中考沖刺：幾何綜合問題(提高)

一、選擇題

1.（2015春?江陰市校級期中）在平面直角坐標系中，直角梯形AOBC的位置如圖所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分別在線段AC、線段BC上運動，當△MON的面積達到最大時，存在一種使得△MON周長最小的情況，則此時點M的坐標為（）

A．（0，4）

B．（3，4）

C．（，4）

D．（，3）

2.如圖，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．點B與點D重合，點A，B（D），E在同一條直線上，將△ABC沿DE方向平移，至點A與點E重合時停止．設點B，D之間的距離為x，△ABC與△DEF重疊部分的面積為y，則準確反映y與x之間對應關系的圖象是（）

A

B

C

D

二、填空題

3.（2016?綏化）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，則AE=______（提示：可過點A作BD的垂線）

4.如圖，一塊直角三角形木板△ABC，將其在水平面上沿斜邊AB所在直線按順時針方向翻滾，使它滾動到

△A″B″C″的位置，若BC=1cm，AC=cm，則頂點A運動到A″時，點A所經過的路徑是_________cm．

三、解答題

5.（2017?莒縣模擬）在邊長為1的正方形ABCD中，點E是射線BC上一動點，AE與BD相交于點M，AE或其延長線與DC或其延長線相交于點F，G是EF的中點，連結CG．

（1）如圖1，當點E在BC邊上時．求證：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．

（2）如圖2，當點E在BC的延長線上時，（1）中的結論②是否成立？請寫出結論，不用證明．

（3）試問當點E運動到什么位置時，△MCE是等腰三角形？請說明理由．

6.如圖，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，動點P、Q分別從A、B兩點同時以每秒1個單位長的速度按順時針方向沿△ABC的邊運動，當Q運動到A點時，P、Q停止運動.設Q點運動時間為t秒，點P運動的軌跡與PQ、AQ圍成圖形的面積為S.求S關于t的函數解析式.7.正方形ABCD中，點F為正方形ABCD內的點，△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉90°后與△BEA重合．

（1）如圖1，若正方形ABCD的邊長為2，BE=1，FC=，求證：AE∥BF；

（2）如圖2，若點F為正方形ABCD對角線AC上的點，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的長．

8.將正方形ABCD和正方形BEFG如圖1擺放，連DF．

（1）如圖2，將圖1中的正方形BEFG繞B點順時針旋轉90°，連DF、CG相交于M，則=_____，∠DMC=_____；

（2）如圖3，將圖1中的正方形BEFG繞B點順時針旋轉45°，DF的延長線交CG于M，試探究與∠DMC的值，并證明你的結論；

（3）若將圖1中的正方形BEFG繞B點逆時針旋轉β（0°＜β＜90°），則=_______，∠DMC=_________．請畫出圖形，并直接寫出你的結論（不用證明）．

9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．

（1）如圖（1）當C、A、D在同一直線上時，連CE、BD，判斷CE和BD位置關系，填空：CE_____BD．

（2）如圖（2）把△ADE繞點A旋轉到如圖所示的位置，試問（1）中的結論是否仍然成立，寫出你的結論，并說明理由．

（3）如圖（3）在圖2的基礎上,將△ACE繞點A旋轉一個角度到如圖所示的△AC′E′的位置,連接BE′、DC′,過點A作AN⊥BE′于點N，反向延長AN交DC′于點M．求的值．

10.將正方形ABCD和正方形CGEF如圖1擺放，使D點在CF邊上，M為AE中點，（1）連接MD、MF，則容易發現MD、MF間的關系是______________

（2）操作：把正方形CGEF繞C點旋轉，使對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），取線段AE的中點M，探究線段MD、MF的關系，并加以說明；

（3）將正方形CGEF繞點C旋轉任意角度后（如圖3），其他條件不變，（2）中的結論是否仍成立？直接寫出猜想，不需要證明.答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1.【答案】B.【解析】如圖，過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，則S△MON=S△OMP+S△NMP=MP?QG+MP?NG=MP?QN，∵MP≤OA，QN≤OB，∴當點N與點B重合，QN取得最大值OB時，△MON的面積最大值=OA?OB，設O關于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，此時△MON的面積最大，周長最短，∵=，即=，∴AM=3，∴M（3，4）．

故選B．

2.【答案】B.二、填空題

3.【答案】2.【解析】過A作AF⊥BD，交BD于點F，∵AD=AB，∠DAB=90°，∴AF為BD邊上的中線，∴AF=BD，∵AB=AD=，∴根據勾股定理得：BD==2，∴AF=，在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30°，∴EF=AE，設EF=x，則有AE=2x，根據勾股定理得：x2+3=4x2，解得：x=1，則AE=2．

故答案為：2.4.【答案】.三、解答題

5.【答案與解析】

（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，在△ABM和△CBM中，∴△ABM≌△CBM（SAS）．

②∵△ABM≌△CBM

∴∠BAM=∠BCM，又∵∠ECF=90°，G是EF的中點，∴GC=EF=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∵AB∥DF，∴∠BAM=∠GFC，∴∠BCM=∠GCF，∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，∴GC⊥CM；

（2）解：成立；理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，在△ABM和△CBM中，∴△ABM≌△CBM（SAS）

∴∠BAM=∠BCM，又∵∠ECF=90°，G是EF的中點，∴GC=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∵AB∥DF，∴∠BAM=∠GFC，∴∠BCM=∠GCF，∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+MCFE=90°，∴GC⊥CM；

（3）解：分兩種情況：①當點E在BC邊上時，∵∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必須EM=EC，∴∠EMC=∠ECM，∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=；

②當點E在BC的延長線上時，同①知BE=．

綜上①②，當BE=戓BE=時，△MCE是等腰三角形．

6.【答案與解析】

當P運動到C點時：t=6

當Q運動到A點：t=

∴分兩種情況討論

（1）當0≤t≤6時，如圖：

作PH⊥AB于H，則△APH為等腰直角三角形

此時

AP=t，BQ=t，則AQ=-t

PH=APsin45°=t

∴S△AQP=AQ·PH

=·(-t)·t

=t2+3t

（2）當6＜t≤時，如圖：

過P過PH⊥AB于H，此時△PBH為等腰直角三角形

AC+CP=t，BQ=t

∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t

∴PH=BPsin45°=(12-t)

∴S四邊形AQPC=S△ABC-S△BPQ

=AC·BC-BQ·PH

=·6·6-·t·(12-t)

=18-t+t2

=t2-t+18.綜上，.7.【答案與解析】

（1）證明：∵△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉90°后與△BEA重合∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC

在△BFC中，∵BF2+FC2=12+()2=4，BC2=22=4

∴BF2+FC2=BC2

∴∠BFC=90°…（3分）

∴∠AEB+∠EBF=180°

∴AE∥BF…（4分）

（2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得

AC==2．

∵AF：FC=3：1，∴AF=AC=，FC=AC=

∵△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉90°后與△BEA重合∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，AE=CF=，∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABC=90°

∴∠BAC+∠ACB=90°

∴∠EAB+∠BAC=90°

即∠EAF=90°

在Rt△EAF中，EF==，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2

∵BE=BF

∴BF=EF=．

8.【答案與解析】

（1）如圖2，連接BF，∵四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，∴∠FBC=∠CBD=45°，∴∠CBD=∠GBC=90°，而BF=BG，BD=BC，∴△BFD∽△BGC，∴∠BCG=∠BDF，=

而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，∴=，∠DMC=45°；

（2）如圖3，∵將圖1中的正方形BEFG繞B點順時針旋轉45°，DF的延長線交CG于M，∴B、E、D三點在同一條直線上，而四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，∴∠CBD=∠GBC=45°，BF=BG，BD=BC，∴△BFD∽△BGC，∴=，∠BCG=∠BDF

而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，即∠DMC=45°；

（3）=，∠DMC=45°,圖略.9.【答案與解析】

（1）CE⊥BD．

（2）延長CE交BD于M，設AB與EM交于點F．

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAE=∠BAD．

又∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∴∠ACE=，∠ABD=，∴∠ACE=∠ABD．

又∵∠AFC=∠BFM，∠AFC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠BFM=90°，∴∠BMC=90°，∴CE⊥BD．

（3）過C′作C′G⊥AM于G，過D作DH⊥AM交延長線于點H．

∵∠∠E′NA=∠AGC′=90°，∴∠NE′A+∠NAE′=90°，∠NAE′+∠C′AG=90°，∴∠NE′A=∠C′AG，∵AE′=AC′

∴△ANE′≌△C′GA（AAS），∴AN=C′G．

同理可證△BNA≌△AHD，AN=DH．

∴C′G=DH．

在△C′GM與△DHM中，∠C′GM=∠DHM=90°，∠C′MG=∠DMH，C′G=DH，∴△C′GM≌△DHM，∴C′M=DM，∴．

10.【答案與解析】

（1）如圖1，延長DM交FE于N，圖1

∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∴∠1=∠2，又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN，∴MD=MN，AD=EN．

∵AD=DC，∴DC=NE．

又∵FC=FE，∴FD=FN．

又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；

（2）MD=MF，MD⊥MF．

如圖2，延長DM交CE于N，連接FD、FN．∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．

又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，∴AD=EN，MD=MN．

∵AD=DC，∴DC=NE．

又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．

又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN為等腰直角三角形，且FM為斜邊DN上的中線，∴MD=MF，MD⊥MF；

（3）FM⊥MD，MF=MD．

如圖3，過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN．

∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∠3=∠4．

∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．

∵正方形ABCD、CGEF，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．

∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．

∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．

∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．

∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°．

∴FM⊥MD，MF=MD．