沖刺：幾何綜合問題(基礎)

一、選擇題

1.（2016?天水）如圖，邊長為2的等邊△ABC和邊長為1的等邊△A′B′C′，它們的邊B′C′，BC位于同一條直線l上，開始時，點C′與B重合，△ABC固定不動，然后把△A′B′C′自左向右沿直線l平移，移出△ABC外（點B′與C重合）停止，設△A′B′C′平移的距離為x，兩個三角形重合部分的面積為y，則y關于x的函數圖象是（）

A．

B．

C．

D．

2.如圖，將直角三角形ABC沿著斜邊AC的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四點在同一條直線上）．直角邊DE交BC于點G．如果BG=4，EF=12，△BEG的面積等于4，那么梯形ABGD的面積是（）

A.16

B.20

C.24

D.28

二、填空題

3.（2016?海淀區二模）據傳說，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度．如圖所示，木桿EF的長為2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，則金字塔的高度BO為______

m．

4.如圖，線段AB=8cm，點C是AB上任意一點（不與點A、B重合），分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作等腰直角三角形（△AMC和△CNB），則當BC=_____________cm時，兩個等腰直角三角形的面積和最小．

三、解答題

5.有一根直尺的短邊長2cm，長邊長10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長12cm．如圖①，將直尺的短邊DE與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點D與點A重合；　將直尺沿AB方向平移（如圖②），設平移的長度為xcm（0≤x≤10），直尺和三角形紙板的重疊部分（圖中陰影部分）的面積為Scm2．

（1）當x=0時（如圖①），S=________；

（2）當0＜x≤4時（如圖②），求S關于x的函數關系式；

（3）當4＜x＜6時，求S關于x的函數關系式；

（4）直接寫出S的最大值．

6.問題情境：如圖①，在△ABD與△CAE中，BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易證：△ABD≌△CAE.（不需要證明）

特例探究：如圖②,在等邊△ABC中,點D、E分別在邊BC、AB上，且BD=AE,AD與CE交于點F.求證：△ABD≌△CAE．

歸納證明：如圖③，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊CB、BA的延長線上，且BD=AE．△ABD與△CAE是否全等？如果全等，請證明；如果不全等，請說明理由．

拓展應用：如圖④，在等腰三角形中，AB=AC，點O是AB邊的垂直平分線與AC的交點，點D、E分別在OB、BA的延長線上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度數．

7.如圖正三角形ABC的邊長為6cm,⊙O的半徑為rcm，當圓心O從點A出發，沿著線路AB－BC－CA運動，回到點A時，⊙O隨著點O的運動而移動.⑴若r=cm,求⊙O首次與BC邊相切時，AO的長；

⑵在⊙O移動過程中，從切點的個數來考慮，相切有幾種不同的情況？寫出不同情況下r的取值范圍及相應的切點的個數；

⑶設⊙O在整個移動過程中，在△ABC內部，⊙O未經過的部分面積為S，在S＞0時，求關于r的函數解析式，并寫出自變量r的取值范圍.8.（2015?德州）（1）問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°，求證：AD?BC=AP?BP．

（2）探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結論是否依然成立？說明理由．

（3）應用：請利用（1）（2）獲得的經驗解決問題：

如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出了，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A，設點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．

9.如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12

cm，BC=9

cm，DC=13

cm，點P是線段AB上一個動點.設BP為x

cm，△PCD的面積為y

cm2．

（1）求AD的長；

（2）求y與x之間的函數關系式，并求出當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？

（3）在線段AB上是否存在點P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.10.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，點P從點A出發沿邊線AB—BC以每秒1個單位長的速度向點C運動，當P與C重合時停下運動，過點P作AB的垂線PQ交AD或DC于Q.設P運動時間為t秒，直線PQ掃過平行四邊形ABCD的面積為S.求S關于t的函數解析式.答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1.【答案】B.【解析】如圖1所示：當0＜x≤1時，過點D作DE⊥BC′．

∵△ABC和△A′B′C′均為等邊三角形，∴△DBC′為等邊三角形．

∴DE=BC′=x．

∴y=BC′?DE=x2．

當x=1時，y=，且拋物線的開口向上．

如圖2所示：1＜x≤2時，過點A′作A′E⊥B′C′，垂足為E．

∵y=B′C′?A′E=×1×=．

∴函數圖象是一條平行與x軸的線段．

如圖3所示：2＜x≤3時，過點D作DE⊥B′C，垂足為E．

y=B′C?DE=（x﹣3）2，函數圖象為拋物線的一部分，且拋物線開口向上．

故選：B．

2.【答案】B.二、填空題

3.【答案】134.4.【答案】4.三、解答題

5.【答案與解析】

（1）由題意可知：

當x=0時，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AE=EF=2，則陰影部分的面積為：S=×2×2=2；

故答案為：2；

（2）在Rt△ADG中，∠A=45°，∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，∴S梯形DEFG=（x+x+2）×2=2x+2．

∴S=2x+2；

（3）①當4＜x＜6時（圖1），GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，則S△ADG=AD.DG=x2，S△BEF=（10-x）2，而S△ABC=×12×6=36，S△BEF=（10-x）2，∴S=36-x2-（10-x）2=-x2+10x-14，S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11，∴當x=5，（4＜x＜6）時，S最大值=11．

（4）S最大值=11．

6.【答案與解析】

特例探究：

證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD與△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS）；

歸納證明：△ABD與△CAE全等．理由如下：

∵在等邊△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．

在△ABD與△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS）；

拓展應用：∵點O在AB的垂直平分線上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBC．

在△ABD與△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°．

7.【答案與解析】

（1）設⊙O首次與BC相切于點D，則有OD⊥BC．

且OD=r=．

在直角三角形BDO中，∵∠OBD=60°，∴OB==2．

∴AO=AB-OB=6-2=4（厘米）；

（2）由正三角形的邊長為6厘米．可得出它的一邊上的高為3厘米．

①當⊙O的半徑r=3厘米時，⊙O在移動中與△ABC的邊共相切三次，即切點個數為3；

②當0＜r＜3時，⊙O在移動中與△ABC的邊相切六次，即切點個數為6；

③當r＞3時，⊙O與△ABC不能相切，即切點個數為0．

（3）如圖，易知在S＞0時，⊙O在移動中，在△ABC內部為經過的部分為正三角形．

記作△A′B′C′，這個正三角形的三邊分別于原正三角形三邊平行，且平行線間的距離等于r．

連接AA′，并延長AA′，分別交B′C′，BC于E，F兩點．

則AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r．

又過點A′作A′G⊥AB于G，則A′G=r．

∵∠GAA′=30°，∴AA′=2x．

∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r，B′C′=

A′E=2（3-r）．

∴△A′B′C′的面積S=B′C′.A′E=3（3-r）2．

∴所求的解析式為S=3（3-r）2（0＜r＜3）．

8.【答案與解析】

解：（1）如圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD?BC=AP?BP；

（2）結論AD?BC=AP?BP仍然成立．

理由：如圖2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．

∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD?BC=AP?BP；

（3）如圖3，過點D作DE⊥AB于點E．

∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3．

由勾股定理可得DE=4．

∵以點D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1．

又∵AD=BD，∴∠A=∠B，∴∠DPC=∠A=∠B．

由（1）、（2）的經驗可知AD?BC=AP?BP，∴5×1=t（6﹣t），解得：t1=1，t2=5，∴t的值為1秒或5秒．

9.【答案與解析】

⊥BC于點E．

據題意知，四邊形ABED是矩形，AB=DE，AD=BE.在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=12，CD=13，∴

EC=5．

∴AD=BE=BC-EC=4．

（2）若BP為x，則AP=12-x.S△BPC=BP·BC=x.S△APD=AP·AD=24-2x.∴S△PCD=S梯形ABCD-S△BPC-S△APD=78-x-24+2x=-x+54.即

y=-x+54，0≤x≤12.當x=0時，y取得最大值為54

cm2.（3）若△PCD是直角三角形，∵∠BCP＜90°，∴∠PCD≠90°

∴分兩種情況討論，如圖2.①當∠DPC=90°時

∵∠APD+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°，∴∠APD=∠PCB.∴

△APD∽△BCP.∴.即.解得x=6.∠APD=∠BPC=45°的情況不存在，不考慮.②當∠P1DC=90°時，在Rt△P1BC中，P1C2=BP12+BC2=x2+92，在Rt△P1AD中，P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42，∵∠P1DC=90°，CD2+P1D2=P1C2.即132+(12-x)2+42=x2+92.解得.綜上，當x=6或，△PCD是直角三角形.10.【答案與解析】

當Q點與D點重合時，AQ=AD=6，此時AP=AQ=3=t

當P與B點重合時，t=10，當

P點運動到C時，t=16，∴分三類情況討論

（1）當0≤t≤3時，如圖：

AP=t，PQ=t，∴S=AP·PQ=t2

（2）當3＜t≤10時，示意圖：

過D作DH⊥AB于H，AD=t，則

DH=ADsinA=6·=3，AH=ADcosA=3

∴DQ=PH=AP-AH=t-3

∴S=(AP+DQ)·DH

=(t+t-3)·3=3t-

（3）當10＜t≤16時，如圖：

AB+BP=t

CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t

∴CQ=CP=8-

QP=·CQ=8-t

∴S=S□ABCD-S△CPQ

=AB·h-·CQ·PQ

=10·3-·(8-)·(8-)

=30-(64-8t+)

=

綜上，.