第一篇：相似復習教案

相似復習教案

教學目標：

知識與技能目標：

1.加深了解比例的基本性質、線段的比、成比例線段，認識圖形的相似、位似等概念和性質； 2.理解相似圖形的性質與判定、位似的性質與把一個圖形放大或縮小，在同一坐標系下感受位似變換后點的坐標的變化規律.過程與方法目標：1.經歷知識探究的過程，使學生將實際問題轉化為相似三角形這一數學模型，達到熟練、靈活運用；在解決實際問題的過程中,提高學生建立數學模型的能力.2.經歷對圖形的觀察、探究、交流、歸納的的過程，提高同學們的畫圖能力和對圖形的感知意識．

情感態度與價值觀：在教學活動中發展學生的轉化意識和探究合作交流的習慣；更進一步地體會相似三角形的實際應用價值；讓學生深刻地體會到數學來源于生活,又應用到生活中, 增加學生應用數學知識解決實際問題的經驗和感受；提高學生對圖形的感知水平，發展學生的審美意識． 教學重點：利用相似三角形性質和判定的知識解決實際的問題；位似的應用及在平面直角坐標系中作位似圖形

教學難點：如何把實際問題抽象為相似三角形、位似形這一數學模型.教學過程：

一、教師引入本節課課題，學生自主復習，然后小組內自主交流總結知識點。教師深入學生中查看完成的情況．記錄下所出現的問題，以便集中處理．找學生展示學習成果．

教師給與點評和分析，同時就剛才檢查過程中發現的問題處理好，就本單元所用知識一并總結．

根據學生的復習情況，師生共同總結本章重要知識點并多媒體展示。

二、銜接中考，強調重要知識點一，即對應角相等，對應邊成比例。

知識點一：

并提出例題，及時強化。給予學生充分的思考時間。學生自主思考，完成練習。

練習：如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求∠ D、∠G的大小和EH的長度。

知識點二：相似三角形的性質和判定

多媒體出示重要知識點，給予學生充分地時間，把自己整理的知識點有遺漏的補充完整。對于5號6號學生給予時間對其進行強化記憶。

多媒體出示相似三角形性質和判定的中考題，學生自主思考，小組討論，教師行間巡視，及時解決問題，及時了解學生的出錯點和難點。

教師提出問題，學生開始解答． 對于問題6，學習小組可展開討論，最后小組推舉出代表敘述解答本題的思路．

教師聽取后，及時地補充、完善、鼓勵，最后給出題目的詳細講解．

教師出示，點撥解決思路，學生書寫解題的過程，并總結解決此題所用到的知識點有哪些.知識點三：位似

1、兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，這樣的相似叫做位似,點O叫做位似中心．

2、利用位似的方法，可以把一個多邊形放大或縮小 位似變換中對應點的坐標變化規律: 在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或－k.知識點出示后，及時出示中考題進行練習。

教師出示例題，學生嘗試獨立完成；教師展示個別同學的成果

三、課堂小結：這節課你學會了什么？你的收獲是什么？

四、達標檢測：

2.如圖，矩形ABCD中，m為BC上一點.DE⊥Am于E，若AB=6，AD=20，Bm=8，求DE的長．

3.（2015德州）

如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°，求證：AD?BC=AP?BP．

（2）探究

如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結論是否依然成立？說明理由．（3）應用 請利用（1）（2）獲得的經驗解決問題：

如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出了，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A，設點P的運動時間 為t（秒），當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．

當堂達標在課堂上要及時進行反饋，尤其第三題是2015德州中考題，很具有代表性，學生自主思考，小組合作后，學生如有困難，教師可給予思路的引導和適當的幫助，此題需要做出重點講解。

五、作業布置 作業布置：

必做題：導訓52頁：

1、8題

53頁14題

選做題：

57頁16題

學生認真完成作業，進一步鞏固知識．

第二篇：相似三角形復習教案

相似三角形復習教案

教學目標: 本課為相似三角形專題復習課，是對本章基本內容復習基礎上的深化，通過對一個題目的演變，緊緊圍繞一線三直角這個基本模型展開，由淺入深對相似三角形進行，同時結合數學中的方程思想，分類思想，模型思想，數形結合思想等拓展深化.教學重點:相似三角形的一些基本圖形特別是一線三直（等）角的復習.教學難點: 一線三直（等）角模型的拓展深化.教學過程: 練習:1.如圖，AB＞AC，過D點作一直線與AB相交于 點E，使所得到的新三角形與原△ABC相似.2.如圖，直角梯形ABCD中，E是BC上的一動點，使△ABE與△ECD相似，則AB、BE、CE、CD之間滿足的關系為____________.得到相似中最基本的幾種圖形，即：

A型 斜A型 一線三直角反射型

在得到上述基本圖形后，通過找相似三角形，讓學生體會基本圖形的應用。并通過對這個題目的演變，將本課內容提要呈現出來.例1：在平面直角坐標系中，兩個全等Rt△OAB與Rt △A’OC’如圖放置，點A、C’在y軸上，點A’在x軸上，BO 與A’ C’相交于D.你能找出與Rt△OAB相似的三角形嗎？ 請簡要說明理由 在上述條件下，設點B、C’ 的坐標分別為（1，3），（0，1），將△ A’OC’繞點O逆時針旋轉90°至△ AOC，如圖所示：

（1）若拋物線過C、A、A’，求此拋物線的解析式及對稱軸；

（2）設拋物線的對稱軸交x軸與點M，P為對稱軸上的一動點，求當∠APC=90°時的點P坐標.本題主要是應用一線三直角這個基本圖形，從而利用相似三角形的對應邊關系求解，在教學過程中對P點的位置應作說明，可借助于幾何畫板演示.【變一變】線段BM上是否存在點P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出點P坐標，如不存在，請說明理由.本例讓學生進一步應用基本圖形，同時體會到數學思想——分類思想的應用.【拓展一】若點N是第一象限內拋物線上的一動點，當

∠NAA’=90°時，求N點坐標.通過添加一條輔助線構造一線三直角來提升對學生的要求。另外利用本題比較特殊的情況，即△AOA為等腰直三角形的 條件，采用一題多解的方法，幫助學生提高解題的能力.【拓展二】點N是拋物線的頂點，點Q是x軸正半軸上一點,將拋物線繞Q點旋轉180°后得到新拋物線的頂點為M，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點M、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

/本例難度較大，通過引導讓學生知道本題仍然可通過構造一線三直角的模型來解決，因為要添加較多輔助線，教師可將第一種情況和輔助線添加出來，從而讓學生類比得到第二種方法的輔助線.課堂小節:對本節課復習模型的整理;相似應用的技巧梳理;學生疑惑的交流.

第三篇：相似三角形復習課教案

《相似三角形》復習課教案

城區二中 章松巖

目的：使學生掌握相似三角形的判定和性質和應用，并能靈活運用。重點：相似三角形的判定和性質和應用。難點：相似三角形的靈活運用。教法：三疑三探。教具：多媒體。過程：

課前熱身：時間為3分鐘

1、根據下列條件能否判定△ABC與△A′B′C′相似？為什么？

(1)∠A=120°，AB=7，AC=14

∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6(2)AB=4，BC=6，AC=8 A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21

(3)∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°

2、已知△ABC∽△ A′B′C′，其相似比為，則△ABC 與△A′B′C′的周長比為＿＿對應高的比為＿＿對應中線的比為＿＿對應角平分線的比為＿＿面積比為＿＿。提問學生后教師簡單總結,并讓學生說說本單元的復習任務是什么？ 相似三角形的判定

（1）兩邊對應成比例且夾角相等,兩個三角形相似。（2）三邊對應成比例，兩個三角形相似。（3）兩角對應相等，兩個三角形相似。相似三角形的性質

（1）相似三角形對應邊成比例，對應角相等。（2）相似三角形的周長比等于相似比。

（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的對應邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比。要求學生讀幾遍。介紹相似三角形的應用： 相似三角形的應用：

１、利用三角形相似，可證明角相等；線段成比例（或等積式）； ２、利用三角形相似，求線段的長等；

3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度。如求河的寬度、求建筑物的高度等。課堂搶答：

１、D是△ABC的邊AB上的點, 請你添加一個條件，使△ACD與△ABC相似, 這個條件是（）

２、如果一個三角形三邊長分別為5、12、13,與其相似的三角形最大邊長是39，則該三角形最短的邊長為（）

３、如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ延長線上的一點，ＤＥ交ＢＣ于點Ｆ，ＢＥ：ＡＢ＝２：３，則△ＢＥＦ與△ＣＤＦ的周長比為（）；若△ＢＥＦ的面積為８平方厘米，則△ＣＤＦ的面積為（）

４、如圖，鐵道口的欄桿的短臂長1米，長臂長16米，當短臂端點下降0.8米時，長臂端點升高（）（桿的寬度忽略不計）

５、如圖，身高為1.6m的某同學想測量一棵大樹的高度，她沿樹影BA由B向A走去，當走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC=3.2m，CA=0.8m，則樹高為（）

A、4.8m

B、6.4m

C、8m

D、10m 競賽角

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點，ED交CB的延長線于F。求證：BD·CF=CD·DF 證明：∵CD⊥AB，E為AC的中點

∴ DE=AE

∴∠EDA=∠A

∵ ∠EDA=∠FDB

∴∠A=∠FDB

∵∠ACB= Rt ∠

∴ ∠A=∠FCD

∴ ∠FDB=∠FCD

∵ △FDB∽△FCD

∴ BD：CD=DF：CF

∴ BD·CF=CD·DF 中考鏈接：

在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以4cm/秒的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發，經幾秒鐘?BPQ與?BAC相似？

大膽質疑：

通過本節課的學習同學們還有什么疑問或新的發現請大膽提出來？ 教師預設：

某社區擬籌資金2000元，計劃在一塊上、下底分別是10米、20米的梯形空地上種植花木（如圖）他們想在△AMD和△BMC地帶種植單價為10元 ／米2的太陽花，當△AMD地帶種滿花后，已經花了500元，請你算一下，若繼續在△BMC地帶種植同樣的太陽花，資金是否夠用？并說明理由。

小結：

通這一節的復習之后你有哪些收獲？

（1）掌握相似三角形的判定方法及性質；

（2）能靈活運用相似三角形的判定方法及性質進行計算或證明；（3）利用相似解決一些實際問題

（4）分類討論思想： 遇到沒有明確指明對應關系的三角形相似時，要注意考慮對位相似和錯位相似兩種情況，采取分類討論的方法解決問題.作業：

1、必做題：學習指導第82頁2,3,5題。

2、選做題： 板書設計： 教后記：

相似三角形復習課教案

城區二中

章松巖

2013年1月8日

教后反思

結合上課時的感受及課后評課，我對這節課作出如下反思： 成功地方：

1．能科學運用三疑三探模式上課。

2．能有效開展小組活動。充分發揮小組協作功能。

3．注重學生動口動手能力的培養，教師只起輔助引導作用。不足地方：

1.課前可創設問題情境，結合日常生活實際設計一個問題。2.課前熱身習題可設計成學案的形式。3.學生評價素質有待于進一步提高。

4.部分習題處理過快影響了中差生的學習。5.中招鏈接題因為時間關系為處理。6.竟賽角題目設計過難。7.教師未使用普通話。整改措施：

1.復習期間認真備好復習課。2.注重發揮教研組集體協作功能。

3.注重數學思想方法的教學，注重講題的效果，注重總結歸納解題方法。4.精選習題，不搞題海戰術。5.注重批改，反饋，考后總結。6.注意培優補差，努力降低過差率。

第四篇：相似三角形復習教案

設計意圖：

1、通過學生對一道中考題的解答，讓學生認識到有時利用相似三角形解決問題較簡便。

2、以小題目的形式來回顧梳理相似三角形的基本圖形，并重點得到“三垂直型”；

使學生熟練掌握基本題型。

3、通過變式訓練讓學生感受圖形從一般到特殊的變化；感受到題目的多解性；提高培養學生分析問題、解決問題的能力。

4、通過拓展訓練讓學生感受圖形從特殊到一般（“三垂直型”拓展到“三角相等型”）；加強學生對圖形的感覺。

5、通過課堂及作業訓練學生會用分類思想解決問題；鞏固“三垂直型”和 “三角相等型”。設計方案：

一、情境：

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）

A．1 B．

C． D．2（檢查學生做的情況，大部分學生利用勾股定理計算。）

這道題目也可以利用相似三角形來計算。有時利用相似三角形解決問題較簡便。今天我們復習相似三角形。（出示課題）

二、梳理相似三角形基本圖形： 在我們學習相似三角形這一章時同學們做了許多題目，今天我們來回顧一下，看看他們之間有沒有聯系，同時檢驗一下同學們對圖形的感覺。

1、如圖（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4(1)若CE= 3，則DE=____(2)如圖（2）若CE=，則DE=____.2、如圖（3），在⊿ABC中，D為AC邊上一點，∠DBC= ∠A，BC= AC=3，則CD的長為（）

，（A）1（B）2（C）（D）

3、如圖（4），∠ABC=90埃?SPAN>BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，則BD的長為（）

（A）36（B）16（C）6（D）

4、如圖，F、C、D共線，BD⊥FD, EF⊥FD，BC⊥EC ,若DC=2，BD=3，FC=9,則EF的長為（）

（A）6（B）16（C）26（D）

（這四道題目先留時間給學生在下面做，再讓一個學生上黑板講解。）由這四條題目讓學生感受圖形從一般到特殊的變化。

歸納小結相似三角形的基本圖形：

“A”型 公共角型 公共邊角型 雙垂直型 三垂直型

（母子型）（母子、子子型）

“X”型 蝴蝶型

（老師在黑板上逐一畫出基本圖形）

三、學生探究：

1、在△ ABC中，AB>AC，過AB上一點D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.變式：在Rt△ABC中，∠C=90埃?SPAN>AB上一點D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.（先讓學生在下面畫，再讓一個學生上黑板畫、其他學生上黑板補充）讓學生感受圖形從一般到特殊變化時，題目的答案從四解減少到三解。

2．如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結BF，則圖中與△ABE 一定相似的三角形是（）A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB 和△DEF

變式：如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結BF，若使圖中△BEF與△ABE相似，需添加條件：。

（讓學生感受三垂直型）

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，點P在BC邊上，若△ABP與△DCP相似。△APD一定是（）（A）直角三角形

（B）等腰三角形

（C）等腰直角三角形

（D）等腰三角形或直角三角形 變式： 如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，若點P在BC邊上，則△ABP與△DCP相似的點P有 個。

（進一步讓學生感受“三垂直型”，并提醒學生注意全等三角形是特殊的相似三角形）

四、拓展：

1、梯形ABCD中，AD ∥ BC,AD

（將“三垂直型”拓展到“三角相等型”，讓學生感受圖形從特殊到一般。）

2、如圖，梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90?SPAN>,AD=9,BC=12，AB=10，在線段BC上任取一點P，作射線PE⊥PD，與線段AB交于點E.（1）試確定CP=3時點E的位置；

（2）若設CP=x，BE=y，試寫出y關于自變量x的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍.（作輔助線：過點D作DH⊥BC于H。構造“三垂直型”）

五、課堂小結：

我們要善于在題目中發現和構造基本圖形，利用相似三角形解決問題。從“三垂直型”到“三角相等型”我們會發現有很多題目中都隱藏著到“三角相等型”，只要我們善于歸納總結，就不難發現題目之間的聯系，就會將題目歸類。在解題時我們還要注意到特殊情況和多解的情況。

六、作業：

1.如圖，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90埃?SPAN>AD=3，BC=6，點P在AB上滑動。若△DAP與△PBC相似，且 AP= 求PB的長。

（本題有兩解）

，2、已知：點D是等邊三角形ABCBC邊上任一點，∠EDF=60啊?/SPAN> 求證：△BDE∽△CFD3、王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米(水渠的寬不計)，請你計算這塊等腰三角形菜地的面積．（本題有兩解）

教學后記：

本節課用一道中考題做引例既說明有時利用相似三角形解決問題較簡便，同時又提高了學生的關注度。前面放了足夠的時間讓學生做、學生講基本題，照顧了差生，但由于節奏慢了一點點，后面拓展中的第2題（構造“三垂直型”）課上沒有時間講了（一點遺憾）。在學生探究中，這三條題目以及它們的變式每個學生都積極去思考了，尤其在第2題的變式中，當學生添加了有關角的條件后，我再問：可以添加有關線段的條件嗎？當學生添加了有關比例線段的條件后，我又追問：可以添加角和比例線段以外的條件嗎？幾個學生又能想到：添點E是AD的中點。（是這節課的一個高潮）。第3題，我在課件上將選擇題改成了填空題，學生異口同聲地回答：直角三角形。這時我再給出選擇，學生一看，又想到了等腰三角形時△ABP與△DCP全等，是相似的特殊情況。（這樣的設計學生的印象深刻）。在最后的拓展中，將“三垂直型”拓展到“三角相等型”，讓學生感受圖形從特殊到一般。（是這節課的又一亮點）。總之，本節課有相似三角形的基本圖形的梳理；通過圖形的不斷變化，讓學生感受到圖形之間的聯系、題目之間的聯系。“三垂直型”的提出是學生感到新鮮的，并將它拓展到“三角相等型” 讓學生感受到數學的學習從薄到厚，又從厚到薄的過程。培養學生善于歸納總結，將題目歸類，會用數學思想解決問題。教學目標基本達到。

教學心得： 我認為，數學復習課沒有一個基本公認的課堂教學模式。復習課并非單純的知識的重述，而應是知識點的重新整合、深化、升華。復習課更應重視發展學生的數學思維能力，鞏固舊知，是為了獲取新知，同時，要盡可能兼顧每一位不同學習層次的學生，要讓每一個學生都有所得。讓不會的學生會，讓會的學生熟，讓熟的學生精，讓學生逐步走出“以題論題”的困境，達到“以題論法”，從而實現“以題論道”。在課堂上，我們不僅要考慮到老師怎么講，還要考慮到學生怎么學。讓學生感覺到復習課不僅僅是知識的回顧、題目的重復，還要感覺到自己站得更高了，以前做過的題目有好多都是有聯系的，題目由多變少了。讓我們根據不同的內容、不同的學生設計出更加有效的復習課，提高學生的綜合素質。

第五篇：相似教案

相似

1．成比例線段

用同一長度單位度量兩條線段所得量數的比叫做這兩條線段的比．

如果線段a和b的比等于線段c和d的比，那么線段a，b，c，d叫做成比例線段，記作ac?或a∶b＝c∶d，其中a，c叫做比的前項，b，d叫做比的后項，b，c叫做比例內bd若項，a，d叫做比例外項，d叫做a，b，c的

(3)相似三角形的對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比；(4)相似三角形周長比等于相似比；

(5)相似三角形面積的比等于相似比的平方． 6．相似多邊形的性質

(1)相似多邊形的對應角相等；

(2)相似多邊形對應邊的比等于相似比；(3)相似多邊形周長的比等于相似比；

(4)相似多邊形面積的比等于相似比的平方． 7．直角三角形中的成比例線段

如圖13－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，則(1)△ADC∽△ACB∽△CDB(可拆成三對相似三角形)；

圖13－1(2)CD2＝AD·DB；(注：用時要證明)(3)AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA；(注：用時要證明)(4)CD·AB＝AC·BC．(注：用時要證明)8．位似

(1)如果兩個多邊形相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這兩個多邊形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．

(2)如果兩圖形F與F′是位似圖形，它們的位似中心是點O，相似比為k，那么

①設A與A′是一對對應點，則直線AA′過位似中心O點，并且②設A與A′，B與B′是任意兩對對應點，則

OA?k.OA'AB?k若直線AB，A′B′不通過位A?B?似中心O，則AB∥A′B′．

(3)利用位似，可以將一個圖形放大或縮小．

(4)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或－k． ．．．．9．相似圖形的應用

二、例題分析

例

1已知：如圖13－2，點P是邊長為4的正方形ABCD內一點，PB＝3，BF⊥BP于點B，試在射線BF上找一點M，使得以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，作圖并指出相似比k的值．

圖13－2

分析

由已知，∠ABP＝∠CBF．欲使以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，只要使夾∠ABP及∠CBF的兩邊對應成比例．

解

如圖13－3．

圖13－3 ∵AB⊥BC，PB⊥BF，∴∠ABP＝∠CBF．

BM14BM1BC，即?，BM1＝3時，△CBM1∽△ABP．相似比k＝1． ?3BPAB44BM2BCBM2416當即??,BM2?時，△CBM2∽△PBA．相似比k?? 4ABBP33316∴當BM＝3或BM?時，以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，相似比分

3當4別為1和?

3說明

(1)對于探究三角形相似的條件這類問題，可從“角的關系在先、邊的關系在后”的思維順序入手，由于題目條件中只有一組對應角相等，因此就考慮這組對應角的四條線段何時對應成比例，由于點C可以與點A對應(此時點M與點P對應)，點C也可以與點P對應(此時點M與點A對應)，因此有兩種情形．

(2)注意當相似比k＝1時，兩個相似圖形全等，因此，全等圖形是相似圖形的特例． 例

2已知：如圖13－4，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC，CD于點P，Q

圖13－4

(1)請寫出圖中各對相似三角形(相似比為1的除外)；(2)求BP∶PQ∶QR的值．

解

(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，△PAB∽△RDQ．(2)∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，∴BC＝AD＝CE，AC∥DE．

?PB?PR,PC1?? RE2又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ． ∵點R是DE中點，∴DR＝RE．

?PQPCPC1???,∴QR＝2PQ． QRDRRE2又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，

∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2． 說明

(1)如圖13－5，“若DE∥BC，則△ADE∽△ABC”．這是用平行線截得三角形構成相似三角形，得到成比例線段常見的基本圖形結構．

圖13－5(2)對于例2，還可進一步思考研究其他問題，例如，在已知條件不變的前提下，若△PCQ的面積為S，你能用含S的代數式分別表示圖13－4中其他各圖形的面積嗎?并說明你的理由．

(1)△BPC的面積＝______．理由是__________________________________________；(2)△ABP的面積＝______．理由是__________________________________________；(3)四邊形PCER的面積＝______．理由是____________________________________；(4)四邊形APRD的面積＝______．理由是____________________________________； ??

例3 如圖13－6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P為下底BC上一點(不與B，C重合)，連接AP，過P點作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

圖13－6(1)你認為圖中哪兩個三角形相似，為什么?(2)當點P在底邊BC上自點B向C移動的過程中，是否存在一點P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的長；如果不存在，請說明理由．

解

(1)△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“兩角對應相等，兩三角形相似”可得△ABP∽△PCE．

BC?AD?2，腰長AB＝CD＝2CF＝4，這樣原2問題轉化為在底邊BC上是否存在一點P，使得CE＝1.5．(2)作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝假設存在P點，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得

BPAB，可得BP·PC＝AB·CE?CEPC＝6．

設BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．

∴x(7－x)＝6，即x2－7x＋6＝0． 解得x1＝1，x2＝6．

答

當BP＝1或BP＝6時，使得DE∶EC＝5∶3．

例4 如圖13－7，正方形ABCD的邊長為4，M，N分別是BC，CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．

圖13－7(1)求證：Rt△ABM∽Rt△MCN；

(2)設BM＝x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；

(3)當M點運動到什么位置時，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值． 解

(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°． ∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．

∴

∠CMN＋∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN． ∴Rt△ABM∽Rt△MCN．(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，?ABBM4x，即???

MCCN4?xCN?x2?4x?CN??

4?y?S梯形ABCN1?x2?4x??4(?4)2411??x2?2x?8??(x?2)2?10.22當x＝2時，y取最大值，最大值為10．(3)∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM∽△AMN，只需由(1)知

AMAB?? MNBMAMAB?? MNMC∴BM＝MC．

∴當點M運動到BC的中點時，△ABM∽△AMN，此時x＝2．

例5 如圖13－8，在正方形ABCD中，AD＝12，點E是邊CD上的動點(點E不與端點C，D重合)，AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點F，H，G，交AB的延長線于點P．

圖13－8

(1)設DE＝m(0＜m＜12)，試用含m的代數式表示(2)在(1)的條件下，當

FH的值； HGFH1?時，求BP的長． HG2解

(1)如圖13－9，過點H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N點．在正方形ABCD中，圖13－9

∵AD∥BC，∴△FMH∽△GNH．

FHMH ?HGHN∵FH垂直平分AF，∴在△ADE中，H是AE的中點． 又∵MH∥DE，∴M是AD的中點． ?11DE?x.22由已知，不難得出四邊形ABNM是矩形． ∴MN＝AB＝AD＝12． ?MH??HN?12?1x.21mFHMHm2????，1HGHN24?m12?m2其中0＜m＜12．

FH1m1?時，?，解得m＝8． HG224?m2欲求BP的長，只要求AP的長．

在Rt△ADE中，∵AD＝12，DE＝8，2? ?AE?413,AH?213,sin?EAD?13(2)當∵FP⊥AE于點H，∠DAP＝90°，∴∠P＝∠EAD．

AH?13, sinP∴BP＝AP－AB＝13－12＝1．

說明

(1)在解

(2)在解

圖13－12

∵∠FDE＋∠4＝90°，∴∠FDE＝∠1．∴△DEF∽△HGM．

?DEEF?? HGGM而EF＝b－a，DE＝a，HG＝b－c，GM＝c，即ab?a?,得ac＝(b－a)(b－c)． b?cc整理可知b(a＋c)＝b2，而b≠0，∴a＋c＝b．

例8(2008哈爾濱市)已知菱形ABCD的邊長是6，點E在直線AD上，DE＝3，連接BE，與對角線AC相交于點M，則解

MC的值是______． AM2? 3提示

注意題中給出的“點E在直線AD上”這個條件，因此有兩種情況．

MCBC??2；(2)AMAEMCBC2??? 點E在AD的延長線上時，如圖13－13(b)，△CMB∽△AME，?AMAE3(1)點E在線段AD上時，如圖13－13(a)，△CBM∽△AEM．?

圖13－13

四、課標考試達標題(一)選擇題

1．如圖13－14，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分別交BC于點G，H，則圖中共有相似三角形（）．

圖13－14 A．4對

B．5對 C．6對

D．7對

2．如圖13－15所示，小剛身高AB為1.7m，測得他站立在陽光下的影子AC長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子AD長為1.1m，那么小剛舉起的手臂BE超出頭頂

（）．

圖13－15 A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 3．如圖13－16，在△ABC中，AB＞AC，過AC邊上一點D作直線與AB相交，使得構成的新三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（）．

圖13－16 A．1條

B．2條 C．3條

D．4條

4．如圖13－17，王華同學晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，他繼續往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于（）．

圖13－17 A．4.5米

B．6米 C．7.2米

D．8米

5．如圖13－18，在8×8正方形的網格上，若使△ABC∽△PBD，則點P應在（）．

圖13－18 A．P1處

B．P2處 C．P3處

D．P4處

6．如圖13－19，把△PQR沿著PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它們重疊部分的面積是△PQR面積的一半，若PQ＝2，則此三角形移動的距離PP′是（）．

圖13－19 A．1 2B．

C．1

D．2?1

(二)填空題

7．已知：如圖13－20，在△ABC中，AD∶DB＝1∶2，DE∥BC交AC于E，若△ABC的面積等于81，則四邊形BCED的面積為______．

圖13－20 8．如圖13－21，在矩形ABCD中，E，F分別是AD，BC的中點，點G，H在DC邊上，BC＝12，GH?1DC.若AB＝10，則圖中陰影部分的面積為______． 2

圖13－21 9．如圖13－22，△ABC與△A′B′C′的位似中心為點O，若AB＝2，A′B′＝5，則△ABC與△A′B′C′的面積比是______，AC與A′C′的比是______．

圖13－22 10．如圖13－23，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作

11．如圖13－24，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，連接DE并延長交BC的延長線于點F，連接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°，寫出圖中三對相似三角形(注意：不得加字母和線)；請在你所找出的相似三角形中選取一對，說明它們相似的理由．

圖13－24

12．如圖13－25，在□ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE．F為AE上一點，且∠BFE＝∠C．

圖13－25(1)求證：△ABF∽△EAD；

(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的長；

(3)在(1)、(2)的條件下，若AD＝3，求BF的長．(計算結果可含根號)

13．如圖13－26，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點M，N分別在邊AD，BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F．

圖13－26(1)求梯形ABCD的面積；

(2)求四邊形MEFN面積的最大值；

(3)試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，寫出正方形MEFN的面積．

參考答案