中考沖刺：代幾綜合問題(提高)

一、選擇題

1.（2016?鄂州）如圖，O是邊長為4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中點，動點P由A開始沿折線A﹣B﹣M方向勻速運動，到M時停止運動，速度為1cm/s．設(shè)P點的運動時間為t（s），點P的運動路徑與OA、OP所圍成的圖形面積為S（cm2），則描述面積S（cm2）與時間t（s）的關(guān)系的圖象可以是（）

A．

B．?C．D．

2.如圖，夜晚，小亮從點A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點B，他的影長y隨他與點A之間的距離x的變化而變化，那么表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（）

二、填空題

3.在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(4，0)，點B的坐標(biāo)為(4，10)，點C在y軸上，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的C點的坐標(biāo)為______________．

4.（2016?梧州）如圖，在坐標(biāo)軸上取點A1（2，0），作x軸的垂線與直線y=2x交于點B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又過點A2作x軸的垂線交直線y=2x交于點B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反復(fù)作等腰直角三角形，當(dāng)作到An（n為正整數(shù)）點時，則An的坐標(biāo)是______．

三、解答題

5.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，且CD=3cm，現(xiàn)有兩個動點P，Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以1厘米/秒的速度沿AC向終點C運動；點Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點C運動．過點P作

PE∥BC交AD于點E，連接EQ．設(shè)動點運動時間為t秒（t＞0）．

（1）連接DP，經(jīng)過1秒后，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請說明理由；

（2）連接PQ，在運動過程中，不論t取何值時，總有線段PQ與線段AB平行．為什么？

（3）當(dāng)t為何值時，△EDQ為直角三角形．

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點A的坐標(biāo)為（6，0），點B的坐標(biāo)為（3，4），點C在y軸的正半軸上．動點M在OA上運動，從O點出發(fā)到A點；動點N在AB上運動，從A點出發(fā)到B點．兩個動點同時出發(fā)，速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨即停止，設(shè)兩個點的運動時間為t（秒）

（1）求線段AB的長；當(dāng)t為何值時，MN∥OC？

（2）設(shè)△CMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？

7.條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個定點．

問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最小．

方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．

模型應(yīng)用：

（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是______；

（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

（3）如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．

8.如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系的矩形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=15，OC=9，在AB上取一點M，使得△CBM沿CM翻折后，點B落在x軸上，記作N點．

（1）求N點、M點的坐標(biāo)；

（2）將拋物線y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）個單位后，得到拋物線l，l經(jīng)過點N，求拋物線l的解析式；

（3）①拋物線l的對稱軸上存在點P，使得P點到M、N兩點的距離之差最大，求P點的坐標(biāo)；

②若點D是線段OC上的一個動點（不與O、C重合），過點D作DE∥OA交CN于E，設(shè)CD的長為m，△PDE的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

9.如圖，直線y=kx﹣1與x軸、y軸分別交于B、C兩點，tan∠OCB=．

（1）求B點的坐標(biāo)和k的值；

（2）若點A（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx﹣1上的一個動點．當(dāng)點A運動過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）探索：在（2）的條件下：

①當(dāng)點A運動到什么位置時，△AOB的面積是；

②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點P，使△POA是等腰三角形？若存在，請寫出滿足條件的所有P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

10.（2015?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．

（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）點E是直線l上方的拋物線上的一點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；

（3）設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

11.如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（點M的位置改變時，△DMN也隨之整體移動）．

（1）如圖①，當(dāng)點M在點B左側(cè)時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點F是否在直線NE上？請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；

（2）如圖②，當(dāng)點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；

（3）若點M在點C右側(cè)時，請你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由．

答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1.【答案】A.【解析】分兩種情況：

①當(dāng)0≤t＜4時，作OG⊥AB于G，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=AP?OG=×t×2=t（cm2），②當(dāng)t≥4時，作OG⊥AB于G，如圖2所示：

S=△OAG的面積+梯形OGBP的面積=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；

綜上所述：面積S（cm2）與時間t（s）的關(guān)系的圖象是過原點的線段，故選A．

2.【答案】A.三、填空題

3.【答案】

（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）

4.【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵點B1、B2、B3、…、Bn在直線y=2x的圖象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴AnBn=4×3n﹣1（n為正整數(shù)）．

∵OAn=AnBn，∴點An的坐標(biāo)為（2×3n﹣1，0）．

故答案為：（2×3n﹣1，0）．

三、解答題

5.【答案與解析】

解：

（1）能，如圖1，∵點P以1厘米/秒的速度沿AC向終點C運動，點Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點C運動,t=1秒

∴AP=1，BQ=1.25，∵AC=4，BC=5，點D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，∵PE∥BC，解得PE=0.75，∵PE∥BC，PE=QD，∴四邊形EQDP是平行四邊形；

（2）如圖2，∵點P以1厘米/秒的速度沿AC向終點C運動，點Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點C運動，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，∴

∴PQ∥AB；

（3）分兩種情況討論：

①如圖3，當(dāng)∠EQD=90°時，顯然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC

∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=1.25t-2，∴

解得t=2.5（秒）；

②如圖4，當(dāng)∠QED=90°時，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，則EM=PC=4-t，在Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴

t=3.1（秒）．

綜上所述，當(dāng)

t=2.5秒或t=3.1秒時，△EDQ為直角三角形．

6.【答案與解析】

解：

（1）過點B作BD⊥OA于點D，則四邊形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3

在Rt△ABD中，．

當(dāng)?時，，．

∵，∴，即（秒）．

（2）過點作軸于點，交的延長線于點，∵，∴，．

即，．，．，∴

．

即（）．

由，得．

∴當(dāng)時，S有最小值，且

7.【答案與解析】

解：

（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=；

（2）作A關(guān)于OB的對稱點A′，連接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即為A′C的長，∵∠AOC=60°

∴∠A′OC=120°

作OD⊥A′C于D，則∠A′OD=60°

∵OA′=OA=2

∴A′D=

∴；

（3）分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點Q、R，連接PR、PQ，此時△PQR周長的最小值等于MN．

由軸對稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．

即△PQR周長的最小值等于10．

8.【答案與解析】

解：

（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；

又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，設(shè)AM=x

∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；

（2）解法一：設(shè)拋物線l為y=（x﹣a）2﹣36

則（12﹣a）2=36

∴a1=6或a2=18（舍去）

∴拋物線l：y=（x﹣6）2﹣36

解法二：

∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；

∴y=x2﹣36與x軸的交點為（﹣6，0）或（6，0）

由題意知，交點（6，0）向右平移6個單位到N點，所以y=x2﹣36向右平移6個單位得到拋物線l：y=（x﹣6）2﹣36；

（3）①由“三角形任意兩邊的差小于第三邊”知：P點是直線MN與對稱軸x=6的交點，設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，則，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；

②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；

∴S=

∵a=﹣＜0，開口向下，又m=﹣

∴S有最大值，且S最大=﹣．

9.【答案與解析】

解：

（1）∵y=kx﹣1與y軸相交于點C，∴OC=1；

∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B點坐標(biāo)為:；

把B點坐標(biāo)為：代入y=kx﹣1得：k=2；

（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；

（3）①當(dāng)S=時，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；

∴A點坐標(biāo)為（1，1）時，△AOB的面積為；

②存在．

滿足條件的所有P點坐標(biāo)為：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．

10.【答案與解析】

解：（1）令y=0，則ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3

∵點A在點B的左側(cè)，∴A（﹣1，0），如圖1，作DF⊥x軸于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D點的橫坐標(biāo)為4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐標(biāo)代入y=kx+b得，解得，∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a．

（2）設(shè)點E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，則，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；

（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴拋物線的對稱軸為x=1，設(shè)P1（1，m），①若AD是矩形的一條邊，由AQ∥DP知xD﹣xP=xA﹣xQ，可知Q點橫坐標(biāo)為﹣4，將x=﹣4帶入拋物線方程得Q（﹣4，21a），m=yD+yQ=21a+5a=26a，則P（1，26a），∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．

②若AD是矩形的一條對角線，則線段AD的中點坐標(biāo)為（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，則P（1，8a），∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．

綜上可得，P點的坐標(biāo)為P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．

11.【答案與解析】

解：

（1）判斷：EN與MF相等

（或EN=MF），點F在直線NE上.（2）成立．

證明：連結(jié)DE，DF．

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．

又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點，∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．

又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．

在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．

∴MF=NE．

（3）畫出圖形（連出線段NE），MF與EN相等的結(jié)論仍然成立（或MF=NE成立）．