中考沖刺：閱讀理解型問題(提高)

一、選擇題

1.（2016?紹興）我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數，由圖可知，孩子自出生后的天數是（）

A．84

B．336

C．510

D．1326

2．任何一個正整數n都可以進行這樣的分解：n＝s×t(s、t是正整數，且s≤t)，如果p×q在n的所有這種分解中兩因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規定：．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6這三種，這時就有．

給出下列關于F(n)的說法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一個完全平方數，則F(n)＝1．其中正確說法的個數是（）．

A．1

B．2

C．3

D．4

二、填空題

3．閱讀下列題目的解題過程：

已知a、b、c為△ABC的三邊長，且滿足，試判斷△ABC的形狀．

解：∵，(A)

∴，(B)

∴，(C)

∴△ABC是直角三角形．

問：(1)上述解題過程中，從哪一步開始出現錯誤？

請寫出該錯誤步驟的代號：________________．

(2)錯誤的原因為：________________________．

(3)本題的正確結論為：____________________．

4．（2016?高縣一模）如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點，點P從點B沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止，點Q從點B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s．若點P，Q同時開始運動，設運動時間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2）．已知y與t的函數關系圖象如圖2，有下列四個結論：①AE=6cm；②sin∠EBC=；③當0＜t≤10時，y=t2；

④當t=12s時，△PBQ是等腰三角形．其中正確結論的序號是__________________．

三、解答題

5．已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1，求的值.解：由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,q≠0

又∵pq≠1,∴

∴1-q-q2=0可變形為的特征

所以p與是方程x?2-x-1=0的兩個不相等的實數根則

根據閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m2-5m-1=0，且m≠n，求：的值.6.（市北區二模）【閱讀材料】

完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，這是分類加法計數原理；完成一件事需要兩個步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法，這就是分步乘法計數原理．

【問題探究】

完成沿圖1的街道從A點出發向B點行進這件事（規定必須向北走，或向東走），會有多少種不同的走法？

（1）根據材料中的原理，從A點到M點的走法共有（1+1）=2種．從A點到C點的走法：

①從A點先到N點再到C點有1種；

②從A點先到M點再到C點有2種，所以共有（1+2）=3種走法．依次下去，請求出從A點出發到達其余交叉點的走法數，將數字填入圖2的空圓中，并回答從A點出發到B點的走法共有多少種？

（2）運用適當的原理和方法，算出如果直接從C點出發到達B點，共有多少種走法？請仿照圖2畫圖說明．

【問題深入】

（3）在以上探究的問題中，現由于交叉點C道路施工，禁止通行，求從A點出發能順了到達BB點的走法數？說明你的理由．

7．閱讀：我們知道，在數軸上,x＝1表示一個點,而在平面直角坐標系中，x＝1表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解為坐標的點組成的圖形就是一次函數y＝2x＋1的圖象,它也是一條直線，如圖①.觀察圖①可以得出：直線x＝1與直線y＝2x＋1的交點P的坐標（1，3）就是方程組的解，所以這個方程組的解為

在直角坐標系中，x≤1表示一個平面區域，即直線x＝1以及它左側的部分，如圖②；y≤2x＋1也表示一個平面區域，即直線y＝2x＋1以及它下方的部分，如圖③．

①　　　　　　　　　　②　　　　　　　　　　　　③

回答下列問題：

（1）在直角坐標系中，用作圖象的方法求出方程組的解；

（2）用陰影表示，所圍成的區域．

8.我們學習過二次函數圖象的平移，如：將二次函數的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度，所得圖象的函數表達式是．

類比二次函數圖象的平移，我們對反比例函數的圖象作類似的變換：

(1)將的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象的函數表達式為________，再向上平移1個單位長度，所得圖象的函數表達式為________．

(2)函數的圖象可由的圖象向________平移________個單位長度得到；的圖象可由哪個反比例函數的圖象經過怎樣的變換得到？

(3)一般地，函數(ab≠0，且a≠b)的圖象可由哪個反比例函數的圖象經過怎樣的變換得到?

9.“三等分角”是數學史上一個著名的問題，但僅用尺規不可能“三等分角”．下面是數學家帕普斯借助函數給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，邊OB在軸上、邊OA與函數的圖象交于點P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點R．分別過點P和R作軸和軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：

（1）設、，求直線OM對應的函數表達式（用含的代數式表示）．

（2）分別過點P和R作軸和軸的平行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據此證明∠MOB=∠AOB．

（3）應用上述方法得到的結論，你如何三等分一個鈍角（用文字簡要說明）．

10.閱讀下列材料：

問題：如圖1所示，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG與PC的位置關系的值．小聰同學的思路是：延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．

請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：

(1)寫出上面問題中線段PG,與PC的位置關系及的值；

(2)將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變(如圖2)．你在(1)中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明．

(3)若圖1中∠ABC＝∠BEF＝2α(0°＜α＜90°)，將菱形BEFG繞點B順旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值(用含α的式子表示)．

答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1.【答案】C；

【解析】1×73+3×72+2×7+6=510.2.【答案】B；

二、填空題

3.【答案】

(1)C；

(2)錯誤的原因是由(B)到(C)時，等式兩邊同時約去了因式，而可能等于0；

(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形.4.【答案】①②③.【解析】（1）分析函數圖象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm，故①正確；

（2）如答圖1所示，連接EC，過點E作EF⊥BC于點F，由函數圖象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC?EF=×10×EF，∴EF=8，∴sin∠EBC=，故②正確；

（3）如答圖2所示，過點P作PG⊥BQ于點G，∵BQ=BP=t，∴y=S△BPQ=BQ?PG=BQ?BP?sin∠EBC=t?t?=t2．

故③正確；

（4）結論D錯誤．理由如下：

當t=12s時，點Q與點C重合，點P運動到ED的中點，設為N，如答圖3所示，連接NB，NC．

此時AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=2，∵BC=10，∴△BCN不是等腰三角形，即此時△PBQ不是等腰三角形．

故④錯誤；

故答案為：①②③．

三、解答題

5.【答案與解析】

解：由2m2-5m-1=0知m≠0，∵m≠n，∴

得

根據的特征

∴是方程x?2+5?x-2=0的兩個不相等的實數根

∴.6.【答案與解析】

解：（1）∵完成從A點到B點必須向北走，或向東走，∴到達A點以外的任意交叉點的走法數只能是與其相鄰的南邊交叉點和西邊交叉點的數字之和，故使用分類加法計數原理，由此算出從A點到達其余各交叉點的走法數，填表如圖1．

答：從A點到B點的走法共有35種．

（2）如圖3，使用分類加法計數原理，算出從C點到B點的走法為6種；

（3）方法一：可先求從A點到B點，并經過交叉點C的走法數，再用從A點到B點總走法數減去它，即得從A點到B點，但不經過交叉點C的走法數．

完成從A點出發經C點到B點這件事可分兩步，先從A點到C點，再從C點到B點，使用分類加法計數原理，算出從A點到C點的走法是3種，見圖2；

見圖3，從C點到B點的走法為6種，再運用分步乘法計數原理，得到從A點經C點到B點的走法有3×6=18種．

∴從A點到B點但不經過C點的走法數為35﹣18=17種．

方法二：如圖4：由于交叉點C道路施工，禁止通行，故視為相鄰道路不通，可刪除與C點緊相連的線段，運用分類加法計數原理，算出從A點到B點并禁止通過交叉點C的走法有17種．從A點到各交叉點的走法數，∴從A點到B點并禁止經過C點的走法數為35﹣18=17種．

7.【答案與解析】

（1）如圖所示，在坐標系中分別作出直線x＝－2和直線y＝－2x＋2，這兩條直線的交點是P（－2，6）.則是方程組的解.（2）如陰影所示.8.【答案與解析】

(1)；

(2)上，1；可轉化為y＝，它的圖象可由反比例函數的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到．

(3)函數(ab≠0，且a≠b)可轉化為．當a＞0時，的圖象可由反比例函數的圖象向左平移a個單位長度，再向上平移1個單位長度得到；當a＜0時，的圖象可由反比例函數的圖象向右平移-a個單位長度，再向上平移1個單位長度得到．

9.【答案與解析】

（1）設直線OM的函數關系式為．則∴．

∴直線OM的函數關系式為．

（2）∵的坐標滿足，∴點在直線OM上．

（或用幾何證法，見《九年級上冊》教師用書191頁）

∵四邊形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR．

∴∠SQR=∠SRQ．

∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．

∵∠PSQ是△SQR的一個外角，∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．

∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．

∴∠POS=2∠SOB．

∴∠SOB=∠AOB．

（3）以下方法只要回答一種即可．

方法一：利用鈍角的一半是銳角，然后利用上述結論把銳角三等分的方法即可．

方法二：也可把鈍角減去一個直角得一個銳角，然后利用上述結論把銳角三等分后，再將直角利用等邊

三角形（或其它方法）將其三等分即可．

方法三：先將此鈍角的補角（銳角）三等分，再作它的余角．

10.【答案與解析】

（1）線段PG與PC的位置關系是PG⊥PC；．

（2）猜想：(1)中的結論沒有發生變化．

證明：如圖所法，延長GP交AD于點H，連接CH，CG．

∵P是線段DF的中點，∴FP＝DP．

由題意可知AD∥FG，∴∠GFP＝∠HDP．

∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP．

∴GP＝HP，GF＝HD．

∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°．

由∠ABC＝∠BEF＝60°，且菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，可得∠GBC＝60°．

∴∠HDC＝∠GBC．

∵四邊形BEFG是菱形，∴GF＝FB．

∴HD＝GB．

∴△HDC≌△GBC．

∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG．

∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°．

∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°．

∴．

（3）．