中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題(提高)

一、選擇題

1.（2016?重慶校級二模）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成．其中，第①個圖形中一共有1個平行四邊1.（2016?重慶校級二模）下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中一共有1個空心小圓圈，第②個圖形中一共有6個空心小圓圈，第③個圖形中一共有13個空心小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第⑦個圖形中空心圓圈的個數(shù)為（）

A．61

B．63

C．76

D．78

2．如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交與點P1；設P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于點P2；設P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；…；設

Pn﹣1Dn﹣2的中點為Dn﹣1，第n次將紙片折疊，使點A與點Dn﹣1重合，折痕與AD交于點Pn（n＞2），則AP6的長為（）

A．

B．

C．?　　D．

3．下面兩個多位數(shù)1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：將第一位數(shù)字乘以2，若積為一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)字寫在第2位．對第2位數(shù)字再進行如上操作得到第3位數(shù)字……，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進行如上操作得到的．當?shù)?位數(shù)字是3時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是（）

A．495

B．497

C．501

D．503

二、填空題

4.（2015?合肥校級三模）如圖，一個3×2的矩形（即長為3，寬為2）可以用兩種不同方式分割成3或6個邊長是正整數(shù)的小正方形，即：小正方形的個數(shù)最多是6個，最少是3個．

（1）一個5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個數(shù)可以是______個，最少是______個；

（2）一個7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個數(shù)最多是______個，最少是______個；

（3）一個（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個數(shù)最多是______個；最少是______個．（n是正整數(shù)）

5.一園林設計師要使用長度為4L的材料建造如圖1所示的花圃，該花圃是由四個形狀、大小完全一樣的扇環(huán)面組成，每個扇環(huán)面如圖2所示，它是以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過O點的兩條直線段圍成，為使得綠化效果最佳，還須使得扇環(huán)面積最大．

（1）使圖①花圃面積為最大時R－r的值為____，以及此時花圃面積為____，其中R、r分別為大圓和小圓的半徑

（2）若L＝160

m，r＝10

m，使圖面積為最大時的θ值為______．

6．如圖所示，已知△ABC的面積，在圖(a)中，若，則；

在圖(b)中，若，則；

在圖(c)，若，則．

…

按此規(guī)律，若，則________．

三、解答題

7．（2016?丹東模擬）已知，點D為直線BC上一動點（點D不與點B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．

（l）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD；

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CE、BC、CD三條線段之間的關系；

（3）如圖3，當點O在線段BC的反向延長線上時，且點A、E分別在直線BC的兩側(cè)，點F是DE的中點，連接AF、CF，其他條件不變，請判斷△ACF的形狀，并說明理由．

8.如圖(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形、正四邊形、正五邊形，BE，CD相交于點O．

（1）①如圖(a)，求證：△ADC≌△ABE；

②探究：

圖(a)中，∠BOC＝________；

圖(b)中，∠BOC＝________；

圖(c)中，∠BOC＝________；

（2）如圖(d)，已知：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊．BE，CD的延長相交于點O．

①猜想：圖(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)

②根據(jù)圖(d)證明你的猜想．

9.如圖(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在線段BC上任取一點P(P不與B，C重合)，連接DP，作射線．PE⊥DP，PE與直線AB交于點E．

（1）試確定CP＝3時，點E的位置；

（2）若設CP＝x(x＞0)，BE＝y(tǒng)(y＞0)，試寫出y關于自變量x的函數(shù)關系式；

（3）若在線段BC上能找到不同的兩點P1，P2，使按上述作法得到的點E都與點A重合，試求出此時a的取值范圍

10.點A，B分別是兩條平行線m，n上任意兩點，在直線n上找一點C，使BC＝k·AB．連接AC，在直線AC上任取一點E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直線m于點F．

（1）如圖(a)，當k＝1時，探究線段EF與EB的關系，并加以說明；

說明：

①如果你經(jīng)過反復探索沒有解決問題，請寫出探索過程(要求至少寫三步)；

②在完成①之后，可以自己添加條件(添加的條件限定為∠ABC為特殊角)，在圖(b)中補全圖形，完成證明．

（2）如圖(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究線段EF與EB的關系，并說明理由．

答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1.【答案】A；

【解析】∵第①個圖形中空心小圓圈個數(shù)為：4×1﹣3+1×0=1個；

第②個圖形中空心小圓圈個數(shù)為：4×2﹣4+2×1=6個；

第③個圖形中空心小圓圈個數(shù)為：4×3﹣5+3×2=13個；

…

∴第⑦個圖形中空心圓圈的個數(shù)為：4×7﹣9+7×6=61個；

2.【答案】A；

【解析】由題意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，ADn=，故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，故可得AP6=.故選A.3.【答案】A；

【解析】

根據(jù)題意，當?shù)?位數(shù)字是3時，按操作要求得到的數(shù)字是3624862486248…，從第2位數(shù)字起每隔四位數(shù)重復

一次6248，因為(100-1)被4整除得24余3，所以這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之間和

是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24＝495，答案選A．

二、填空題

4.【答案】（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2．

【解析】（1）一個5×2的矩形最少可分成4個正方形，最多可分成10個正方形；

（2）一個7×2的矩形最少可分成5個正方形，最多可分成14個正方形；

（3）第一個圖形：是一個3×2的矩形，最少可分成1+2個正方形，最多可分成1×4+2個正方形；

第二個圖形：是一個5×2的矩形，最少可分成2+2個正方形，最多可分成2×4+2個正方形；

第三個圖形：是一個7×2的矩形，最少可分成3+2個正方形，最多可分成3×4+2個正方形；

…

第n個圖形：是一個（2n+1）×2的矩形，最多可分成n×4+2=4n+2個正方形，最少可分成n+2個正方形．

故答案為：（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2．

5.【答案】（1）R－r的值為，以及此時花圃面積為；

（2）θ值為．

【解析】

要使花圃面積最大，則必定要求扇環(huán)面積最大．

設扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，根據(jù)題意得：，∴

∴

．

∵，∴S在時取最大值為．

∴花圃面積最大時R－r的值為，最大面積為．

（2）∵當時，S取大值，∴(m)，(m)，∴?．

6.【答案】．

【解析】

…

三、解答題

7.【答案與解析】

（1）證明：如圖1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ACB+∠ACE=90°

∴∠ECB=90°，∴BD⊥CE，CE=BC﹣CD．

（2）如圖2中，結(jié)論：CE=BC+CD，理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴CE=BC+CD．

（3）如圖3中，結(jié)論：△ACF是等腰三角形．理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABD=135°，∴∠DCE=90°，又∵點F是DE中點，∴AF=CF=DE，∴△ACF是等腰三角形．

8.【答案與解析】

（1）證法一：

∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE．

∴△ADC≌△ABE．

證法二：

∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．

∴△ADC可由△ABE繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到．

∴△ABE≌△ADC．

②120°，90°，72°．

（2）①．

②證法一：依題意，知∠BAD和∠CAE都是正n邊形的內(nèi)角，AB＝AD，AE＝AC，∴∠BAD＝∠CAE＝．

∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE，即∠BAE＝∠DAC．

∴△ABE≌△ADC．

∴∠ABE＝∠ADC．

∵∠ADC+∠ODA＝180°，∴∠ABO+∠ODA＝180°．

∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°．

∴∠BOC+∠DAB＝180°．

∴∠BOC＝180°－∠DAB＝．

證法二：延長BA交CO于F，證∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD．

證法三：連接CE．證∠BOC＝180°－∠CAE．

9.【答案與解析】

解：

（1）作DF⊥BC，F(xiàn)為垂足．

當CP＝3時，四邊形ADFB是矩形，則CF＝3．

∴點P與點F重合．

又∵BF⊥FD，∴此時點E與點B重合．

（2）(i)當點P在BF上(不與B，F(xiàn)重合)時，(見圖(a))

∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°，∴∠DPF＝∠PEB．

∴Rt△PEB∽△ARt△DPF．

∴?．

①

又∵

BE＝y(tǒng)，BP＝12-x，F(xiàn)P＝x-3，F(xiàn)D＝a，代入①式，得

∴，整理，得

②

(ii)當點P在CF上（不與C，F(xiàn)重合）時，（見上圖(b))同理可求得．

由FP＝3-x得．

∴

（3）解法一：

當點E與A重合時，y＝EB＝a，此時點P在線段BF上．

由②式得．

整理得．

③

∵在線段BC上能找到兩個不同的點P1與P2滿足條件，∴方程③有兩個不相等的正實根．

∴△＝(-15)2－4×(36+a2)＞0．

解得．

又∵a＞0，∴?．

解法二：

當點E與A重合時，∵∠APD＝90°，∴點P在以AD為直徑的圓上．設圓心為M，則M為AD的中點．

∵在線段BC上能找到兩個不同的點P1與P2滿足條件，∴線段BC與⊙M相交．即圓心M到BC的距離d滿足．

④

又∵AD∥BC，∴d＝a．

∴由④式得．

10.【答案與解析】

解：

（1）EF＝EB．

證明：如圖(d)，以E為圓心，EA為半徑畫弧交直線m于點M，連接EM．

∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM．

∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．

∴∠CAB＝∠ACB．

∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC．

∴∠MAC＝∠CAB．

∴∠CAB＝∠EMA．

∵∠BEF＝∠ABC，∴∠BEF＝∠FAB．

∵∠AHF＝∠EHB，∴∠AFE＝∠ABE．

∴△AEB≌△MEF．

∴EF＝EB．

探索思路：如上圖(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．

∴∠CAB＝∠ACB．

∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．

添加條件：∠ABC＝90°．

證明：如圖(e)，在直線m上截取AM＝AB，連接ME．

∵

BC＝k·AB，k＝1，∴

BC＝AB．

∵

∠ABC＝90°，∴

∠CAB＝∠ACB＝45°．

∵

m∥n，∴

∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．

∵

AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．

∴

EM＝EB，∠AME＝∠ABE．

∵

∠BEF＝∠ABC＝90°，∴

∠FAB+∠BEF＝180°．

又∵

∠ABE+∠EFA＝180°，∴

∠EMF＝∠EFA．

∴

EM＝EF．

∴

EF＝EB．

（2）EF＝EB．

說明：如圖(f)，過點E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足為M，N．

∴

∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．

∵

m∥n，∠ABC＝90°，∴

∠MAB＝90°．

∴

四邊形MENA為矩形．

∴

ME＝NA，∠MEN＝90°．

∵∠BEF＝∠ABC＝90°．

∴∠MEF＝∠NEB．

∴△MEF∽△NEB．

∴，∴

∴

在Rt△ANE和Rt△ABC中，∴?．