第一篇：幾何證明與計算習題精選(二)

幾何證明與計算

（二）2007、1【目標要求】

掌握等腰三角形（包括等邊三角形）的判定，能應用等腰三角形的性質（底角相等，頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高三線合一）進行有關的計算和證明．

能應用直角三角形的重要性質（兩個銳角互余，斜邊上的中線等于斜邊的一半，30°角所對的直角邊斜邊的一半及其逆定理），以及勾股定理及其逆定理進行有關的計算和證明．【解題指導】 例1如圖1，已知在△ABC中，點M是邊BC的中點，MD⊥AB于點D，ME⊥AC于點E，且MD=ME． 求證：△ABC是等腰三角形．

拓展與引申（1）本題的條件不變，還可證明MD等于AB邊的高的一半．（2）如果在△ABC中，AB=AC，點M是BC邊的任意一點，MD⊥AB于點D，ME⊥AC于點E，這兩個條件不變，可證明MD+ME等于AB邊上的高．

（3）如圖2，在等邊△ABC中，P為三角形中的任意一點，那么P到三邊的距離之和為定值，這個定值等于等邊△ABC高．

例2 如圖3，在△ABC中，AB=AC，D、E是AB及AC延長線上的點，連結DE交BC于F，若F是DE的中點，求證：BD=CE．

拓展與引申當點D為AB的中點時，可證明點F是BC的四等分點．

初二數學第1頁

（圖1）

C

（圖2）

C

（圖3）

例3如圖4，在△ABC中，AF平分∠BAC，BF⊥AF于F，CE⊥AF于E，點D是BC的中點．求證DE=DF=

（AB-AC）．

2（圖4）

B

例4 如圖5，已知△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，∠DAC=90°.（1）（2）

當∠B=30°時，求證：BD=當BD=

CD； 2

CD時，∠B是否一定為30°？ 2

如果一定，請給出證明；如果不一定，請說明理由.（圖5）

例5 如圖6, 等邊△ABC的邊長為1, 點D、E分別在AB、BC邊上，DE將△ABC分成面積相等的兩部分，點F、G在AC邊上，DF//BC，EG//AB, 設AF=x,CG=y.（1）求y與之間的函數解析式，并寫出它的定義域；

x

（2）試問以AF、FG、GC的長為三邊的長能否構成直角三

角形？請說明理由．

C

（圖6）

拓展與引申 如圖7，在Rt△ABC中，點D、E分別在AB、BC邊上，DE將△ABC分成面積相等的兩部分，點F、G在AC邊上，DF//BC，EG//AB, 試問以AF、FG、GC的長為三邊的長能否構成直角三角形？請說明理由．

（圖7）

初二數學第2頁

【作業】A組

1．填空題（1）等腰三角形的頂角為α度，那么底角等于度．（2）在ΔABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，那么BC=cm．（3）在ΔABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，那么ΔABC的面積等于cm2．（4）直角三角形兩個銳角的度數之比是4∶5，那么較大的一個銳角等于度．（5）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，CE是角平分線，∠A=25°.那么∠DCE=________°

（6）等邊三角形的邊長等于a，那么它的高等于． 2．選擇題

（1）用以下長度的三條線段不能組成一個直角三角形的是（）．

（A）6cm，8cm，10cm（B）5cm，12cm，13cm（C）7cm，11cm，15cm（D）8cm，15cm，17cm

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CM分別是這個三角形的高和中線，那么下列結論錯誤的是（）．

（A）∠ACD=∠B（B）∠MCD =∠ACD（C）∠ACD=∠BCM（D）∠ACM=∠BCD（3）如果一個等腰三角形能夠分割為兩個小的等腰三角形，那么頂角不可能是（）．

（A）36o（B）72o

（C）90o（D）108o

D 3．如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在 點E處，BE與AD相交于點F．求證：△BDF是等腰三角形．

C

4．已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，以點A

為圓心，AD的長為半徑畫弧，交BC于點E．求∠CDE的度數．

第4題5．在△ABC中，AB=AC，∠B和∠C的平分線相交于點D，求證：點D在邊BC的垂直平分線上．

C

第5題 6．求證：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那

么這個三角形是直角三角形．

E

7．如圖，已知Rt△ABC中，AB=AC，CE垂直∠B的平分線BD，垂足為點E．求證：BD=2CE． B C

（第7題）

初二數學第3頁

B組

1．填空題（1）等腰三角形兩條邊的長度分別為3和6，那么周長等于．

（2）等腰三角形一腰上的高與另一腰所夾的角為45°，那么頂

角為度．

（3）如圖，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分別是△ABC和△

ACB的平分線，點D、E在BC邊上，且PD//AB，PE//AC，那么ΔPDE第1（3）題的周長是_______ cm.．

（4）已知直角三角形的周長為9cm，斜邊上的中線長為A 2cm，那么兩條直角邊長的和為cm．

（5）在Rt△ABC中，斜邊AB的垂直平分線MN交邊AC于點M，如果∠B=55°，那么∠CBM度．

E

（6）等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，那么這個B D 等腰三角形的頂角等于_____度．

2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，C

∠ADC=50°，點E是對角線BD的中點．求∠CAE的度數．

第2題

3．在直角坐標平面中，點A的坐標為（-3，0），點B的坐標為（2，5），點C的坐標為（-1，8），試判斷△ABC是否為直角三角形，并證明你的結論．

A

4．如圖，已知∠ABD=∠ADB，∠ABC=∠ADC，BE=DC．試比

較∠DCB+2∠ACB與180度的大小． C

5．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，過點C任意

畫一條與斜邊相交的直線，分別過點A、B作這條直線的垂線，垂足分別為點D和點E．求證：DE=AD-BE．

C B

第5題

6．已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，過點C作直線l（直線l不經過點A和點B），過點A作AD⊥l，垂足為點D，過點B作BE⊥l，垂足為點E，試探索DE、AD、BE長度之間的關系．

初二數學第4頁

第二篇：簡單幾何的證明與計算

簡單幾何的證明與計算

A組題：

1、如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE＝BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．

（1）求證：AB＝DF；

（2）若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．

2、如圖，小明家在A處，門前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB是A到l的小路.現新修一條路AC到公路l.小明測量出∠ACD=30o，∠ABD=45o，BC=50m.請你幫小明計算他家到公路l的距離AD的長度（精確到0.1m；2?1.414?1.732）.3、如圖，分別以Rt?ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊?ACD，等邊?ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連結DF．

⑴試說明AC＝EF；

⑵求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

B組題：

1、如圖1，在⊙O中，點C為劣弧AB的中點，連接AC并

延長至D，使CA=CD，連接DB并延長交⊙O于點E，連接AE.（1）求證：AE是⊙O的直徑；

（2）如圖2，連接CE，⊙O的半徑為5，AC長為4，求陰影部分面

積之和.(保留?與根號)

圖1圖

22、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑．

3、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。將△ACD沿對角線AC翻折后，點D恰好與邊AB的中點M重合．

(1)點C是否在以AB為直徑的圓上?請說明理由;

(2)當AB=4時，求此梯形的面積．

C組題：

1、如圖，已知拋物線y=x2?4x?3與x 軸交于兩點A、B，其頂點為C．

(1)對于任意實數m，點M（m，-2）是否在該拋物線上?請說明理由；

(2)求證:△ABC是等腰直角三角形；

(3)已知點D在x軸上，那么在拋物線上是否存在點P，使得以B、C、D、P

為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明

理由．

2、如圖，拋物線y?x2?bx?c的頂點為D（﹣1，﹣4），與y軸交于點C

（0，﹣3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；

（3）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F為頂點的的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

第三篇：初中幾何證明與計算專題復習

中考幾何證明與計算專題復習

1.全等三角形

例題1：如圖，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點

P在矩形上方，點Q在矩形內．求證：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．P

D

C B

例題2：如圖，ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求證：AF?BF?EF．

A

E

B G

變式訓練1：如圖，在△ABC中，AB?AC，?BAC?40°，分別以AB，AC為邊作兩個等腰直角三角形ABD和ACE，使?BAD??CAE?90°．

（1）求?DBC的度數；

（2）求證：BD?CE．

D C

變式訓練2：如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E.（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明.（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說明理由.變式訓練3：如圖：已知在△ABC中，AB?AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F.（1）求證：△BED≌△CFD；（2）若?A?90°，求證：四邊形DFAE是正方形.D

F

C

2.相似三角形

例題1：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB?6，AE?9，DE?2，求EF的長．

例題2：如圖,點D在△ABC的邊AB上，連結CD，∠1=∠B，AD=4,AC=5,求 BD 的長?

B

變式訓練1：已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為（）

(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：

1變式訓練2：如圖，小東用長為3.2m的竹竿做測量工具測量學校旗桿的高度，移動竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點相距8m、與旗桿相距22m，則旗桿的高為（）A．12mB．10mC．8mD．7m

3.四邊形

例題1：下列命題中，真命題是（）A．兩條對角線垂直的四邊形是菱形B．對角線垂直且相等的四邊形是正方形 C．兩條對角線相等的四邊形是矩形D．兩條對角線相等的平行四邊形是矩形

例題2：已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E． 求證：（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

例題3：如圖，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF，AF、BE交于點P．

（1）求證：AF=BE；

（2）請你猜測∠BPF的度數，并證明你的結論．

P

B

D

C 變式訓練1：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60o.(1)求證：AB⊥AC；

(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面積.變式訓練2：在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分別為AB、AD的中點，連結EF、EC、BF、CF。⑴判斷四邊形AECD的形狀（不證明）；

⑵在不添加其它條件下，寫出圖中一對全等的三角形，用符號“≌”表示，并證明。

⑶若CD＝2，求四邊形BCFE的面積。圓

例題1：如圖所示，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O 上，過點C的切線交AD的延長線于點E，且AE⊥CE，連接CD．（1）求證：DC=BC；

（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

例題2：如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，點C在⊙O上，BC∥OD，AB?2，OD?3,則BC的長為（）A．

B．

C

．

D

．

變式訓練1：如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使

DC?BD，連結AC，過點D作DE?AC，垂足為E．（1）求證：AB?AC；（2）求證：DE為⊙O的切線；

（3）若⊙O的半徑為5，?BAC?60?，求DE的長．

變式訓練2：在Rt△ABC中，?ACB?90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連結DE并延長，與BC的延長線交于點F．（1）求證：BD?BF；

（2）若BC?6，AD?4，求⊙O的面積．

第四篇：幾何證明選講習題

幾何證明選講

已知正方形ABCD，E、F分別為BC、AB邊上的點，且BE=BF，BH⊥CF于H，連結DH.求證：DH⊥EH.已知AD⊥BC于D，AE:ED=CD:BD,DF⊥BE于F，求證：AF⊥CF.已知正方形ABCD，E為對角線AC上一點，AE=3CE，F為AB邊中點，求證：DE⊥EF.F

B

如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，?BAC??AGF?90，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點

?

A旋轉，AF，AG與邊BC的交點分別為D，E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE?m，CD?n．

（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明；（2）求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；

（3）以△ABC的斜邊BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）．在邊BC上找一點D，使BD?CE，求出D點的坐標，并通過計算

驗證BD?CE?DE．

（4）在旋轉過程中，（3）中的等量關系BD?CE?DE是否始終成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

A

C G

2F 圖

1圖2

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF． 解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為，數量關系為．

F

E

A

E

C

B

圖乙

FEC

B圖甲

圖丙

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點D在線段BC上運動．

試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC

＝BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，?BAC??DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點．（1）求證：①BE?CD；②△AMN是等腰三角形．

（2）在圖①的基礎上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉180，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立；

△PBD∽△AMN．（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P．求證：

C

B

D

B

E

圖② A

?

如圖，已知：Rt△ABC中，?C?90?，AC?BC?2，將一塊三角尺的直角頂點與斜邊

A 圖①

AB的中點M重合，當三角尺繞著點M旋轉時，兩直角邊始終保持分別與邊BC，AC交于D，E兩點（D，E不與B，A重合）．（1）求證：MD?ME；

（2）求四邊形MDCE的面積；

（3）若只將原題目中的“AC?BC?2”改為“BC?a，AC?b(a?b)”其它都不變，請你探究：MD和ME還相等嗎?如果相等，請證明；如果不相等，請求出MD:ME的值．B

D

M

C

E

A

第五篇：直線型幾何計算與證明（范文模版）

直線型幾何計算與證明（相似問題）

1、如圖，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE與AB相交于F．

(1)求證：△CEB≌△ADC；(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的長． E2、如圖，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，點E在BC上，點F在AC上，∠DFC=∠AEB．

（1）求證：△ADF∽△CAE；

（2）當AD=8，DC=6，點E、F分別是BC、AC的中點時，求直角梯形ABCD的面積？

C A3、如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連結BD并延長與CE交于點E．

（1）求證：△ABD∽△CED．

（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的長．

4、如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AD平分∠CAB交于點D,過點C作CE⊥AD于E,CE的延長線交AB于點F,過點E作EG∥BC交AB于G,AE·5.（1）求證:CE=EF；（2）求AC的長.F

F

G

B5、已知,如圖,在△ABC中,D是BC的中點,且AD=AC,DE⊥BC交AB于點E,EC與AD相交于點F.（1）求證:△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5,BC=10,求DE的長.6、如圖1，在Rt△ABC中，?BAC?90°，AD⊥BC于點D，點O是AC邊上一點，連接BO交AD于F，OE⊥OB交BC邊于點E．

（1）求證：△ABF∽△COE；

OFAC

（2）當O為AC邊中點，的值； ?2時，如圖2，求

OEAB

OFAC

（3）當O為AC邊中點，的值． ?n時，請直接寫出

OEAB

B

A

O 圖

1C

O 圖

2B

F

C

C7、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中點，點P是BC邊上的動點（不與點B重合），EP與BD相交于點O.（1）當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE；

（2）設（1）中的相似比為k，若AD︰BC = 2︰3.請探究：當k為下列三種情況時，四邊形ABPE是什么四邊形？①當k= 1時，是；②當k= 2時，是；③當k= 3時，是.并證明．．．k= 2時的結論.8、如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D在邊AB上運動，DE平分∠CDB交邊BC于點E，EM⊥BD垂足為M，EN⊥CD垂足為N．

O P

C D

（1）當AD=CD時，求證：DE∥AC；

（2）探究：AD為何值時，△BME與△CNE相似？

（3）探究：AD為何值時，四邊形MEND與△BDE的面積相等？