第一篇：中考數學幾何證明專題訓練

中科教育初三數學春季講義

中考數學幾何證明專題

1、已知：AB=CD、AD//BC，OA=OD，求證：OB=OC

B2、已知：AB=CD、AD//BC，OA=OD，求證：OB=OC3、在菱形ABCD中，GE⊥CD、HF⊥AD，求證：GE=HF4、圖，平行四邊形ABCD中，AE=CF，求證：∠EBF=∠FDE

C

B

C

BDD

B5、在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，OE⊥AB、OF⊥BC

OG⊥CD、OH⊥AD，求證：E、F、G、H共圓

B6、在矩形ABCD中，∠ABC、∠CDA的平分線交AD、于F、E，求證：BE=DF、DE=BF

DA

DBC

C

中科教育初三數學春季講義

7、如圖，點E 是正方形ABCD內一點，△BEC繞點C順時針方向旋轉90°到△DFC的位置，求證：BE⊥DF

A

F

8.如圖,E、F是□ABCD的對角線AC上兩點,AE=CF.求證:(1)△ABE≌△CDF.(2)BE∥DF.A

C

9.如圖,在□ABCD中,點E、F在對角線AC上,且AE=CF, 請你以F為一個端點,和圖中已標有字母的某一點連成一條新線段, 猜想并證明它和圖中已有的某一線段相等.(只需證明一組線段相等即可).(1)連結_________,(2)猜想______=________.(3)證明:

附加1.如圖,已知正方形ABCD中,E為BC上一點, 將正方形折疊起來,使點A和點E重合,折痕為MN,若tan∠AEN=,DC+CE=10.3

DM

C

(1)求△ANE的面積.(2)求sin∠ENB的值.E

A

N

B

第二篇：中考數學題型訓練(幾何證明)

中考數學題型訓練

（二）幾何證明（中等）

一、基本型：

1、(肇慶2010)(8分)如圖，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE與AB相交于F．

(1)求證：△CEB≌△ADC；

(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的長．

B

E

針對性訓練： C A1、已知：正方形ABCD中，E、F分別是邊CD、DA上的點，且CE=DF，AE與BF交于點M．

（1）求證：△ABF≌△DAE；

（2）找出圖中與△ABM相似的所有三角形（不添加任何輔助線）．

F AD

B

二：條件補充型： EC

例1：如圖，請在下列四個關系中，選出兩個恰當的關系作為條件，推出四邊形ABCD是．．．．

平行四邊形，并予以證明．（寫出一種即可）

:關系：①AD∥BC，②AB?CD，③?A??C，④?B??C?180?．

已知：在四邊形ABCD中，；

求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

D

B

例2.如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．

（1）請你判斷AD是△ABC的中線還是角平分線？請證明 你的結論．

（2）連接BF、CE，若四邊形BFCE是菱形，則△ABC中應

添加一個條件

針對性練習：

1、如圖，已知：點B、F、C、E在一條直線上，FB=CE，AC=DF．

能否由上面的已知條件證明AB∥ED？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使AB∥ED成立，并給出證明． ．．．．．．．供選擇的三個條件（請從其中選擇一個）： ①AB=ED； ②BC=EF； ③∠ACB=∠DFE．

2、如圖，四邊形ABCD的對角線AC、DB相交于點O，現給出如下三個條件：

D

（第25題）

C

E

①AB?DC②AC?DB③?OBC??OCB.（1）請你再增加一個條件：________，使得四邊形ABCD為矩形（不添加其它字母和輔助．．線，只填一個即可，不必證明）；

（2）請你從①②③中選擇兩個條件________（用序號表示，只填一種情況），使得

△AOB≌△DOC，并加以證明.三、結論探究型：

例1．(10分)如圖，在□ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點，AG∥BD交CB的延長線于點G．(1)求證：△ADE∽≌△CBF；

(2)若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？請說明你的理由．D F CA

G E

B

例2：如圖，一個含45°的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點作EF⊥AE交∠DCE的角平分線于F點，試探究線段AE與EF的數量關系，并說明理由。

針對性練習：

1、如圖5，在平行四邊形ABCD中，BE平分?ABC交AD于點E，DF平分?ADC交 BC于點F.求證：（1）△ABE≌CDF；

（2）若BD⊥EF，則判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形，請證明你的結論.DE

A

B

F

圖

5C

課后作業：

1、（深圳2010）（本題7分）如圖8，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90o，D在AB上．

（1）求證：△AOC≌△BOD；（4分）（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的長．（3分）

圖82、（茂名2010）如圖，已知OA⊥OB，OA＝4，OB＝3，以AB為邊作矩形ABCD，使AD＝a，過點D作DE垂直OA的延長線交于點E．(1)證明：△OAB∽△EDA；

(2)當a為何值時，△OAB≌△EDA？*請說明理由，并求此時點C到OE的距離．

B DO A E

圖

1D

B

O A E

圖

3、（梅州2010）如圖，在△ABC中，點P是邊AC上的一個動點，過點P作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．(1)求證：PE＝PF；

(2)當點P在邊AC上運動時，四邊形BCFE可能是菱形嗎？說明理由；

AP 3

(3)若在AC邊上存在點P，使四邊形AECFBC＝2．求此時∠A的大小．

N

第三篇：中考數學幾何證明復習題

幾何證明練習

1.如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉．

（1）如圖13－2，當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，FN的長度，猜想BM，FN滿足的數量關系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉到如圖13－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線

段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若

不成立，請說明理由．

A(E)圖13－1 圖13－

2圖13－

32.將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖(1)擺放在一起，它們的較短直角邊長為3．(1)將△ECD沿直線l向左平移到圖(2)的位置，使E點落在AB上，則CC′=______；

(2)將△ECD繞點C逆時針旋轉到圖(3)的位置，使點E落在AB上，則△ECD繞點C旋轉的度數=______；

(3)將△ECD沿直線AC翻折到圖(4)的位置，ED′與AB相交于點F，求證AF=FD′

A A A A

E E’ E’D’ F’

l B(2)

(3)D’(4)

3.填空或解答：點B、C、E在同一直線上，點A、D在直線CE的同側，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直線AE、BD交于點F。

(1)如圖①，若∠BAC＝60°，則∠AFB＝_________；如圖②，若∠BAC＝90°，則∠AFB＝_________；(2)如圖③，若∠BAC＝α，則∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；

(3)將圖③中的△ABC繞點C旋轉(點F不與點A、B重合)，得圖④或圖⑤。在圖④中，∠AFB與∠α的數量關系是________________；在圖⑤中，∠AFB與∠α的數量關系是________________。請你任選其中一個結論證明。

D

4.用兩個全等的正方形ABCD和CDFE拼成一個矩形ABEF，把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊AF的中點D重合，且將直角三角尺繞點D按逆時針方向旋轉．

（1）當直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE，EF相交于點G，H時，如圖甲，通過觀察或測量BG與EH的長度，你能得到什么結論？并證明你的結論．

（2）當直角三角尺的兩直角邊分別與BE的延長線，EF的延長線相交于點G，H時（如圖乙），你在圖甲中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由．

圖②(第5題圖)

圖①

A圖③

B圖④

(第5題圖)

圖⑤

H

A B

F A B

F E

G

C 圖甲

C 圖乙

5.已知∠AOB=90，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB(或它們的反向延長線)相交于點D、E．

當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時(如圖1)，易證：2OC．

當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，在圖

2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立?若成立，請

給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想，不需證明。

6.把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB?∠DEC?90，∠A?45，∠D?30，斜邊AB?6cm，DC?7cm．把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1（如圖乙）．這時AB與CD1相交于點O，與

D1E1相交于點F．

（1）求∠OFE1的度數；（2）求線段AD1的長；

（3）若把三角形D1CE1繞著點C順時針再旋轉30°得△D2CE2，這時點B在△D2CE2的內部、外部、還是邊上？說明理由．

A

C

（甲）

E（乙）

1B

D

A

D

17.如圖，在△ABC 中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．（1）求證：EO=FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

MB

E

OC

FN

(第19題圖）

8.如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF． 解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為，數量關系為．

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點D在線段BC上運動．

試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC

＝BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP

F

長的最大值．

E

A F

CBBECE

圖甲 圖乙 圖丙

第8題圖

9.如圖，矩形紙片ABCD中，AB?8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，折痕的一端G點在邊

BC上，BG?10．

（1）當折痕的另一端F在AB邊上時，如圖（1），求△EFG的面積；（2）當折痕的另一端F在AD邊上時，如圖（2），證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長．

H(A)

E(B)E(B)D

A D

C B C

G

圖（1）圖（2）

10.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；（2）當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的1； 6

（3）若點P從點A運動到點B，再繼續在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P 運動到什么

位置時，△ADQ恰為等腰三角形．

11.如圖15，平行四邊形ABCD中，AB?AC，AB?

1，BC?．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F．（1）證明：當旋轉角為90時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；

（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．

FD

B C圖15

12.已知∠MAN，AC平分∠MAN。

⑴在圖1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：AB＋AD＝AC;

⑵在圖2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，則⑴中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由;⑶在圖3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，則AB＋AD＝____AC;②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，則AB＋AD＝____AC（用含α的三角函數表示），并給出證明。

M

MM

CCC

DDD

ABNABABN N

13.已知，將兩塊等腰直角三角板ABC和ADE如圖放置，再以CE,CB為邊作平行四邊形CEHB，連DC，CH。a)如圖1，連接DH，請你判斷△DHC的形狀，猜想CH與CD之間有何數量關系？請說明理由。b)將圖1中的△ADE繞A點逆時針旋轉45°得圖2，請你猜想CH與CD之間的數量關

系。

c)將圖1中的△ADE繞A點順時針旋轉a(0°＜a＜45°)得圖3，（2）中的猜想是否還成立，若

成立，請給出證明；不成立，說明理由。

14.如圖13—1，以△ABC的邊AB，AC為直角邊作等腰△ABE和△ACD，M是BC的中點．（1）若∠BAC=90°，如圖13—1．請你猜想線段DE，AM的數量關系，并證明你的結論；（2）若∠BAC≠

90°．

①如圖13—2．請你猜想線段DE，AM的數量關系，并證明你的結論； ②如圖13—3．請你判斷線段DE，AM的數量關系．A D

B

D

E圖13—3圖13—1 圖13—2

第四篇：中考數學幾何證明壓軸題

AB1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求證：DC=BC;

(2)E是梯形內一點，F是梯形外一點，且∠EDC=

∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證

明你的結論；

(3)在（2）的條件下，當BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°時，求sin∠BFE的值.2、已知：如圖，在□ABCD 中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形AGBD

是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

F3、如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉．

（1）如圖13－2，當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測

量BM，FN的長度，猜想BM，FN滿足的數量關系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉到如圖13－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長

線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜

想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

A(B(E)圖13－1 圖13－

2圖13－

31.[解析]（1）過A作DC的垂線AM交DC于M,則AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM?

(2)等腰三角形.證明：因為DE?DF,?EDC??FBC,DC?BC.所以，△DEC≌△BFC 2?1.即DC=BC.2

所以，CE?CF,?ECD??BCF.所以，?ECF??BCF??BCE??ECD??BCE??BCD?90? 即△ECF是等腰直角三角形.（3）設BE?k,則CE?CF?

2k，所以EF?.因為?BEC?135?，又?CEF?45?，所以?BEF?90?.所以BF??3k 所以sin?BFE?k1?.3k3

2.[解析]（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵點E、F分別是AB、CD的中點，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）當四邊形BEDF是菱形時，四邊形 AGBD是矩形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四邊形 AGBD 是平行四邊形．

∵四邊形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四邊形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．

第五篇：中考數學幾何證明經典難題

經典難題

（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求證：CD＝GF．（初二）

E

A BD O F2、已知：如圖，P是正方形ABCD內點，∠PAD＝∠PDA＝150．

A D求證：△PBC是正三角形．（初二）

C B3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點． D

求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）DAA

11C B2

2C4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F． 求證：∠DEN＝∠F．

B第 1 頁

1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O

（1）求證：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）

2、設MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A及D、E，直線EB

及CD分別交MN于P、Q． 求證：AP＝AQ．（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：

設MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設CD、EB分別交MN

于P、Q．

求證：AP＝AQ．（初二）

4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側作正方形ACDE和正方形

CBFG，點P是EF的中點．

求證：點P到邊AB的距離等于AB的一半．

第 2 頁

F1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．

求證：CE＝CF．（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．

求證：AE＝AF．（初二）

3、設P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求證：PA＝PF．（初二）

4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于

B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

第 3 頁

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度數．（初二）

2、設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且∠PBA＝∠PDA． 求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）

3、Ptolemy（托勒密）定理：設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且 AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）

第 4 頁

經典難題

（五）1、設P是邊長為1的正△ABC內任一點，l＝PA＋PB＋PC，求證：

≤l＜2．

2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PA＋PB＋PC3、P為正方形ABCD內的一點，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長．

4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度數．

第 5 頁