第一篇：相似多邊形的教案

4.3 相似多邊形

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、會說出相似多邊形的概念和性質(zhì).2、在簡單情形下，能根據(jù)定義判斷兩個多邊形相似.3、會用相似多邊形的性質(zhì)解決簡單的幾何問題.重點與難點：

1、本節(jié)教學(xué)的重點是相似多邊形的定義和性質(zhì).2、要判斷兩個多邊形是否相似，需要看它們的邊是否對應(yīng)成比例、對應(yīng)角是否相等，情形要比三角形復(fù)雜，是本節(jié)教學(xué)的難點.教學(xué)方法：自主探究 教學(xué)用具：多媒體 教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，導(dǎo)入新課 ：

1.下面請同學(xué) 們觀察下面兩個多邊形: 計算機顯 示屏上的多邊形ABCDEF和投射到銀幕上的多邊形A1B1C1D1E1F1,它們的形狀相同嗎? 學(xué)生回答后,教師: 這樣的兩個多邊形叫做什么多邊形？ 2.引入課題：相似多邊形

二、歸納定義及運用

（學(xué)生根據(jù)觀察和體驗的過程，歸納定義，提高語言表達能力）1.合作探究: 在圖4-11中的兩個多邊形中,是否有對應(yīng)相等的內(nèi)角?設(shè)法驗證你的猜測.在圖4-11中的兩個多邊形中,夾相等內(nèi)角的兩邊是否成比例?(同桌一人測角,一人測邊,共同得出結(jié)論:這種形狀相同的多邊形各對應(yīng) 角相等、各對應(yīng)邊成比例.然后嘗試給相似多邊形下一個定義.)2.獲得新知:(自讀課本,時間3分鐘,然后回答老師提出的問題:①多邊形相似需滿足幾個條件? ②相似多邊形的記法有什么要求?③什么叫相似比?求相似比要注意什么?)3.議一議:(1)觀察下面兩組圖形，圖（1）中的兩個圖形相似嗎？圖（2）中的兩個圖形呢？為什么？你從中得到什么啟發(fā)？與同桌交流.（2）如果兩個多邊形不相似，那么它們的各角可能對應(yīng)相等嗎？它們的各邊可能對應(yīng)成比例嗎？

(通過對兩個典型范例的分析,加深對相似多邊形的本質(zhì)特征的理解.讓學(xué)生充分發(fā)表看法，然后老師總結(jié)。)4.鞏固新知:（鞏固相似多邊形的定義這一最基本的判斷方法。）例 下列每組圖形是相似多邊形嗎？試說明理由。（1）正三角形ABC與正三角形D EF；（2）正方形ABCD與正方形EFGH.５．想一想——反過來會怎樣？

如果兩個多邊形相似，那么它們的 對應(yīng)角有什么關(guān)系？對應(yīng)邊呢？

（老師總結(jié)：相似多邊形的定義既是最基本、最重要的判定方法，也是最本質(zhì)、最重要的性質(zhì).）６.做一做 一塊長3m、寬1.5m的矩形黑板如圖所示，鑲在其外圍的木質(zhì)邊框?qū)?.5cm.邊框的內(nèi)外邊緣所成的矩形相似嗎？為什么？

（讓學(xué)生獨立作出判斷，并說明理由．通過這個易出錯的例子,使學(xué)生認識到直觀有時是不可靠的，需要通過定義的兩個條件進行判斷．）

三、課堂小結(jié)

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？

（學(xué)生自由回答，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達力）學(xué)生歸納總結(jié)：相似多邊形的概念既是性質(zhì)又是判定，運用性質(zhì)時對應(yīng)頂點字母寫在對應(yīng)的位置上，同時知道相等角所對邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對角是對應(yīng)角。相似比有順序 要求

第二篇：九年級數(shù)學(xué)4.3 相似多邊形教案

4.3 相似多邊形

【教學(xué)目標(biāo)】

經(jīng)歷相似多邊形概念的形成過程，了解相似多邊形的含義.【教學(xué)重難點】

重點:探索相似多邊形的定義過程，以及用定義判斷兩個多邊形是否相似.難點:探索相似多邊形的定義過程.【教學(xué)過程】

一、課前準(zhǔn)備

活動內(nèi)容：圖片收集(提前布置）以小組為單位，開展收集活動: 各盡所能收集生活中各類相似圖形

二、情境引入(獲取信息，體會特點）

1.活動內(nèi)容:各小組派代表展示自己課前所收集得到的資料 2.教師展示課件(播放動畫)

三、例題講解

例:下列每組圖形形狀相同，它們的對應(yīng)角有怎樣的關(guān)系？對應(yīng)邊呢？（1）正三角形ABC與正三角形DEF；（2）正方形ABCD與正方形EFGH.1.各角對應(yīng)相等、各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.2.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.3.相似用“∽”表示，讀作“相似于”.四、合作學(xué)習(xí)

1.(想一想)如果兩個多邊形相似，那么它們的對應(yīng)角有什么關(guān)系？對應(yīng)邊呢？ 板書:相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例

2.如果兩個多邊形不相似，那么它們的各角可能對應(yīng)相等嗎？它們的各邊可能對應(yīng)成比例嗎？

3.通過反例分析，使學(xué)生進一步理解相似多邊形的本質(zhì)特征.4.—塊長3 m，寬1.5 m的矩形黑板，鑲在其外圍的木制邊框?qū)?.5 cm，由邊框的內(nèi)外邊緣所構(gòu)成的矩形相似嗎？為什么？

五、鞏固練習(xí)活動內(nèi)容：

2.如圖，下面的兩個菱形相似嗎？為什么？滿足什么條件的兩個菱形一定相似？

六、活動與探究

如圖，將一張長、寬之比為√2的矩形紙ABCD依次不斷對折，可以得到矩形紙BCFE，AEML，GMFH，LGPN.（1）矩形 ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN 長與寬的比改變了嗎？（2）在這些矩形中，有成比例的線段嗎？（3）你認為這些大小不同的矩形相似嗎？

七、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 兩個圖形的相似必須同時滿足:各角對應(yīng)相等、各邊對應(yīng)成比例，兩個條件缺一不可，兩個圖形不相似時，它們的對應(yīng)角也可能相等(如兩個矩形），或者對應(yīng)邊也可能對應(yīng)成比例(如兩個菱形).⑴全等圖形是相似比為1的相似圖形.(2)相似比具有順序性，例如兩個相似多邊形，前一個多邊形與后一個多邊形的相似比為k，那么后一個多邊形與前一個多邊形的相似比為1/k(3)相似多邊形的定義既可以作為相似多邊形的性質(zhì)，也可以作為相似多邊形的判定依據(jù).八、布置作業(yè)

教材P90?91習(xí)題4.5

第三篇：相似多邊形教學(xué)反思

反思一：相似多邊形教學(xué)反思

在初二·一班上完《相似多邊形》之后，淡淡的喜悅伴隨著淡淡的遺憾縈繞心間，下午看了自己的課堂實錄，將自己的在以下幾個方面的感受整理如下：

一、反思學(xué)案設(shè)計

本節(jié)課在學(xué)案設(shè)計的過程中結(jié)合了教材提供的內(nèi)容和我班學(xué)生的實際水平，對教材提供的內(nèi)容進行了整合，更符合我班學(xué)生的水平。有以下幾點比較滿意；

1、問題情景的設(shè)計。先給學(xué)生利用課件展示一組圖片，讓生通過觀察找出形狀相同的圖片。本題形象直觀，學(xué)生都能通過觀察得出結(jié)論。趁勢教師出示如下題目：

一塊黑板，長3米，寬1.5米，加一7.5厘米的邊框，邊框外圍與邊框里邊的矩形形狀相同嗎？

學(xué)生往往會不假思索地認為相同。教師告訴學(xué)生其實不相同，本節(jié)課的內(nèi)容就是告訴你為什么不相同，順勢導(dǎo)入課題。

2、操作題的設(shè)計。本節(jié)課教材提供的引例，我把它改成操作題放在了學(xué)完相似多邊形定義之后，用來鞏固相似多邊形的判定。此題為開放式操作題，學(xué)生自選工具，自己設(shè)計操作方法，組內(nèi)成員自己分工，合作探討兩個六邊形是否相似，結(jié)論不唯一。

3、思想教育見縫插針。在學(xué)完本節(jié)課所有知識之后，我讓學(xué)生利用本節(jié)課所學(xué)知識在對問題情境中的黑板問題做出判斷，并結(jié)合此題進行思想教育：在生活中經(jīng)常需要我們做出判斷，我們在做出判斷時不能太相信直觀，有用事實說話，用數(shù)據(jù)說話。凡事三思后行。

二、反思課堂生成

看完錄像后，我比較滿意的一點是我的學(xué)生融進了我的課堂中，合作探討交流落到實處，而不是一種形式，突出表現(xiàn)為本節(jié)課有兩個課堂生成的學(xué)習(xí)片段很精彩，我個人的處理也比較到位。

教師生成的課堂資料

課本上安排了一個例題：探討任意兩個正三角形、正四邊形的角、邊的關(guān)系。學(xué)生經(jīng)過自主探討后很輕松的得出了結(jié)論：他們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。學(xué)生處理這個問題比較輕松，出乎我的預(yù)料之外。于是我臨時追加了一個問題：所有的正多邊形都具備這個特點嗎？同學(xué)們圍繞這個問題在小組內(nèi)合作探討，眾人拾柴火焰高，竟然解決的很好。

學(xué)生生成的學(xué)習(xí)片段

在處理操作題是出現(xiàn)了兩種不同的結(jié)論； 孫卓一組的結(jié)論：兩個六邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比值相等，因此相似。

王敏一組：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊不成比例，她對自己組內(nèi)得出的結(jié)論顯然不太自信，不敢說。我一再鼓勵他實事求是的說出自己小組內(nèi)得出的結(jié)論。最后終于說出：兩個六邊形不相似。我首先讓同學(xué)為他們實事求是大膽發(fā)言的精神鼓掌，然后引導(dǎo)學(xué)生：同一個問題為什么出現(xiàn)兩種結(jié)果？到底誰的結(jié)論正確？最后引導(dǎo)學(xué)生說出兩種結(jié)果都對，因為在測量時存在誤差。這個片段非常精彩，是本節(jié)可我最滿意的一個教學(xué)片斷。

三、反思遺憾

任何一節(jié)課都不是完美無缺的，一節(jié)課沒有最好只有更好。正因為課堂教學(xué)存在遺憾，自己的業(yè)務(wù)才有提升的空間。

遺憾一：

學(xué)生展示自己的熱情不夠，表現(xiàn)拘謹，放不開。針對這一點，我在課后專門與學(xué)生進了溝通，學(xué)生反映聽課教師多，害怕出錯，還擔(dān)心自己錯了讓我難堪。學(xué)生的回答讓我非常感動，我的學(xué)生非常善良，能夠站在我的立場上思考問題。我耐心的告訴他們，他們才是課堂的唯一主角，無論什么時候，也不管有沒有人聽課，老師都以自己的學(xué)生大膽展示、勇敢表現(xiàn)為榮。我們相約：我在數(shù)學(xué)課上盡量給他們表現(xiàn)的機會，而他們也要抓住機會大膽展示。

遺憾二：

本節(jié)課在操作題上，花的時間比預(yù)計的多，因此導(dǎo)致拖堂。

四、反思疑惑

操作題、開放式問題引入課堂，學(xué)生在探討的過程中往往會生成一些教學(xué)片段，因此時間不好把握，導(dǎo)致拖堂或完不成教學(xué)任務(wù)，到底如何看待這種現(xiàn)象？我在課堂上（或其他教師的課上）常常碰到因為探究而不能完成預(yù)設(shè)教學(xué)內(nèi)容的情況，感到預(yù)設(shè)與生成之間的矛盾不知如何解決，盼各位老師給予指導(dǎo)。

反思二：相似多邊形教學(xué)反思

1、在新課程教學(xué)法的指導(dǎo)下，精心設(shè)計了《相似多邊形》這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計并進行了教學(xué)。總思想是面向每一位學(xué)生，激發(fā)每一個學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和學(xué)習(xí)熱情，2、培養(yǎng)學(xué)生的主體意識，尊重學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生拿出自已準(zhǔn)備的相似圖形的圖片仔細觀察、自主思考。根據(jù)自己的理解，猜測、推斷出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、自主探究的意識，真正成為課堂學(xué)習(xí)的主人。

3、根據(jù)學(xué)生的個體差異，注意因材施教、分層教學(xué)，在教學(xué)中結(jié)合課本想一想、議一議、做一做等教學(xué)環(huán)節(jié)調(diào)動學(xué)生的潛能，為每一位學(xué)生創(chuàng)設(shè)施展才能的空間，讓學(xué)生學(xué)得輕松、愉快，培養(yǎng)學(xué)生的成就感，使每一位學(xué)生都能獲得不同程度的成功。同時把學(xué)生的活動貫穿于教學(xué)的整體過程中，提供學(xué)生學(xué)習(xí)合作、交流、探索、歸納的機會，使學(xué)生最大限度的動手、動口、動腦、同伴互助，讓學(xué)生通過實際感悟相似多邊形的概念，找出相似多邊形的性質(zhì)。通過讀一讀，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值。

4、不足之處：對學(xué)生自主探索的問題拓展不足，應(yīng)給學(xué)生充分時間和空間去自主學(xué)習(xí)，更加關(guān)心和愛護每一名學(xué)生，對需要指導(dǎo)的學(xué)生給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。在教學(xué)方法和教學(xué)語言的選擇上，盡可能注意知識的銜接，既不違反科學(xué)性，又符合可接受性原則，教師在課堂上要起好主導(dǎo)作用，并讓學(xué)生有充分的活動機會，使得課堂氣氛有新鮮感． 對實現(xiàn)人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展做得還不夠。

反思三：相似多邊形教學(xué)反思

本節(jié)課主要是相似多邊形的定義，這節(jié)課主要是讓學(xué)生自學(xué)，將定義和相似比等概念進行理解記憶，通過與相似三角形的定義的對比，得到要理解相似多邊形的概念，要從以下幾方面入手：（1）兩個多邊形相似，必須具備兩個條件：①各角對應(yīng)相等；②各邊對應(yīng)成比例，這兩個條件缺一不可；（2）在相似多邊形中，對應(yīng)相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)成比例的邊是對應(yīng)邊；（3）兩多邊形相似用∽表示，讀作：相似于；（4）形狀相同的多邊形相似。

在這里，初學(xué)者因為有相似三角形的基礎(chǔ)，往往在判定兩個多邊形相似時出現(xiàn)只說明滿足一個條件便下結(jié)論是相似多邊形的錯誤。另外在符號表示兩個多邊形相似時，要把表示對應(yīng)角的頂點寫在對應(yīng)位置上，這樣可以一目了然地知道它們的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。

對于第一個容易出現(xiàn)的錯誤，通過兩個例子說明了這個問題，一個命題是各角對應(yīng)相等的多邊形是相似多邊形，舉出的反例是：一般的長方形和正方形，另一個命題是各邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，舉出的反例是：一般的菱形與正方形。這樣既說明理解了概念，又強調(diào)了判定兩多邊形相似時兩個條件不可或缺，必須同時成立。然后又對課本上的做一做進行了處理，黑板外邊鑲邊的問題，咋一看，內(nèi)外兩個矩形是形狀相同的，所以幾乎所有的學(xué)生都認為這兩個矩形是相似的，然后通過計算，發(fā)現(xiàn)這兩個矩形的長寬之比并不相同，所以兩個矩形并不相似，在學(xué)生的驚訝之中完成了證明。給學(xué)生總結(jié)：數(shù)學(xué)是說理的學(xué)科，是培養(yǎng)邏輯思維能力的學(xué)科，思維要嚴(yán)密，不能看著像就是，而要用數(shù)據(jù)來說明你的結(jié)論是正確的。

課本例1的處理是讓學(xué)生自己看課本，然后仿照課本例題仿寫學(xué)案上的例4和基礎(chǔ)訓(xùn)練上的第2題，因為學(xué)生的初級階段是模仿，模仿也是很好的學(xué)習(xí)方式，特別是自學(xué)時用處最大。學(xué)生通過模仿例題，都能迅速的做對這兩道題。任務(wù)達成。

然后是課外知識的延伸紙張的大小，讓學(xué)生自學(xué)課本的讀一讀了解紙張的國際標(biāo)準(zhǔn)，拓展知識面，通過了解這個知識，試著做學(xué)案上的一題：一張紙，每次對折后，所得的長方形均和原長方形相似，問紙張的長和寬應(yīng)當(dāng)滿足什么條件？這就需要用到多邊形的相似，通過計算得到長寬之比是，這才真正體會到學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的樂趣。

本節(jié)課基本上將課本上的內(nèi)容，學(xué)案上的內(nèi)容以及基礎(chǔ)訓(xùn)練上的內(nèi)容處理完畢了，感覺效果不錯。實用是硬道理！

反思四：相似多邊形教學(xué)反思

上完《相似多邊形》之后，經(jīng)過反思，下面將自己的在以下幾個方面的感受整理如下：

一、學(xué)生融入了課堂中，合作探討交流落到實處，而不是一種形式，例如：課本上安排了一個例題：探討任意兩個正三角形、正四邊形的角、邊的關(guān)系。學(xué)生經(jīng)過自主探討后很輕松的得出了結(jié)論：

第四篇：23.4相似多邊形的性質(zhì)

23.4相似多邊形的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：

理解相似多邊形的有關(guān)性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

會運用相似多邊形的性質(zhì)解決有關(guān)問題。過程與方法：

會將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題。了解事物在一定條件下，可以相互轉(zhuǎn)化的辯證觀點。體會轉(zhuǎn)化思想和類比的方法在解決數(shù)學(xué)問題中的作用。情感、態(tài)度和價值觀

感知知識的實際應(yīng)用，增強對知識就是力量的客觀認識，進一步加強理論聯(lián)系實際的學(xué)習(xí)方法。教材分析： 內(nèi)容分析：

在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，相似多邊形的基本知識及相似三角形的判定和性質(zhì)已經(jīng)學(xué)過。特別是相似三角形的周長比、面積比，對于學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容起很大促進作用。

本節(jié)內(nèi)容除了要學(xué)生掌握相似多邊形的周長比、面積比與相似比的關(guān)系外，更重要的是經(jīng)歷探索相似多邊形的性質(zhì)過程。通過溫故知新、知識遷移，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論；通過比較、分析、應(yīng)用獲得的知識達到理解并掌握的目的。重點：

相似多邊形的周長比、面積比與相似比關(guān)系的推導(dǎo)；運用相似多邊形的比例關(guān)系解決實際問題。

難點：

相似多邊形周長比、面積比與相似比的關(guān)系的推導(dǎo)及運用.教學(xué)過程： 情景引入：

很久以前，某地發(fā)生大旱，地里的莊稼都干死了，于是大家到廟里向神祈求下雨。神說，如果你們做一個比現(xiàn)在的方桌大一倍的方桌來祭我，我就給你們降水。于是大家重新做了一個擺設(shè)祭品的方桌。新方桌的邊長是原來的2倍。可是神愈發(fā)怒了。

思考：

神為什么發(fā)怒？

邊長擴大2倍，面積也擴大兩倍嗎？ 引入課題，問題探究：

提問：還記得相似三角形的性質(zhì)嗎？

1、相似三角形的對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比等于相似比;

2、相似三角形周長的比等于相似比;面積比等于相似比的平方。

探究：從三角形到四邊形

四邊形ABCD ∽四邊形A1B1C1D1,相似比為k。討論：它們的周長比會是多少？

它們的面積比會是多少？

學(xué)生活動：想一想

相似四邊形的周長比等于________，面積比等于______________。

如果把四邊形換成五邊形，你們剛才的結(jié)論是否仍然成立呢 議一議：

五邊形ABCDE∽五邊形A1B1C1D1E1,相似比為K，它們的周長比會是多少？它們的面積比會是多少？

結(jié)論還成立嗎？

如果把五邊形換成六邊形,那么結(jié)論又如何? ……? 換成n邊形呢?

通過上面的活動,你得出了什么結(jié)論? 師生共同歸納總結(jié)：

相似多邊形周長的比等于

, 對應(yīng)對角線的比等于

, 應(yīng)三角形相似,且相似比等于

, 對應(yīng)三角形面積的比等于

;相似多邊形面積的比等于

.結(jié)論：相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。鞏固提高：

練一練：

1）如果把一個n邊形各邊的長同時擴大為原來的10倍，那么它的周長也擴大為原來的10倍。對嗎？

2）如果把一個四邊形的面積擴大為原來的9倍，那么它的四邊也都擴大為原來的9倍。對嗎

3）在一張比例尺為1:5000的地圖上，一塊多邊形地區(qū)的周長是72cm，面積是320平方厘米。求這個地區(qū)的實際周長與面積。

性質(zhì)應(yīng)用：

例1.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2,BC=8,EF∥BC,且EF分別交AB、DC于點E、F.（1）若梯形AEFD∽梯形EBCF,求EF的長；

（2）求滿足（1）條件下的梯形AEFD與梯形EBCF的周長比。

例2.如圖，在△ABC中，∠C=90°,以它的邊為對應(yīng)邊，在三角形外分別作三個相似多邊形。問斜邊上多邊形的面積S1與兩直角邊上多邊形面積之和（S2+S3）有什么關(guān)系？為什么？

自我測試

1、兩個矩形相似,它們的對角線之比是1:3,那么它們的相似比是

,周長比是

,面積比是

.2、老師在電腦上畫了一個六邊形，上課時發(fā)現(xiàn)，原來一條5厘米的邊在投影屏幕上變成了15厘米，那么投影屏幕的放大比例是（），這個六邊形的面積擴大為原來的（）倍。

3、如圖，已知△ABC∽△ADE，且BC=2DE，則△ADE與四邊形BCDE的面積比為（）

(A)1：2

(B)1：3

(C)1；4

(D)1：5 目標(biāo)回顧：

師生共同總結(jié)回顧復(fù)述本節(jié)課所學(xué)的的主要內(nèi)容。作業(yè)設(shè)計：

必做題

習(xí)題23.4的2、4、5

選做題：習(xí)題的6

第五篇：相似教案

相似

1．成比例線段

用同一長度單位度量兩條線段所得量數(shù)的比叫做這兩條線段的比．

如果線段a和b的比等于線段c和d的比，那么線段a，b，c，d叫做成比例線段，記作ac?或a∶b＝c∶d，其中a，c叫做比的前項，b，d叫做比的后項，b，c叫做比例內(nèi)bd若項，a，d叫做比例外項，d叫做a，b，c的

(3)相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(4)相似三角形周長比等于相似比；

(5)相似三角形面積的比等于相似比的平方． 6．相似多邊形的性質(zhì)

(1)相似多邊形的對應(yīng)角相等；

(2)相似多邊形對應(yīng)邊的比等于相似比；(3)相似多邊形周長的比等于相似比；

(4)相似多邊形面積的比等于相似比的平方． 7．直角三角形中的成比例線段

如圖13－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，則(1)△ADC∽△ACB∽△CDB(可拆成三對相似三角形)；

圖13－1(2)CD2＝AD·DB；(注：用時要證明)(3)AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA；(注：用時要證明)(4)CD·AB＝AC·BC．(注：用時要證明)8．位似

(1)如果兩個多邊形相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這兩個多邊形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．

(2)如果兩圖形F與F′是位似圖形，它們的位似中心是點O，相似比為k，那么

①設(shè)A與A′是一對對應(yīng)點，則直線AA′過位似中心O點，并且②設(shè)A與A′，B與B′是任意兩對對應(yīng)點，則

OA?k.OA'AB?k若直線AB，A′B′不通過位A?B?似中心O，則AB∥A′B′．

(3)利用位似，可以將一個圖形放大或縮小．

(4)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或－k． ．．．．9．相似圖形的應(yīng)用

二、例題分析

例

1已知：如圖13－2，點P是邊長為4的正方形ABCD內(nèi)一點，PB＝3，BF⊥BP于點B，試在射線BF上找一點M，使得以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，作圖并指出相似比k的值．

圖13－2

分析

由已知，∠ABP＝∠CBF．欲使以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，只要使夾∠ABP及∠CBF的兩邊對應(yīng)成比例．

解

如圖13－3．

圖13－3 ∵AB⊥BC，PB⊥BF，∴∠ABP＝∠CBF．

BM14BM1BC，即?，BM1＝3時，△CBM1∽△ABP．相似比k＝1． ?3BPAB44BM2BCBM2416當(dāng)即??,BM2?時，△CBM2∽△PBA．相似比k?? 4ABBP33316∴當(dāng)BM＝3或BM?時，以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，相似比分

3當(dāng)4別為1和?

3說明

(1)對于探究三角形相似的條件這類問題，可從“角的關(guān)系在先、邊的關(guān)系在后”的思維順序入手，由于題目條件中只有一組對應(yīng)角相等，因此就考慮這組對應(yīng)角的四條線段何時對應(yīng)成比例，由于點C可以與點A對應(yīng)(此時點M與點P對應(yīng))，點C也可以與點P對應(yīng)(此時點M與點A對應(yīng))，因此有兩種情形．

(2)注意當(dāng)相似比k＝1時，兩個相似圖形全等，因此，全等圖形是相似圖形的特例． 例

2已知：如圖13－4，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC，CD于點P，Q

圖13－4

(1)請寫出圖中各對相似三角形(相似比為1的除外)；(2)求BP∶PQ∶QR的值．

解

(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，△PAB∽△RDQ．(2)∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，∴BC＝AD＝CE，AC∥DE．

?PB?PR,PC1?? RE2又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ． ∵點R是DE中點，∴DR＝RE．

?PQPCPC1???,∴QR＝2PQ． QRDRRE2又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，

∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2． 說明

(1)如圖13－5，“若DE∥BC，則△ADE∽△ABC”．這是用平行線截得三角形構(gòu)成相似三角形，得到成比例線段常見的基本圖形結(jié)構(gòu)．

圖13－5(2)對于例2，還可進一步思考研究其他問題，例如，在已知條件不變的前提下，若△PCQ的面積為S，你能用含S的代數(shù)式分別表示圖13－4中其他各圖形的面積嗎?并說明你的理由．

(1)△BPC的面積＝______．理由是__________________________________________；(2)△ABP的面積＝______．理由是__________________________________________；(3)四邊形PCER的面積＝______．理由是____________________________________；(4)四邊形APRD的面積＝______．理由是____________________________________； ??

例3 如圖13－6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P為下底BC上一點(不與B，C重合)，連接AP，過P點作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

圖13－6(1)你認為圖中哪兩個三角形相似，為什么?(2)當(dāng)點P在底邊BC上自點B向C移動的過程中，是否存在一點P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的長；如果不存在，請說明理由．

解

(1)△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似”可得△ABP∽△PCE．

BC?AD?2，腰長AB＝CD＝2CF＝4，這樣原2問題轉(zhuǎn)化為在底邊BC上是否存在一點P，使得CE＝1.5．(2)作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝假設(shè)存在P點，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得

BPAB，可得BP·PC＝AB·CE?CEPC＝6．

設(shè)BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．

∴x(7－x)＝6，即x2－7x＋6＝0． 解得x1＝1，x2＝6．

答

當(dāng)BP＝1或BP＝6時，使得DE∶EC＝5∶3．

例4 如圖13－7，正方形ABCD的邊長為4，M，N分別是BC，CD上的兩個動點，當(dāng)M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．

圖13－7(1)求證：Rt△ABM∽Rt△MCN；

(2)設(shè)BM＝x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；

(3)當(dāng)M點運動到什么位置時，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值． 解

(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°． ∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．

∴

∠CMN＋∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN． ∴Rt△ABM∽Rt△MCN．(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，?ABBM4x，即???

MCCN4?xCN?x2?4x?CN??

4?y?S梯形ABCN1?x2?4x??4(?4)2411??x2?2x?8??(x?2)2?10.22當(dāng)x＝2時，y取最大值，最大值為10．(3)∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM∽△AMN，只需由(1)知

AMAB?? MNBMAMAB?? MNMC∴BM＝MC．

∴當(dāng)點M運動到BC的中點時，△ABM∽△AMN，此時x＝2．

例5 如圖13－8，在正方形ABCD中，AD＝12，點E是邊CD上的動點(點E不與端點C，D重合)，AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點F，H，G，交AB的延長線于點P．

圖13－8

(1)設(shè)DE＝m(0＜m＜12)，試用含m的代數(shù)式表示(2)在(1)的條件下，當(dāng)

FH的值； HGFH1?時，求BP的長． HG2解

(1)如圖13－9，過點H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N點．在正方形ABCD中，圖13－9

∵AD∥BC，∴△FMH∽△GNH．

FHMH ?HGHN∵FH垂直平分AF，∴在△ADE中，H是AE的中點． 又∵MH∥DE，∴M是AD的中點． ?11DE?x.22由已知，不難得出四邊形ABNM是矩形． ∴MN＝AB＝AD＝12． ?MH??HN?12?1x.21mFHMHm2????，1HGHN24?m12?m2其中0＜m＜12．

FH1m1?時，?，解得m＝8． HG224?m2欲求BP的長，只要求AP的長．

在Rt△ADE中，∵AD＝12，DE＝8，2? ?AE?413,AH?213,sin?EAD?13(2)當(dāng)∵FP⊥AE于點H，∠DAP＝90°，∴∠P＝∠EAD．

AH?13, sinP∴BP＝AP－AB＝13－12＝1．

說明

(1)在解

(2)在解

圖13－12

∵∠FDE＋∠4＝90°，∴∠FDE＝∠1．∴△DEF∽△HGM．

?DEEF?? HGGM而EF＝b－a，DE＝a，HG＝b－c，GM＝c，即ab?a?,得ac＝(b－a)(b－c)． b?cc整理可知b(a＋c)＝b2，而b≠0，∴a＋c＝b．

例8(2008哈爾濱市)已知菱形ABCD的邊長是6，點E在直線AD上，DE＝3，連接BE，與對角線AC相交于點M，則解

MC的值是______． AM2? 3提示

注意題中給出的“點E在直線AD上”這個條件，因此有兩種情況．

MCBC??2；(2)AMAEMCBC2??? 點E在AD的延長線上時，如圖13－13(b)，△CMB∽△AME，?AMAE3(1)點E在線段AD上時，如圖13－13(a)，△CBM∽△AEM．?

圖13－13

四、課標(biāo)考試達標(biāo)題(一)選擇題

1．如圖13－14，AB∥CD，AE∥FD，AE，F(xiàn)D分別交BC于點G，H，則圖中共有相似三角形（）．

圖13－14 A．4對

B．5對 C．6對

D．7對

2．如圖13－15所示，小剛身高AB為1.7m，測得他站立在陽光下的影子AC長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子AD長為1.1m，那么小剛舉起的手臂BE超出頭頂

（）．

圖13－15 A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 3．如圖13－16，在△ABC中，AB＞AC，過AC邊上一點D作直線與AB相交，使得構(gòu)成的新三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（）．

圖13－16 A．1條

B．2條 C．3條

D．4條

4．如圖13－17，王華同學(xué)晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，他繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于（）．

圖13－17 A．4.5米

B．6米 C．7.2米

D．8米

5．如圖13－18，在8×8正方形的網(wǎng)格上，若使△ABC∽△PBD，則點P應(yīng)在（）．

圖13－18 A．P1處

B．P2處 C．P3處

D．P4處

6．如圖13－19，把△PQR沿著PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它們重疊部分的面積是△PQR面積的一半，若PQ＝2，則此三角形移動的距離PP′是（）．

圖13－19 A．1 2B．

C．1

D．2?1

(二)填空題

7．已知：如圖13－20，在△ABC中，AD∶DB＝1∶2，DE∥BC交AC于E，若△ABC的面積等于81，則四邊形BCED的面積為______．

圖13－20 8．如圖13－21，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，點G，H在DC邊上，BC＝12，GH?1DC.若AB＝10，則圖中陰影部分的面積為______． 2

圖13－21 9．如圖13－22，△ABC與△A′B′C′的位似中心為點O，若AB＝2，A′B′＝5，則△ABC與△A′B′C′的面積比是______，AC與A′C′的比是______．

圖13－22 10．如圖13－23，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作

11．如圖13－24，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，連接DE并延長交BC的延長線于點F，連接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°，寫出圖中三對相似三角形(注意：不得加字母和線)；請在你所找出的相似三角形中選取一對，說明它們相似的理由．

圖13－24

12．如圖13－25，在□ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE．F為AE上一點，且∠BFE＝∠C．

圖13－25(1)求證：△ABF∽△EAD；

(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的長；

(3)在(1)、(2)的條件下，若AD＝3，求BF的長．(計算結(jié)果可含根號)

13．如圖13－26，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點M，N分別在邊AD，BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．

圖13－26(1)求梯形ABCD的面積；

(2)求四邊形MEFN面積的最大值；

(3)試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，寫出正方形MEFN的面積．

參考答案