 m，這輛小汽車超速了嗎?

勾股定理教案10

教學目標

1．靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

2．進一步加深性質定理與判定定理之間關系的認識。

重難點

1．重點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

2．難點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。

一、自主學習

1、若三角形的三邊是 ⑴1、、2； ⑵； ⑶32，42，52⑷9，40，41；

⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；則構成的是直角三角形的有（ ）

A．2個 B．3個?????C．4個??????D．5個

2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6； ⑶a=2，b=，c=4；

二、交流展示

例1（P33例2）某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后分別位于Q、R處，并相距30海里. 如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？

分析：⑴了解方位角，及方位名詞；⑵依題意畫出圖形；⑶依題意可求PR，PQ，QR；

⑷根據勾股定理 的逆定理，求∠QPR；⑸求∠RPN。

小結：讓學生養成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識。

例2、一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀。

分析：⑴若判斷三角形的'形狀，先求三角形的三邊長；

⑵設未知數列方程，求出三角形的三邊長；

⑶根據勾股定理的逆定理，判斷三角形是否為直角三角形。

三、合作探究

例3．如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產量。小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

四、達標測試

1．一根24米繩子，折成三邊為三個連續偶數的三角形，則三邊長分別為，此三角形的形狀為。

2．小強在操場上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是。

3．一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現已知用去鐵絲AC=15米，AD=13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，B、D兩點之間距離是5米，

則電線桿和地面是否垂直，為什么？

4．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，問：甲巡邏艇的航向？

五、教學反思

勾股定理教案11

一、教學目標

通過對幾種常見的勾股定理驗證方法，進行分析和欣賞。理解數

學知識之間的內在聯系，體會數形結合的思想方法，進一步感悟勾股定理的文化價值。

通過拼圖活動，嘗試驗證勾股定理，培養學生的動手實踐和創新能力。

(3)讓學生經歷自主探究、合作交流、觀察比較、計算推理、動手操作等過程，獲得一些研究問題的方法，取得成功和克服困難的經驗，培養學生良好的思維品質，增進他們數學學習的信心。

二、教學的重、難點

重點：探索和驗證勾股定理的過程

難點：

(1)“數形結合”思想方法的理解和應用

通過拼圖，探求驗證勾股定理的新方法

三、學情分析

八年級的學生已具備一定的生活經驗，對新事物容易產生興趣，動手實踐能力也比較強，在班級上已初步形成合作交流，勇于探索與實踐的良好班風，估計本節課的學習中學生能夠在教師的引導和點撥下自主探索歸納勾股定理。

四、教學程序分析

（一）導入新課

介紹勾股世界

兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯學派，他們首先發現了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955年希臘曾經發行了一枚紀念郵票。

我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中。

（二）講解新課

1、探索活動一：

觀察下圖，并回答問題：

(1)觀察圖1

正方形A中含有

個小方格，即A的面積是

個單位面積；

正方形B中含有

個小方格，即B的面積是

個單位面積；

正方形C中含有

個小方格，即C的面積是

個單位面積。

(2)在圖2、圖3中，正方形A、B、C中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？你是如何得到上述結果的？與同伴交流。

(3)請將上述結果填入下表，你能發現正方形A，B，C，的面積關系嗎？

A的面積

(單位面積)

B的面積

(單位面積)

C的面積

(單位面積)

圖1

9

9

18

圖2

4

4

8

2、探索活動二：

(1)觀察圖3，圖4

并填寫下表：

A的面積

(單位面積)

B的面積

(單位面積)

C的面積

(單位面積)

圖3

16

9

25

圖4

4

9

13

你是怎樣得到上面結果的？與同伴交流。

(2)三個正方形A，B，C的面積之間的關系？

3、議一議(合作交流，驗證發現)

(1)你能發現直角三角形三邊長度之間存在什么關系嗎？

勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c

,那么a2+b2=c2。

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

(2)我們怎么證明這個定理呢？

教師指導第一種證明方法，學生合作探究第二種證明方法。

可得：

想一想：大正方形的面積該怎樣表示？

想一想：這四個直角三角形還能怎樣拼？

可得：

4、例題分析

如圖，一根電線桿在離地面5米處斷裂，電線桿頂部落在離電線桿底部12米處，電線桿折斷之前有多高？

解：∵，

∴在中，

,根據勾股定理，

∴電線桿折斷之前的'高度＝BC＋AB＝5米+13米＝18米

（三）課堂小結

勾股定理從邊的角度刻畫了直角三角形的又一個特征．人類對勾股定理的研究已有近30的歷史，在西方，勾股定理又被稱為“畢達哥拉斯定理”、“百牛定理”、“驢橋定理”等等

．

（四）布置作業

收集有關勾股定理的證明方法，下節課展示、交流．

五、板書設計

勾股定理的探索與證明

做一做

勾股定理

議一議

（直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c，則a2＋b2=c2）

六、課后反思

《新課程標準》指出：“數學教學是數學活動的教學?！睌祵W實驗在現階段的數學教學中還沒有普及與推廣，實際上，通過學生的合作探究、動手實踐、歸納證明等活動，讓數學課堂生動起來，也讓學生感覺數學是可以動手做實驗的，提高了學生學習數學的興趣與激情。本節課，我充分利用學生動手能力強、表現欲高的特點，在充裕的時間里，放手讓學生動手操作，自己歸納與分析。最后得出結論。我認為本節課是成功的，一方面體現了學生的主體地位，另一方面讓實驗走進了數學課堂，真正體現了實驗的巨大作用。

勾股定理教案12

一、教學目標

(一)教學知識點

1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法.

2.運用勾股解決一些實際問題.

(二)能力訓練要求

1.學會用拼圖的方法驗證勾股定理，培養學生的創新能力和解決實際問題的能力.

2.在拼圖過程中，鼓勵學生大膽聯想，培養學生數形結合的意識.

(三)情感與價值觀要求

利用拼圖的方法驗證勾股定理，是我國古代數學家的一大貢獻.借助對學生進行愛國主義教育.并在拼圖的過程中獲得學習數學的快樂，提高學習數學的興趣.

二.教學重、難點

重點：勾股定理的證明及其應用.

難點：勾股定理的證明.

三.教學方法

教師引導和學生自主探索相結合的.方法.

在用拼圖的方法驗證勾股定理的過程中.教師要引導學生善于聯想，將形的問題與數的問題聯系起來，讓學生自主探索，大膽地聯系前面知識，推導出勾股定理，并自己嘗試用勾股定理解決實際問題.

四.教具準備

1.每個學生準備一張硬紙板;

2.投影片三張：

第一張：問題串(記作1.1.2 A);

第二張：議一議(記作1.1.2 B);

第三張：例題(記作1.1.2 C).

五.教學過程

Ⅰ.創設問題情景，引入新課

[師]我們曾學習過整式的運算，其中平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式(ab)2=a22ab+b2是非常重要的內容.誰還能記得當時這兩個公式是如何推出的?

[生]利用多項式乘以多項式的法則從公式的左邊就可以推出右邊.例如(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2，所以平方差公式是成立的.

[生]還可以用拼圖的方法來推出.例如：(a+b)2=a2+2ab+b2.我們可以用一個邊長為a的正方形，一個邊長為b的正方形，兩個長和寬分別為a和b的長方形可拼成如下圖所示的邊長為(a+b)的正方形，那么這個大的正方形的面積可以表示為(a+b)2;又可以表示為a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2.

勾股定理教案13

學習目標

1、通過拼圖,用面積的方法說明勾股定理的正確性.

2.探索勾股定理的過程，發展合情推理的能力，體會數型結合的思想。

重點難點

或學習建議學習重點：用面積的方法說明勾股定理的正確.

學習難點：勾股定理的應用.

學習過程教師

二次備課欄

自學準備與知識導學：

這是1955年希臘為紀念一位數學家曾經發行的'郵票。

郵票上的圖案是根據一個著名的數學定理設計的。

學習交流與問題研討：

1、探索

問題：分別以圖中的直角三角形三邊為邊向三角形外

作正方形，小方格的面積看做1，求這三個正方形的面積?

S正方形BCED=S正方形ACFG=S正方形ABHI=

發現：

2、實驗

在下面的方格紙上，任意畫幾個頂點都在格點上的三角形;并分別以這個三角形的各邊為一邊向三角形外做正方形并計算出正方形的面積。

請完成下表：

S正方形BCEDS正方形ACFGS正方形ABHIS正方形BCED、S正方形ACFG、S正方形ABHI的關系

112

145

41620

91625

發現：

如何用直角三角形的三邊長來表示這個結論?

這個結論就是我們今天要學習的勾股定理：

如圖：我國古代把直角三角形中，較短的直角邊叫做“勾”，較長的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”，所以勾股定理可表示為：弦股還可以表示為：或勾

練習檢測與拓展延伸：

練習1、求下列直角三角形中未知邊的長

練習2、下列各圖中所示的線段的長度或正方形的面積為多少。

(注：下列各圖中的三角形均為直角三角形)

例1、如圖，在四邊形中，∠，∠，，求.

檢測：

1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)若a=5，b=12，則c=________;

(2)b=8，c=17，則S△ABC=________。

2、在Rt△ABC中，∠C=90，周長為60，斜邊與一條直角邊之比為13∶5，則這個三角形三邊長分別是

A、5、4、3、;B、13、12、5;C、10、8、6;D、26、24、10

3、若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm,第三邊長為16cm,那么第三邊上的高為()

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

4、要登上8m高的建筑物，為了安全需要，需使梯子底端離建筑物6m，至少需要多長的梯子?(畫出示意圖)

5、飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4千米處，過了20秒，飛機距離這個男孩5千米，飛機每小時飛行多少千米?

課后反思或經驗總結：

1、什么叫勾股定理;

2、什么樣的三角形的三邊滿足勾股定理;

3、用勾股定理解決一些實際問題。

勾股定理教案14

一、回顧交流，合作學習

【活動方略】

活動設計：教師先將學生分成四人小組，交流各自的小結，并結合課本P87的小結進行反思，教師巡視，并且不斷引導學生進入復習軌道．然后進行小組匯報，匯報時可借助投影儀，要求學生上臺匯報，最后教師歸納．

【問題探究1】（投影顯示）

飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到小明頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機距離小明頭頂5000米，問：飛機飛行了多少千米？

思路點撥：根據題意，可以先畫出符合題意的圖形，如右圖，圖中△ABC中的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米，要求出飛機這時飛行多少千米，就要知道飛機在20秒時間里飛行的路程，也就是圖中的BC長，在這個問題中，斜邊和一直角邊是已知的，這樣，我們可以根據勾股定理來計算出BC的長．（3000千米）

【活動方略】

教師活動：操作投影儀，引導學生解決問題，請兩位學生上臺演示，然后講評．

學生活動：獨立完成“問題探究1”，然后踴躍舉手，上臺演示或與同伴交流．

【問題探究2】（投影顯示）

一個零件的形狀如右圖，按規定這個零件中∠A與∠BDC都應為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4，AB=3，DB=5，DC=12，BC=13，請你判斷這個零件符合要求嗎？為什么？

思路點撥：要檢驗這個零件是否符合要求，只要判斷△ADB和△DBA是否為直角三角形，這樣可以通過勾股定理的`逆定理予以解決：

AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，得∠A=90°，同理可得∠CDB=90°，因此，這個零件符合要求．

【活動方略】

教師活動：操作投影儀，關注學生的思維，請兩位學生上講臺演示之后再評講．

學生活動：思考后，完成“問題探究2”，小結方法．

解：在△ABC中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，

∴△ABD為直角三角形，∠A=90°．

在△BDC中，BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2．

∴△BDC是直角三角形，∠CDB=90°

因此這個零件符合要求．

【問題探究3】

甲、乙兩位探險者在沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發，他以6千米／時的速度向東行走，1小時后乙出發，他以5千米／時的速度向北行進，上午10：00，甲、乙兩人相距多遠？

思路點撥：要求甲、乙兩人的距離，就要確定甲、乙兩人在平面的位置關系，由于甲往東、乙往北，所以甲所走的路線與乙所走的路線互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求出甲、乙兩人的距離．（13千米）

【活動方略】

教師活動：操作投影儀，巡視、關注學生訓練，并請兩位學生上講臺“板演”．

學生活動：課堂練習，與同伴交流或舉手爭取上臺演示

勾股定理教案15

重點、難點分析

本節內容的重點是勾股定理的逆定理及其應用．它可用邊的關系判斷一個三角形是否為直角三角形．為判斷三角形的形狀提供了一個有力的依據．

本節內容的難點是勾股定理的逆定理的應用．在用勾股定理的逆定理時，分不清哪一條邊作斜邊，因此在用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時而出錯；另外，在解決有關綜合問題時，要將給的邊的數量關系經過代數變化，最后達到一個目標式，這種“轉化”對學生來講也是一個困難的地方．

教法建議：

本節課教學模式主要采用“互動式”教學模式及“類比”的教學方法．通過前面所學的垂直平分線定理及其逆定理，做類比對象，讓學生自己提出問題并解決問題．在課堂教學中營造輕松、活潑的課堂氣氛．通過師生互動、生生互動、學生與教材之間的互動，造成“情意共鳴，溝通信息，反饋流暢，思維活躍”，達到培養學生思維能力的'目的．具體說明如下：

（1）讓學生主動提出問題

利用類比的學習方法，由學生將上節課所學習的勾股定理的逆命題書寫出來．這里分別找學生口述文字；用符號、圖形的形式板書逆命題的內容．所有這些都由學生自己完成，估計學生不會感到困難．這樣設計主要是培養學生善于提出問題的習慣及能力．

（2）讓學生自己解決問題

判斷上述逆命題是否為真命題？對這一問題的解決，學生會感到有些困難，這里教師可做適當的點撥，但要盡可能的讓學生的發現和探索，找到解決問題的思路．

（3）通過實際問題的解決，培養學生的數學意識．

教學目標：

1、知識目標：

（1）理解并會證明勾股定理的逆定理；

（2）會應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否為直角三角形；

（3）知道什么叫勾股數，記住一些覺見的勾股數.

2、能力目標：

（1）通過勾股定理與其逆定理的比較，提高學生的辨析能力；

（2）通過勾股定理及以前的知識聯合起來綜合運用，提高綜合運用知識的能力.

3、情感目標：

（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征．

教學重點：勾股定理的逆定理及其應用

教學難點：勾股定理的逆定理及其應用

教學用具：直尺，微機

教學方法：以學生為主體的討論探索法

教學過程：

1、新課背景知識復習（投影）

勾股定理的內容

文字敘述（投影顯示）

符號表述

圖形（畫在黑板上）

2、逆定理的獲得

（1）讓學生用文字語言將上述定理的逆命題表述出來

（2）學生自己證明

逆定理：如果三角形的三邊長 有下面關系：

那么這個三角形是直角三角形

強調說明：（1）勾股定理及其逆定理的區別

勾股定理是直角三角形的性質定理，逆定理是直角三角形的判定定理．

（2）判定直角三角形的方法：

①角為 、②垂直、③勾股定理的逆定理

2、定理的應用（投影顯示題目上）

例1 如果一個三角形的三邊長分別為

則這三角形是直角三角形

例2 如圖，已知：CD⊥AB于D，且有

求證：△ACB為直角三角形。

以上例題，分別由學生先思考，然后回答．師生共同補充完善．（教師做總結）

4、課堂小結：

（1）逆定理應用時易出現的錯誤：分不清哪一條邊作斜邊（最大邊）

（2）判定是否為直角三角形的一種方法：結合勾股定理和代數式、方程綜合運用。

5、布置作業：

a、書面作業P131＃9

b、上交作業：已知：如圖，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF邊上的中線DG＝8

求證：△DEF是等腰三角形

第四篇：勾股定理教案

勾股定理

教學目標

1、了解勾股定理的推理過程，掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理；

2、從實際問題中抽象出數學模型，利用勾股定理解決，滲透建模思想和數形結合思想；

3、通過研究一系列富有探究性的問題，培養在實際生活中發現問題總結規律的意識和能力．

知識梳理

1．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于_____的平方．

222如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a+b=c．（2）勾股定理應用的前提條件是在___三角形中．

222222222222（3）勾股定理公式a+b=c 的變形有：a=c﹣b，b=c﹣a及c=a+b．

2222（4）由于a+b=c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．

2.直角三角形的性質

（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質外，具有一些特殊的性質：

性質1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）． 性質2：在直角三角形中，兩個銳角___．

性質3：在直角三角形中，斜邊上的___等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）

性質4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．

性質5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的___；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于___． 3．勾股定理的應用

（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．

（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（3）常見的類型：

①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．

②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．

③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．

④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．

4．平面展開-最短路徑問題

（1）平面展開﹣最短路徑問題，先根據題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，_________．在平面圖形上構造直角三角形解決問題．（2）關于數形結合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數和形的結合，所以我們在解決有關結合問題時的關鍵就是能從實際問題中抽象出數學模型．

典型例題

1.勾股定理．

【例1】（2014?臨沂蒙陰中學期末）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長為（）

A．21 B．15C．6 D．以上答案都不對．

練1.（2014秋?綏化六中質檢）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD長為12，則△ABC的面積為（）

A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 練2.（2014春?江西贛州中學期末）如圖所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE=（）

A．1 B． C． D．2 2.等腰直角三角形．

【例2】（2014?鷹潭中學校級模擬）已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個等腰直角三角形的面積是（）

A．2 B．2 C．2 D．2

練3.將一等腰直角三角形紙片對折后再對折，得到如圖所示的圖形，然后將陰影部分剪掉，把剩余n﹣2n﹣1n

n+1部分展開后的平面圖形是（）A． B．

C．

D．

3.等邊三角形的性質；勾股定理．

【例3】（2014?福建泉州中學一模）以邊長為2厘米的正三角形的高為邊長作第二個正三角形，以第二個正三角形的高為邊長作第三個正三角形，以此類推，則第十個正三角形的邊長是（）A．2×（）厘米 B．2×（）厘米 109

C．2×（）厘米 D．2×（10）厘米

9練4.等邊三角形ABC的邊長是4，以AB邊所在的直線為x軸，AB邊的中點為原點，建立直角坐標系，則頂點C的坐標為

． 4．勾股定理的應用． 【例4】（2014?福建晉江中學月考）工人師傅從一根長90cm的鋼條上截取一段后恰好與兩根長分別為60cm、100cm的鋼條一起焊接成一個直角三角形鋼架，則截取下來的鋼條長應為（）A．80cm B．C．80cm或 D．60cm 練5.現有兩根鐵棒，它們的長分別為2米和3米，如果想焊一個直角三角形鐵架，那么第三根鐵棒的長為（）A．米 B．米 C．米或米 D．米 5．平面展開-最短路徑問題． 【例5】（2014?貴陽八中期中）如圖A，一圓柱體的底面周長為24cm，高BD為4cm，BC是直徑，一只螞蟻從點D出發沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程大約是（）

A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 練6．（2014春?普寧市校級期中）如圖是一個長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內壁的A處（長的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（）m．

A．4.8 B． C．5

D．

隨堂檢測

1．已知兩邊的長分別為8，15，若要組成一個直角三角形，則第三邊應該為（）A．不能確定 B． C．17 D．17或

2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．則a：b：c =（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：3 3．直角三角形的兩邊長分別為3厘米，4厘米，則這個直角三角形的周長為（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米 4．有一棵9米高的大樹，樹下有一個1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹

米之外才是安全的．

5．如圖，一棵大樹在一次強臺風中于離地面3m處折斷倒下，樹干頂部在根部4米處，這棵大樹在折斷前的高度為

m．

6．在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且大于AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點A處，到達C處需要走的最短路程是 米．（精確到0.01米）

課堂小結

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 課后作業

1．若一個直角三角形的三邊長分別為3，4，x，則滿足此三角形的x值為（）A．5 B． C．5或 D．沒有

2．已知直角三角形有兩條邊的長分別是3cm，4cm，那么第三條邊的長是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm

23．已知Rt△ABC中的三邊長為a、b、c，若a=8，b=15，那么c等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或289 4．一個等腰三角形的腰長為5，底邊上的高為4，這個等腰三角形的周長是（）A．12 B．13 C．16 D．18 5．長方體的長、寬、高分別為8cm，4cm，5cm．一只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點B．則螞蟻爬行的最短路徑的長是 cm．

6．如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形．其邊長都為1cm，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側面的B點，最少要用

秒鐘． 7．如圖，一個長方體盒子，一只螞蟻由A出發，在盒子的表面上爬到點C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，則這只螞蟻爬行的最短路程是

cm．

8．如圖，今年的冰雪災害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是

米．

9．如圖所示的長方體是某種飲料的紙質包裝盒，規格為5×6×10（單位：cm），在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設插入吸管后露在盒外面的管長為hcm，則h的最小值大約為

cm．（精確到個位，參考數據：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．

10．如圖是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據圖中的尺寸（單位：mm），計算兩圓孔中心A和B的距離為

mm．

第五篇：《勾股定理》教案

學英語報社http://全新課標理念，優質課程資源 ·勾股定理

·教學目標

知識目標: 掌握勾股定理的幾種證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由直角

三角形的任意兩邊求得 圖

1緊接著再問學生：我們是通過測量的方式發現了直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方或者說兩小正方形的面積和大正方形的面積.這種做法往往并不可靠，我們能否證出兩直角邊為3、4的直角三角形斜邊是5.（目的：數學需要合情推理，但也要邏輯證明.通過此問題證明過程，關鍵是這里滲透了面積法的證明思想.）

三、自主探索、發現新知

為了解決好這個問題我們不妨把圖19.2置于方格圖中，計算大正方形的面積等于25.于是讓學生計算大正方形的面積，但大正方形R的面積不易求出，可引導學生利用網格對大正方形嘗試割或補兩種方法解決.1(3?4)2?4??3?4?25.方法一：將圖2補成圖3，則要求正方形的面積為：

2因此直角邊分別為3、4的直角三角形斜邊是5即32?42?52.1方法二：將圖2補成圖4，則要求正方形的面積為：4??3?4?1?25.2因此直角邊分別為3、4直角三角形斜邊是5即32?42?52.（目的：在方格圖中利用割補的思想通過計算面積的方法證明了直角邊分別為3、4的直角三角形斜邊是5即32?42?52.為探索一般的直角三角形也有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方以及證明它的成立做好鋪墊.）

此時老師提出問題：對于這個直角三角形滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么對于任何一個直角三角形都有這種關系嗎？

通過以上探索，相信有學生能用文字語言概括猜想出一般的結論：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.符號表示為a2?b2?c2（a、b是直角邊，c是斜邊.）.教師要鼓勵這位同學講的好，敢于猜想是一種難能可貴的數學素養，這位同學用精確的語言敘述了直角三角形三邊的關系，那么這一結論是否正確，怎樣論證？

（目的：在學生的數學學習過程中，既要學會證明又要學會猜想；既要學會演繹推理又要學會合情推理.鼓勵學生在討論的基礎上大膽猜想，能培養學生的探索創新精神.）

老師用多媒體將圖2的方格線隱去得圖5，設Rt?ACB直角邊為a,b

及斜邊

c，試證明a2?b2?c2.通過與學生的合作交流，只要證明出斜邊上的正方形的面積，等于兩直角邊上的正方形的面積和即可.有前面的證明過程，學生可以想到通過割補利用面積法進行證明.這個地方要留夠充足的時間讓學生討論交流，證好的同學請上臺來解釋他是如何證明的.方案一：，用三個與Rt?ACB一樣的直角三角形將圖5中斜邊上的正方形補

1成圖6，則S?c2?(a?b)2?4?ab.化簡整理得到a2?b2?c2.2方案二：用三個與Rt?ACB一樣的直角三角形將圖5中斜邊上的正方形割成1圖7，則S=c2?(a?b)2?4?ab.化簡整理得到a2?b2?c2.Aa-b BC圖7 圖6

教師介紹：我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦.圖7稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作法時給出的.圖19.2.8是在北京召開的2002

年國際數學家大會（ICM－2002）的會標，其圖案正是“弦圖”，它標志著中國古代的數學成就.此時，教師極力夸贊學生已成功探索出5000多年前人類歷史

上的一個重大發現，真是太偉大了！a2?b2?c2，這就是赫赫有名的勾股定理（板書課題）.接著用多媒體展

示勾股定理的歷史.圖19.2.8

勾股定理史話

勾股定理從被發現到現在已有五千年的歷史.遠在公元

前三千年的巴比倫人就知道和應用它了.我國古代也發現了

這個定理.據《周髀算經》記載，商高（公元前1120年）關

于勾股定理已有明確的認識，《周髀算經》中有商高答周公的話：“勾廣三，股修四，徑隅五.”同書中還有另一位學者陳子（公元前六七世紀）與榮方（公元前六世紀）的一段對話：“求邪（斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日”（如圖所示），即

邪至日＝2＋股2.這里陳子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推廣到一般情況了.人們對勾股定理的認識，經歷過一個從特殊到一般的過程，其特殊情況，在世界很多地區的現存文獻中都有記載，很難區分這個定理是誰最先發明的.國外一般認為這個定理是畢達哥拉斯學派（Pythagoras，公元前580~前500）首先發現的，因而稱為畢達哥拉斯定理.勾股定理曾引起很多人的興趣，世界上對這個定理的證明方法很多.1940年盧米斯（E.S.Loomis）專門編輯了一本勾股定理證明的小冊子――《畢氏命題》，作者收集了這個著名定理的370種證明，其中包括大畫家達?芬奇和美國總統詹姆士????阿?加菲爾德（James Abram

Garfield,1831~1881）的證法.美國總統詹姆士??阿?加菲爾德的證法如下：

1112S梯形＝a+b）＝a2?ab?b2,222如圖：因為 111S梯形?2?ab?c2?ab?c2.222a

b所以a2?b2?c2.勾股定理是一條古老而又應用十分廣泛的定理.例如從勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率.據說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差.勾股定理以其簡單、優美的形式，豐富、深刻的內容，充分反映了自然界的和諧關系.人們對勾股定理一直保持著極高的熱情，僅定理的證明就多達四百多種，甚至著名的大物理學家愛因斯坦也給出了一個證明.中國著名數學家華羅庚在談論到一旦人類遇到了“外星人”，該怎樣與他們交談時，曾建議用一幅反映勾股定理的數形關系圖來作為與“外星人”交談的語言.這充分說明了勾股定理是自然界最本質、最基本的規律之一，而在對這樣一個重要規律的發現和應用上，中國人走在了前面.方案三（教師介紹歐幾里得證法）證明：證明：在Rt△ABC的三邊上向外各作一個正方

形（如圖8），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形被分成兩個矩形．連結CD和KB． ∵由于矩形ADNM和△ADC有公共的底AD和相等的高，∴Ｓ矩形ADNM＝2Ｓ△ADC

又∵正方形ACHK和△ABK有公共的底AK和相等的高，∴Ｓ正方形ACHK＝2Ｓ△ABK

在△ADC和△ABK中

∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB

∴△ADC≌△ABK

由此可得Ｓ矩形ADNM＝Ｓ正方形ACHK 同理可證

圖8

Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形BCGF

∴Ｓ正方形ABED＝Ｓ矩形ADNM＋Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形ACHK＋Ｓ正方形BCGF

即a2?b2?c2.（目的：在勾股定理的發現過程中，充分鼓勵學生不同的拼圖方法得出不同的驗證方法，幫助學生自主建構新知識.另外要介紹學生所拼的圖7就是古代的弦圖，也是在北京召開的2002年國際數學家大會的會標，進一步激發學生的成就感.讓學生充分體驗到探索創新所帶來的成功的喜悅.）

四、應用新知、解決問題

例1如圖19.2.4，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，求梯子上端A到墻的底端B的距離AB.（精確到0.01米）

解 在Rt△ABC中,∠ABC=90゜,BC=2.16, CA=5.41,根據勾股定理得

AB?AC2?BC2?5.412?2.16

2≈4.96（米）

答：梯子上端A到墻的底端B的距離約為4.96米.圖

19.2.4例2（趣味剪紙）如圖兩個邊長分別為4個單位和

3個單位的正方形連在一起的“L”形紙片，請你剪兩刀，再將所得到的圖形拼成正方形.（目的：本段內容主要通過教師啟發引導，學生共同探究完成，一方面讓學生感受解決問題的愉悅與強烈的成就感，培養學生動手能力和學習興趣以及加強對勾股定理的理解.另一方面讓學生知道：（1）勾股定理應用的前提條件（在直角三角形中）；（2）已知直角三角形的兩邊會用勾股定理求第三邊.）

五、自我評價、形成知識

⑴這節課我的收獲是.⑵我感興趣的地方是.⑶我想進一步研究的問題是.（目的：通過這幾個問題，可以很好的揭示學生新建立的不同的認知結構，也體現了不同的人學數學有不同的收獲.把學習的權利交給學生，使學生體驗做數學的樂趣.同時，把探究陣地從課堂延伸到課外，有利于充分挖掘學生的潛能.）

六、作業

⑴課本P104習題19.2 1，2，3⑵通過上網，搜索有關勾股定理的知識：如（1）勾股定理的歷史；（2）勾股定

理的證明方法；（3）勾股定理在實際生活中的應用等.然后寫一篇以勾股定理為

主題的小論文.（目的：鞏固勾股定理，進一步體會定理與實際生活的聯系.促進學生學知識，用知識的意識.新課程標準提倡課題學習（研究性學習），通過課題學習與研究更多地把數學與社會生活和其他學科知識聯系起來，使學生進一步體會不同的數學知識以及數學與外界之間的聯系，初步學習研究問題的方法，提高學生的實踐能力和創新意識.）

· 關于教學設計的幾點說明：

1、這節課是定理課，針對八年級學生的知識結構和心理特征，本節課我準備以“問題情境-----實驗、猜測-----驗證、證明----實際應用”的模式展開，引導學生從已有的知識和生活經驗出發，提出問題與學生共同探索、討論.讓學生經歷知識的發生、形成與應用的過程，從而更好地理解數學知識的意義.讓學生體會到觀察、猜想、歸納、驗證的思想和數形結合的思想；

2、由于學生的個體差異表現為認知方式與思維策略的的不同，以及認知水平和學習能力的差異，所以在整個教學過程中，我都將尊重學生在解決問題過程中所表現出的不同水平，盡可能讓所有學生都能主動參與，并引導學生在與他人的交流中提高思維水平.在學生回答時，我通過語言、目光、動作給予鼓勵與贊許，發揮評價的積極功能；

3、探索定理采用了面積法，通過用割補兩種方法對直角邊為3、4這一特殊直角三角形的斜邊上的正方形的面積的計算，得到此直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.由此自然的過渡到對一般直角三角形三邊關系的研究，當然也自然的用此方法證明了勾股定理.這種方法是認識事物規律的重要方法之一，通過教學讓學生初步掌握這種方法，對于學生良好思維品質的形成有重要作用，對學生的終身發展也有一定的作用；

4、本課小結也很有新意，通過這短短的幾個問題，可以很好的揭示學生新建立的不同的認知結構，也體現了不同的人學數學有不同的收獲.把學習的權利交給學生，使學生體驗做數學的樂趣.同時，把探究陣地從課堂延伸到課外，有利于充分挖掘學生的潛能。