2021屆初三中考數(shù)學(xué)高分突破相似三角形專題一遍過強(qiáng)化卷

一、單選題

1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置邊長分別為3，4，x的三個正方形，則x的值為（）

A．5

B．6

C．7

D．8

2．如圖，正方形的對角線、相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則等于

A．3

B．4

C．6

D．8

3．如圖，△ABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x>0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點(diǎn)M、N分別作x軸的平行線交AB于點(diǎn)P、Q．若△ANQ的面積為1，則k的值為（）

A．9

B．12

C．15

D．18

4．如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD、BE的交點(diǎn)，CE=2AE，BF=EF，EN∥BC交AD于N，若BD=2，則CD長度為（）

A．6

B．7

C．8

D．9

5．如圖，在中，是斜邊上的高，則圖中的相似三角形共有（）

A．1對

B．2對

C．3對

D．4對

6．如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD，AD上，于點(diǎn)G，若BC=4，AF=1，則CE的長為（）

A．3

B．

C．

D．

7．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，CE平分∠DCB交BD于點(diǎn)F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE，下列結(jié)論：①∠ACD＝30°；②S平行四邊形ABCD＝；③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正確的有（）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

8．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E為AB上一點(diǎn)，以AE為直徑作⊙O與BC相切于點(diǎn)D，若AE＝5，AC＝4，則BE的長為

A．

B．

C．3

D．1

9．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE．折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上．若DE=4，則AF的長為（）

A．

B．4

C．3

D．2

10．如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長為（）

A．

B．

C．

D．

二、填空題

11．如圖，光源在水平橫桿的上方，照射橫桿得到它在平地上的影子為（點(diǎn)、、在一條直線上，點(diǎn)、、在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)．已知，點(diǎn)到橫桿的距離是，則點(diǎn)到地面的距離等于______．

12．已知是等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)點(diǎn)分別在邊上，同時平分和，則的長為_____．

13．如圖，在中，正方形的頂點(diǎn)分別在的邊上，在邊上，則正方形的邊長等于_______．

14．如圖，正方形的對角線，相交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長是______．

15．如圖，在中，平分在延長線上，且，若，則的長為_____．

三、解答題

16．如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)．

（1）若，求證：；

（2）若，且在同一直線上時，求的值．

17．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．

（1）求證：△AED∽△ADC；

（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C在該拋物線上且在第一象限．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）將該拋物線向下平移m個單位，使得點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)D處，當(dāng)AD＝3BD時，求m的值；

（3）聯(lián)結(jié)BC，當(dāng)∠CBA＝2∠BAO時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

19．如圖1，四邊形內(nèi)接于是的直徑，．延長交的延長線于點(diǎn)．

（1）證明：．

（2）當(dāng)時，①求的長度．

②如圖2，作平分交于點(diǎn)，連結(jié)，求的面積．

20．如圖：中，以為直徑作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，．

（1）求證：直線是的切線；

（2）若，求的長．

21．如圖，已知邊長為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AE，G是BC延長線上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點(diǎn)F，若FG⊥BG．

（1）求證：△ABE∽△EGF；

（2）若EC＝2，求△CEF的面積；

（3）當(dāng)△CEF的面積最大時，求EC．

22．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；

（2）在下方的拋物線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，交與點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為多少時，線段的長度最大？最大是多少？

（3）在對稱軸上有一點(diǎn)，在拋物線上有一點(diǎn)，若使，，為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出，點(diǎn)的坐標(biāo)．

（4）在軸上是否存在一點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

參考答案

1．C

解：如圖，標(biāo)注字母，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置邊長分別3，4，x的三個正方形，由正方形可得：

同理：

∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得：OE=x-3，PF=x-4，∴（x-3）：4=3：（x-4），∴（x-3）（x-4）=12，即，∴x=0（不符合題意，舍去）或x=7．

2．D

解：∵四邊形ABCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴

∴

解得DF=8，3．D

解：∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M(jìn)、N是OA的三等分點(diǎn)，∴，∴，∵四邊形MNQP的面積為3，∴，∴S△ANQ=1，∵，∴S△AOB=9，∴k=2S△AOB=18，4．A

解：∵NE∥BC，∴∠NEF=∠DBF，∠ENF=∠BDF，又∵BF=EF，∴△NEF≌△DBF，∴NE=BD=2．

∵NE∥BC，∴△ANE∽△ADC，∴，∵CE=2AE，∴，∴CD=6．

5．C

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB

∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD

所以有三對相似三角形，6．A

如下圖，過D做于點(diǎn)H

∴

∵正方形ABCD

∴

且

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

又∵正方形ABCD

∴

∴

∵于點(diǎn)G

∴

∴

∴

∵

∴

∵且

∴

∴

∴

7．C

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，∴∠DCE=∠BCE=60°

∴△CBE是等邊三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；

∵AC⊥BC，∴S?ABCD=AC?BC，故②正確，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=BC，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=BC，∴OE：AC=：6；故③錯誤；

∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴=2

∴S△OCF：S△OEF==2，∴S△OCF=2S△OEF；故④正確．

8．A

連接ED并延長交AC的延長線于點(diǎn)F，連接OD，如圖，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)D，∴OD⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，即，∴BE＝．

9．C

解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8

∴∠BAG+∠DAE=90°

∵折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，∴BF垂直平分AG

∴∠ABF+∠BAG=90°

∴∠DAE=∠ABF，∴△ABF∽△DAE

∴即

10．C

設(shè)，則CD=3x，由折疊得，∴CF=3x-10，∵

∴100=，解得x=6或x=0（舍去），∴CD=18，CF=8，=12，∵∠C=∠D=∠,∴∠,∴△∽△,∴，∴，∴DM=9，∴，AM=9，在Rt△中，∴,解得EM=5，∴AE=4，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18，∴FH=10-4=6，∴EF=,故選：C.11．3

解：如圖，作PF⊥CD于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∴△PAB∽△PCD，∴，即：，12．

解：如圖，同時平分和，，在與中，，，是等邊三角形，，，，設(shè)，，，，，．

故答案為：．

13．解：∵，∴，∵四邊形DEFG是正方形，∴∠DEB=∠A=90°，∠B=∠B，∴△ABC∽△EBD，∴，即，同理，設(shè)BE為3x，則DE為4x，F(xiàn)C為，解得，DE=4×=，14．

解：四邊形是正方形，，OA=OB=OC=OD，∵,∴，，即，，，解得

15．解：∵BD平分∠ABC，DE=BD

∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD

∴∠DBC=∠AED

如圖，在BC上取點(diǎn)，使BF=AE

則在與中，∴

∴AE=BF=2，∴CF=BC-BF=8-2=6

∵∠BAD=，∠DFC=

∴∠BAD=∠DFC

又∵∠C=∠C

∴CFD∽CAB

∴

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∠BAD=∠DFC

∴

∵

∴

∴DF=FC=6，則AD=DF

=6

∴CA=6+CD

又∵CF=6，BC=8

∴

解得．

16．（1）∵，∴，∴，又∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴在和中，∴≌，∴，∵，∴，∴；

（2）如圖，三點(diǎn)共線，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴在和中，∴∽，∴，即

∴，∴，∴．

17．解：（1）證明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．

又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．

（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．

又∵AD＝AB，∴AB＝2

18．解：（1）把點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（0，2）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）如圖1，過點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，∴DG∥OB，∴△ADG∽△ABO，∴，∵AD＝3BD，∴AG＝3OG，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴OG＝1，DG＝，∵D（1，），由平移得：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)x＝1時，y＝﹣×1+×1+2＝3，∴m＝3﹣＝；

（3）∵∠CBA＝2∠BAO，點(diǎn)C在該拋物線上且在第一象限，∴點(diǎn)C在AB的上方，如圖2，過A作AF⊥x軸于A，交BC的延長線于點(diǎn)F，過B作BE⊥AF于點(diǎn)E，∴BE∥OA，∴∠BAO＝∠ABE，∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，∴∠FBE＝∠ABE，∵∠BEF＝∠AEB＝90°，∴∠F＝∠BAF，∴AB＝BF，∴AE＝EF＝OB＝2，∴F（4，4），設(shè)BF的解析式為：y＝kx+n，則，解得：，∴BF的解析式為：y＝x+2，∴，解得或，∴C（2，3）．

19．（1）證明：∵，∴∠BAD=∠ACD，∵四邊形內(nèi)接于，∴∠ECD=∠BAD，∴；

（2）解：①由（1）得：，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=∠CDE=90°，∵CD=CD，∴△ADC≌△EDC（ASA），∴AD=DE，AC=CE，∵∠E=∠E，∴△CDE∽△ABE，∵，∴，∴，∴，設(shè)，在Rt△CDE中，∴，解得：，∴；

②連接CF，過點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H，如圖所示：

由①得：，∵平分，∠ABC=90°，∴∠ABF=45°，∴∠ACF=∠ADF=45°，∵AC是是⊙O的直徑，∴∠AFC=90°，∴△AFC和△FHD是等腰直角三角形，∴AF=FC，F(xiàn)H=DH，∴，設(shè)DH=FH=x，則，∴在Rt△AHF中，解得：（不符合題意，舍去）

∴，∴．

20．（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．

（2）設(shè)，則，在中，∵，∴，解得，∴，連接，∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，∴，∴

∴．

21．解：（1）四邊形是正方形，，，，；

（2），，，由（1）知，，，；

（3）設(shè)，則，由（1）知，，，當(dāng)時，．

22．解：（1）∵

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）

把點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得，解得，所以，此函數(shù)關(guān)系式為：

（2）如圖，設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為：，將，代入，得，解得，∴直線AC的解析式為

∵點(diǎn)N在直線AC下方的拋物線上，軸

∴

為了使MN最大，就要使取最大值，∴取最小值

∵

∴當(dāng)時，MN有最大值，最大值為，將代入中，得y=，∴N的坐標(biāo)為

（3）拋物線對稱軸為

令y=0得，解得，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）

①當(dāng)AB和KL是平行四邊形的對角線時，點(diǎn)和都在對稱軸上時，∴，②當(dāng)AB和KL是平行四邊形的兩條對邊，且KL在y軸右側(cè)時，∵

∴

∴的橫坐標(biāo)為3，∴，③當(dāng)AB和KL是平行四邊形的兩條對邊，且KL在y軸左側(cè)時，∵

∴的橫坐標(biāo)為-5

∴，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，；

（4）如圖，設(shè)直線AD的函數(shù)解析式為

將，代入

得，解得

∴

①當(dāng)，A為垂足時，∵,∴

∴

∴

∵AO=3，AP=2，PD=4

∴

∴

∴

②當(dāng)，D為垂足時，同理可證

∴，即,∴

∴

∴

③當(dāng)AE⊥DE,E為垂足時，設(shè)OE=x，則QE=4-x

∴，∴

解得：，∴，∴，．

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：，，．