第一篇：2015年中考數學解答題專練12幾何的證明與計算

2015年中考數學解答題專練專題十二

幾何的計算與證明

例24 如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于2015年中考數學解答題專練

專題十二

幾何的計算與證明

點E．在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求證：BE=CF；

（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME． 類型一

三角形的計算與證明

求證：①ME⊥BC；②DE=DN．

典例剖析

例23 如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF=∠CBG．求證：

（1）AF=CG；（2）CF=2DE．

(命題劉偉)

2015年中考數學解答題專練專題十二

幾何的計算與證明

針對訓練

1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長線于F．

（1）求證：CD=BF；

（2）求證：AB垂直平分DF．

4.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=90°，AB=BD，在BC上截取BE，使BE=BA，過點B作BF⊥BC于B，交AD于點F．連接AE，交BD于點G，交BF于點H．

（1）已知AD=，CD=2，求sin∠BCD的值；（2）求證：BH+CD=BC．

5.如圖，△ABC和△ACF均為等邊三角形，點D、E分別為AD，BE邊上的點，且AD=BE，AE與CD交于G點，連接GF．（1）求∠EGC的度數；

（2）求證：AG+CG=GF．

2.如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，連接AD，求證：（1）∠ADB=45°；（2）BE=2CD．

6.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=AF，BE、CF交于點O，過A作BE的3.如圖，△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，點D在BC的延長線上，BE⊥AD，交AC于M．（1）求證：AD=BM；（2）若∠DMB=105°，求證：AD+AM=BD．

垂線交BC于D，過D作CF的垂線交BE于G．

（1）求證：BO=AD；

（2）求證：BG=AD+DG．

(命題劉偉)

2015年中考數學解答題專練專題十二

幾何的計算與證明

類型二

四邊形的計算與證明

例28

已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點F為CE的中點，點G為

CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1=∠2． 中，F為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M

（1）若CF=2，AE=3，求BE的長；（2）求證：∠CEG=∠AGE．

(命題劉偉)

典例剖析

例27

已知：如圖，在菱形ABCD作ME⊥CD于點E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的長；（2）求證：AM=DF+ME．

2015年中考數學解答題專練專題十二

幾何的計算與證明

針對訓練

1．如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC邊的中點，連接AE，F為CD邊上一點，且滿足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度數；（2）求證：AF=CD+CF．

4．如圖，菱形ABCD中，點E、M在AD上，且CD=CM，點F為AB上的點，且∠ECF=∠B．

（1）若菱形ABCD的周長為8，且∠D=67.5°，求△MCD的面積；（2）求證：BF=EF﹣EM．

5．如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF、BF，EF與

2．平行四邊形ABCD中，BG垂直于CD，且AB=BG=BE，AE交BG于點F．

（1）若AB=3，∠BAD=60°，求CE的長；（2）求證：AD=BF+CG．

對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求證：OE=OF；

（2）若BC=2，求AB的長．

3．如圖，菱形ABCD中，點M為AD的中點，點N在AB上，DE⊥BC的延長線于點E，連接BM、DN、EN，∠AND=∠MBC．（1）AN=3，BE=8，求DE的長；（2）求證：∠DNE=2∠ABM．

6．已知，矩形ABCD中，延長BC至E，使BE=BD，F為DE的中點，連結AF、CF．

（1）若AB=3，AD=4，求CF的長；

（2）求證：∠ADB=2∠DAF．

(命題劉偉)

2015年中考數學解答題專練專題十二

幾何的計算與證明

7．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在邊AB上，連接ED，過點D作FD⊥DE與BC的延長線相交于點F，連接EF與邊CD相交于點G、與對角線BD相交于點H．（1）若BD=BF，求BE的長；（2）若∠ADE=2∠BFE，求證：HF=HE+HD．

8．已知正方形ABCD如圖所示，連接其對角線AC，∠BCA的平分線CF交AB于點F，過點B

作BM⊥CF于點N，交AC于點M，過點C作CP⊥CF，交AD延長線于點P．

（1）若正方形ABCD的邊長為4，求△ACP的面積；（2）求證：CP=BM+2FN．

(命題劉偉)

第二篇：中考數學專題復習幾何證明與計算分析

中考數學專題復習：幾何圖形證明與計算題分析

【2011中考真題回顧與思考】

如圖9，已知在⊙O中，點C為劣弧AB上的中點，連接AC并延長至D，使CD＝CA，連接DB并延長交⊙O于點E，連接AE。

（1）求證：AE是⊙O的直徑；

（2）如圖10，連接EC，⊙O半徑為5，AC的長為4，求陰影部分的面積之和。（結果保留π與根號）

A A

圖圖9

（2011深圳中考21題）如圖11，一張矩形紙片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿對角線BD對折，點C落在點C′的位置，BC′交AD于點G。

（1）求證：AG＝C′G；

（2）如圖12，再折疊一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于點M，求EM的長。

D [來源學科網]D

B C 圖1

1圖1

2【典型例題分析】

1.已知菱形ABCD的邊長是8，點E在直線AD上，若DE＝3，連接BE與對角線AC相交于點M，則

.2.（2011重慶江津區）如圖，在平面直角坐標系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若將△ABC沿AC所在直線翻折，點B落在點E處．則E點的坐標是錯誤！未找到引用源。．

MC的值是AM1

3.如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，P為AD上一點，且AP?5,BP的垂直平分線分別交正方形的邊于點E，F，Q為垂足，則EQ：EF的值是（）A、5:8B、5:13 C、5:16D、3:8

C

E

B

4.（2011?泰安）如圖，點O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點，沿CE折疊后，點B恰好與點O重合，若BC=3，則折痕CE的長為（）

A、B、C、D、6

5.（2011?濰坊）已知長方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，過對角線BD的中點O做BD垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，則AE的長為．

6.如圖，在Rt?ABC中，?ACB?90?，AC?BC?1。將?ABC繞點C逆時針旋轉30°得到?A1B1C1，CB1與AB相交于點D。求BD的長。

7.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延長AB到E，使BE=DC，連結CE，若AF?CE于點F，且AF平分?

DAE,CD

2?,求sin?CAF的值。AE

5E

8.如圖，把一副三角板如圖（1）放置，其中?ACB??DEC?90?，?A?45?,?D?30?，斜邊AB?6cm,DC?7cm,把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到?D'CE'如圖（2），這時AB與CD'相交于點O，D'E'與AB相交于點F。（1）求?OFE'的度數；（2）求線段AD'的長；

（3）若把三角形D'CE'繞著點C順時針再旋轉30°得到?D''CE''，這時點B在?D''CE''的內部，外部，還是邊上？證明你的判斷。

9.（2009年清遠）如圖，已知AB是⊙O的直徑，過點O作弦BC的平行線，交過點A的切線AP于點P，連結AC．（1）求證：△ABC∽△POA；（2）若OB?2，OP?

10．（2010河南）（1）操作發現 ：如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內部．小明將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎？說明理由．（2）問題解決保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求

7，求BC的長． 2

AD的值； AB

AD的值． AB

F

（3）類比探求：保持（1）中條件不變，若DC=nDF，求

11.如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G.（1）求證：點F是BD中點；（2）求證：CG是⊙O的切線；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

O為圓心的半圓交AC于點F，12..如圖，已知△ABC，以BC為直徑，點E為弧CF的中點，連接BE交AC于點M，AD為△ABC的角平分線，且AD?BE，垂足為點H.（1）求證：AB是半圓O的切線；（2）若AB?3，BC?4，求BE的長.A

B

A A

13．（2011成都）已知：如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心，OA長為半徑作⊙O，⊙O經過B、D兩點，過點B作BK⊥AC，垂足為K．過D作DH∥KB，DH分別與AC、AB．⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H．

（1）求證：AE＝CK；

（2）如果AB＝a，AD＝錯誤！未找到引用源。（a為大于零的常數），求BK的長：

（3）若F

是EG的中點，且DE＝6，求⊙O的半徑和GH的長．

第三篇：中考復習專題：幾何填空專練

中考填空專題

1.已知正方形ABCD的邊長為4，如果P是正方形對角線BD上一點，滿足△ABP≌△CBP，若△PCB為直角三角形，則BP的長為________．

2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E為AB邊上一點，將△BEC沿CE翻折，點B落在點F處，當△AEF為直角三角形時，BE＝________．

第2題圖

第4題圖

3.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若點P在AD邊上，連接PB、PC，△BPC是以PB為腰的等腰三角形，則PB的長為________．

4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P、Q分別為直線AB、BC上的點，滿足PD⊥PQ，則當△PDQ為等腰三角形時，AP的長為________．

5.已知△ABC中，tanB＝，BC＝6，過點A作BC邊上的高，垂足為點D，且滿足BD∶CD＝2∶1，則△ABC面積的所有可能值為________．

6.如圖，有一張面積為10的三角形紙片，其中一邊AB為4，把它剪開兩次拼成一個矩形(無縫隙、無重疊)，且矩形的一邊與AB平行，則矩形的周長為________．

第6題圖

第7題圖

7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，MN為對角線BD的垂直平分線，以BD為底邊作等腰三角形BPD，使得點P落在直線MN上，且PD＝5，則AP＝________．

8.在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝＋2，D是邊AC上的動點，滿足BD的垂直平分線交BC于點E，若△CDE為直角三角形，則BE的長為________．

9.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是邊CD的中點，連接BE并延長交AD的延長線于點F，若△BCD是等腰三角形，則四邊形BDFC的面積為________．

第9題圖

第10題圖

10.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是AB邊上一點，AE＝2，F是直線CD上一動點，將△AEF沿直線EF折疊，點A的對應點為點A′，當點E、A′、C三點在一條直線上時，DF的長度為________．

11.已知在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，BC＝3，以點A為旋轉中心，旋轉這個三角形至△AB′C′的位置，那么當點C′落在直線AB上時，BB′＝________

12.△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，將△ABC沿射線BC方向平移得到△A′B′C′，使得B′C＝4，連接A′C，則△A′B′C的周長為________．

13.如圖，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，點E、F分別為AD、BC的中點，沿EF折疊平行四邊形，使CD落在直線AB上，點C的對應點為C′，點D的對應點為D′，若BD′＝1，則AD的長為__________．

第13題圖

第14題圖

14.定義：有一組對角互補的四邊形叫做互補四邊形．如圖，在互補四邊形紙片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°.將紙片先沿直線BD對折，再將對折后的紙片從一個頂點出發的直線裁剪，把剪開的紙片打開后鋪平，若鋪平后的紙片中有一個面積為4的平行四邊形，則CD的長為________．

15.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，當△EDC旋轉到A，D，E三點共線時，線段BD的長為________．

第15題圖

參考答案

1.4或8　【解析】由題可知，∵△ABP≌△CBP，∴點P一定處于正方形對角線BD上，∴共存在兩種情況使△PBC為直角三角形，(1)如解圖①，當CP⊥PB時，有PC2＋PB2＝BC2.又∵∠CBP＝45°，∴PB＝PC，∴BP＝4；(2)如解圖②，當P點與D點重合時△PBC為直角三角形，BP＝BC＝8.第1題解圖

2.3或6　【解析】如解圖①，當∠AFE＝90°時，設BE＝x，則EF＝x，AE＝8－x，FC＝BC＝6，由勾股定理得AC＝＝10，∴AF＝10－6＝4，在Rt△AEF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴BE＝3；如解圖②，當∠AEF＝90°時，四邊形BCFE是正方形，BE＝BC＝6.綜上所述，BE＝3或6.第2題解圖

3.5或6　【解析】如解圖①，當PB＝PC時，點P是BC的中垂線與AD的交點，則AP＝DP＝AD＝3，在Rt△ABP中，由勾股定理可得PB＝＝＝5；如解圖②，當PB＝BC＝6時，△BPC也是以PB為腰的等腰三角形．綜上所述，PB的長度為5或6.第3題解圖

4.1或7

【解析】∵△PDQ是等腰三角形，∴分三種情況：①如解圖①，若點P在線段AB上，∠DPQ＝90°，∴PD＝PQ，∠APD＋∠BPQ＝90°，∵在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠BPQ，∴△DAP≌△PBQ(AAS)，∴PB＝AD＝3，∴AP＝4－3＝1；②如解圖②，若點P在線段AB的延長線上，PQ交CB的延長線于點Q，PD＝PQ，同理可證△ADP≌△BPQ，∴AD＝PB，∴AP＝AB＋AD＝3＋4＝7；③當P在線段BA的延長線上時，顯然不成立，故AP的長為1或7.第4題解圖

5.8或24　【解析】如解圖①，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝4，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝4×＝，∴S△ABC＝BC·AD＝×6×＝8；如解圖②，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝12，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝12×＝8，∴S△ABC＝BC·AD＝×6×8＝24.∴△ABC面積的所有可能值為8或24.第5題解圖

6.13或14　【解析】分為兩種情況：①如解圖①，沿MN剪開，再沿CQ剪開(CD⊥AB于點D，MN為△ABC的中位線，CD交MN于點Q)，將△CQN放在△BFN的位置上，△CQM放在△AEM的位置上，由三角形面積公式得10＝×4×CD，解得CD＝5，∵MN為△ABC的中位線，∴CQ＝DQ＝CD＝2.5，∴矩形AEFB的周長為(2.5＋4)×2＝13；②如解圖②，沿NQ、MT剪開(N、M分別為AC、BC中點，EQ⊥BA于點Q，FT⊥AB于點T，CD⊥AB于點D)，將△AQN放在△CEN的位置上，△BTM放在△CFM的位置上，由三角形面積公式得10＝×4×CD，解得CD＝5，∵N為AC中點，CD∥EQ，∴AQ＝DQ，同理BT＝DT，∴QT＝AB＝2，∴矩形EQTF的周長為(5＋2)×2＝14.故答案為13或14.第6題解圖

7.3或　【解析】如解圖，連接BM，DN，AN，得到四邊形BNDM為菱形，∴BM＝MD，AM＋MD＝AM＋BM＝AD＝8，在Rt△ABM中，設AM＝x，則BM＝8－x，AB＝4，根據勾股定理得：x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴AM＝3，MD＝5.當PB和PD在BD上方時，點P與點M重合，則AP＝AM＝3；當PB和PD在BD下方時，點P與點N重合，由對稱性得到PD＝ND＝BN＝MD＝5，在Rt△ABN中，AB＝4，BN＝5，根據勾股定理得：AN＝＝＝，此時AP＝AN＝.綜上所述，AP的長為3或.第7題解圖

8.＋1或2　【解析】①當∠CED＝90°時，點D與點A重合，E是BC的中點，如解圖①.∵BC＝AB＝(＋2)＝2(＋1)，∴BE＝BC＝×2(＋1)＝＋1；②當∠CDE＝90°時，如解圖②，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE，易得BE＝DE，∴CE＝BE，∴CE＋BE＝BE＋BE＝2(＋1)．∴BE＝2.綜上所述，若△CDE為直角三角形，則BE的長為＋1或2.第8題解圖

9.6或3　【解析】∵∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠DFE，∵∠BEC＝∠FED，CE＝DE，∴△BEC≌△FED(AAS)，∴BE＝FE，∴四邊形BDFC是平行四邊形，①當BC＝BD＝3時，在Rt△ABD中，AB＝＝2，S四邊形BDFC＝3×2＝6；②當BC＝CD＝3時，如解圖，過點C作CG⊥AF于點G，則四邊形ABCG是矩形，∴AG＝BC＝3，∴DG＝AG－AD＝3－1＝2，在Rt△CDG中，CG＝＝，∴S四邊形BDFC＝3×＝3；③BD＝CD時，BC邊上的中線應與BC垂直，從而BC＝2AD＝2，矛盾，此時不成立．故四邊形BDFC面積為6或3.第9題解圖

10.6＋2或6－2　【解析】如解圖①，F是線段CD上一動點，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC＝＝＝2，∴CF＝CE＝2，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD－CF＝6－2；如解圖②，F是DC延長線上一點，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠BEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC＝＝＝2，∴CF＝CE＝2，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD＋CF＝6＋2，故答案為6＋2或6－2.圖①

圖②

第10題解圖

11.或3　【解析】①如解圖①，當點C′在線段AB上時，∵AB＝5，BC＝3，∴在Rt△ABC中，AC＝＝4，∵以點A為旋轉中心，旋轉這個三角形至△AB′C′的位置，∴AC′＝4，BC′＝1，B′C′＝3，∴BB′＝＝；②如解圖②，當點C′在線段BA的延長線上時，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵以點A為旋轉中心，旋轉這個三角形至△AB′C′的位置，∴BC′＝9，B′C′＝3，∴BB′＝＝3.故長BB′長為或3.圖①

圖②

第11題解圖

12.12或8＋4　【解析】當點B′在線段BC上，如解圖①，∵△ABC沿射線BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，BC＝B′C′＝6，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴△A′B′C為等邊三角形，∴△A′B′C的周長為12；當點B′在線段BC的延長線上，如解圖②，作B′H⊥A′C，∵△ABC沿射線BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴∠B′CA＝∠B′A′C，CH＝A′H，而∠A′B′C′＝∠B′CA′＋∠B′A′C，∴∠B′CA′＝30°，在Rt△B′CH中，∵∠B′CH＝30°，∴B′H＝CB′＝2，∴CH＝B′H＝2，∴A′C＝2CH＝4，∴△A′B′C的周長＝4＋4＋4＝8＋4.故答案為12或8＋4.第12題解圖

13.4或8　【解析】如解圖①，當點D′在線段AB上時，AD′＝AB－BD′＝3－1＝2，∵E是AD的中點，∴AE＝DE，由折疊的性質得ED′＝ED，∴ED′＝AE，∵∠A＝60°，∴△AED′是等邊三角形，∴AE＝AD′＝2，∴AD＝4.如解圖②，當點D′在AB的延長線上時，AD′＝AB＋BD′＝4.同理可知△AED′是等邊三角形，∴AE＝AD′＝4，∴AD＝8.圖①

圖②

第13題解圖

14.2＋或4＋2　【解析】如解圖①，作CE∥AB交BD于點E，延長CE交AD于點F，連接AE，過點B作BG⊥AE于點G，∵BA＝BC，∴此時的平行四邊形ABCE為菱形，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝30°，AB∥CF，∴∠CFD＝90°，∠BCE＝∠BAE＝∠AEF＝30°，設BG＝m，則BA＝2m，∵菱形ABCE的面積為4，∴2m×m＝4，解得m＝(負值舍去)，∴AE＝CE＝BA＝2，EF＝AE·cos30°＝，∴CF＝2＋，在Rt△CFD中，CD＝2CF＝4＋2；如解圖②，作BE∥AD交CD于點E，作BF∥CD交AD于點F，根據折疊與裁剪可知BE＝BF，此時的平行四邊形BEDF也是菱形，∴BE∥FD，∴∠BEC＝∠ADC＝30°，∵∠A＝∠C＝90°，設BC＝n，則BE＝2n，CE＝n，∵菱形BEDF的面積為4，∴2n×n＝4，解得n＝(負值舍去)，∴BC＝，DE＝BE＝2，CE＝，∴CD＝CE＋DE＝2＋，綜上所述，CD的長為2＋或4＋2.第14題解圖

15.4或　【解析】如解圖①，易得AC＝＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝＝＝＝8，∴AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4；如解圖②，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝＝＝8，∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴DE＝AB＝2，∴AE＝AD－DE＝8－2＝6，CE＝＝2，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝，∴BD＝＝，綜上所述，BD的長為4或.第15題解圖①

第15題解圖②

第四篇：簡單幾何的證明與計算

簡單幾何的證明與計算

A組題：

1、如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE＝BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．

（1）求證：AB＝DF；

（2）若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．

2、如圖，小明家在A處，門前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB是A到l的小路.現新修一條路AC到公路l.小明測量出∠ACD=30o，∠ABD=45o，BC=50m.請你幫小明計算他家到公路l的距離AD的長度（精確到0.1m；2?1.414?1.732）.3、如圖，分別以Rt?ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊?ACD，等邊?ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連結DF．

⑴試說明AC＝EF；

⑵求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

B組題：

1、如圖1，在⊙O中，點C為劣弧AB的中點，連接AC并

延長至D，使CA=CD，連接DB并延長交⊙O于點E，連接AE.（1）求證：AE是⊙O的直徑；

（2）如圖2，連接CE，⊙O的半徑為5，AC長為4，求陰影部分面

積之和.(保留?與根號)

圖1圖

22、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑．

3、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。將△ACD沿對角線AC翻折后，點D恰好與邊AB的中點M重合．

(1)點C是否在以AB為直徑的圓上?請說明理由;

(2)當AB=4時，求此梯形的面積．

C組題：

1、如圖，已知拋物線y=x2?4x?3與x 軸交于兩點A、B，其頂點為C．

(1)對于任意實數m，點M（m，-2）是否在該拋物線上?請說明理由；

(2)求證:△ABC是等腰直角三角形；

(3)已知點D在x軸上，那么在拋物線上是否存在點P，使得以B、C、D、P

為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明

理由．

2、如圖，拋物線y?x2?bx?c的頂點為D（﹣1，﹣4），與y軸交于點C

（0，﹣3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；

（3）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F為頂點的的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

第五篇：中考數學幾何證明復習題

幾何證明練習

1.如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉．

（1）如圖13－2，當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，FN的長度，猜想BM，FN滿足的數量關系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉到如圖13－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線

段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若

不成立，請說明理由．

A(E)圖13－1 圖13－

2圖13－

32.將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖(1)擺放在一起，它們的較短直角邊長為3．(1)將△ECD沿直線l向左平移到圖(2)的位置，使E點落在AB上，則CC′=______；

(2)將△ECD繞點C逆時針旋轉到圖(3)的位置，使點E落在AB上，則△ECD繞點C旋轉的度數=______；

(3)將△ECD沿直線AC翻折到圖(4)的位置，ED′與AB相交于點F，求證AF=FD′

A A A A

E E’ E’D’ F’

l B(2)

(3)D’(4)

3.填空或解答：點B、C、E在同一直線上，點A、D在直線CE的同側，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直線AE、BD交于點F。

(1)如圖①，若∠BAC＝60°，則∠AFB＝_________；如圖②，若∠BAC＝90°，則∠AFB＝_________；(2)如圖③，若∠BAC＝α，則∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；

(3)將圖③中的△ABC繞點C旋轉(點F不與點A、B重合)，得圖④或圖⑤。在圖④中，∠AFB與∠α的數量關系是________________；在圖⑤中，∠AFB與∠α的數量關系是________________。請你任選其中一個結論證明。

D

4.用兩個全等的正方形ABCD和CDFE拼成一個矩形ABEF，把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊AF的中點D重合，且將直角三角尺繞點D按逆時針方向旋轉．

（1）當直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE，EF相交于點G，H時，如圖甲，通過觀察或測量BG與EH的長度，你能得到什么結論？并證明你的結論．

（2）當直角三角尺的兩直角邊分別與BE的延長線，EF的延長線相交于點G，H時（如圖乙），你在圖甲中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由．

圖②(第5題圖)

圖①

A圖③

B圖④

(第5題圖)

圖⑤

H

A B

F A B

F E

G

C 圖甲

C 圖乙

5.已知∠AOB=90，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB(或它們的反向延長線)相交于點D、E．

當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時(如圖1)，易證：2OC．

當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，在圖

2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立?若成立，請

給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想，不需證明。

6.把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB?∠DEC?90，∠A?45，∠D?30，斜邊AB?6cm，DC?7cm．把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1（如圖乙）．這時AB與CD1相交于點O，與

D1E1相交于點F．

（1）求∠OFE1的度數；（2）求線段AD1的長；

（3）若把三角形D1CE1繞著點C順時針再旋轉30°得△D2CE2，這時點B在△D2CE2的內部、外部、還是邊上？說明理由．

A

C

（甲）

E（乙）

1B

D

A

D

17.如圖，在△ABC 中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．（1）求證：EO=FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

MB

E

OC

FN

(第19題圖）

8.如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF． 解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為，數量關系為．

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點D在線段BC上運動．

試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC

＝BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP

F

長的最大值．

E

A F

CBBECE

圖甲 圖乙 圖丙

第8題圖

9.如圖，矩形紙片ABCD中，AB?8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，折痕的一端G點在邊

BC上，BG?10．

（1）當折痕的另一端F在AB邊上時，如圖（1），求△EFG的面積；（2）當折痕的另一端F在AD邊上時，如圖（2），證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長．

H(A)

E(B)E(B)D

A D

C B C

G

圖（1）圖（2）

10.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；（2）當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的1； 6

（3）若點P從點A運動到點B，再繼續在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P 運動到什么

位置時，△ADQ恰為等腰三角形．

11.如圖15，平行四邊形ABCD中，AB?AC，AB?

1，BC?．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F．（1）證明：當旋轉角為90時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；

（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．

FD

B C圖15

12.已知∠MAN，AC平分∠MAN。

⑴在圖1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：AB＋AD＝AC;

⑵在圖2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，則⑴中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由;⑶在圖3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，則AB＋AD＝____AC;②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，則AB＋AD＝____AC（用含α的三角函數表示），并給出證明。

M

MM

CCC

DDD

ABNABABN N

13.已知，將兩塊等腰直角三角板ABC和ADE如圖放置，再以CE,CB為邊作平行四邊形CEHB，連DC，CH。a)如圖1，連接DH，請你判斷△DHC的形狀，猜想CH與CD之間有何數量關系？請說明理由。b)將圖1中的△ADE繞A點逆時針旋轉45°得圖2，請你猜想CH與CD之間的數量關

系。

c)將圖1中的△ADE繞A點順時針旋轉a(0°＜a＜45°)得圖3，（2）中的猜想是否還成立，若

成立，請給出證明；不成立，說明理由。

14.如圖13—1，以△ABC的邊AB，AC為直角邊作等腰△ABE和△ACD，M是BC的中點．（1）若∠BAC=90°，如圖13—1．請你猜想線段DE，AM的數量關系，并證明你的結論；（2）若∠BAC≠

90°．

①如圖13—2．請你猜想線段DE，AM的數量關系，并證明你的結論； ②如圖13—3．請你判斷線段DE，AM的數量關系．A D

B

D

E圖13—3圖13—1 圖13—2