2021年中考復習數學幾何訓練：

全等三角形判定（動點專練）

1．在平面直角坐標系中，點A（2，0），B（0，4），若以B，O，C為頂點的三角形與△ABO全等，則點C的坐標不能為（）

A．（0，﹣4）

B．（﹣2，0）

C．（2，4）

D．（﹣2，4）

2．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．若點Q的運動速度為v厘米/秒，則當△BPD與△CQP全等時，v的值為

．

3．已知：如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長BC到點E，使CE＝2，連接DE，動點P從點B出發，以每秒2個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設點P的運動時間為t秒，當t的值為

秒時，△ABP和△DCE全等．

4．如圖，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P點從B向A運動，每分鐘走1m，Q點從B向D運動，每分鐘走2m，P、Q兩點同時出發，運動

分鐘后△CAP與△PQB全等．

5．如圖，CA⊥AB，垂足為點A，AB＝24，AC＝12，射線BM⊥AB，垂足為點B，一動點E從A點出發以3厘米/秒沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED＝CB，當點E經過

秒時，△DEB與△BCA全等．

6．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直線l經過點C且與邊AB相交．動點P從點A出發沿A→C→B路徑向終點B運動；動點Q從點B出發沿B→C→A路徑向終點A運動．點P和點Q的速度分別為2cm/s和3cm/s，兩點同時出發并開始計時，當點P到達終點B時計時結束．在某時刻分別過點P和點Q作PE⊥l于點E，QF⊥l于點F，設運動時間為t秒，則當t＝

秒時，△PEC與△QFC全等．

7．（多選）如圖，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．設運動時間為t（s），則當△ACP與△BPQ全等時，點Q的運動速度為

cm/s．

A.；B.1；C.1.5；D.2．

8．如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，點E為AB的中點．如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動．當點Q的運動速度為

時，能夠使△BPE與△CQP全等．

9．如圖，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．設運動時間為t（s），則當點Q的運動速度為

cm/s時，△ACP與△BPQ全等．

10．如圖，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，點P和點Q同時從點A出發，分別在線段AC和射線AX上運動，且AB＝PQ，當AP＝

時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABC全等．

11．如圖，D是△ABC的BC邊上的一點，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD．AE是△ABD的中線，延長AE到F，使EF＝AE，連接DF．求證：AE＝AC．

12．如圖（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分別為A、B，AC＝5cm．點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時點Q在射線BD上運動．它們運動的時間為t（s）（當點P運動結束時，點Q運動隨之結束）．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系，請分別說明理由；

（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA”，點Q的運動速度為xcm/s，其它條件不變，當點P、Q運動到何處時有△ACP與△BPQ全等，求出相應的x的值．

13．如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；

（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．

14．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，點D為AB的中點．

（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A點運動．

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，1秒鐘時，△BPD與△CQP是否全等，請說明；

②點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD≌△CPQ？

（2）若點Q以②的運動速度從點C出發點，P以原來運動速度從點B同時出發，都逆時針沿ABC的三邊運動，求多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

15．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點P從A點出發沿A→C→B路徑運動到B點，點Q從B點出發沿B→C→A路徑運動到A點．點P和點Q分別以2cm/秒和3cm/秒的速度同時出發，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于點E，QF⊥l于點F．設運動時間為t（秒）．

（1）如果PC＝2QC，那么t＝

秒；

（2）當△PEC與△QFC全等時，求t的值．

16．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，點E從點D出發，以每秒1個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發，以每秒3個單位的速度，沿C→B→C做勻速移動，點G從點B出發沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發，當有一個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動，假設移動時間為t秒．

（1）試證明：AD∥BC；

（2）在移動過程中，小明發現有△DEG與△BFG全等的情況出現，請你探究這樣的情況會出現幾次？并分別求出此時移動時間和G點的移動距離．

17．已知：如圖，∠B＝90°AB∥DF，AB＝3cm，BD＝8cm，點C是線段BD上一動點，點E是直線DF上一動點，且始終保持AC⊥CE．

（1）試說明：∠ACB＝∠CED；

（2）當C為BD的中點時，△ABC與△EDC全等嗎？若全等，請說明理由；若不全等，請改變BD的長（直接寫出答案），使它們全等；

（3）若AC＝CE，試求DE的長；

（4）在線段BD的延長線上，是否存在點C，使得AC＝CE？若存在，請求出DE的長及△AEC的面積；若不存在，請說明理由．

18．如圖所示，兩根旗桿間相距12m，某人從B點沿BA走向A，一定時間后他到達點M，此時他仰望旗桿的頂點C和D，兩次視線的夾角為90°，且CM＝DM，已知旗桿AC的高為3m，該人的運動速度為1m/s，求這個人運動了多長時間？

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M為AC上一點且AM＝BC，過A點作射線AN⊥CA，A為垂足，若一動點P從A出發，沿AN運動，P點運動的速度為2cm/秒．

（1）經過幾秒△ABC與△PMA全等；

（2）在（1）的條件下，AB與PM有何位置關系，并加以說明．

20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是邊AC，BC上的兩個動點，PD⊥AB于點D，QE⊥AB于點E，設點P，Q運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）若點P，Q分別從A，B兩點同時出發，沿AC，BC向點C勻速運動，運動速度都為每秒1個單位，其中一點到達終點C后，另一點也隨之停止運動，在運動過程中△APD和△QBE是否保持全等？判斷并說明理由；

（2）若點P從點C出發沿CA以每秒3個單位的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回到點C停止運動；點Q仍從點B出發沿BC以每秒1個單位的速度向點C勻速運動，到達點C后停止運動，當t為何值時，△APD和△QBE全等？

21．如圖，在長方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，點P從點B出發，以2cm/秒的速度沿BC向點C運動，設點P的運動時間為t秒：

（1）PC＝

cm．（用t的代數式表示）

（2）當t為何值時，△ABP≌△DCP？

（3）當點P從點B開始運動，同時，點Q從點C出發，以vcm/秒的速度沿CD向點D運動，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請求出v的值；若不存在，請說明理由．

22．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點E從D點出發，以每秒1個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發，以每秒3個單位的速度沿C→B→C作勻速移動，點G從點B出發沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發，當有一個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動．

（1）試證明：AD∥BC．

（2）在移動過程中，小明發現當點G的運動速度取某個值時，有△DEG與△BFG全等的情況出現，請你探究當點G的運動速度取哪些值時，△DEG與△BFG全等．

23．（1）如圖1，∠MAN＝90°，射線AE在這個角的內部，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D．求證：△ABD≌△CAF；

（2）如圖2，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點E、F都在∠MAN內部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF；

（3）如圖3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD＝2BD，點E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面積為15，求△ACF與△BDE的面積之和．

24．如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，點E為AB的中點．如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPE與△CQP是否全等？請說明理由．

（2）當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPE與△CQP全等．

25．如圖（1），在等邊△ABC的頂點B、C處各有一只蝸牛，它們同時出發分別以每分鐘1個單位的速度由B向C和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點s時，另一只也停止運動，經過t分鐘后，它們分別爬行到D，P處，請問：

（1）在爬行過程中，BD和AP始終相等嗎？為什么？

（2）問蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小有無變化？請證明你的結論．

（3）若蝸牛沿著BC和CA的延長線爬行，BD與AP交于點Q，其他條件不變，如圖（2）所示，蝸牛爬行過程中的∠DQA大小變化了嗎？若無變化，請證明．若有變化，請直接寫出∠DQA的度數．

26．如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AQ上運動，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△APQ全等．

27．如圖，AB＝AC＝16cm，BC＝10cm，點D為AB的中點，點P在邊BC上以每秒2cm的速度由點B向點C運動，同時，點M在邊CA上由點C向點A勻速運動．

（1）當點M的運動速度與點P的運動速度相同，經過1秒后，△BPD與△CMP是否全等？請說明理由；

（2）若點M的運動速度與點P的運動速度不相等，當點M的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CMP全等？

28．如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系，請分別說明理由；

（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．

29．如圖①，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由A向B運動．同時點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為ts．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等？請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系．

（2）如圖②，將“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA”，其他條件不變，設點Q運動速度為xcm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應x，t的值；若不存在，說明理由．

30．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，∠ABC＝∠ACB，BC＝16cm，點D是AB的中點．點P在線段BC上以6厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A點運動，且點Q的運動速度與點P的運動速度相等．經過幾秒后，△BPD與△CQP全等？請說明理由．

31．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q兩點分別在AC上和過點A且垂直于AC的射線AM上運動，且PQ＝AB，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△QPA全等．

32．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，一條直線MN＝AB，M、N分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AP上運動．問點M運動到什么位置，才能使△ABC和△AMN全等？并證明你的結論．

33．如圖，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點向A點運動，設運動時間為t（秒）（0≤t≤3）．

（1）用含t的代數式表示PC的長度；

（2）若點P、Q的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．

34．如圖，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在射線AB上以1cm/s的速度由點A出發沿射線AB方向運動，同時，點Q在射線DB上由點D出發沿射線DB方向運動．它們運動的時間為t（s）．

（1）若點Q的運動速度是點P的運動速度的2倍，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；

（2）設點Q的運動速度為xcm/s（x≠2），是否存在實數x，使△ACP與△BPQ全等？若存在，請畫出示意圖，將全等的三角形用符號表示出來，并直接寫出相應的x，t的值；若不存在，請說明理由．

35．如圖，已知△ABC中，點E為AC的中點，CD∥AB交BE的延長線于點D，求證：AB＝CD．

36．已知：如圖，在△ABC中，D是BC的中點，點E、F分別在AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB，求證：BE＝DF，DE＝CF．

37．如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線．

（1）若∠B＝60°，求∠C的值；

（2）求證：AD是∠EAC的平分線．

38．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點．

（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

參考答案

1．解：如圖所示：

∵點A（2，0），B（0，4），∴OB＝4，OA＝2，∵△BOC與△AOB全等，∴OB＝OB＝4，OA＝OC＝2，∴C1（﹣2，0），C2（﹣2，4），C3（2，4）．

綜上可知，點C的坐標為（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4），故選：A．

2．解：當BD＝PC時，△BPD與△CQP全等，∵點D為AB的中點，∴BD＝AB＝6cm，∵BD＝PC，∴BP＝8﹣6＝2（cm），∵點P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動，∴運動時間時1s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP＝CQ＝2cm，∴v＝2÷1＝2；

當BD＝CQ時，△BDP≌△CQP，∵BD＝6cm，PB＝PC，∴QC＝6cm，∵BC＝8cm，∴BP＝4cm，∴運動時間為4÷2＝2（s），∴v＝6÷2＝3（m/s），故答案為：2或3．

3．解：

設點P的運動時間為t秒，則BP＝2t，當點P在線段BC上時，∵四邊形ABCD為長方形，∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，此時有△ABP≌△DCE，∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；

當點P在線段AD上時，∵AB＝4，AD＝6，∴BC＝6，CD＝4，∴AP＝BC+CD+DA＝6+4+6＝16，∴AP＝16﹣2t，此時有△ABP≌△CDE，∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；

綜上可知當t為1秒或7秒時，△ABP和△CDE全等．

故答案為：1或7．

4．解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，設運動x分鐘后△CAP與△PQB全等；

則BP＝xm，BQ＝2xm，則AP＝（12﹣x）m，分兩種情況：

①若BP＝AC，則x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；

②若BP＝AP，則12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12≠AC，此時△CAP與△PQB不全等；

綜上所述：運動4分鐘后△CAP與△PQB全等；

故答案為：4．

5．解：設點E經過t秒時，△DEB與△BCA全等；此時AE＝3t，分情況討論：

（1）當點E在點B的左側時，△DEB≌△BCA，則BE＝AC，∴24﹣3t＝12，∴t＝4；

（2）當點E在點B的右側時，①△DEB≌△BCA，BE＝AC時，3t＝24+12，∴t＝12；

②△EDB≌△BCA，BE＝AB時，3t＝24+24，∴t＝16．

（3）當點E與A重合時，AE＝0，t＝0；

綜上所述，點E經過0秒，4秒，12秒，16秒時，△DEB與△BCA全等．

故答案為：0，4，12，16．

6．解：由題意得，AP＝2t，BQ＝3t，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴CP＝6﹣2t，CQ＝8﹣3t，①如圖1，當Q在BC上，點P在AC上時，當△PEC≌△CFQ時，則PC＝CQ，即6﹣2t＝8﹣3t，解得：t＝2；

②如圖2，當點P與點Q重合時，當△PEC與△QFC全等，則PC＝CQ，∴6﹣2t＝3t﹣8．

解得：t＝；

③如圖3，當點Q與A重合時，當△PEC≌△CFQ，則PC＝CQ，即2t﹣6＝6，解得：t＝6；

當綜上所述：當t＝2秒或秒或6秒時，△PEC與△QFC全等，故答案為：2或或6．

7．解：當△ACP≌△BPQ時，則AC＝BP，AP＝BQ，∵AC＝3cm，∴BP＝3cm，∵AB＝4cm，∴AP＝1cm，∴BQ＝1cm，∴點Q的速度為：1÷（1÷1）＝1（cm/s）；

當△ACP≌△BQP時，則AC＝BQ，AP＝BP，∵AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∴AP＝BP＝2cm，BQ＝3cm，∴點Q的速度為：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s）；

故選：B、C．

8．解：設點P運動的時間為t秒，則BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①當BE＝CP＝5，BP＝CQ時，△BPE與△CQP全等，此時，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此時，點Q的運動速度為3÷1＝3厘米/秒；

②當BE＝CQ＝5，BP＝CP時，△BPE與△CQP全等，此時，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴點Q的運動速度為5÷＝厘米/秒；

故答案為：3厘米/秒或厘米/秒．

9．解：設點Q的運動速度是xcm/s，∵∠CAB＝∠DBA，∴△ACP與△BPQ全等，有兩種情況：

①AP＝BP，AC＝BQ，則1×t＝4﹣1×t，解得：t＝2，則3＝2x，解得：x＝1.5；

②AP＝BQ，AC＝BP，則1×t＝tx，4﹣1×t＝3，解得：t＝1，x＝1，故答案為：1或1.5．

10．解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ＝90°，分兩種情況：

①當AP＝BC＝10時，在Rt△ABC和Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；

②當AP＝CA＝20時，在△ABC和△PQA中，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；

綜上所述：當點P運動到AP＝10或20時，△ABC與△APQ全等；

故答案為：10或20．

三．解答題（共28小題）

11．證明：∵AE是△ABD的中線，∴BE＝ED，在△ABE與△FDE中，∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB＝FD，∠BAE＝∠EFD，∠B＝∠EDF，∵DC＝AB，∴FD＝DC，∵∠ADC是△ADB的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∵∠ADF＝∠BDA+∠EDF，∵∠B＝∠EDF，∠BAD＝∠BDA，∴∠ADC＝∠ADF，在△ADF與△ADC中，∴△ADF≌△ADC（SAS），∴AF＝AC，∵AF＝AE+EF，AE＝EF，∴AC＝2AE．

12．解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．

理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；

∴∠C＝∠BPQ，∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；

（2）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt

解得：x＝2，t＝1；

②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t

解得：x＝，t＝．

綜上所述，當△ACP與△BPQ全等時x的值為2或．

13．解：（1）當t＝1時，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．

∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．

（2）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，解得；

②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，解得；

綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等．

14．解：（1）①∵t＝1（秒），∴BP＝CQ＝3（厘米）

∵AB＝12，D為AB中點，∴BD＝6（厘米）

又∵PC＝BC﹣BP＝9﹣3＝6（厘米）

∴PC＝BD

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD與△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵∠B＝∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP＝CP＝4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ＝BD＝6．

∴點P的運動時間t＝＝＝1.5（秒），此時VQ＝＝＝4（厘米/秒）．

（2）因為VQ＞VP，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程

設經過x秒后P與Q第一次相遇，依題意得4x＝3x+2×12，解得x＝24（秒）

此時P運動了24×3＝72（厘米）

又∵△ABC的周長為33厘米，72＝33×2+6，∴點P、Q在BC邊上相遇，即經過了24秒，點P與點Q第一次在BC邊上相遇．

15．解：（1）①當點P在AC上，點Q在BC上時，∵AC＝6，AP＝2t，BC＝8，BQ＝3t，∴CP＝6﹣2t，CQ＝8﹣3t，∵PC＝2QC，∴6﹣2t＝2（8﹣3t），解得：t＝，②當點Q在AC上，點P在BC上時，不存在PC＝2QC，故如果PC＝2QC，那么t＝秒；

③當P、Q都在AC上時，∵PC＝2QC，∴6﹣2t＝2（3t﹣8），解得：t＝2.75，故答案為：或2.75；

（2）分為三種情況：①如圖1，P在AC上，Q在BC上，∵PE⊥l，QF⊥l，∴∠PEC＝∠QFC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，則△PCE≌△CQF（AAS），∴PC＝CQ，即6﹣2t＝8﹣3t，t＝2；

②如圖2，P在BC上，Q在AC上，∵由①知：PC＝CQ，∴2t﹣6＝3t﹣8，t＝2；

2t﹣6＜0，即此種情況不符合題意；

③當P、Q都在AC上時，如圖3，CP＝6﹣2t＝3t﹣8，t＝；

④當Q到A點停止，P在BC上時，AC＝PC，2t﹣6＝6時，解得t＝6＞（不會題意舍去）．

P和Q都在BC上的情況不存在，∵P的速度是每秒2cm，Q的速度是每秒3cm；

綜上所述：t的值為2秒或秒．

16．（1）證明：

在△ABD和△CDB中

∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；

（2）解：

設G點的移動距離為y，當△DEG與△BFG時有：∠EDG＝∠FBG，∴DE＝BF，DG＝BG，或DE＝BG，DG＝BF，當F由C到B，即0＜t≤時，則有，解得，或，解得（舍去），當F由B到C，即時，有，解得，或，解得，綜上可知共有三次，移動的時間分別為2秒、4秒、5秒，移動的距離分別為6、6、5．

17．解：（1）∵∠B＝90°，AB∥DF，∴∠D＝∠B＝90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∴∠ECD+∠CED＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠CED；

（2）當C為BD的中點時，△ABC與△EDC不全等，當BD的長是6時，它們全等，理由是：∵BD＝6，C為BD中點，∴BC＝CD＝3＝AB，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（AAS）；

（3）∵在△ABC和△CDE中

∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD＝3cm，∴DE＝BC＝8cm﹣3cm＝5cm；

（4）

∵∠B＝90°AB∥DF，∴∠CDE＝∠B＝90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∴∠ECD+∠ACB＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠ECD＝∠BAC；

當CD＝AB＝3cm時，AC＝CE，∵在△ABC和△CDE中

∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AC＝CE，DE＝BC，∵AB＝3cm，BC＝BD+CD＝8cm+3cm＝11cm，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得；AC＝＝（cm），∵∠ACE＝90°，∴△AEC的面積是×AC×CE＝××＝65（cm2）．

18．解：∵∠CMD＝90°，∴∠CMA+∠DMB＝90度，又∵∠CAM＝90°

∴∠CMA+∠ACM＝90°，∴∠ACM＝∠DMB，又∵CM＝MD，∴Rt△ACM≌Rt△BMD，∴AC＝BM＝3，∴他到達點M時，運動時間為3÷1＝3（s）．

答：這人運動了3s．

19．解：（1）∵△ABC和△PMA全等，∴AM＝BC＝6cm，∠C＝∠MAP＝90°，∴只能是AP＝AC＝8cm，即2t＝8

∴t＝4（s），即經過4秒△ABC與△PMA全等；

（2）AB與PM有何位置關系是AB⊥PM，理由是：

∵△ABC≌△PMA，∴∠BAC＝∠APM，∵∠MAP＝90°，∴∠CAB+∠BAP＝90°，∴∠BAP+∠APM＝90°，∴∠PDA＝180°﹣90°＝90°，∴AB⊥PM．

20．解：（1）△ADP≌△QBE，理由：∵∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，∴∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，∵AP＝BQ＝t，在△ADP與△QBE中，∴△ADP≌△QBE；

（2）①0≤t時，點P從C到A運動，則AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，當△ADP≌△QBE時，則AP＝BQ，即8﹣3t＝t，解得：t＝2，②t時，點P從A到C運動，則AP＝3t﹣8，BQ＝t，當△ADP≌△QBE時，則AP＝BQ，即3t﹣8＝t，解得：t＝4，綜上所述：當t＝2s或4s時，△ADP≌△QBE．

21．解：（1）點P從點B出發，以2cm/秒的速度沿BC向點C運動，點P的運動時間為t秒時，BP＝2t，則PC＝（10﹣2t）cm；

故答案為：（10﹣2t）；

（2）當△ABP≌△DCP時，則BP＝CP＝5，故2t＝5，解得：t＝2.5；

（3）①如圖1，當△ABP≌△QCP，則BA＝CQ，PB＝PC，∵PB＝PC，∴BP＝PC＝BC＝5，2t＝5，解得：t＝2.5，BA＝CQ＝6，v×2.5＝6，解得：v＝2.4（cm/秒）．

②如圖2，當△ABP≌△PCQ，則BP＝CQ，AB＝PC．

∵AB＝6，∴PC＝6，∴BP＝10﹣6＝4，2t＝4，解得：t＝2，CQ＝BP＝4，v×2＝4，解得：v＝2；

綜上所述：當v＝2.4cm/秒或2cm/秒時△ABP與△PQC全等．

22．（1）證明：在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；

（2）解：設運動時間為t，點G的運動速度為v，當0＜t≤時，若△DEG≌△BFG，則，∴，∴，∴v＝3；

若△DEG≌△BGF，則，∴，∴

（舍去）；

當＜t≤時，若△DEG≌△BFG，則，∴，∴，∴v＝1.5；

若△DEG≌△BGF，則，∴，∴，∴v＝1．

綜上，點G的速度為1.5或3或1．

23．解：（1）如圖①，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，∴∠BDA＝∠AFC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAF，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（AAS）；

（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，∴△ABE≌△CAF（ASA）；

（3）∵△ABC的面積為15，CD＝2BD，∴△ABD的面積是：×15＝5，由（2）中證出△ABE≌△CAF，∴△ACF與△BDE的面積之和等于△ABE與△BDE的面積之和，即等于△ABD的面積，是5．

24．解：

（1）全等，理由如下：

當運動1秒后，則BP＝CQ＝3cm，∴PC＝BC﹣BP＝8cm﹣3cm＝5cm，∵E為AB中點，且AB＝10cm

∴BE＝5cm，∴BE＝PC，在△BPE和△CQP中

∴△BPE≌△CQP（SAS）；

（2）∵△BPE與△CQP全等，∴有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，當△BEP≌△CQP時，則BP＝CP，CQ＝BE＝5cm，設P點運動的時間為t秒，則3t＝8﹣3t，解得t＝秒，∴Q點的速度＝5÷＝（cm），當△BEP≌△CPQ時，由（1）可知t＝1（秒），∴BP＝CQ＝3，∴Q點的速度＝3÷1＝3（cm），即當Q點每秒運動cm或3cm時△BEP≌△CQP．

25．解：（1）在爬行過程中，BD和AP始終相等，理由是：∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，在△BDC和△APB中，∴△BDC≌△APB（SAS），∴BD＝AP．

（2）蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小無變化，理由：∵△BDC≌△APB，∴∠CBD＝∠BAP，∴∠DQA＝∠DBA+∠BAP＝∠DBA+∠CBD＝∠ABC＝60°，即蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小無變化，始終是60°．

（3）蝸牛爬行過程中的∠DQA大小無變化，理由是：根據題意得：BP＝CD，∵BC＝AC，∴CP＝AD，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝∠ACB＝60°，∵∠ACP+∠ACB＝180°，∠DAB+∠CAB＝180°，∴∠ACP＝∠BAD，在△ABD和△ACP中，∴△ABD≌△ACP（SAS），∴∠CAP＝∠ABD，∴∠AQD＝∠ABD+∠BAQ＝∠CAP+∠QAB

＝180°﹣∠CAB

＝180°﹣60°

＝120°，即蝸牛爬行過程中的∠DQA無變化，等于120°．

26．解：根據三角形全等的判定方法HL可知：

①當P運動到AP＝BC時，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC與Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝5cm；

②當P運動到與C點重合時，AP＝AC，在Rt△ABC與Rt△QPA中，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝10cm，∴當點P與點C重合時，△ABC才能和△APQ全等．

綜上所述，當點P位于AC的中點處或當點P與點C重合時，△ABC才能和△APQ全等．

27．解：（1）結論：，△BPD與△CMP全等

理由：t＝1s時，PB＝2，CM＝2，BD＝AB＝8，PC＝10﹣2＝8，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDP和△CPM中，∴△BDP≌CPM．

（2）由題意△BPD與△CMP全等，∵CM≠PB，∴CM＝BD＝8，PC＝PB＝5，∴t＝，∴點M的運動速度＝8÷＝cm/s．

28．解：（1）當t＝1時，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．

∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．

（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，則，解得；

②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，則，解得：；

綜上所述，存在或，使得△ACP與△BPQ全等．

29．解：（1）當t＝1時，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．

∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．

（2）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，解得；

②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，解得；

綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等．

30．解：經過1秒后，△BPD與△CQP全等，理由是：設經過x秒后，使△BPD與△CQP全等，∵點D是AB的中點，AB＝AC＝20cm，∴BD＝10cm，∵∠ABC＝∠ACB，∴要使△BPD與△CQP全等，必須BD＝CP

即10＝16﹣6x，解得：x＝1，故經過1秒后，△BPD與△CQP全等．

31．解：根據三角形全等的判定方法HL可知：

①當P運動到AP＝BC時，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC與Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝5cm；

②當P運動到與C點重合時，AP＝AC，在Rt△ABC與Rt△QPA中，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝10cm，∴當點P與點C重合時，△ABC才能和△APQ全等．

綜上所述，當P運動到AP＝BC、點P與點C重合時，△ABC才能和△APQ全等．

32．解：

當點C和點M重合或AM＝2時兩個三角形全等，證明如下：

∵PA⊥AC，∴∠BCA＝∠MAN＝90°，當點C、點M重合時，則有AM＝AC，在Rt△ABC和Rt△MNA中，∴Rt△ABC≌Rt△MNA（HL），當AM＝BC＝2時，在Rt△ABC和Rt△MNA中，∴Rt△ABC≌Rt△MNA（HL），綜上可知當點C和點M重合或AM＝2時兩個三角形全等．

33．解：（1）BP＝2t，則PC＝BC﹣BP＝6﹣2t；

（2）△BPD和△CQP全等

理由：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝2×1＝2厘米，∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4厘米，∵AB＝8厘米，點D為AB的中點，∴BD＝4厘米．

∴PC＝BD，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）．

34．（1）VQ＝2VP＝2m/s，∵t＝1s，∴AP＝1cm，DQ＝2cm，∴BP＝AB﹣AP＝3cm，BQ＝BD﹣DQ＝1cm，在△CAP和△PBQ中，∴△CAP≌△PBQ（SAS），∴∠APC＝∠BQA，∵∠BQP+∠QPB＝90°，∴∠APC+∠QPB＝90°，∴∠CPQ＝180°﹣90°＝90°，∴CP⊥PQ；

（2）若點P在AB上，點Q在BN上，且△APC≌△BPQ，如圖

1，t＝2，x＝3，若點P在AB上，點Q在BN上，且△APC≌△BQP；

如圖2：t＝1，x＝4，△APC≌△BQP；

如圖3，若點P在BM上，點Q在BN上，t＝7，x＝，△APC≌△BQP；

．

35．證明：∵點E為AC的中點，∴AE＝CE，∵CD∥AB，∴∠A＝∠ECD，∵在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．

36．證明：∵D是BC的中點，∴BD＝CD，∵DF∥AB，∴∠B＝∠CDF，∵DE∥AC，∴∠C＝∠BDE，在△BDE和△DCF中，∴△BDE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF，DE＝CF．

37．（1）解：∵∠B＝60°，∠BDA＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDA＝60°，∴AB＝AD，∵CD＝AB，∴CD＝AD，∴∠DAC＝∠C，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，∵∠BAD＝60°，∴∠C＝30°；

（2）證明：延長AE到M，使EM＝AE，連接DM，在△ABE和△MDE中，∴△ABE≌△MDE，∴∠B＝∠MDE，AB＝DM，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠MDE+∠BDA＝∠ADM，在△MAD與△CAD，∴△MAD≌△CAD，∴∠MAD＝∠CAD，∴AD是∠EAC的平分線．

38．解：（1）①∵t＝1s，∴BP＝CQ＝3×1＝3cm，∵AB＝10cm，點D為AB的中點，∴BD＝5cm．

又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，∴PC＝8﹣3＝5cm，∴PC＝BD．

又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）．

②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，則BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝5cm，∴點P，點Q運動的時間s，∴cm/s；

（2）設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，由題意，得x＝3x+2×10，解得．

∴點P共運動了×3＝80cm．

△ABC周長為：10+10+8＝28cm，若是運動了三圈即為：28×3＝84cm，∵84﹣80＝4cm＜AB的長度，∴點P、點Q在AB邊上相遇，∴經過s點P與點Q第一次在邊AB上相遇．