第一篇：幾何證明(一)

幾何證明

（一）例1.已知：A，B，C三點在同一直線上，△ABD和△BCE都是等邊三角形，AE交BD于M，CD交BE于N求證：MN∥AC

C

例2.已知：AD是Rt△ABC斜邊上的高，角平分線BE交AD于F，EG⊥BC交BC于G

求證：FG∥AC，AG⊥BE

例3.△ABC中∠ABC=∠ACB =80°,點P在AB上，且∠BPC=30°，求證：AP=BC

例4.從三角形的一個頂點向其他的兩個角的平分線引垂線，兩個垂足的連線平行于這個角的對邊。

例5.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意點，過點P作PE⊥AB作PF⊥BC。求證：PD⊥EF

例6： △ABC內，∠BAC=60?，∠ACB=40?，P，Q分別在邊BC,CA上，并且AP,BQ分別是∠BAC，∠ABC的角平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP.例7：設等腰直角三角形ABC中，D是腰AC的中點，E在斜邊BC上，且AE⊥BD，求證： ∠BDA=∠EDC

例8： 設△ABE, △ACF都是等腰直角三角形，AE,AF分別是各自的斜邊，G是EF中點，求證：⊿GCB也是等腰直角三角形

例9： 分別以△ABC的邊AB,AC為邊在△ABC外側作等邊三角形△ABE,△ACF，D,M,N分別為BC,AE,AF的中點，求證：△DMN為等邊三角形。

例10已知：⊙O和⊙Q相交于A，B，⊙Q經過點O，C是⊙O優弧AB上的一點，CB延長線交⊙Q于D，求證：DO⊥AC

D

練習：

1.四邊形ABCD中，∠A＝∠B，AD＝BC，則AB∥CD

2.分別以△ABC的邊AB和BC為一邊，向形外作兩個正方形ABEF和BCGH，求證 AH＝CE，AH⊥CE

3.已知：D，E，F是△ABC邊BC，CA，AB的中點，H，G在形外，且HE

11⊥AC，HE＝AC，GD⊥BC，GD＝BC 22

求證：△FDG≌△HEFFG⊥FH

第二篇：幾何證明

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段___________.3.相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于

_________________；

相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數等于_______________的度數.推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90的圓周角所對的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內接四邊形的性質定理與判定定理：

圓的內接四邊形的對角______；圓內接四邊形的外角等于它的內角的_____.如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點______；如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點_________.7.切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的__________.推論：經過圓心且垂直于切線的直線必經過_______；經過切點且垂直于切線的直線必經過______.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長____；

圓心和這點的連線平分_____的夾角.

第三篇：幾何證明

龍文教育浦東分校學生個性化教案

學生：錢寒松教師：周亞新時間：2010-11-27

學生評價◇特別滿意◇滿意◇一般◇不滿意

【教材研學】

一、命題

1．概念：對事情進行判斷的句子叫做命題．

2．組成部分：命題由題設和結論兩部分組成．每個命題都可以寫成“如果??，那么??”的形式，“如果”的內容部分是題設，“那么”的內容部分是結論．

3．分類：命題分為真命題和假命題兩種．判斷正確的命題稱為真命題，反之稱為假命題．驗證一個命題是真命題，要經過證明；驗證一個命題是假命題，可以舉出一個反例．

二、互逆命題

1．概念：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個

命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，則另一個就叫做它的逆命題．

2．說明：

（1）任何一個命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個命題之間的關系；

（2）把一個命題的題設和結論交換，就得到它的逆命題；

（3）原命題成立，它的逆命題不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一個定理的逆命題也是定理（即真命題），那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．

2．說明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”，這是一個假命題，所以“對頂角相等”沒有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命題的關系：互逆定理首先是互逆命題，是互逆命題中要求更為嚴謹的一類，即互逆命題包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【點石成金】

例1． 指出下列命題的題設和結論，并寫出它們的逆命題．

（1）兩直線平行，同旁內角互補；

（2）直角三角形的兩個銳角互余；

（3）對頂角相等．

分析：解題的關鍵是找出原命題的題設和結論，然后再利用互逆命題的特征寫出它們的逆命題．

（1）題設是“兩條平行線被第三條直線所截”，結論是“同旁內角互補”；逆命題是“如果兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補，那么這兩條直線平行”．

（2）題設是“如果一個三角形是直角三角形”，結論是“那么這個三角形的兩個銳角互余”；逆命題是“如果一個三角形中兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形”．

（3）題設是“如果兩個角是對頂角”，結論是“那么這兩個角相等”；逆命題是“如果有兩個角相等，那么它們是課題：幾何證明

對頂角”．

名師點金：當一個命題的逆命題不容易寫時，可以先把這個命題寫成“如果??，那么??”的形式，然后再把題設和結論倒過來即可．

例2．某同學寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是“如果一個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”，你認為他寫得對嗎?

分析：寫出一個命題的逆命題，是把原命題的題設和結論互換，但有時需要適當的變通，例如“等腰三角形的兩底角相等”的逆命題不能寫成“兩底角相等的三角形是等腰三角形”，因為我們還沒有判斷出是等腰三角形，所以不能有“底角”這個概念．

解：上面的寫法不對．原命題條件是直角三角形，斜邊是直角三角形的邊的特有稱呼，該同學寫的逆命題的條件中提到了斜邊，就已經承認了直角三角形，就不需要再得這個結論了．因此，逆命題應寫成“如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”．

名師點金：在寫一個命題的逆命題時，千萬要注意一些專用詞的用法．

例3．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結論，寫出一個真命題(要求寫出已知，求證及證明過程)

解：選①②③作為題設，④作為結論．

已知：如圖19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求證：BD=CE,證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名師點金：本題考查的是證明三角形的全等，但條件較為開放．當然，此題的條件還可以任選其他三個．

【練習】

1．“兩直線平行，內錯角相等”的題設是____________________，結論是_________________________

2．判斷：（1）任何一個命題都有逆命題．()

（2）任何一個定理都有逆定理．()

【升級演練】

一、基礎鞏固

1．下列語言是命題的是()

A．畫兩條相等的線段B．等于同一個角的兩個角相等嗎

C．延長線段AD到C，使OC=OAD．兩直線平行，內錯角相等

2．下列命題的逆命題是真命題的是()

A．直角都相等B．鈍角都小于180。

龍文教育浦東分校個性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．對頂角相等

3．下列說法中，正確的是()

A．一個定理的逆命題是正確的B．命題“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命題是正確的C．任何命題都有逆命題

D．定理、公理都應經過證明后才能用

4．下列這些真命題中，其逆命題也真的是()

A．全等三角形的對應角相等

B．兩個圖形關于軸對稱，則這兩個圖形是全等形

C．等邊三角形是銳角三角形

D．直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

5．證明一個命題是假命題的方法有__________．

6．將命題“所有直角都相等”改寫成“如果??那么?”的形式為___________。

7．舉例說明“兩個銳角的和是銳角”是假命題。

二、探究提高

8．下列說法中，正確的是()

A．每個命題不一定都有逆命題B．每個定理都有逆定理

c．真命題的逆命題仍是真命題D．假命題的逆命題未必是假命題

9．下列定理中，沒有逆定理的是()

A．內錯角相等，兩直線平行B．直角三角形中兩銳角互余

c．相反數的絕對值相等D．同位角相等，兩直線平行

三、拓展延伸

10．下列命題中的真命題是()

A．銳角大于它的余角B．銳角大于它的補角

c．鈍角大于它的補角D．銳角與鈍角之和等于平角

11．已知下列命題：①相等的角是對頂角；②互補的角就是平角；③互補的兩個角一定是一個銳角，另一個為鈍角；④平行于同一條直線的兩直線平行；⑤鄰補角的平分線互相垂直．其中，正確命題的個數為()

A．0個B．1個C．2個D．3個

龍文教育浦東分校個性化教案

第四篇：幾何證明

幾何證明

1.如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度數

2.已知∠BED=∠B+∠D，試說明AB與CD的位置關系

3.如圖，EB∥DC，∠C=∠E，請你說出∠A=∠ADE的理由。

4.如圖，已知AB//CD，AE//CF，求證：?BAE??DCF

AEFCD B

5.如圖，AB//CD，AE平分?BAD，CD與AE相交于F,?CFE??E。求證：

AD//BC。

6.如圖，已知AB//CD，?B?40，CN是?BCE的平分線，?

A

D

F

B

C

E

CM?CN，求?BCM的度數。

7.如圖若FD//BE，求?1??2??3的度數

A

N

M

C

D

E

第三題

o

8.如圖已知?C??AOC，OC平分?AOD，OC?OE?C?63求?D，?BOF的度

數

第四題

9.已知如圖DB//FG//EC，若?ABD?60，?ACE?36AP平分?BAC求?PAG的度數

第五題

10.，已知如圖AC//DE，DC//FE，CD平分?BCA，那么EF平分?BED？為什么？

B

11.1）已知三角形三邊長分別是4,5,6-x,求x的取值范圍

（2）已知三角形三邊長分別是m，m-1，m+1，求m的取值范圍

oo

12.在?ABC中，?B?70?BAC:?BCA?3:2，CD?AD垂足為D且?ACD?35

oo

求?BAE的度數

?A?50o?D?44 13.已知AC，BD交與O，BE，CE分別平分?ABD,?ACD且交與E，o

求?E的度數。

E

o

14.?ACE?90AC=CE，B為AE上的一點，ED?CB于D，AF?CB交CB的延長

線于F，求證：AF=CD

第22題

15，已知AB=CD，BC=DA，E，F為AC上的兩個點，且AE=CF，求證BF//DE

第23題

16.AD，BC交于D，BE?AD于E,DF?BC于F且AO=CO,BE=DF,求證 ＡＢ＝ＣＤ

o

17.中AB=AC，?BAC?90分別過BC做過A點的直線的垂線，垂足為D,E,求證DE=BD+CE

第25題

第五篇：空間幾何證明

立體幾何中平行、垂直關系證明的思路

平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化：

線∥線???線∥面???面∥面性質

?判定???線⊥線???線⊥面???面⊥面????

線∥線???線⊥面???面∥面

線面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a b ??

線面平行的性質：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂線定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO為PO在?內射影，a?面?，則

a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

P ??O a

線面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a O α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

α a l β

a⊥面?，b⊥面??a∥b

面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b ??

定理：

1.如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。作用：判斷直線是否在平面內；證明點在平面內；檢驗平面。2.過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

作用：確定平面；判斷兩個平面是否重合；證明點線共面。推論：a.經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；

b.經過兩相交直線，有且只有一個平面；

c.經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

3.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

作用：a.判定兩個不重合平面是否相交；

b.判斷點在直線上。

4.平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞性）。5.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。6.（直線與平面平行的判定定理）

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。條件：a.一條直線在平面外；

b.一條直線在平面內；

c..這兩條直線互相平行。7.（平面與平面平行的判定定理）

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。條件：a.兩條相交直線；

b.相交直線在一個平面內；

c.對應平行。

8.（直線與平面平行的性質定理）

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

條件：a.一條直線與一個平面平行；

b.過這條直線的任一個平面與此平面相交；

c.交線與直線平行。9.（平面與平面平行的性質定理）

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。條件：a.兩個平行平面：平面1和平面2和第三個平面：平面3

b.平面1與3相交，平面2與3相交

c.交線平行

點、線、面的相關證明

一.多點共線和多線共點問題證明

方法：公理3的熟練應用；兩個相交平面有且只有一條公共直線。

1.如下圖，在四邊形ABCD中，已知AB//CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，F，G，H。求證：E，F，G，H四點必定共線。

2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設線段A1C與平面ABC1D1交于Q.求證：B，Q，D1三點共線。

3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB 的中點，F為AA1的中點，求證：

a.E，C，D1，F四點共面；

b.CE，D1F，DA三線共點。

二．計算異面直線所成角度

方法：平移法和輔助線（中位線）構造角度

1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角度為______________.2.如圖所示，正四棱錐P-ABCD的底面面積為3，體積為√2/2，E為側棱PC的中點，則PA與BE 所成的角為____________.3.如圖所示，正三棱錐S-ABC（側面為全等的等腰三角形，底面為正三角形）的側棱長與底面邊長相等，E、F分別是SC、AB的中點，異面直線EF與SA所成的角為____________.4.如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；

（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分別是棱AB、BC、CD、CC1的中點，直線MN與PQ所成的度數_______________.