第一篇：九年級數學相似三角形知識精講

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初三數學相似三角形知識精講

（二）重要知識點介紹： 1.比例線段的有關概念： 在比例式ab?cd(a：b?c：d)中，a、d叫外項，b、c叫內項，a、c叫前項，b、d叫后項，d叫第四比例項，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中項。

把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點。

2.比例性質： ①基本性質：ab?cd?ad?bc ②合比性質：abab?cdcd?a±bb?c±dd

③等比性質：??…?mn(b?d?…?n≠0)?a?c?…?mb?d?…?n?ab

3.平行線分線段成比例定理：

①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，如圖：l1∥l2∥l3。

則ABBC?DEEF，ABAC?DEDF，BCAC?EFDF，…

②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。

③定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

4.相似三角形的判定：

①兩角對應相等，兩個三角形相似

②兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似

③三邊對應成比例，兩三角形相似

④如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角形相似

⑤平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似

⑥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

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5.相似三角形的性質

①相似三角形的對應角相等

②相似三角形的對應邊成比例

③相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比

④相似三角形周長的比等于相似比

⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方

【典型例題】

例1.（1）在比例尺是1：8000000的《中國行政區》地圖上，量得A、B兩城市的距離是7.5厘米，那么A、B兩城市的實際距離是__________千米。

（2）小芳的身高是1.6m，在某一時刻，她的影子長2m，此刻測得某建筑物的影長是18米，則此建筑物的高是_________米。

解：這是兩道與比例有關的題目，都比較簡單。

（1）應填600（2）應填14.4。

例2.如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式錯誤的是：____________

A.C.ADABDEBC??AEACADBDB.CECFEFAB??EAFB

DEBC?ADBD，D.CFCB 分析：由DE∥BC，EF∥AB可知，A、B、D都正確。而不能得到故應選C。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時，一定要分清誰是截線、誰是被截

線，C中DEBC很顯然是兩平行線段的比，因此應是利用三角相似后對應邊成比

DEBC?ADAB?AEAC例這一性質來寫結論，即

例3.如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD=60°，BP?1，CD?23，求△ABC的邊長

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解：∵△ABC是等邊三角形

∴∠C=∠B=60°

又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60°

∠APB=∠1+∠C=∠1+60°

∴∠PDC=∠APB ∴△PDC∽△APB ∴PCAB?CDPB

設PC=x，則AB=BC=1+x 2?3，∴x?2，1?x1x ∴ ∴AB=1+x=3。

∴△ABC的邊長為3。

例4.如圖：四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長為a的正方形，（1）求證：△AEF∽△CEA（2）求證：∠AFB+∠ACB=45°

分析：因為△AEF、△CEA有公共角∠AEF 故要證明△AEF∽△CEA 只需證明兩個三角形中，夾∠AEF、∠CEA的兩邊對應成比例即可。

證明：（1）∵四邊形ABEG、GEFH、HFCD是正方形

∴AB=BE=EF=FC=a，∠ABE=90° ∴AE?AEEFAEEF2a，EC?2a

∴?2aaECAE?2，ECAE?2a2a?2

∴?

又∵∠CEA=∠AEF ∴△CEA∽△AEF（2）∵△AEF∽△CEA ∴∠AFE=∠EAC ∵四邊形ABEG是正方形

∴AD∥BC，AG=GE，AG⊥GE ∴∠ACB=∠CAD，∠EAG=45°

∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG ∴∠AFB+∠ACB=45°

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例5.已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點O，EF經過點O且和兩底平行，交AB于E，交CD于F

求證：OE=OF 證明：∵AD∥EF∥BC ∴ ∴ ∴OEBCOEBC1BC???AEABOEAD1，??OEADAEAB1??EBABEBAB

ABAB?1

?ADOE111?? 同理： BCADOF

∴1OE?1OF

∴OE=OF 從本例的證明過程中，我們還可以得到以下重要的結論： ①AD∥EF∥BC?1AD?1BC?1OE12

②AD∥EF∥BC?OE?OF? ③AD∥EF∥BC? ?1AD?1BC?EF 1OE

112EF?2OF

即1AD?1BC?2EF

這是梯形中的一個性質，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何兩條線段的長度，都可以求出第三條線段的長度。

例6.已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

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求證：AEAF?ACAB

分析：觀察AE、AF、AC、AB在圖中的位置不宜直接通過兩個三角形相似加以解決。因此可根據圖中直角三角形多，因而相似三角形多的特點，可設法尋求中間量進行代

換，通過△ABD∽△ADE，可得：可得到AD2ABAD?ADAE，于是得到AD2?AE·AB，同理 ?ACAB?AF·AC，故可得：AE·AB?AF·AC，即AEAF

證明：在△ABD和△ADE中，∵∠ADB=∠AED=90°

∠BAD=∠DAE ∴△ABD∽△ADE ∴ABAD?ADAE

∴AD2=AE·AB 同理：△ACD∽△ADF 可得：AD2=AF·AC ∴AE·AB=AF·AC ∴AEAF?ACAB

例7.如圖，D為△ABC中BC邊上的一點，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的長。

分析：本題的圖形是證明比例中項時經常使用的“公邊共角”的基本圖形，我們可以由基本圖形中得到的相似三角形，從而得到對應邊成比例，從而構造出關于所求線段的方程，使問題得以解決。

解：在△ADC和△BAC中

∵∠CAD=∠B，∠C=∠C ∴△ADC∽△BAC ∴ADABDCAC?DCAC?ACBC

又∵AD=6，AD=8，BD=7 ∴?AC7?DC?34

3?DC???AC4 即?

AC3???4?7?DC 解得：DC=9

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例8.如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點，BE⊥AC于F，過F作FG∥AB交AE于G，求證：AG=AF·FC 證明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCE=90°

又∵E是CD的中點，∴DE=CE ∴Rt△ADE≌Rt△BCE ∴AE=BE ∵FG∥AB ∴AEBE?AGBF2

∴AG=BF 在Rt△ABC中，BF⊥AC于F ∴Rt△BFC≌Rt△AFB ∴AFBF?FBFC

∴BF2=AF·FC ∴AG2=AF·FC

例9.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分線CH⊥AB于點H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△HBC的面積。

分析：因為問題涉及四邊形AHCD，所以可構造相似三角形。把問題轉化為相似三角形的面積比而加以解決。

解：延長BA、CD交于點P ∵CH⊥AB，CD平分∠BCD ∴CB=CP，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA：AB=1：2 ∴PA：PB=1：3 ∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC

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∴S△PAD：S△PBC?1：9 ∵S△PCH?12S△PBC

∴S△PAD?S四邊形AHCD?2：7

∵S四邊形AHCD?

21∴S△PAD?6

∴S△PBC?54 ∴S△HBC?

一、填空題： 1.已知a?2b2a?b?9512S△PBC?27，則a：b?__________ 2.若三角形三邊之比為3：5：7，與它相似的三角形的最長邊是21cm，則其余兩邊之和是__________cm 3.如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BC=6，則DE=__________；△ADE與△ABC的面積之比為：__________。

4.已知線段a=4cm，b=9cm，則線段a、b的比例中項c為__________cm。

5.在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________ 6.已知三個數1，2，3，請你添上一個數，使它能構成一個比例式，則這個數是__________ 7.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，則EF=__________

8.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，則梯形的面積為：__________

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二、選擇題：

1.如果兩個相似三角形對應邊的比是3：4，那么它們的對應高的比是__________ A.9：16 C.3：4 __________米 A.10mab42 B.3：2 D.3：7 2.在比例尺為1：m的某市地圖上，規劃出長a厘米，寬b厘米的矩形工業園區，該園區的實際面積是

B.10mab

42C.abm104

D.abm1042

3.已知，如圖，DE∥BC，EF∥AB，則下列結論：

① ③AEECEFAB??BEFCDEBC

②④

ADBFCECF??ABBCEABF

其中正確的比例式的個數是__________ A.4個

B.3個

C.2個

D.1個

4.如圖，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點，AD=12，在AB上取一點E，使A、D、E三點為頂點組成的三角形與△ABC相似，則AE的長是__________

A.16 B.14

C.16或14

D.16或9 5.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，AE⊥AD，交CB的延長線于點E，則下列結論正確的是__________

A.△AED∽△ACB C.△BAE∽△ACE

三、解答題：

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B.△AEB∽△ACD D.△AEC∽△DAC 新課標第一網（www.tmdps.cn）--中小學教學資源共享平臺

1.如圖，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的長。

2.如圖，△ABC中，D是AB上一點，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求證：△ABC∽△CBD。

3.如圖，BE為△ABC的外接圓O的直徑，CD為△ABC的高，求證：AC·BC=BE·CD 4.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于點D，過點C作CE⊥AD于E，CE的延長線交AB于點F，過點E作EG∥BC交AB于點G，AE·AD=16，AB?45，（1）求證：CE=EF（2）求EG的長

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[參考答案]

一、填空題： 1.19：13 4.6

2.24 5.12

3.3；1：4 6.只要是使得其中兩個數的比值等于另外兩個數的比值即可，如：

22、22等。

7.14.4

8.166

二、選擇題： 1.C 2.D

3.B

4.D

5.C

三、解答題：

1.解：∵AD∥EG∥BC ∴在△ABC中，有EGBCABEFBE? 在△ABD中，有 ADAB?AE

∵AE：AB=2：3 ∴BE：AB=1：3 ∴EG?23BC，EF?13AD

∵BC=9，AD=6 ∴EG=6，EF=2 ∴GF=EG－EF=4 2.解：過點B作BE⊥CD于點E，∵∠CDB=60°，∠CBD=75°

∴∠DBE=30°，∠CBE=∠CBD－∠DBE=75°－30°=45°

∴△CBE是等腰直角三角形。

∵AB=3AD，設AD=k，則AB=3k，BD=2k ∴DE=k，BE? ∴BC?BDBC3k

6k

2k6k6k3k2323 ∴??，BCAB??

∴BDBC?BCAB

∴△ABC∽△CBD 3.連結EC，新課標第一網----免費課件、教案、試題下載 新課標第一網（www.tmdps.cn）--中小學教學資源共享平臺

?? ∵BC?BC

∴∠E=∠A 又∵BE是⊙O的直徑

∴∠BCE=90°

又∵CD⊥AB ∴∠ADC=90°

∴△ADC∽△ECB ∴ACEB?CDBC

即AC·BC=BE·CD 4.（1）∵AD平分∠CAB ∴∠CAE=∠FAE 又∵AE⊥CF ∴∠CEA=∠FEA=90°

又∵AE=AE ∴△ACE≌△AFE（ASA）

∴CE=EF（2）∵∠ACB=90°，CE⊥AD，∠CAE=∠DAC ∴△CAE∽△DAC ∴ACAD?AEAC

∴AC2?AE·AD?16

在Rt△ACB中

BC2?AB2?AC2?(45)2?16?6

4∴BC?8

又∵CE=EF，EG∥BC ∴FG=GB ∴EG是△FBC的中位線

∴EG?

12BC?4

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第二篇：九年級數學《相似三角形》說課稿

【小編寄語】查字典數學網小編給大家整理了九年級數學《相似三角形》說課稿，希望能給大家帶來幫助!

相似三角形說課稿

今天，我的說課將分三大部分進行：

一、說教材;

二、說教學策略;

三、說教學程序。

一、說教材

從教材地位、學習目標、重點難點、學情分析、教學準備五個方面闡述

1、本課內容在教材中的地位

本節教學內容是本章的重要內容之一。本節內容是在完成對相似三角形的判定條件進行研究的基礎上，進一步探索研究相似三角形的性質，從而達到對相似三角形的定義、判定和性質的全面研究。從知識的前后聯系來看，相似三角形可看作是全等三角形的拓廣，相似三角形的性質研究也可看成是對全等三角形性質的進一步拓展研究。另外相似三角形的性質還是研究相似多邊形性質的基礎，也是今后研究圓中線段關系的有效工具。

從新課程對幾何部分的編寫來看，幾何知識的結論較之老教材已經大為減少，教材首要關注的不是掌握多少幾何知識的結論，相對更重視的是對學生合情推理能力的訓練與培養。從這個角度上說，不論是全等還是相似，教材只是將它們作為訓練學生合情推理的一個有效素材而已，正因為此，本節課應重視學生有條理的思考及有條理的表達。

2.學習目標

知識與技能方面：

探索相似三角形、相似多邊形的性質，會運用相似三角形、相似多邊形的性質解決有關問題;

過程與方法方面：

培養學生提出問題的能力，并能在提出問題的基礎上確定研究問題的基本方向及研究方法，滲透從特殊到一般的拓展研究策略，同時發展學生合情推理及有條理地表達能力。

情感態度與價值觀方面：

讓學生在探求知識的活動過程中體會成功的喜悅，從而增強其學好數學的信心。

3.教學重點、難點

立足新課程標準和學生已有知識經驗、數學活動經驗，我確立了如下的教學重點和難點。

教學重點：相似三角形、相似多邊形的性質及其應用

教學難點：①相似三角形性質的應用;

②促進學生有條理的思考及有條理的表達。

4.學情分析

從七上開始到現在，學生已經經歷了一些平面圖形的認識與探究活動，尤其是全等三角形性質的探究等活動，讓學生初步積累了一定的合情推理的經驗與能力，這是學生順利完成本節學習內容的一個有利條件。

對相似形的性質的結論，學生是有生活經驗與直觀感受的。比如說兩幅大小不等的中國地圖，如果其相似比為2：1，我們在較大的地圖上量出北京到南京的圖上距離為4cm，問在較小的地圖上北京到南京的圖上距離是幾厘米?學生肯定知道是2cm，這個問題中學生又沒有學過相似形的性質，他怎么會知道呢?從中可以看出學生對比例尺的理解實際上是基于生活經驗的。再比如說，如果你找一個沒學過相似形性質的學生來問他：如果用放大鏡將一個小五角星的邊長放大到原來的5倍，則這個小五角星的周長被放大到原來的幾倍?面積被放大到原來的幾倍?這些問題學生基本上能給出較準確的回答。其實這就是學生對相似形性質的一種生活化的直觀感受。

大家知道，源于學生原有認知水平和已有生活經驗的教學設計才更能激發學生學習的內驅力，從而取得良好的教學效果。所以本節課在教學設計過程中不能把學生當作是對相似形的性質一無所知的，而是應在充分尊重學生已有的生活經驗的基礎上展開富有成效的教學設計。

5.教學準備

教師：直尺、多媒體課件

學生：必要的學習用具

二、說教學策略

從設計的指導思想、教學方法、學習方法三方面闡述

新課程標準指出：學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者，那么如何讓學生在教學過程中真正成為學習的主人，同時教師在教學過程中又引導什么，與學生如何合作?這就是我這節課處理教學設計時的指導思想。為了更好地體現學生主體教師主導的地位，我打算從兩條主線進行教學設計：一是從知識研究的大背景出發，結合知識的生長點拓展延伸、合理整合、組織教學;二是從尊重學生已有的知識與生活經驗出發，利用學生已有的生活本能體驗感受相似形的一系列性質的結論，并在此基礎上創設教學情境，組織教學。力圖將這兩條線索有機融合，行成完整的教學體系。

采取引導發現法進行教學，充分發揮教師的主導作用與學生的主體作用，加強知識發生過程的教學，環環緊扣、層層深入，逐步引導學生觀察、比較、分析，用探索、發現的方法，使學生在掌握知識的同時，逐步形成技能。

有一位教育家說過：教給學生良好的學習方法比直接教給學生知識更重要。本節課教給學生的學習方法有：提出問題，感受價值，探究解決的研究問題的基本方法，從特殊到一般的拓展研究方法等。以此發展學生思維能力的獨立性與創造性，逐步訓練學生由被動學會變成主動會學。

三、說教學程序

(一)類比研究，明確目標

師：同學們，回顧我們以往對全等三角形的研究過程，大家會發現，我們對一個幾何對象的研究，往往從定義、判定和性質三方面進行。類似的我們對相似三角形的研究也是如此。而到目前為止，我們已經對相似形進行了哪些方面的研究呢?

生：已經研究了相似三角形的定義、判別條件。

師：那么我們今天該研究什么了?

生：相似三角形的性質。

設計意圖：

從幾何對象研究的大背景出發，給學生一個研究問題的基本途徑。從而讓學生自然明白本節課的學習目標：相似三角形的性質。

(二)提出問題，感受價值，探究解決

師：就你目前掌握的知識，你能說出相似三角形的1-2條性質嗎?并說明你的依據。

生：相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。根據是相似三角形的定義。

師：對于相似三角形而言，邊和角的性質我們已經得到，除邊角外你認為還有哪些量之間的性質值得我們研究呢?

設計意圖：

我們常常會說：提出問題比解決問題更重要。但是作為教師，我們應該清醒地認識到，學生提出問題的能力是需要逐步培養的。此處設問就是要培養學生提出問題的能力。我希望學生能提出周長、面積、對應高、對應中線、對應角平分線之間的關系來研究，甚至于我更希望學生能提出所有對應線段之間的關系來研究。估計學生能提出這其中的一部分問題。如果學生能提出這些問題(如相似三角形周長之比等于相似比等)，就說明他的生活經驗的直覺已經在起作用了。如果學生提不出這些問題，說明他的生活直覺經驗還沒有得到激發，我可以利用前面提到的放大鏡問題、大小兩幅地圖問題等逐步啟發，激發學生的一些源自生活化的思考，從而回到預設的教學軌道。

師：對于同學們提出的一系列有價值的問題，我們不可能在一節課內全部完成對它們的研究，所以我們從中挑出一部分內容先行研究。比如我們來研究周長之比，面積之比，對應高之比的問題。

師：為了讓同學們感受到我們研究問題的實際價值。我們來看一個生活中的素材：

給形狀相同且對應邊之比為1：2的兩塊標牌的表面涂漆。如果小標牌用漆半聽，那么大標牌用漆多少聽?

師：(1)猜想用多少聽油漆?(2)這個實際問題與我們剛才的什么問題有著直接關聯?

生：可能猜半聽、1聽、2聽、4聽等。同時學生能感受到這是與相似三角形面積有關的問題。

設計意圖：從學習心理學來說，如果能知道自己將要研究的知識的應用價值，則更能激發起學生學習的內在需求與研究熱情。

師：同學們的猜測到底誰的對呢?請允許老師在這兒先賣個關子。讓我們帶著這個疑問來對下面的問題進行研究。到一定的時候自然會有結論。

情境一：如圖，ABC∽DEF，且相似比為2：1，DE、EF、FD三邊的長度分別為4，5，6。(1)請你求出ABC的周長(學生只能用相似三角形對應邊成比例求出ABC的三邊長，然后求其周長)

(2)如果DEF的周長為20，則ABC的周長是多少?說出你的理由。(通過這個問題的研究，學生已經可以得到相似三角形周長之比等于相似比的結論)

(3)如果ABC∽DEF，相似比為k：1，且DEF三邊長分別用d、e、f表示，求ABC與DEF的周長之比。

結論：相似三角形的周長之比等于相似比。

情境二：

師：相似三角形周長比問題研究完了，下面我們該研究什么內容了?

生：面積比問題。

師：那么對于相似三角形的面積比問題你打算怎樣進行研究?請你在獨立思考的基礎上與小組同學一起商量，給出一個研究的基本途徑與方法。

設計意圖：人類在改造自然的過程中，會遇到很多從未見過的新情境、新課題。當我們遇到新問題的時候，確定研究方向與策略遠比研究問題本身更有價值。如果你的研究方向與研究策略選擇錯誤的話，你根本就不可能取得好的研究成果。而這種確定研究問題基本思路的能力也是我們向學生滲透教育的重要內容。所以對于相似三角形面積比的研究，我認為讓學生探索所研究問題的基本走向與策略遠比解題的結論與過程更有價值。

(師)在學生交流的基本研究方向與策略的基礎上，與學生共同活動，作出兩個三角形的對應高，通過相似三角形對應部分三角形相似的研究得到相似三角形的對應高之比等于相似比的結論。進而解決相似三角形的面積比等于相似比的平方的問題。體現教材整合。

(三)拓展研究，形成策略，回歸生活

拓展研究一：由相似三角形對應高之比等于相似比，類比研究相似三角形對應中線、對應角平分線之比等于相似比的性質;(留待下節課研究，具體過程略)

拓展研究二：由相似三角形研究拓展到相似多邊形研究

師：通過上述研究過程，我們已經得到相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。那么這些結論對一般地相似多邊形還成立嗎?下面請大家結合相似五邊形進行研究。

情境三：如圖，五邊形ABCDE∽五邊形A/B/C/D/E/，相似比為k，求其周長比與面積之比。

說明：對于周長之比，可由學生自行研究得結論。對于面積之比問題，與前面一樣，先由學生討論出研究問題的基本方向與策略轉化為三角形來研究。然后通過師生活動合作研究得結論。

拓展結論1：相似多邊形的周長之比等于相似比;

相似多邊形的面積之比等于相似比的平方。

(結合相似五邊形研究過程)

拓展結論2：相似多邊形中對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比;

相似多邊形中對應對角線之比等于相似比;

進而拓展到：相似多邊形中對應線段之比等于相似比等。回歸生活一：

師：通過前面的研究，我們得到了有關相似形的一系列結論，現在讓我們回頭來看前面的標牌涂漆問題。你能確定是幾聽嗎?如果把題中的三角形條件改成更一般的相似形你還能解決嗎?

回歸生活二：(以師生聊天的方式進行)

其實我們生活中對相似形性質的直覺解釋是正確的，線段、周長都屬于一維空間，它的比當然等于相似比，而面積就屬于二維空間了，它的比當然等于相似比的平方了，比如兩個正方形的邊長之比為1：2，面積之比一定為1：4。甚至在此基礎上我們也可以想像：相似幾何體的體積之比與相似比的關系是什么?

生：相似比的立方。

設計意圖：新課程標準指出數學教學活動要建立在學生已有生活經驗的基礎上---;教育心理學認為：源于學生生活實際的教育教學活動才更能讓學生理解與接受，也更能激發學生的學習熱情，從而導致好的教學效果;于新華老師在一些教研活動中曾經說過：源于學生的生活經驗與數學直覺來展開教學設計，構建知識，發展能力，最終還要回到學生的生活經驗理解上來，形成新的數學直覺。這才是教學的最高境界。

而我的設計還有一個意圖就是向學生滲透從生活中來回到生活中去的思想，讓學生體會學好數學的重要性。

(四)操作應用，形成技能

課內檢測：

1.已知兩上三角形相似，請完成下面表格：

相似比 2

對應高之比 0.5

周長之比 3 k

面積之比 100

2.在一張比例尺為1：2000的地圖上，一塊多邊形地區的周長為72cm,面積為200cm2，求這個地區的實際周長和面積。

設計意圖：落實雙基，形成技能

(五)習題拓展，發展能力

已知，如圖，ABC中，BC=10cm，高AH=8cm。點P、Q分別在線段AB、AC上，且PQ∥BC，分別過點P、Q作BC邊的垂線PM、QN，垂足分別為M、N。我們把這樣得到的矩形PMNQ稱為△ABC的內接矩形。顯然這樣的內接矩形有無數個。

(1)小明在研究這些內接矩形時發現：當點P向點A運動過程中，線段PM長度逐漸變大，而線段PQ的長度逐漸變小;當點P向點B運動的過程中，線段PM逐漸變小，而線段PQ的長度逐漸變大，根據此消彼長的想法，他提出一個大膽的猜想：在點P的運動過程中，矩形PQNM的面積s是不變的。你認為他的猜想正確嗎?為什么?

(2)在點P的運動過程中,矩形PMNQ的面積有最大值嗎?有最小值嗎?

答： 最大值，最小值(填有或沒有)。請你粗略地畫出矩形面積S隨線段PM長度x變化的大致圖象。

(3)小明對關于矩形PMNQ的面積的最值問題提出了如下猜想：

①當點P為AB中點時，矩形PMNQ的面積最大;

②當PM=PQ時，矩形PMNQ的面積最大。

你認為哪一個猜想較為合理?為什么?

(4)設圖中線段PM的長度為x，請你建立矩形PQNM的面積S關于變量x的函數關系式。

設計意圖：將課本基本習題改造成發展學生能力的開放型問題研究，體現了課程整合的價值。

(六)作業(略)

另外值得一提的是：本節課對學生的評價，更多的應關注對學生學習的過程性評價。在整個教學過程中，我都將尊重學生在解決問題過程中所表現出的不同水平，盡可能地讓所有學生都能主動參與，并引導學生在與他人的交流中提高思維水平。在學生回答時，我通過語言、目光、動作給予鼓勵與表揚，發揮評價的積極功能。尤其注意鼓勵學有困難的學生主動參與學習活動，發表自己看法，肯定他們的點滴進步。

第三篇：九年級數學上冊《相似三角形的應用》學案分析

九年級數學上冊《相似三角形的應用》

學案分析

【教材分析】

（一）教材的地位和作用

《相似三角形的應用》選自人民教育出版社義務教育課程標準實驗教科書中數學九年級上冊第二十七章。相似與軸對稱、平移、旋轉一樣，也是圖形之間的一種變換，生活中存在大量相似的圖形，讓學生充分感受到數學與現實世界的聯系。相似三角形的知識是在全等三角形知識的基礎上的拓展和延伸，相似三角形承接全等三角形，從特殊的相等到一般的成比例予以深化。在這之前學生已經學習了相似三角形的定義、判定，這為本節課問題的探究提供了理論的依據。本節內容是相似三角形的有關知識在生產實踐中的廣泛應用，通過本節課的學習，一方面培養學生解決實際問題的能力，另一方面增強學生對數學知識的不斷追求。

（二）教學目標

、。知識與能力：）

進一步鞏固相似三角形的知識．

2）能夠運用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度（如測量金字塔高度問題、測量河寬問題）等的一些實際問題．

2．過程與方法：

經歷從實際問題到建立數學模型的過程，發展學生的抽象概括能力。

3．情感、態度與價值觀：）通過利用相似形知識解決生活實際問題，使學生體驗數學于生活，服務于生活。

2）通過對問題的探究，培養學生認真踏實的學習態度和科學嚴謹的學習方法，通過獲得成功的經驗和克服困難的經歷，增進數學學習的信心。

（三）教學重點、難點和關鍵

重點：利用相似三角形的知識解決實際問題。

難點：運用相似三角形的判定定理構造相似三角形解決實際問題。

關鍵：將實際問題轉化為數學模型，利用所學的知識來進行解答。

【教法與學法】

（一）教法分析

為了突出教學重點，突破教學難點，按照學生的認知規律和心理特征，在教學過程中，我采用了以下的教學方法：

．采用情境教學法。整節課圍繞測量物體高度這個問題展開，按照從易到難層層推進。在數學教學中，注重創設相關知識的現實問題情景，讓學生充分感知“數學于生活又服務于生活”。

2．貫徹啟發式教學原則。教學的各個環節均從提出問題開始，在師生共同分析、討論和探究中展開學生的思路，把啟發式思想貫穿與教學活動的全過程。

3．采用師生合作教學模式。本節課采用師生合作教學模式，以師生之間、生生之間的全員互動關系為課堂教學的核心，使學生共同達到教學目標。教師要當好“導演”，讓學生當好“演員”，從充分尊重學生的潛能和主體地位出發，課堂教學以教師的“導”為前提，以學生的“演”為主體，把較多的課堂時間留給學生，使他們有機會進行獨立思考，相互磋商，并發表意見。

（二）學法分析

按照學生的認識規律，遵循教師為主導，學生為主體的指導思想，在本節課的學習過程中，采用自主探究、合作交流的學習方式，讓學生思考問題、獲取知識、掌握方法，運用所學知識解決實際問題，啟發學生從書本知識到社會實踐，學以致用，力求促使每個學生都在原有的基礎上得到有效的發展。

【教學過程】

一、知識梳理、判斷兩三角形相似有哪些方法?）定義:

2）定理:

3）判定定理一:

4）判定定理二:

5）判定定理三:

2、相似三角形有什么性質？

對應角相等，對應邊的比相等

（通過對知識的梳理，幫助學生形成自己的知識結構體系，為解決問題儲備理論依據。）

二、情境導入

胡夫金字塔是埃及現存規模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”。塔的４個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約２３０多米。據考證，為建成大金字塔，共動用了１０萬人花了２０年時間.原高１４６．５９米，但由于經過幾千年的風吹雨打,頂端被風化吹蝕.所以高度有所降低。

古希臘，有一位偉大的科學家泰勒斯。一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及大金字塔的高度吧！”這在當時的條件下是個大難題，因為很難爬到塔頂的。親愛的同學，你知道泰勒斯是怎樣測量大金字塔的高度的嗎？

（數學教學從學生的生活體驗和客觀存在的事實或現實課題出發，為學生提供較感興趣的問題情景，幫助學生順利地進入學習情景。同時，問題是知識、能力的生長點，通過富有實際意義的問題能夠激活學生原有認知，促使學生主動地進行探索和思考。）

三、例題講解

例1（教材P49例3——測量金字塔高度問題）

《相似三角形的應用》教學設計

分析：根據太陽光的光線是互相平行的特點，可知在同一時刻的陽光下，豎直的兩個物體的影子互相平行，從而構造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質，根據已知條件，求出金字塔的高度．

解：略（見教材P49）

問：你還可以用什么方法來測量金字塔的高度？（如用身高等）

解法二：用鏡面反射（如圖，點A是個小鏡子，根據光的反射定律：由入射角等于反射角構造相似三角形）．（解法略）

例2（教材P50練習-——測量河寬問題）

《相似三角形的應用》教學設計《相似三角形的應用》教學設計

分析：設河寬AB長為xm，由于此種測量方法構造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即《相似三角形的應用》教學設計．再解x的方程可求出河寬．

解：略（見教材P50）

問：你還可以用什么方法來測量河的寬度？

解法二：如圖構造相似三角形（解法略）．

四、鞏固練習

．在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例．在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米?

2．小明要測量一座古塔的高度，從距他2米的一小塊積水處c看到塔頂的倒影，已知小明的眼部離地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到積水處c的距離是40米.求塔高?

五、回顧小結

一）相似三角形的應用主要有如下兩個方面

測高

測距

二）測高的方法

測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長的比例”的原理解決

三）測距的方法

測量不能到達兩點間的距離,常構造相似三角形求解

（落實教師的引導作用以及學生的主體地位，既訓練學生的概括歸納能力，又有助于學生在歸納的過程中把所學的知識條理化、系統化。）

六、拓展提高

怎樣利用相似三角形的有關知識測量旗桿的高度?

七、作業

課本習題27.2

0題、11題。

【教學設計說明】

相似應用最廣泛的是測量學中的應用，在實際測量物體的高度、寬度時，關鍵是要構造和實物所在三角形相似的三角形，而且要能測量已知三角形的各條線段的長，運用相似三角形的性質列出比例式求解。鑒于這一點，我設計整節課圍繞測量物體高度這個問題展開，通過一個個問題的解決，一方面，促使學生了解測量物體高度的方法，從而學會設計利用相似三角形解決問題的方案；另一方面，會構造與實物相似的三角形，通過對實際問題的分析和解決，讓學生充分感受到數學與現實世界的聯系，教學中既發揮教師的主導作用，又注重凸現學生的主體地位，“以學生活動為中心”構建課堂教學的基本框架，以“探究交流為形式”作為課堂教學的基本模式，以全面發展學生的能力作為根本的教學目標，最大限度地調動學生學習的積極性和主動性。

第四篇：三角形相似教案

相似三角形的判定（1）教學設計

一、課題

相似三角形的判定（1）（選自2013年人教版數學九年級下冊27.2.1，第1課時）

二、教材分析

1.內容要點

本節課讓學生利用相似三角形的定義來進一步探索相似三角形的判定條件，從而讓學生在學習新知里發展思維，加強與前面已學過的知識：圖形的相似、相似多邊形的主要特征（相似多邊形對應的角相等，對應邊的比相等），相似比甚至引導學生聯系八年級上冊所學的相等三角形的判定定理和平行從對比探索中增強學生的推理歸納和類比應用的能力。2.地位

本節課處于承上啟下的位置，既增強了對圖形的相似和相似多邊形定義聯系和運用，又為下一課時相似三角形的判定2以及以后的幾何證明奠定了基礎。3.作用

從初步認識相似三角形到探索如何利用平行線的特點判定兩個三角形相似，從無到有的知識萌發，讓學生由探究得到的平行線分線段成比例定理初步返回去嚴謹地認識兩個圖形的相似，在探索過程中掌握自主探究、類比、歸納以及轉化的思想方法，增強推理能力，進而讓學生感受到數學圖形之美。經過對平行線分線段成比例定理以及相似三角形判定定理的探究學習，使學生的合情推理意識和主動探究的學習習慣得到發展。

三、學情分析 1.認知基礎

學生在八年級上冊中已經全面地認識了三角形，并且掌握了全等三角形的判定定理，加上平行線同位角等性質，并且在上一節課已學過了圖形的相似以及相似多邊形的主要特征，為本節課的學習相似三角形打下了基礎。學生在觀察、想象、合作探究、歸納概括等方面有了初步的體驗，再加上學生會做輔助線，這為本課的學習奠定了一定的基礎，但學生對轉化思想，幾何論證推理能力還在初步形成階段，這使本節課的學習還有一定的困難。2.情意基礎

學生是九年級的學生，對于新知識有一定的接受能力，且數形結合思想，轉化思想都相對成熟，對探索學習饒有興趣，但是思維容易固化，對問題看待不夠全面。

四、教學目標

1.理解相似三角形不因位置改變而改變，書寫三角形相似時對應角的字母順序對應；

2.能運用平行線和三角形中線比例關系證明“A字型”三角形相似，能運用三角形全等的方法將“X字型”三角形轉化為“A字型”三角形證明其相似；

3.理解相似三角形概念，能正確找出相似三角形的對應邊和對應角； 4.能掌握并運用相似三角形判定的“預備定理”； 5.讓學生參與探索，獲取相似三角形判定條件，感受數學的魅力，體會到數學的充滿探索與創造,在學習中發現數學的樂趣并在數學學習生活中形成自主，自信，健康的心理。

五、教學重難點

1.教學重點

相似三角形判定的“預備定理”的探索； 2.教學難點

探索過程中的各種三角形相似的有關證明；

六、教學方法和手段 1.教學方法 引導探究法 2.教學媒體 PPT

七、教學設計思想

探究式的教學方法是新課改的一個重要內容，布魯納主張學習的目的是以發現學習的方式使學科的基本結構轉變為學生頭腦中的認知結構，并且指出學生的知識學習是通過類別化信息的加工過程，積極主動地形成認知結構。利用學生的好奇心，設疑，解疑，組織互動，有效的教學活動，鼓勵學生積極參與，大膽猜想，使學生在自主探究與合作交流中理解和掌握本節課的內容，增強直觀效果，提高課堂效率。其次，數形結合思想，化歸思想以及歸納法和分析法的應用，讓學生對新知的認識更加透徹，對問題的探索思路更加明確，并從中讓思維得到進一步的提升。

八、教學過程

（一）復習引入（5分鐘）1.復習概念性質（3分鐘）

T：同學們還記得相似圖形的概念是什么嗎？ S：對應角相等，對應邊成比例的兩個圖形相似。T：相似的兩個圖形會隨它們位置的改變而改變嗎？ S：不會。

T：很好，大家先記著我們剛剛回憶的內容。下面我們來了解一下最簡單的多邊形----三角形的相似情況。

T：剛才我們回憶了相似圖形的一些性質，那現在我手頭上有根據相似圖形性質畫出來的兩個相似三角形，不論它們之間的相對位置如何，乃至處于不同的平面，這兩個三角形仍然是相似的。（老師拿出兩個相似三角形并在同一平面變換兩個三角形紙片的位置，然后讓兩紙片處于不同平面變換位置）（老師將兩紙片貼在黑板上并標明字母）T：同學們我們要用字母表示這兩個三角形相似，應該怎么寫呢？我們一起來寫，首先把兩個三角形表示出來，分別是?ABC?DEF，同學在寫的時候還要注意對應的頂點字母相對應，那中間用什么符號來表示兩個三角形相似呢？有同學可以告訴我嗎？

S：大寫字母S橫著寫。

T：很好，這跟我們曾經學過的什么符號很像呢？ SSS：全等符號。

T：那課后大家思考全等三角形與相似三角形之間有什么聯系，下節課我再叫同學回答這個問題。2.創設情境（2分鐘）

（老師利用這組相似三角形紙片，將兩個三角形的一個對應頂點重疊，貼在黑板上）

T：同學們你們看，相似三角形?ABC和?DEF的?ABC的頂點A與?DEF的頂點D重合并且∠BAC與∠EDF重合，那邊EF和邊BC有什么關系嗎？

S：平行。

T：為什么呢？

S：同位角相等兩直線平行。

T：嗯，AEB三點共線，且∠AEF=∠ABC，所以EF和BC平行。

（二）探索新知（20分鐘）

T：如果平行于?ABCBC邊的直線與其他兩邊AB、AC相交與點E、F，所構成的?AEF是否與?ABC相似呢？

S：相似（不相似）。

T：大部分同學都說相似，接下來我們該做些什么去證明這兩個三角形相似呢？

T：首先我們從我們學過的類似的圖形出發，假設這條平行線是三角形中位線，我們來證明看看。同學們自行思考，待會來分享思路。[PPT顯示相應題目和圖形]（2min過去了，期間教師下臺觀察學生情況，選一名寫完了的同學上臺分享思路）

S1：（在黑板上畫△ABC并取分別AB、AC中點D、E，連接DE）∵DE是△ABC的中位線∴DE＝1/2BC（由三角形中位線定理）

∴AB/AD ＝AC/AE ＝BC/DE ＝1/2.又∵兩直線平行同位角相等 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.T：同學們覺得S1的解答對嗎？ S：對。

T：S1的解答充分運用了已學的三角形中位線的知識，找出來隱含在三角形ADE和三角形ABC中邊的比例關系，依照定義證明出了這兩個三角形相似，證明過程很完整，是對的，讓我們給他一些掌聲鼓勵。（解析S1的做法，并給予肯定）

（老師和學生一起鼓掌）T：接下來加大難度咯，“如圖過點D作DE∥BC交AC于點E，那么△ADE與△ABC相似嗎？”，請同學們自行思考，待會請同學上來分享思路。[PPT顯示相應題目和圖形]（4min過去了）

S2：由同位角相等可知三個角對應相等，只需證明對應邊成比例.因為DE∥BC，所以AD/AB=AE/EC=k, 只需證明DE/BC=k.過點D作DF∥AC交BC于點F，則由兩組對邊分別平行，得四邊形DFCE為平行四邊形.所以DE/BC=FC/BC，∵DF∥AC ∴FC/BC=DA/BA，故DE/BC= DA/BA =k ∴△ADE∽△ABC.T：S2將問題轉化為了求三角形的一邊對應成比例，通過作輔助線DF，構造出了平行四邊形，并靈活運用平行四邊形和相似的性質，得到了三邊對應相等，從而證明了兩個三角形相似，做的很棒，讓我們把掌聲送給他！（和同學們一起鼓掌）T：以上都是平行線與邊AB和邊AC相交的情況，現在我們延長AB和AC，如圖當DE與三角形兩邊延長線交于邊BC下方時，所構成的三角形和原三角形是否相似呢？ [PPT顯示相應題目和圖形] S：相似。

T：要怎樣證明呢？ S：和上一題一樣。

T:對，沒錯。像這種平行線位于點A下方的，我們統稱為“A字型”，凡是擁有這種形狀的三角形和平行線，都隱藏著相似三角形。那如果DE與三角形兩邊延長線交于邊點A上方時，所構成的三角形和原三角形是否相似呢？請同學們自行思考。[PPT顯示相應題目和圖形]（T下臺觀察、指點。2min后）

T：老師剛剛發現，大部分同學都不再用定義進行繁瑣的證明了，而是直接由“A字型”的結論出發，將新圖形轉換為“A字型”加以證明。有哪位同學愿意上臺分享一下，你是怎樣轉化的呢？

S3：分別在邊AB和邊AC作點N’和M’，使AN=AN’，AM=AM’，由對頂角相等和SAS可得

△AMN≌△AM’N’，從而得到“A字型”，故新三角形和原三角形相似。T：S3分析的很好！讓我們給他掌聲鼓勵！（和同學們一起鼓掌）我們稱這種圖形為“X字型”，通過“A字型”和“X字型”的相似三角形探究，我們現在可以總結得出我們一開始要證明的結論了，同學們還記得是什么嗎？

S：逆命題（剛剛的猜想）。

T：沒錯，我們給這個剛剛證明的猜想一個名稱“預備定理”，大家請看屏幕，一齊朗讀一邊[PPT顯示預備定理] S：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似；

T：預備定理比定義要簡便的多，它的幾何語言也是相當簡潔 ∵EF∥BC ∴△ADE∽△ABC.（三）知識遷移（7分鐘）（備注：此環節題目讓學生以同桌為單位交流完成，老師再請同學發言說明思路）

（四）總結反思（7分鐘）

定義：??。要求三邊三角滿足對應關系，非常嚴謹但證明過程過于繁瑣且使用條件有限。

預備定理：??。只要求有找到原三角形一邊的平行線，構成“A字型”或“X字型”，極大簡化了證明過程。

（備注：以上總結，老師說整體性語言，關鍵字引導學生說出）

（五）布置作業（1分鐘）

1.常規作業（第幾頁第幾題）

2.探索作業：請以本節課所學知識，“測量”教室天花板的高度，寫一測量方案。

九、板書設計

十、反思

第五篇：相似三角形教案

相似三角形

【基礎知識精講】

1．理解相似三角形的意義，會利用定理判定兩個三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關系．

2．進一步體會數學內容之間的內在聯系，初步認識特殊與一般之間的辯證關系，提高學習數學的興趣和自信心．

【重點難點解析】

相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．

【典型熱點考題】

例1 如圖4-21，□ABCD中，M是AD延長線上一點，BM交AC于點F，交DC于G，則下列結論中錯誤的是（）

圖4-21 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF

點悟：用本節概念和定理直接判斷． 解：應選D．

例2 如圖4-22，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長線分別交于點M、N，點P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．

圖4-22 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．

例3 寫出下列各組相似三角形的對應邊的比例式．

(1)如圖4-23(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對應邊．(2)如圖4-23(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．

圖4-23 點悟：要寫出兩個相似三角形的對應邊的比例式，首先要確定兩個相似三角形的對應邊．因為相似三角形是全等三角形的推廣，所以要確定兩個相似三角形的各組的對應邊，可以參照確定全等三角形對應邊的方法，從確定這兩個相似三角形對應的頂點出發．

解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對應邊，它們所對的頂點E和C為對應頂點，而A是兩三角形的公共頂點，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對

AD?DEBC?EACA應邊為DE和BC，EA和CA，得AB．

(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點，另一對應頂點為D和C，三組對應邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．

AD?AEAB?DECB得AC．

本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．

平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構成的兩個相似三角形，它的對應元素比較明顯，對應邊，對應角，對應頂點有同樣的順序性，對應邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖4-24)：

圖4-24 第二類是相交線型．

這一類型的對應元素不十分明顯，對應順序也不一致，對應邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個公共角，另一種是一組對頂角(圖4-25)．

圖4-25 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉化為這兩種基本類型． 例4 如圖4-26，已知：△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：AB·DF＝BC·EF．

圖4-26 點悟：如果我們把條件和結論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發現一個完全由紅線構成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長線)于A，C，F．這類問題添輔助線的方法至少有三種，即過紅線三角形任一頂點作對邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長線相交(如圖4-27)，在每一種圖形中，雖然只有一對平行線，但與這對平行線有關的基本圖形都能找到兩對，根據每一個基本圖形都可以寫出包含輔助線段在內的一個比例式．

圖4-27

AD?DFBHEF?CEBC以(2)為例，可以寫出ABBH?AB?DFAD，又可以寫出BH．前兩式均有BH，于是

?BC可得，及

BH?BC?EF，所以，有

AB?DF?EF．又因為ADCEADCE＝CE，于是有AB·DF＝BC·EF．(證略)利用比例線段也可以證明兩直線平行或兩線段相等．

例5 如圖4-28，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別是AD，BC的中點，AF與BE相交于G，CE和DF相交于H，求證：GH∥AD．

圖4-28 點悟：條件中的AD∥BC，給出了兩個基本圖形，而AE＝ED，BF＝FC，又使從兩

AG?DHHF個基本圖形中給出的比例式有一個公共的比值，從中可以得到GF．所以GH∥AD．

證明：∵ AD∥BC，AE?AGGFED?DHHF∴ BF，FC．

∵ AE＝ED，BF＝FC，AG?DHHF∴ GF，∴ GH∥AD．

例6 如圖4-29，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的長．

圖4-29 點悟：題設中的兩對平行線起著不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．這樣已知及欲求的線段BE，AE，AB，AF都在AB和AC這兩條邊上，利用EF∥BC，就可以得到相應的比例線段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF為平行四邊形，∴ ED＝CF＝AE．

設AE＝x，則 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AE?AFCFx?4x∴ BE，即15?x，2∴ x?4x?60?0

解得，x1??10(舍)，x2?6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．

例7 如圖4-30，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．

圖4-30 點悟：按照例4的分析，過點G作GM∥AC，根據平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM?MC?12DC∴ ．

BD∵ DCBD1?31，?61BD即2DC，MC?6?11?61．

?71BD?MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．

點撥：以上四例中，我們復習了線段成比例和平行線分線段成比例的有關知識．

【易錯例題分析】

例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點，AD?2∴ QCBP，?3BC?4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PC?DQPC，∠C＝∠D＝90°，?2．

AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：證此類題應避免沒有目標而亂推理的情況．

例2 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖4-31(1)、(2)所示，請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可保留)．

解：由AB＝1.5米，SΔABC?1.5平方米，得BC＝2米．設甲加工的桌面邊長為x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，CD?DEAB672?x?x1.5∴ CB，即2．

解得 x?，過點B作Rt△ABC斜邊AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．

由AB＝1.5米，BC＝2米，SΔABC?1.5平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米． 設乙加工的桌面邊長為y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽Rt△BAC．

BP?DEAC1.2?y?y2.5∴ BHy?，即1.2

3037303722即x＞y，x?y，解得，6因為7?所以甲同學的加工方法符合要求． 警示：解此類要避免看不出相似直角三角形而無法解的情況，更要避免看不出對應線段造成的比值寫錯而形成的計算錯誤．

例3 如圖4-32，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AF?BEBDAC于E、F．求證：AD．

圖4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．

BD?BEAFAF?BEBD∴ AD，即 AD．

警示：本例常見的錯誤是不證三角形相似，直接進行線段的比，這是規范的一種情況．

【同步達綱練習】

一、選擇題

1．如圖4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，則圖中與△ADC相似的三角形共有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．多于3個

2．某班在布置新年聯歡晚會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形彩條，如圖4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下寬為1cm的矩形紙條a1、a2、a3…若使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數是（）

A．24 B．25 C．26 D．27

圖4-33 圖4-34

二、填空題

3．如圖4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，則AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．

圖4-35 圖4-36 4．如圖4-36，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則圖中與△ABC相似的三角形共有________個，它們是_______________．

5．陽光通過窗口照到室內，在地面上留下2.7m寬的亮區，已知亮區到窗下的墻腳最遠距離是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底邊離地面的高等于________．

三、解答題

6．如圖4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2?PE?PF．

7．已知：如圖4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

圖4-37 圖4-38 8．四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：AC·BE＝AD·CE．

參考答案

【同步達綱練習】

1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD

5.4m 6．連結PC，先證明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再證明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2?PE?PF，∴PB2?PE?PF

7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF

(2)∵△EAF、△BCF都是底角為72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC

8．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE