第一篇：相似三角形復習課教案大全

《相似三角形》復習課教案

城區二中 章松巖

目的：使學生掌握相似三角形的判定和性質和應用，并能靈活運用。重點：相似三角形的判定和性質和應用。難點：相似三角形的靈活運用。教法：三疑三探。教具：多媒體。過程：

課前熱身：時間為3分鐘

1、根據下列條件能否判定△ABC與△A′B′C′相似？為什么？

(1)∠A=120°，AB=7，AC=14

∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6(2)AB=4，BC=6，AC=8 A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21

(3)∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°

2、已知△ABC∽△ A′B′C′，其相似比為，則△ABC 與△A′B′C′的周長比為＿＿對應高的比為＿＿對應中線的比為＿＿對應角平分線的比為＿＿面積比為＿＿。提問學生后教師簡單總結,并讓學生說說本單元的復習任務是什么？ 相似三角形的判定

（1）兩邊對應成比例且夾角相等,兩個三角形相似。（2）三邊對應成比例，兩個三角形相似。（3）兩角對應相等，兩個三角形相似。相似三角形的性質

（1）相似三角形對應邊成比例，對應角相等。（2）相似三角形的周長比等于相似比。

（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的對應邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比。要求學生讀幾遍。介紹相似三角形的應用： 相似三角形的應用：

１、利用三角形相似，可證明角相等；線段成比例（或等積式）； ２、利用三角形相似，求線段的長等；

3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度。如求河的寬度、求建筑物的高度等。課堂搶答：

１、D是△ABC的邊AB上的點, 請你添加一個條件，使△ACD與△ABC相似, 這個條件是（）

２、如果一個三角形三邊長分別為5、12、13,與其相似的三角形最大邊長是39，則該三角形最短的邊長為（）

３、如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ延長線上的一點，ＤＥ交ＢＣ于點Ｆ，ＢＥ：ＡＢ＝２：３，則△ＢＥＦ與△ＣＤＦ的周長比為（）；若△ＢＥＦ的面積為８平方厘米，則△ＣＤＦ的面積為（）

４、如圖，鐵道口的欄桿的短臂長1米，長臂長16米，當短臂端點下降0.8米時，長臂端點升高（）（桿的寬度忽略不計）

５、如圖，身高為1.6m的某同學想測量一棵大樹的高度，她沿樹影BA由B向A走去，當走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC=3.2m，CA=0.8m，則樹高為（）

A、4.8m

B、6.4m

C、8m

D、10m 競賽角

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點，ED交CB的延長線于F。求證：BD·CF=CD·DF 證明：∵CD⊥AB，E為AC的中點

∴ DE=AE

∴∠EDA=∠A

∵ ∠EDA=∠FDB

∴∠A=∠FDB

∵∠ACB= Rt ∠

∴ ∠A=∠FCD

∴ ∠FDB=∠FCD

∵ △FDB∽△FCD

∴ BD：CD=DF：CF

∴ BD·CF=CD·DF 中考鏈接：

在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以4cm/秒的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發，經幾秒鐘?BPQ與?BAC相似？

大膽質疑：

通過本節課的學習同學們還有什么疑問或新的發現請大膽提出來？ 教師預設：

某社區擬籌資金2000元，計劃在一塊上、下底分別是10米、20米的梯形空地上種植花木（如圖）他們想在△AMD和△BMC地帶種植單價為10元 ／米2的太陽花，當△AMD地帶種滿花后，已經花了500元，請你算一下，若繼續在△BMC地帶種植同樣的太陽花，資金是否夠用？并說明理由。

小結：

通這一節的復習之后你有哪些收獲？

（1）掌握相似三角形的判定方法及性質；

（2）能靈活運用相似三角形的判定方法及性質進行計算或證明；（3）利用相似解決一些實際問題

（4）分類討論思想： 遇到沒有明確指明對應關系的三角形相似時，要注意考慮對位相似和錯位相似兩種情況，采取分類討論的方法解決問題.作業：

1、必做題：學習指導第82頁2,3,5題。

2、選做題： 板書設計： 教后記：

相似三角形復習課教案

城區二中

章松巖

2013年1月8日

教后反思

結合上課時的感受及課后評課，我對這節課作出如下反思： 成功地方：

1．能科學運用三疑三探模式上課。

2．能有效開展小組活動。充分發揮小組協作功能。

3．注重學生動口動手能力的培養，教師只起輔助引導作用。不足地方：

1.課前可創設問題情境，結合日常生活實際設計一個問題。2.課前熱身習題可設計成學案的形式。3.學生評價素質有待于進一步提高。

4.部分習題處理過快影響了中差生的學習。5.中招鏈接題因為時間關系為處理。6.竟賽角題目設計過難。7.教師未使用普通話。整改措施：

1.復習期間認真備好復習課。2.注重發揮教研組集體協作功能。

3.注重數學思想方法的教學，注重講題的效果，注重總結歸納解題方法。4.精選習題，不搞題海戰術。5.注重批改，反饋，考后總結。6.注意培優補差，努力降低過差率。

第二篇：相似三角形復習教案

相似三角形復習教案

教學目標: 本課為相似三角形專題復習課，是對本章基本內容復習基礎上的深化，通過對一個題目的演變，緊緊圍繞一線三直角這個基本模型展開，由淺入深對相似三角形進行，同時結合數學中的方程思想，分類思想，模型思想，數形結合思想等拓展深化.教學重點:相似三角形的一些基本圖形特別是一線三直（等）角的復習.教學難點: 一線三直（等）角模型的拓展深化.教學過程: 練習:1.如圖，AB＞AC，過D點作一直線與AB相交于 點E，使所得到的新三角形與原△ABC相似.2.如圖，直角梯形ABCD中，E是BC上的一動點，使△ABE與△ECD相似，則AB、BE、CE、CD之間滿足的關系為____________.得到相似中最基本的幾種圖形，即：

A型 斜A型 一線三直角反射型

在得到上述基本圖形后，通過找相似三角形，讓學生體會基本圖形的應用。并通過對這個題目的演變，將本課內容提要呈現出來.例1：在平面直角坐標系中，兩個全等Rt△OAB與Rt △A’OC’如圖放置，點A、C’在y軸上，點A’在x軸上，BO 與A’ C’相交于D.你能找出與Rt△OAB相似的三角形嗎？ 請簡要說明理由 在上述條件下，設點B、C’ 的坐標分別為（1，3），（0，1），將△ A’OC’繞點O逆時針旋轉90°至△ AOC，如圖所示：

（1）若拋物線過C、A、A’，求此拋物線的解析式及對稱軸；

（2）設拋物線的對稱軸交x軸與點M，P為對稱軸上的一動點，求當∠APC=90°時的點P坐標.本題主要是應用一線三直角這個基本圖形，從而利用相似三角形的對應邊關系求解，在教學過程中對P點的位置應作說明，可借助于幾何畫板演示.【變一變】線段BM上是否存在點P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出點P坐標，如不存在，請說明理由.本例讓學生進一步應用基本圖形，同時體會到數學思想——分類思想的應用.【拓展一】若點N是第一象限內拋物線上的一動點，當

∠NAA’=90°時，求N點坐標.通過添加一條輔助線構造一線三直角來提升對學生的要求。另外利用本題比較特殊的情況，即△AOA為等腰直三角形的 條件，采用一題多解的方法，幫助學生提高解題的能力.【拓展二】點N是拋物線的頂點，點Q是x軸正半軸上一點,將拋物線繞Q點旋轉180°后得到新拋物線的頂點為M，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點M、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

/本例難度較大，通過引導讓學生知道本題仍然可通過構造一線三直角的模型來解決，因為要添加較多輔助線，教師可將第一種情況和輔助線添加出來，從而讓學生類比得到第二種方法的輔助線.課堂小節:對本節課復習模型的整理;相似應用的技巧梳理;學生疑惑的交流.

第三篇：相似三角形復習教案

設計意圖：

1、通過學生對一道中考題的解答，讓學生認識到有時利用相似三角形解決問題較簡便。

2、以小題目的形式來回顧梳理相似三角形的基本圖形，并重點得到“三垂直型”；

使學生熟練掌握基本題型。

3、通過變式訓練讓學生感受圖形從一般到特殊的變化；感受到題目的多解性；提高培養學生分析問題、解決問題的能力。

4、通過拓展訓練讓學生感受圖形從特殊到一般（“三垂直型”拓展到“三角相等型”）；加強學生對圖形的感覺。

5、通過課堂及作業訓練學生會用分類思想解決問題；鞏固“三垂直型”和 “三角相等型”。設計方案：

一、情境：

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）

A．1 B．

C． D．2（檢查學生做的情況，大部分學生利用勾股定理計算。）

這道題目也可以利用相似三角形來計算。有時利用相似三角形解決問題較簡便。今天我們復習相似三角形。（出示課題）

二、梳理相似三角形基本圖形： 在我們學習相似三角形這一章時同學們做了許多題目，今天我們來回顧一下，看看他們之間有沒有聯系，同時檢驗一下同學們對圖形的感覺。

1、如圖（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4(1)若CE= 3，則DE=____(2)如圖（2）若CE=，則DE=____.2、如圖（3），在⊿ABC中，D為AC邊上一點，∠DBC= ∠A，BC= AC=3，則CD的長為（）

，（A）1（B）2（C）（D）

3、如圖（4），∠ABC=90埃?SPAN>BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，則BD的長為（）

（A）36（B）16（C）6（D）

4、如圖，F、C、D共線，BD⊥FD, EF⊥FD，BC⊥EC ,若DC=2，BD=3，FC=9,則EF的長為（）

（A）6（B）16（C）26（D）

（這四道題目先留時間給學生在下面做，再讓一個學生上黑板講解。）由這四條題目讓學生感受圖形從一般到特殊的變化。

歸納小結相似三角形的基本圖形：

“A”型 公共角型 公共邊角型 雙垂直型 三垂直型

（母子型）（母子、子子型）

“X”型 蝴蝶型

（老師在黑板上逐一畫出基本圖形）

三、學生探究：

1、在△ ABC中，AB>AC，過AB上一點D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.變式：在Rt△ABC中，∠C=90埃?SPAN>AB上一點D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.（先讓學生在下面畫，再讓一個學生上黑板畫、其他學生上黑板補充）讓學生感受圖形從一般到特殊變化時，題目的答案從四解減少到三解。

2．如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結BF，則圖中與△ABE 一定相似的三角形是（）A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB 和△DEF

變式：如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結BF，若使圖中△BEF與△ABE相似，需添加條件：。

（讓學生感受三垂直型）

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，點P在BC邊上，若△ABP與△DCP相似。△APD一定是（）（A）直角三角形

（B）等腰三角形

（C）等腰直角三角形

（D）等腰三角形或直角三角形 變式： 如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，若點P在BC邊上，則△ABP與△DCP相似的點P有 個。

（進一步讓學生感受“三垂直型”，并提醒學生注意全等三角形是特殊的相似三角形）

四、拓展：

1、梯形ABCD中，AD ∥ BC,AD

（將“三垂直型”拓展到“三角相等型”，讓學生感受圖形從特殊到一般。）

2、如圖，梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90?SPAN>,AD=9,BC=12，AB=10，在線段BC上任取一點P，作射線PE⊥PD，與線段AB交于點E.（1）試確定CP=3時點E的位置；

（2）若設CP=x，BE=y，試寫出y關于自變量x的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍.（作輔助線：過點D作DH⊥BC于H。構造“三垂直型”）

五、課堂小結：

我們要善于在題目中發現和構造基本圖形，利用相似三角形解決問題。從“三垂直型”到“三角相等型”我們會發現有很多題目中都隱藏著到“三角相等型”，只要我們善于歸納總結，就不難發現題目之間的聯系，就會將題目歸類。在解題時我們還要注意到特殊情況和多解的情況。

六、作業：

1.如圖，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90埃?SPAN>AD=3，BC=6，點P在AB上滑動。若△DAP與△PBC相似，且 AP= 求PB的長。

（本題有兩解）

，2、已知：點D是等邊三角形ABCBC邊上任一點，∠EDF=60啊?/SPAN> 求證：△BDE∽△CFD3、王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米(水渠的寬不計)，請你計算這塊等腰三角形菜地的面積．（本題有兩解）

教學后記：

本節課用一道中考題做引例既說明有時利用相似三角形解決問題較簡便，同時又提高了學生的關注度。前面放了足夠的時間讓學生做、學生講基本題，照顧了差生，但由于節奏慢了一點點，后面拓展中的第2題（構造“三垂直型”）課上沒有時間講了（一點遺憾）。在學生探究中，這三條題目以及它們的變式每個學生都積極去思考了，尤其在第2題的變式中，當學生添加了有關角的條件后，我再問：可以添加有關線段的條件嗎？當學生添加了有關比例線段的條件后，我又追問：可以添加角和比例線段以外的條件嗎？幾個學生又能想到：添點E是AD的中點。（是這節課的一個高潮）。第3題，我在課件上將選擇題改成了填空題，學生異口同聲地回答：直角三角形。這時我再給出選擇，學生一看，又想到了等腰三角形時△ABP與△DCP全等，是相似的特殊情況。（這樣的設計學生的印象深刻）。在最后的拓展中，將“三垂直型”拓展到“三角相等型”，讓學生感受圖形從特殊到一般。（是這節課的又一亮點）。總之，本節課有相似三角形的基本圖形的梳理；通過圖形的不斷變化，讓學生感受到圖形之間的聯系、題目之間的聯系。“三垂直型”的提出是學生感到新鮮的，并將它拓展到“三角相等型” 讓學生感受到數學的學習從薄到厚，又從厚到薄的過程。培養學生善于歸納總結，將題目歸類，會用數學思想解決問題。教學目標基本達到。

教學心得： 我認為，數學復習課沒有一個基本公認的課堂教學模式。復習課并非單純的知識的重述，而應是知識點的重新整合、深化、升華。復習課更應重視發展學生的數學思維能力，鞏固舊知，是為了獲取新知，同時，要盡可能兼顧每一位不同學習層次的學生，要讓每一個學生都有所得。讓不會的學生會，讓會的學生熟，讓熟的學生精，讓學生逐步走出“以題論題”的困境，達到“以題論法”，從而實現“以題論道”。在課堂上，我們不僅要考慮到老師怎么講，還要考慮到學生怎么學。讓學生感覺到復習課不僅僅是知識的回顧、題目的重復，還要感覺到自己站得更高了，以前做過的題目有好多都是有聯系的，題目由多變少了。讓我們根據不同的內容、不同的學生設計出更加有效的復習課，提高學生的綜合素質。

第四篇：相似三角形教案(微型課)

人教版九年級數學教案

相似三角形的判定教案

27.2.1相似三角形的判定教案

教學目標

1、理解相似三角形的定義、相似比，并掌握相似三角形的判定定理；

2、培養學生的觀察﹑發現﹑比較﹑歸納能力，感受兩個三角形相似的判定方法與全等三角形判定方法的區別與聯系，體驗事物間特殊與一般的關系； 3．讓學生經歷從實驗探究到歸納證明的過程，發展學生的合情推理能力。

教學重、難點

重點：兩個三角形相似的判定引例﹑判定方法

難點：探究判定引例﹑判定方法的過程 教學過程

一、自主預習

1、相似多邊形的主要特征是什么？

2、相似三角形有什么性質？ 二 合作探究

第一站—【發現之旅】

1、在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形．

在△ABC與△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCA 我們就說△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′???k．A?B?B?C?C?A?B′C′，k就是它們的相似比． 反之如果△ABC∽△A′B′C′，則有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且ABBCCA． ??A?B?B?C?C?A?

2、問題：如果k=1，這兩個三角形有怎樣的關系？ 【歸納】

第二站—【探究之旅】(教材P29頁 探究)

1、如圖27.2-1),任意畫兩條直線l1 , l2,再畫三條與l1 , l2 相交的平行線l3 , l4, l5.分別量度l3 , l4, l5.在l1 上截得的兩條線段AB, BC和在l2 上截得的兩條線段DE, EF的長度, AB︰BC 與DE︰EF相等嗎?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的長度, AB︰BC 與DE︰EF相等嗎? 【歸納】平行線分線段成比例定理 兩條直線被一組_________所截，所得________線段成比例。

符號語言：。

2、如果l1 , l2兩條直線相交，交點A剛落到l3上，如圖（1），所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？

如果l1 , l2兩條直線相交，交點A剛落到l4上，如圖（2），所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？

A

D E B

C

【歸納】

平行線分線段成比例定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線），所得的_____線段的比_____.符號語言：。

3、如圖在?ABC中，DE∥BC，DE交AC于點E，?ADE與?ABC有什么關系？ 【歸納】

平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形。

符號語言：。

【暢談收獲】

第三站--【開心闖關】

第一關

1．如圖，△ABC∽△AED, DE∥BC，找出對應角并寫出對應邊的比例式．

第二關

2．如圖，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出對應角并寫出對應邊的比例式．

第三關

3、如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.【布置作業】

第五篇：相似三角形教案

相似三角形

【基礎知識精講】

1．理解相似三角形的意義，會利用定理判定兩個三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關系．

2．進一步體會數學內容之間的內在聯系，初步認識特殊與一般之間的辯證關系，提高學習數學的興趣和自信心．

【重點難點解析】

相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．

【典型熱點考題】

例1 如圖4-21，□ABCD中，M是AD延長線上一點，BM交AC于點F，交DC于G，則下列結論中錯誤的是（）

圖4-21 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF

點悟：用本節概念和定理直接判斷． 解：應選D．

例2 如圖4-22，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長線分別交于點M、N，點P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．

圖4-22 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．

例3 寫出下列各組相似三角形的對應邊的比例式．

(1)如圖4-23(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對應邊．(2)如圖4-23(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．

圖4-23 點悟：要寫出兩個相似三角形的對應邊的比例式，首先要確定兩個相似三角形的對應邊．因為相似三角形是全等三角形的推廣，所以要確定兩個相似三角形的各組的對應邊，可以參照確定全等三角形對應邊的方法，從確定這兩個相似三角形對應的頂點出發．

解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對應邊，它們所對的頂點E和C為對應頂點，而A是兩三角形的公共頂點，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對

AD?DEBC?EACA應邊為DE和BC，EA和CA，得AB．

(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點，另一對應頂點為D和C，三組對應邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．

AD?AEAB?DECB得AC．

本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．

平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構成的兩個相似三角形，它的對應元素比較明顯，對應邊，對應角，對應頂點有同樣的順序性，對應邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖4-24)：

圖4-24 第二類是相交線型．

這一類型的對應元素不十分明顯，對應順序也不一致，對應邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個公共角，另一種是一組對頂角(圖4-25)．

圖4-25 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉化為這兩種基本類型． 例4 如圖4-26，已知：△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：AB·DF＝BC·EF．

圖4-26 點悟：如果我們把條件和結論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發現一個完全由紅線構成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長線)于A，C，F．這類問題添輔助線的方法至少有三種，即過紅線三角形任一頂點作對邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長線相交(如圖4-27)，在每一種圖形中，雖然只有一對平行線，但與這對平行線有關的基本圖形都能找到兩對，根據每一個基本圖形都可以寫出包含輔助線段在內的一個比例式．

圖4-27

AD?DFBHEF?CEBC以(2)為例，可以寫出ABBH?AB?DFAD，又可以寫出BH．前兩式均有BH，于是

?BC可得，及

BH?BC?EF，所以，有

AB?DF?EF．又因為ADCEADCE＝CE，于是有AB·DF＝BC·EF．(證略)利用比例線段也可以證明兩直線平行或兩線段相等．

例5 如圖4-28，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別是AD，BC的中點，AF與BE相交于G，CE和DF相交于H，求證：GH∥AD．

圖4-28 點悟：條件中的AD∥BC，給出了兩個基本圖形，而AE＝ED，BF＝FC，又使從兩

AG?DHHF個基本圖形中給出的比例式有一個公共的比值，從中可以得到GF．所以GH∥AD．

證明：∵ AD∥BC，AE?AGGFED?DHHF∴ BF，FC．

∵ AE＝ED，BF＝FC，AG?DHHF∴ GF，∴ GH∥AD．

例6 如圖4-29，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的長．

圖4-29 點悟：題設中的兩對平行線起著不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．這樣已知及欲求的線段BE，AE，AB，AF都在AB和AC這兩條邊上，利用EF∥BC，就可以得到相應的比例線段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF為平行四邊形，∴ ED＝CF＝AE．

設AE＝x，則 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AE?AFCFx?4x∴ BE，即15?x，2∴ x?4x?60?0

解得，x1??10(舍)，x2?6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．

例7 如圖4-30，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．

圖4-30 點悟：按照例4的分析，過點G作GM∥AC，根據平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM?MC?12DC∴ ．

BD∵ DCBD1?31，?61BD即2DC，MC?6?11?61．

?71BD?MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．

點撥：以上四例中，我們復習了線段成比例和平行線分線段成比例的有關知識．

【易錯例題分析】

例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點，AD?2∴ QCBP，?3BC?4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PC?DQPC，∠C＝∠D＝90°，?2．

AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：證此類題應避免沒有目標而亂推理的情況．

例2 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖4-31(1)、(2)所示，請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可保留)．

解：由AB＝1.5米，SΔABC?1.5平方米，得BC＝2米．設甲加工的桌面邊長為x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，CD?DEAB672?x?x1.5∴ CB，即2．

解得 x?，過點B作Rt△ABC斜邊AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．

由AB＝1.5米，BC＝2米，SΔABC?1.5平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米． 設乙加工的桌面邊長為y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽Rt△BAC．

BP?DEAC1.2?y?y2.5∴ BHy?，即1.2

3037303722即x＞y，x?y，解得，6因為7?所以甲同學的加工方法符合要求． 警示：解此類要避免看不出相似直角三角形而無法解的情況，更要避免看不出對應線段造成的比值寫錯而形成的計算錯誤．

例3 如圖4-32，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AF?BEBDAC于E、F．求證：AD．

圖4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．

BD?BEAFAF?BEBD∴ AD，即 AD．

警示：本例常見的錯誤是不證三角形相似，直接進行線段的比，這是規范的一種情況．

【同步達綱練習】

一、選擇題

1．如圖4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，則圖中與△ADC相似的三角形共有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．多于3個

2．某班在布置新年聯歡晚會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形彩條，如圖4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下寬為1cm的矩形紙條a1、a2、a3…若使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數是（）

A．24 B．25 C．26 D．27

圖4-33 圖4-34

二、填空題

3．如圖4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，則AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．

圖4-35 圖4-36 4．如圖4-36，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則圖中與△ABC相似的三角形共有________個，它們是_______________．

5．陽光通過窗口照到室內，在地面上留下2.7m寬的亮區，已知亮區到窗下的墻腳最遠距離是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底邊離地面的高等于________．

三、解答題

6．如圖4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2?PE?PF．

7．已知：如圖4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

圖4-37 圖4-38 8．四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：AC·BE＝AD·CE．

參考答案

【同步達綱練習】

1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD

5.4m 6．連結PC，先證明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再證明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2?PE?PF，∴PB2?PE?PF

7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF

(2)∵△EAF、△BCF都是底角為72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC

8．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE