中考復習：相似三角形專練

一、單選題

1．若且周長之比1：3，則與的面積比是（）

A．1：3

B．

C．1：9

D．3：1

2．如圖，已知是三角形中的邊上的一點，的平分線交邊于，交于，那么下列結論中錯誤的是（）

A．三角形相似于三角形

B．三角形相似于三角形

C．三角形相似于三角形

D．三角形相似于三角形

3．如圖中，D為上任意點，且，則值為（）

A．

B．

C．3

D．

4．如圖，在中，若，則長為（）

A．6

B．8

C．9

D．12

5．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，DC、AE交于點F，則S△DEF：S△ACF＝（）

A．

B．

C．

D．

6．如圖，點為的平分線上一點，的兩邊分別與射線交于兩點，繞點旋轉時始終滿足，若，則的度數為（）

A．153°

B．144°

C．163°

D．162°

7．如圖，在中，、為邊的三等分點，點為與的交點．若，則為（）

A．1

B．2

C．

D．3

8．如圖，知形ABCD中，AB＝6，BC＝4，對角線AC、BD相交于點O，CE平分OB，且與AB交于點E．若F為CE中點，則△BEF的周長是（）

A．＋2

B．2＋2

C．2＋2

D．6

9．如圖，中，分別是，邊上的高，且，則的值為（）

A．

B．2

C．

D．

10．已知在中，是邊上的一點，過點作于點，將沿著過點的直線折疊，使點落在邊的點處（不與點重合），折痕交邊于點，則的長為（）

A．或

B．

C．

D．或

11．△ABC的邊長AB＝2，面積為1，直線PQBC，分別交AB、AC于P、Q，設AP＝t，△APQ面積為S，則S關于t的函數圖象大致是（）

A．

B．

C．

D．

12．如圖，已知雙曲線和，直線與雙曲線交于點，將直線向下平移與雙曲線交于點，與軸交于點，與雙曲線交于點，，則的值為（）

A．－4

B．－6

C．－8

D．－10

13．如圖，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，OA在軸上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC與OD相交于點E，且OC＝，CE＝，反比例函數的圖象經過點E，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

14．如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，連接AF并延長交射線BM于點C．設BE＝x，BC＝y，則y關于x的函數解析式是（）

A．y＝﹣

B．y＝﹣

C．y＝﹣

D．y＝﹣

15．幾千年來，在勾股定理的多種證明方法中，等面積法是典型的一種證法，清代數學家李銳運用這一方法借助三個正方形也證明了勾股定理．如圖，四邊形，四邊形，四邊形均為正方形，交于點交于點K，點在同條直線上，若，記四邊形的面積為，四邊形的面積為，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

16．如圖，等腰中，于D，的平分線分別交于兩點，M為的中點，延長交于點N，連接下列結論：①；②；③是等腰三角形；④，其中正確的是（）

A．①②

B．①④

C．①③

D．②③

17．如圖，在等腰中，．點和點分別是邊和邊上兩點，連接．將沿折疊，得到，點恰好落在的中點處設與交于點，則（）

A．

B．

C．

D．

18．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結論：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH·PC；其中正確的有（）

A．①②③④

B．②③

C．①②④

D．①③

二、填空題

19．如圖，已知DC為∠ACB的平分線，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的長＝_____．

20．如圖，在平行四邊形中，，的平分線交于E，交的延長線于F，于G，則的長______，為的長為______．

21．如圖，在ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，＝，若S四邊形DEBC，則＝_____．

22．如圖，在中，，D，E分別是邊AC，BC上的兩動點，將沿著直線DE翻折，點C的對應點為F，若點F落在AB邊上，使為直角三角形，則BF的長度為______

．

23．如圖，在矩形中，，平分，點在線段上，過點作交邊于點，交邊于點，則___．

24．如圖，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，連接OA1，以OA1為邊，作矩形OA1A2B1使A1A2OA1，連接OA2交A1B于點C；以OA2為邊，作矩形OA2A3B2，使A2A3OA2，連接OA3交A2B1于點C1；以OA3為邊，作矩形OA3A4B3，使A3A4OA3，連接OA4交A3B2于點C2；…按照這個規律進行下去，則△C2019C2020A2022的面積為____．

三、解答題

25．如圖，已知，求證：．

26．如圖，在梯形中，過點A作，垂足為點E，過點E作，垂足為點F，聯結，且平分．

（1）求證：；

（2）聯結，與交于點G，當時，求證．

27．如圖，已知中，，于點，點是線段上的一個動點．

（1）如圖1，若點恰好在的角平分線上，則______；

（2）如圖2，若點在線段上，且，過點、分別作于點，于點．

①求證：∽；

②求的值；

③求的值．

28．在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．若點E是BC上的一個動點．

（1）如圖1，若F為DE的中點，求證：CF＝DF；

（2）如圖2，連接DE，交AC與點F，當DE平分∠CDB時，求證：AF＝OA；

（3）如圖3，當點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG＝BG．

29．（1）問題探究：如圖1，在正方形中，點、、分別是、、上的點，且，求證：；

（2）類比應用：如圖2，在矩形中，，將矩形沿折疊使點落在點處，得到矩形．

①若點為的中點，試探究與的數量關系；

②拓展延伸：連，當時，，求的長．

30．在中，點在邊上，分別連接．

（1）如圖1，三點在同一條直線上．

①若，求的長；

②求證：．

（2）如圖2，若，分別是的中點，求的值．

參考答案

1．C

解：∵且周長之比1：3，∴與的相似比=1：3，∴與的面積比=12：32=1：9，2．C

解：A.又平分

故A不符合題意；

B.平分

又

故B不符合題意；

C.三角形與三角形，僅有一個公共角，不能證明相似，故C錯誤，符合題意；

D.故D不符合題意，3．D

解：∵，∠CAD=∠BAC=90°，∴△CAD∽△BAC，∴，設，則，解得，4．C

解：∵，∴△ADE∽△ABC，∴即，∴．

5．D

∵，∴，∵，∴，∴，∴，6．A

解：∵OA?OB＝OP2，∴，∵∠BOP＝∠AOP，∴△PBO∽△APO，∴∠OBP＝∠OPA，∵∠MON＝54°，∴∠BOP＝27°，∴∠OBP+∠BPO＝180°﹣27°＝153°

∴∠APB＝∠BPO+∠APO＝153°；

7．C

解：∵D、E為邊AB的三等分點，EF∥DG∥AC，∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位線，∴DHEF，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴，即，解得：EF＝3，∴DHEF3＝，8．C

解：∵四邊形是矩形，設與交于點，如圖，∴

∴

又

∴

∴

在矩形中，∵CE平分OB，∴

∴

∴

∵

∴

在中，∴

∵為CE中點，∴

∴的周長等于

9．B

解：∵，為公共角，∴∽，∴，∴∽，∴，∴，在中，即，解得（負值已舍去），10．A

解：∵，∴，∵DH⊥AC，∴DH∥BC，∴△ADH∽△ABC，∴，∵AD=7，∴，∴，將∠B沿過點D的直線折疊，情形一：當點B落在線段CH上的點P1處時，如圖1中，∵AB=12，∴DP1=DB=AB-AD=5，∴，∴；

情形二：當點B落在線段AH上的點P2處時，如圖2中，同法可得，綜上所述，滿足條件的AP的值為或．

11．B

解：∵PQ∥BC，∴

∴△APQ∽△ABC，∴，∴S＝（）2，∴（）2＝S，∴S＝，0≤t≤2，結合二次函數的圖象，可得其圖象為B．

12．C

解：連接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F．

∵OA//BC，∴S△OBC＝S△ABC＝10，∵，∴S△OPB＝，S△OPC＝，∵S△OBE＝，∴S△PBE＝，∵△BEP∽△CFP，∴S△CFP＝4×＝，∴S△OCF＝S△OCP

－S△CFP＝，∴k＝?8．

13．D

解：∵∠OBA＝90°，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，∴∠DOA+∠OAC=45°，∴∠OEA=135°，∴∠OEC=45°，過C作CF⊥OE于點F，過點E作EG⊥OB于點G，過點E作EH⊥OA于點H，在Rt△CEF中，∠OEC=45°，∴CF=EF，設CF=EF=x，則有，即有：，解得：x=1或-1(舍)，∴CF=EF=1，在Rt△OCF中，OC=，∴OF=，∵∠COF=∠EOG，∠OFC=∠OGE=90°，∴△OFC∽△OGE，∴，即，∴，∵OD平分∠AOB，∴GE=EH=，在Rt△OEH中，∴E()，∵E在上，∴，∴k=，14．A

作點F作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；

∴∠BDE＝∠FEG，在△DBE與△EGF中，∴△DBE≌△EGF（AAS），∴EG＝DB，FG＝BE＝x，∴EG＝DB＝2BE＝2x，∴GC＝y﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，∴△FGC∽△ABC，∴CG：BC＝FG：AB，即＝，∴y＝﹣．

15．B

解：，又，又，，設，則，由已知：，，，又，解得，檢驗是方程的解，，作，四邊形、、、是矩形，，，，，又，，，，16．B

解：，，，，平分，，，，在和中，，故①正確；，與顯然不全等，故②錯誤，在和△中，，，故④正確，，，，故③錯誤．

17．C

解：∵在等腰Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC=2，∴AB=AC=4，∠A=∠B=45°，如圖，過B′作B′H⊥AB與H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH=B′H=AB′，∵AB′=，∴AH=B′H=1，∴BH=3，∴BB′=，∵將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，∴BF=，DE⊥BB′，∴∠BHB′=∠BFE=90°，∵∠EBF=∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴，∴，∴EF=，故答案為：

18．C

解：在正方形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，∠A=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，∠ABD=∠ADB=∠BDC=45°

∵△BPC是等邊三角形

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，∴DC=PC，∠ABE=∠ABC-∠PBC=30°

∴BE=2AE，故①正確；

∵AD∥BC

∴∠PFD=∠BCF=60°

∴∠PFD=∠BPC

同①得：∠DCF=30°

∴∠CPD=∠CDP=75°

∴∠PDF=15°

又∵∠PBD=∠ABD-∠ABE=45°-30°=15°，∴∠PDF=∠PBD

∴△DFP∽△BPH，故②正確；

∵∠PDB=∠CDP-∠BCD=75°-45°=30°，∠PFD=60°

∠BPD=135°，∠DPF=105°

∴∠PDB≠∠PFD≠∠BPD≠∠DPF

∴△PFD與△PDB不相似，故③錯誤；

∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC

∴△DPH∽△CDP

∴

∴PD2=PH·CD，故④正確．

19．解：∵DC為∠ACB的平分線

∴∠BCD=∠ECD

∵DE∥BC

∴∠EDC=∠BCD

∴∠EDC=∠ECD

∴EC=DE

∵AD=8，BD=10

∴AB=18

∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴，∵AD=8，AB=18，BC=15

∴，∴

∴

20．3

解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵的平分線交于E，∴，∴，∴AB=BE，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴根據勾股定理可得，∴，∵，∴△ABE∽△FCE，∴，∴,∴AF=6；

21．解：∵S四邊形DEBC，∴S△ADE＝S△ABC，∵＝，∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC，∴，∴，22．或4

解：如圖，當時，將沿著直線DE翻折，，，當時，設，則，，∽，，，．

23．解：如圖，過點F作BC的垂線，分別交BC、AD于點M、N，則MN⊥AD，延長GF交AD于點Q，如圖所示．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∵BE平分∠ABC，∴∠AEB=∠ABE=∠EBC=45°，∴△NFE、△MBF和△ABE都是等腰直角三角形，∵，∴BM=FM=3，∴

∴NF=NE=1，∵FD⊥FG，∴∠DFG=90°，∴∠DFN+∠MFG=90°，∵MN⊥AD，∴∠NDF+∠DFN=90°，∴∠NDF=∠MFG，在DNF和△FMG中，∴△DNF≌△FMG（AAS），∴DN=FM=3，NF=MG=1，由勾股定理得：

∵QN∥BC，∴△QFN∽△GFM，∴，即，∴，設GH=x，則，∵QD∥BG，∴△QHD∽△GHB

∴

∴，解得，即．

24．．

解：在矩形OAA1B中，∵OA=3，AA1=2，∴∠A=90°，∴，∵，∴，∵∠OA1A2=∠A=90°，∴△OA1A2∽△OAA1，∴∠A1OA2=∠AOA1，∵A1B//OA，∴∠CA1O=∠AOA1，∴∠COA1=∠CA1O，∴OC=CA1，∵∠A2OA1+∠OA2A1=90°，∠OA1C+∠A2A1C=90°，∴∠CA2A1=∠CA1A2，∴CA1=CA2=OC，同法可證OC1=A3C1，∴CC1∥A2A3，CC1=A2A3，∴S△CC1A3=S△CC1A2，∵，∴，∴，∴，∴，同法可證，由題意，∵△C2A3C1∽△C1A2C，∴相似比為：，∴，…，由此規律可得，△C2019C2020A2022的面積為．

25．見解析

證明：∵，∴，∴，∴，∴．

26．（1）見解析；（2）見解析

（1）∵，∴，∵，平分，∴，∵，∴，在△ABE和△ECF中，∴；

（2）連接BD，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；

27．（1）4；（2）①見解析；②；③

（1）根據題意可知為等腰直角三角形．

∵，∴．

∵點M恰好在∠BCD的角平分線上，∴．

∴，．

∴，∴．

（2）①∵，．

∴．

又∵，∴．

②∵，∴，即．

∴．

③∵，∴，又∵，∴，∴．

∵，∴，又∵，∴，∴．

∴．

∴．

在中，∴．

∴．

28．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∵F為DE的中點，∴CF＝DE，DF＝DE，∴CF＝DF；

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠ACD＝45°，AD＝OA，∵DE平分∠CDB，∴∠BDE＝∠CDE，∵∠ADF＝∠ADB+∠BDE，∠AFD＝∠ACD+∠CDE，∴∠ADF＝∠AFD，∴AF＝AD，∴AF＝OA；

（3）證明：設BC＝4x，CG＝y，∵E為BC的中點，則CE＝2x，FG＝y，∵FG⊥BC

∵FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，∴，即，整理得，y＝x，即CG＝x，則EG＝2x﹣y＝x，∴BG＝2x+x＝x，∴CG＝BG．

29．（1）見解析；（2）①；②

（1）證明：如圖，過點作于，則∠AHG＝∠FHG＝90°，∵在正方形中，∴∠HAD＝∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，∴四邊形AHGD為矩形，∴AD＝HG，∴AB＝HG，∵，∴∠FQA＝90°，∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，∵∠FHG＝90°，∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，∴∠BAE＝∠FGH，∴在與中

∴（ASA），∴；

①∵點為的中點，∴，∵折疊，∴設，∴，在RtBFE中，BF2＋BE2＝EF2，∴，解得：，又∵，∴，如圖，過點作于，則∠AHG＝∠FHG＝90°，∵在矩形中，∴∠HAD＝∠BCD＝∠B＝90°，∴四邊形AHGD為矩形，∴BC＝HG，∵∠FHG＝90°，∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，∵，∴∠FQA＝90°，∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FGH，又∵∠FHG＝∠D＝90°，∴，，，又∵，∴，∴；

②如圖，過點P作于點，∵，∴由①得，∵∠EPG＝∠GCE＝90°，∠EOC＝∠GOP，∴∠CGP＝∠OEC，∵∠FEP＝∠B＝90°，∴∠OEC＋∠BEF＝90°，∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠BFE＝∠OEC，∴∠BFE＝∠CGP，又∵，∴，∴設，則，，解得：，，，，，，，．

30．（1）①；②見解析；（2）

解：（1）①∵，∴，又∵，∴，∴，∴．

設，則，解得（負值已舍去），即的長為；

②證明：∵，∴，∴，∴，∴，∴；

（2）如圖，連接，由（1）得，∴，∵分別是的中點，∴，又∵，∴，∴，∵,∴,∴，∴是等邊三角形，∴，∵D是AC的中點，設，則，∴,∴，∴,∴，∴