中考填空專題

1.已知正方形ABCD的邊長為4，如果P是正方形對角線BD上一點，滿足△ABP≌△CBP，若△PCB為直角三角形，則BP的長為________．

2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E為AB邊上一點，將△BEC沿CE翻折，點B落在點F處，當△AEF為直角三角形時，BE＝________．

第2題圖

第4題圖

3.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若點P在AD邊上，連接PB、PC，△BPC是以PB為腰的等腰三角形，則PB的長為________．

4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P、Q分別為直線AB、BC上的點，滿足PD⊥PQ，則當△PDQ為等腰三角形時，AP的長為________．

5.已知△ABC中，tanB＝，BC＝6，過點A作BC邊上的高，垂足為點D，且滿足BD∶CD＝2∶1，則△ABC面積的所有可能值為________．

6.如圖，有一張面積為10的三角形紙片，其中一邊AB為4，把它剪開兩次拼成一個矩形(無縫隙、無重疊)，且矩形的一邊與AB平行，則矩形的周長為________．

第6題圖

第7題圖

7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，MN為對角線BD的垂直平分線，以BD為底邊作等腰三角形BPD，使得點P落在直線MN上，且PD＝5，則AP＝________．

8.在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝＋2，D是邊AC上的動點，滿足BD的垂直平分線交BC于點E，若△CDE為直角三角形，則BE的長為________．

9.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是邊CD的中點，連接BE并延長交AD的延長線于點F，若△BCD是等腰三角形，則四邊形BDFC的面積為________．

第9題圖

第10題圖

10.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是AB邊上一點，AE＝2，F是直線CD上一動點，將△AEF沿直線EF折疊，點A的對應點為點A′，當點E、A′、C三點在一條直線上時，DF的長度為________．

11.已知在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，BC＝3，以點A為旋轉中心，旋轉這個三角形至△AB′C′的位置，那么當點C′落在直線AB上時，BB′＝________

12.△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，將△ABC沿射線BC方向平移得到△A′B′C′，使得B′C＝4，連接A′C，則△A′B′C的周長為________．

13.如圖，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，點E、F分別為AD、BC的中點，沿EF折疊平行四邊形，使CD落在直線AB上，點C的對應點為C′，點D的對應點為D′，若BD′＝1，則AD的長為__________．

第13題圖

第14題圖

14.定義：有一組對角互補的四邊形叫做互補四邊形．如圖，在互補四邊形紙片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°.將紙片先沿直線BD對折，再將對折后的紙片從一個頂點出發的直線裁剪，把剪開的紙片打開后鋪平，若鋪平后的紙片中有一個面積為4的平行四邊形，則CD的長為________．

15.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，當△EDC旋轉到A，D，E三點共線時，線段BD的長為________．

第15題圖

參考答案

1.4或8　【解析】由題可知，∵△ABP≌△CBP，∴點P一定處于正方形對角線BD上，∴共存在兩種情況使△PBC為直角三角形，(1)如解圖①，當CP⊥PB時，有PC2＋PB2＝BC2.又∵∠CBP＝45°，∴PB＝PC，∴BP＝4；(2)如解圖②，當P點與D點重合時△PBC為直角三角形，BP＝BC＝8.第1題解圖

2.3或6　【解析】如解圖①，當∠AFE＝90°時，設BE＝x，則EF＝x，AE＝8－x，FC＝BC＝6，由勾股定理得AC＝＝10，∴AF＝10－6＝4，在Rt△AEF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴BE＝3；如解圖②，當∠AEF＝90°時，四邊形BCFE是正方形，BE＝BC＝6.綜上所述，BE＝3或6.第2題解圖

3.5或6　【解析】如解圖①，當PB＝PC時，點P是BC的中垂線與AD的交點，則AP＝DP＝AD＝3，在Rt△ABP中，由勾股定理可得PB＝＝＝5；如解圖②，當PB＝BC＝6時，△BPC也是以PB為腰的等腰三角形．綜上所述，PB的長度為5或6.第3題解圖

4.1或7

【解析】∵△PDQ是等腰三角形，∴分三種情況：①如解圖①，若點P在線段AB上，∠DPQ＝90°，∴PD＝PQ，∠APD＋∠BPQ＝90°，∵在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠BPQ，∴△DAP≌△PBQ(AAS)，∴PB＝AD＝3，∴AP＝4－3＝1；②如解圖②，若點P在線段AB的延長線上，PQ交CB的延長線于點Q，PD＝PQ，同理可證△ADP≌△BPQ，∴AD＝PB，∴AP＝AB＋AD＝3＋4＝7；③當P在線段BA的延長線上時，顯然不成立，故AP的長為1或7.第4題解圖

5.8或24　【解析】如解圖①，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝4，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝4×＝，∴S△ABC＝BC·AD＝×6×＝8；如解圖②，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝12，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝12×＝8，∴S△ABC＝BC·AD＝×6×8＝24.∴△ABC面積的所有可能值為8或24.第5題解圖

6.13或14　【解析】分為兩種情況：①如解圖①，沿MN剪開，再沿CQ剪開(CD⊥AB于點D，MN為△ABC的中位線，CD交MN于點Q)，將△CQN放在△BFN的位置上，△CQM放在△AEM的位置上，由三角形面積公式得10＝×4×CD，解得CD＝5，∵MN為△ABC的中位線，∴CQ＝DQ＝CD＝2.5，∴矩形AEFB的周長為(2.5＋4)×2＝13；②如解圖②，沿NQ、MT剪開(N、M分別為AC、BC中點，EQ⊥BA于點Q，FT⊥AB于點T，CD⊥AB于點D)，將△AQN放在△CEN的位置上，△BTM放在△CFM的位置上，由三角形面積公式得10＝×4×CD，解得CD＝5，∵N為AC中點，CD∥EQ，∴AQ＝DQ，同理BT＝DT，∴QT＝AB＝2，∴矩形EQTF的周長為(5＋2)×2＝14.故答案為13或14.第6題解圖

7.3或　【解析】如解圖，連接BM，DN，AN，得到四邊形BNDM為菱形，∴BM＝MD，AM＋MD＝AM＋BM＝AD＝8，在Rt△ABM中，設AM＝x，則BM＝8－x，AB＝4，根據勾股定理得：x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴AM＝3，MD＝5.當PB和PD在BD上方時，點P與點M重合，則AP＝AM＝3；當PB和PD在BD下方時，點P與點N重合，由對稱性得到PD＝ND＝BN＝MD＝5，在Rt△ABN中，AB＝4，BN＝5，根據勾股定理得：AN＝＝＝，此時AP＝AN＝.綜上所述，AP的長為3或.第7題解圖

8.＋1或2　【解析】①當∠CED＝90°時，點D與點A重合，E是BC的中點，如解圖①.∵BC＝AB＝(＋2)＝2(＋1)，∴BE＝BC＝×2(＋1)＝＋1；②當∠CDE＝90°時，如解圖②，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE，易得BE＝DE，∴CE＝BE，∴CE＋BE＝BE＋BE＝2(＋1)．∴BE＝2.綜上所述，若△CDE為直角三角形，則BE的長為＋1或2.第8題解圖

9.6或3　【解析】∵∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠DFE，∵∠BEC＝∠FED，CE＝DE，∴△BEC≌△FED(AAS)，∴BE＝FE，∴四邊形BDFC是平行四邊形，①當BC＝BD＝3時，在Rt△ABD中，AB＝＝2，S四邊形BDFC＝3×2＝6；②當BC＝CD＝3時，如解圖，過點C作CG⊥AF于點G，則四邊形ABCG是矩形，∴AG＝BC＝3，∴DG＝AG－AD＝3－1＝2，在Rt△CDG中，CG＝＝，∴S四邊形BDFC＝3×＝3；③BD＝CD時，BC邊上的中線應與BC垂直，從而BC＝2AD＝2，矛盾，此時不成立．故四邊形BDFC面積為6或3.第9題解圖

10.6＋2或6－2　【解析】如解圖①，F是線段CD上一動點，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC＝＝＝2，∴CF＝CE＝2，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD－CF＝6－2；如解圖②，F是DC延長線上一點，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠BEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC＝＝＝2，∴CF＝CE＝2，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD＋CF＝6＋2，故答案為6＋2或6－2.圖①

圖②

第10題解圖

11.或3　【解析】①如解圖①，當點C′在線段AB上時，∵AB＝5，BC＝3，∴在Rt△ABC中，AC＝＝4，∵以點A為旋轉中心，旋轉這個三角形至△AB′C′的位置，∴AC′＝4，BC′＝1，B′C′＝3，∴BB′＝＝；②如解圖②，當點C′在線段BA的延長線上時，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵以點A為旋轉中心，旋轉這個三角形至△AB′C′的位置，∴BC′＝9，B′C′＝3，∴BB′＝＝3.故長BB′長為或3.圖①

圖②

第11題解圖

12.12或8＋4　【解析】當點B′在線段BC上，如解圖①，∵△ABC沿射線BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，BC＝B′C′＝6，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴△A′B′C為等邊三角形，∴△A′B′C的周長為12；當點B′在線段BC的延長線上，如解圖②，作B′H⊥A′C，∵△ABC沿射線BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴∠B′CA＝∠B′A′C，CH＝A′H，而∠A′B′C′＝∠B′CA′＋∠B′A′C，∴∠B′CA′＝30°，在Rt△B′CH中，∵∠B′CH＝30°，∴B′H＝CB′＝2，∴CH＝B′H＝2，∴A′C＝2CH＝4，∴△A′B′C的周長＝4＋4＋4＝8＋4.故答案為12或8＋4.第12題解圖

13.4或8　【解析】如解圖①，當點D′在線段AB上時，AD′＝AB－BD′＝3－1＝2，∵E是AD的中點，∴AE＝DE，由折疊的性質得ED′＝ED，∴ED′＝AE，∵∠A＝60°，∴△AED′是等邊三角形，∴AE＝AD′＝2，∴AD＝4.如解圖②，當點D′在AB的延長線上時，AD′＝AB＋BD′＝4.同理可知△AED′是等邊三角形，∴AE＝AD′＝4，∴AD＝8.圖①

圖②

第13題解圖

14.2＋或4＋2　【解析】如解圖①，作CE∥AB交BD于點E，延長CE交AD于點F，連接AE，過點B作BG⊥AE于點G，∵BA＝BC，∴此時的平行四邊形ABCE為菱形，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝30°，AB∥CF，∴∠CFD＝90°，∠BCE＝∠BAE＝∠AEF＝30°，設BG＝m，則BA＝2m，∵菱形ABCE的面積為4，∴2m×m＝4，解得m＝(負值舍去)，∴AE＝CE＝BA＝2，EF＝AE·cos30°＝，∴CF＝2＋，在Rt△CFD中，CD＝2CF＝4＋2；如解圖②，作BE∥AD交CD于點E，作BF∥CD交AD于點F，根據折疊與裁剪可知BE＝BF，此時的平行四邊形BEDF也是菱形，∴BE∥FD，∴∠BEC＝∠ADC＝30°，∵∠A＝∠C＝90°，設BC＝n，則BE＝2n，CE＝n，∵菱形BEDF的面積為4，∴2n×n＝4，解得n＝(負值舍去)，∴BC＝，DE＝BE＝2，CE＝，∴CD＝CE＋DE＝2＋，綜上所述，CD的長為2＋或4＋2.第14題解圖

15.4或　【解析】如解圖①，易得AC＝＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝＝＝＝8，∴AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4；如解圖②，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝＝＝8，∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴DE＝AB＝2，∴AE＝AD－DE＝8－2＝6，CE＝＝2，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝，∴BD＝＝，綜上所述，BD的長為4或.第15題解圖①

第15題解圖②