第一篇：高中幾何證明

高中幾何證明

一、已知平行四邊形ABCD，過ABC三點的圓O1，分別交AD.BD于E.F、過CDF三點的圓O2交AD于G。設圓O1.O2半徑分別為R,r。

1.求證AC^2=AG*AD

2.AD:EG=R^2:r^

2連接AC、GC。利用兩個圓轉化角的關系，∠AGC=180-∠DGC=180-∠DFC=∠BFC=∠BAC=∠ACD

于是兩個三角形ACG和ADC相似。第一問由此立得。

同樣利用上述相似，∠GCA=∠ADC=∠ABC。于是由“弦切角等于圓周角”，說明GC與圓O1相切。于是GC^2=GE*GA。

在兩個圓中利用正弦定理，不難發現R/r=BC/CD=AD/CD。此時

AD/EG=AG*AD/AG*EG=AC^2/GC^2=(AC/GC)^2=(AD/CD)^

2最后一個等式仍然源于前述相似

二、因為不能上傳圖片，所以口敘述一下，高手們都可以想象出來吧

在一個圓的圓上選不重合的四點，，連接成一個非平行四邊形非梯形的四邊形，也就是內切四邊形吧，然后延長其中兩條邊，交于點A，再延長另外兩條邊交于點B，然后過A點做圓的兩條切線，切線交圓于點C和D，怎樣證明B,C,D共線?

用調和點列的方法較為容易但方法的掌握不在高中的要求內

下面采用簡單的定理來證明比較麻煩

首先，設圓內接四邊形為四邊形ABCD,AB與DC交于點p，AD與BC交于點Q，過點Q做圓O的兩條切線,切點分別為點E和點F.再設AC與BD交于點R,下面來證明一個更強的結論：p、F、R、E共線.設OQ交EF于L,pR交AQ于M,EF交AQ于點M',連結OF、OE、AL、OA、OD，并延長AL到S.由Menelaus定理，AB/Bp×pC/CD×DQ/QA=1-----------------

1由Ceva定理，AB/Bp×pC/CD×DM/MA=1-----------------

2由1、2，DM/MA=DQ/QA------------------*

另一方面，由射影定理，QE^2=QL×QO-3

由切割線定理，QE^2=QD×QA-4

由3，4，QL*QO=QD*QA

所以O，L，D，A四點共圓

第二篇：高中幾何證明定理

高中幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內的一條直線,那么這條直線與這個平面平行.2.應用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

2.關鍵：判定兩個平面是否有公共點

三.直線與平面平行的(性質)

1.性質：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質)

1.性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行

2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線，實現線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應用：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應用:在其中一個平面內找到或做出另一個平面的垂線,即實現線面垂直證面面垂直的轉換

七.平面與平面垂直的(性質)

1.性質一:垂直于同一個平面的兩條垂線平行

2.性質二:如果兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直

3.性質三:如果兩個平面互相垂直,那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面內的直線,在第一個平面內(性質三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質整理.是一定要記住的基本!。

想要變-態的這里多的是--

歐拉定理&歐拉線&歐拉公式(不一樣)

九點圓定理

葛爾剛點

費馬定理(費馬點(也叫做費爾馬點))

海倫-公式

共角比例定理

張角定理

帕斯卡定理

曼海姆定理

卡諾定理

芬斯勒-哈德維格不等式(幾何的)

外森匹克不等式(同上)

琴生不等式(同上)

塞瓦定理

梅涅勞斯定理

斯坦納定理

托勒密定理

分角線定理(與角分線定理不同)

斯特瓦爾特定理

切點弦定理

西姆松定理。

第三篇：如何理解高中幾何證明

如何理解高中新課程中幾何證明的要求

與以往高中數學課程中的立體幾何內容相比，《標準》中立體幾何內容的變化主要表現在幾何定位的變化，幾何內容處理方式的變化以及幾何內容的分層設計等方面。《標準》中的立體幾何定位于培養和發展學生把握圖形的能力、空間想象與幾何直覺的能力、邏輯推理能力等。在處理方式上，與以往點、線、面、體，從局部到整體展開幾何內容的方式不同，《標準》按照整體到局部的方式展開幾何內容，并突出直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等探索研究幾何的過程。立體幾何內容分層設計，在必修課程中，主要是通過直觀感知、操作確認，獲得幾何圖形的性質，并通過簡單的推理發現、論證一些幾何性質。對于進一步的論證與度量則放在選修系列2中用向量處理。在處理立體幾何的證明問題時，老師應從以下幾個方面把握。

（1）立體幾何中的證明始終是高中數學中的難點。

標準對立體幾何內容是分層設計的。因此，立體幾何中的證明也要分層，不能一步到位。

在立體幾何初步中，首先，以長方體作為載體，給出了點、直線、平面的位置關系，以及一些基本的概念。通過直觀感知、操作確認，歸納出了四個判定定理和四個性質定理，還有一個從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理。本部分明確給出的定理共有九個。四個判定定理：

① 若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

② 如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

③ 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

④ 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：

空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

四個性質定理：

① 一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

② 兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

③ 垂直于同一平面的兩條直線平行。

④ 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

標準只要求對于四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。

（2）立體幾何初步這部分，我們希望能使學生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很直觀的證明方法。

直線a、b垂直于同一平面，只有兩種情況，直線a、b共面或者異面。如果是共面則直接轉化為平面幾何的問題，結論易證。如果是異面，則過B點作直線c與直線a平行，可得，直線c與直線a共面，且直線c也垂直于平面。因為直線b和直線c相交于點B，所以直線b和直線c也在同一個平面內。又因為過B點有兩條直線b和c都垂直于平面，這與公理矛盾。所以原命題得證。

反證法使學生比較難理解的方法，老師可以通過上述這種直觀的方法，來幫助學生理解這個定理的證明。

（3）要把握好立體幾何初步中證明的“度”。

在立體幾何初步部分，標準只要求用綜合幾何的方法證明四個性質定理和運用已獲得的證明結論證明一些空間關系的簡單命題。對于一些復雜的證明問題，則在選修2系列中用向量的方法來處理。

第四篇：幾何證明

龍文教育浦東分校學生個性化教案

學生：錢寒松教師：周亞新時間：2010-11-27

學生評價◇特別滿意◇滿意◇一般◇不滿意

【教材研學】

一、命題

1．概念：對事情進行判斷的句子叫做命題．

2．組成部分：命題由題設和結論兩部分組成．每個命題都可以寫成“如果??，那么??”的形式，“如果”的內容部分是題設，“那么”的內容部分是結論．

3．分類：命題分為真命題和假命題兩種．判斷正確的命題稱為真命題，反之稱為假命題．驗證一個命題是真命題，要經過證明；驗證一個命題是假命題，可以舉出一個反例．

二、互逆命題

1．概念：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個

命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，則另一個就叫做它的逆命題．

2．說明：

（1）任何一個命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個命題之間的關系；

（2）把一個命題的題設和結論交換，就得到它的逆命題；

（3）原命題成立，它的逆命題不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一個定理的逆命題也是定理（即真命題），那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．

2．說明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”，這是一個假命題，所以“對頂角相等”沒有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命題的關系：互逆定理首先是互逆命題，是互逆命題中要求更為嚴謹的一類，即互逆命題包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【點石成金】

例1． 指出下列命題的題設和結論，并寫出它們的逆命題．

（1）兩直線平行，同旁內角互補；

（2）直角三角形的兩個銳角互余；

（3）對頂角相等．

分析：解題的關鍵是找出原命題的題設和結論，然后再利用互逆命題的特征寫出它們的逆命題．

（1）題設是“兩條平行線被第三條直線所截”，結論是“同旁內角互補”；逆命題是“如果兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補，那么這兩條直線平行”．

（2）題設是“如果一個三角形是直角三角形”，結論是“那么這個三角形的兩個銳角互余”；逆命題是“如果一個三角形中兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形”．

（3）題設是“如果兩個角是對頂角”，結論是“那么這兩個角相等”；逆命題是“如果有兩個角相等，那么它們是課題：幾何證明

對頂角”．

名師點金：當一個命題的逆命題不容易寫時，可以先把這個命題寫成“如果??，那么??”的形式，然后再把題設和結論倒過來即可．

例2．某同學寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是“如果一個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”，你認為他寫得對嗎?

分析：寫出一個命題的逆命題，是把原命題的題設和結論互換，但有時需要適當的變通，例如“等腰三角形的兩底角相等”的逆命題不能寫成“兩底角相等的三角形是等腰三角形”，因為我們還沒有判斷出是等腰三角形，所以不能有“底角”這個概念．

解：上面的寫法不對．原命題條件是直角三角形，斜邊是直角三角形的邊的特有稱呼，該同學寫的逆命題的條件中提到了斜邊，就已經承認了直角三角形，就不需要再得這個結論了．因此，逆命題應寫成“如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”．

名師點金：在寫一個命題的逆命題時，千萬要注意一些專用詞的用法．

例3．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結論，寫出一個真命題(要求寫出已知，求證及證明過程)

解：選①②③作為題設，④作為結論．

已知：如圖19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求證：BD=CE,證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名師點金：本題考查的是證明三角形的全等，但條件較為開放．當然，此題的條件還可以任選其他三個．

【練習】

1．“兩直線平行，內錯角相等”的題設是____________________，結論是_________________________

2．判斷：（1）任何一個命題都有逆命題．()

（2）任何一個定理都有逆定理．()

【升級演練】

一、基礎鞏固

1．下列語言是命題的是()

A．畫兩條相等的線段B．等于同一個角的兩個角相等嗎

C．延長線段AD到C，使OC=OAD．兩直線平行，內錯角相等

2．下列命題的逆命題是真命題的是()

A．直角都相等B．鈍角都小于180。

龍文教育浦東分校個性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．對頂角相等

3．下列說法中，正確的是()

A．一個定理的逆命題是正確的B．命題“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命題是正確的C．任何命題都有逆命題

D．定理、公理都應經過證明后才能用

4．下列這些真命題中，其逆命題也真的是()

A．全等三角形的對應角相等

B．兩個圖形關于軸對稱，則這兩個圖形是全等形

C．等邊三角形是銳角三角形

D．直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

5．證明一個命題是假命題的方法有__________．

6．將命題“所有直角都相等”改寫成“如果??那么?”的形式為___________。

7．舉例說明“兩個銳角的和是銳角”是假命題。

二、探究提高

8．下列說法中，正確的是()

A．每個命題不一定都有逆命題B．每個定理都有逆定理

c．真命題的逆命題仍是真命題D．假命題的逆命題未必是假命題

9．下列定理中，沒有逆定理的是()

A．內錯角相等，兩直線平行B．直角三角形中兩銳角互余

c．相反數的絕對值相等D．同位角相等，兩直線平行

三、拓展延伸

10．下列命題中的真命題是()

A．銳角大于它的余角B．銳角大于它的補角

c．鈍角大于它的補角D．銳角與鈍角之和等于平角

11．已知下列命題：①相等的角是對頂角；②互補的角就是平角；③互補的兩個角一定是一個銳角，另一個為鈍角；④平行于同一條直線的兩直線平行；⑤鄰補角的平分線互相垂直．其中，正確命題的個數為()

A．0個B．1個C．2個D．3個

龍文教育浦東分校個性化教案

第五篇：幾何證明

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段___________.3.相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于

_________________；

相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數等于_______________的度數.推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90的圓周角所對的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內接四邊形的性質定理與判定定理：

圓的內接四邊形的對角______；圓內接四邊形的外角等于它的內角的_____.如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點______；如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點_________.7.切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的__________.推論：經過圓心且垂直于切線的直線必經過_______；經過切點且垂直于切線的直線必經過______.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長____；

圓心和這點的連線平分_____的夾角.