2021中考數學

二輪專題匯編：相似三角形及其應用

一、選擇題

1.如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB和AC邊上，DE∥BC，M為BC邊上一點(不與點B，C重合)，連接AM交DE于點N，則

()

A.=

B.=

C.=

D.=

2.如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形(陰影部分)與△A1B1C1相似的是

()

3.(2019?雅安)若，且，則的值是

A．4

B．2

C．20

D．14

4.如圖①，長、寬均為3，高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱進行旋轉傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖②是此時的示意圖，則圖②中水面高度為

()

A.B.C.D.5.（2020·永州）如圖，在中，四邊形的面積為21，則的面積是（）

A.B.25

C.35

D.63

6.（2020·廣西北部灣經濟區）如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點E，F分別在AB，AC上，AD交EF于點N，則AN的長為（）

A．15

B．20

C．25

D．30

7.（2020·重慶B卷）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心．已知OA:OD=1:2，則△ABC與△DEF的面積比為（）

A．1:2

B．1:3

C．1:4

D．1:5

8.(2019?貴港)如圖，在中，點，分別在，邊上，，若，則線段的長為

A．

B．

C．

D．5

二、填空題

9.在某一時刻，測得一根高為1.8

m的竹竿的影長為3

m，同時同地測得一棟樓的影長為90

m，則這棟樓的高度為　　　　m.10.（2020·鹽城）

如圖，且，則的值為

．

11.(2019?郴州)若，則__________．

12.(2019?百色)如圖，與是以坐標原點為位似中心的位似圖形，若點，，則的面積為__________．

13.《九章算術》是我國古代數學名著，書中有下列問題:“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為5步，股(長直角邊)長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是　　　　步.14.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點，AE與CD交于點F，則DF的長為_________．

15.(2019?瀘州)如圖，在等腰中，，點在邊上，點在邊上，垂足為，則長為__________．

16.（2020·蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，點在第一象限內，連接、.已知，則_________.三、解答題

17.（2020·杭州）如圖，在中，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，．

（1）求證：．

（2）設，①若BC＝12，求線段BE的長；

②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．

18.(2019?廣東)如圖，在中，點是邊上的一點．

(1)請用尺規作圖法，在內，求作，使，交于；(不要求寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若，求的值．

19.如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點E，H分別在AB，AC上，已知BC=40

cm，AD=30

cm.(1)求證:△AEH∽△ABC;

(2)求這個正方形的邊長與面積.20.如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，過點A作AD∥BC，與∠ABC的平分線交于點D，BD與AC交于點E，與⊙O交于點F.(1)求∠DAF的度數；

(2)求證：AE2＝EF·ED；

(3)求證：AD是⊙O的切線．

21.如圖，☉O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是AC中點，直線OD與☉O相交于E，F兩點，P是☉O外一點，且P在直線OD上，連接PA，PC，AF，滿足∠PCA=∠ABC.(1)求證:PA是☉O的切線;

(2)證明:EF2=4OD·OP;

(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的長.22.如圖①，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，OD∥AC，OD交⊙O于點E，且∠CBD＝∠COD.(1)求證：BD是⊙O的切線；

(2)若點E為線段OD的中點，求證：四邊形OACE是菱形．

(3)如圖②，作CF⊥AB于點F，連接AD交CF于點G，求的值．

23.已知：在等邊△ABC中，D、E分別是AC、BC上的點，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足為點H.(1)如圖①，當點D、E分別在邊AC、BC上時，求證：△ABE≌△BCD；

(2)如圖②，當點D、E分別在AC、CB延長線上時，探究線段AC、AH、BE的數量關系；

(3)在(2)的條件下，如圖③，作EK∥BD交射線AC于點K，連接HK，交BC于點G，交BD于點P，當AC＝6，BE＝2時，求線段BP的長．

24.在平面直角坐標系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數根．比如對于方程x2－5x＋2＝0，操作步驟是：

第一步：根據方程的系數特征，確定一對固定點A(0，1)，B(5，2)；

第二步：在坐標平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B；

第三步：在移動過程中，當三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C的橫坐標m即為該方程的一個實數根(如圖①)；

第四步：調整三角板直角頂點的位置，當它落在x軸上另一點D處時，點D的橫坐標n既為該方程的另一個實數根．

(1)在圖②中，按照“第四步”的操作方法作出點D(請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡)；

(2)結合圖①，請證明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一個實數根；

(3)上述操作的關鍵是確定兩個固定點的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的實數根，請你直接寫出一對固定點的坐標；

(4)實際上，(3)中的固定點有無數對，一般地，當m1，n1，m2，n2與a，b，c之間滿足怎樣的關系時，點P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一對固定點？

2021中考數學

二輪專題匯編：相似三角形及其應用-答案

一、選擇題

1.【答案】C　[解析]根據DE∥BC，可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再應用相似三角形的性質可得結論.∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴=，∴=.故選C.2.【答案】B　[解析]根據勾股定理分別表示出已知三角形的各邊長，同理利用勾股定理表示出四個選項中陰影三角形的各邊長，利用三邊長對應成比例的兩個三角形相似可得結果，△A1B1C1各邊長分別為1，選項A中陰影三角形三邊長分別為:，3，三邊不與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似;選項B中陰影三角形三邊長分別為:，2，三邊與已知三角形的各邊對應成比例，故兩三角形相似;選項C中陰影三角形三邊長分別為:1，2，三邊不與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似;選項D中陰影三角形三邊長分別為:2，三邊不與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似，故選B.3.【答案】A

【解析】由a∶b=3∶4知，所以．

所以由得到：，解得．所以．

所以．故選A．

4.【答案】A　[解析]如圖所示.設DM=x，則CM=8-x，根據題意得:(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.∵∠D=90°.∴由勾股定理得:

BM===5.過點B作BH⊥水平桌面于H，∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°，∴∠HBA=∠DBM，∵∠AHB=∠D=90°，∴△ABH∽△MBD，∴=，即=，解得BH=，即水面高度為.5.【答案】B

【詳解】解：∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

故選：B．

6.【答案】

B

【解析】設正方形EFGH的邊長EF＝EH＝x，∵四邊EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四邊形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴（相似三角形對應邊上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本題選B．

7.【答案】C

【解析】本題考查了相似三角形的性質，∵△ABC與△DEF位似，且，∴，因此本題選C．

8.【答案】C

【解析】設，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設，∴，∴，∴，∴，故選C．

二、填空題

9.【答案】54

10.【答案】2

【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴，設DE＝x,則AB＝10－x∵AD＝BC＝4，∴，∴x1＝8,x2＝2(舍去)，此本題答案為2

．

11.【答案】

【解析】∵，∴，故2y=x，則，故答案為：．

12.【答案】18

【解析】∵與是以坐標原點為位似中心的位似圖形，若點，∴位似比為，∵，∴，∴的面積為：，故答案為：18．

13.【答案】　[解析]如圖①，∵四邊形CDEF是正方形，∴CD=ED=CF.設ED=x，則CD=x，AD=12-x.∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴x=.如圖②，四邊形DGFE是正方形，過C作CP⊥AB于P，交DG于Q，∵S△ABC=AC·BC=AB·CP，則12×5=13CP，∴CP=.設ED=y，同理得:△CDG∽△CAB，∴=，∴=，y=<，∴該直角三角形能容納的正方形邊長最大是步，故答案為:.14.【答案】

【解析】本題考查平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質．已知∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝5．CD⊥AB，由三角形的面積，得CD＝＝．易得△ABC∽△ACD∽△CBD，由相似三角形對應邊成比例，得AD＝＝，BD＝＝．過點E作EG∥AB交CD于點G，由平行線分線段成比例，得DG＝CD＝，EG＝，所以，即，所以DF＝，故答案為．

15.【答案】

【解析】如圖，過作于，則∠AHD=90°，∵在等腰中，，∴，∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，∴，∴CH=AC–AH=15–DH，∵，∴，又∵∠ANH=∠DNF，∴，∴，∴，∵，CE+BE=BC=15，∴，∴，∴，∴，故答案為：．

16.【答案】或2.8

【解析】本題考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，過點C作CD⊥y軸于點D，設AC交y軸于點E，∴CD∥x軸，∴∠CAO=∠ACD,△DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD,∴BD=DE,設BD=DE=x，則OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.三、解答題

17.【答案】

解：

（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C．∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC．

（2）①∵EF∥AB，∴＝＝．∵BC＝12，∴＝，∴BE＝4．

②∵EF∥AB，∴△EFC△BAC，∴＝．∵＝，∴＝．又∵△EFC的面積是20，∴＝，∴S△ABC＝45，即△ABC的面積是45．

18.【答案】

(1)如圖所示：

(2)∵，∴．

∴．

19.【答案】

[解析](1)根據EH∥BC即可證明.(2)設AD與EH交于點M，首先證明四邊形EFDM是矩形，設正方形邊長為x，利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解決問題.解:(1)證明:∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC.(2)如圖，設AD與EH交于點M.∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四邊形EFDM是矩形，∴EF=DM.設正方形EFGH的邊長為x

cm，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的邊長為

cm，面積為

cm2.20.【答案】

(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝36°，∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；

(2)證明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，∴△EAF∽△EDA，∴＝，∴AE2＝EF·ED；

(3)證明：如解圖，過點A作BC的垂線，G為垂足，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG過圓心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切線．

解圖

21.【答案】

解:(1)因為點D是AC中點，所以OD⊥AC，所以PA=PC，所以∠PCA=∠PAC，因為AB是☉O的直徑，所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，因為∠PCA=∠ABC，所以∠PAC=∠ABC，所以∠PAC+∠BAC=90°，所以PA⊥AB，所以PA是☉O的切線.(2)因為∠PAO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△PAO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.(3)因為tan∠AFP=，所以設AD=2x，則FD=3x，連接AE，易證△ADE∽△FDA，所以==，所以ED=AD=x，所以EF=x，EO=x，DO=x，在△ABC中，DO為中位線，所以DO=BC=4，所以x=4，x=，所以ED=x=.22.【答案】

(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半徑，∴BD是⊙O的切線；

(2)證明：如解圖，連接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE為等邊三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC為等邊三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四邊形OACE是平行四邊形，而OA＝OE，∴四邊形OACE是菱形；

解圖

(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴＝，即FC＝，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴＝，即FG＝，∴＝＝2，∴＝.23.【答案】

(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠CAB＝60°，AB＝BC，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD(ASA)；

(2)解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠CAB＝60°，AB＝BC，∴∠ABE＝∠BCD＝180°－60°＝120°.∴在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD(ASA)，∴BE＝CD.∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∵∠CAB＝60°，∴∠ADH＝30°，∴AD＝2AH，∴AC＝AD－CD＝2AH－BE；

(3)解：如解圖，作DS⊥BC延長線于點S，作HM∥AC交BC于點M，解圖

∵AC＝6，BE＝2，∴由(2)得AH＝4，BH＝2,與(1)同理可得BE＝CD＝2，CE＝8，∵∠SCD＝∠ACB＝60°，∴∠CDS＝30°，∴CS＝1，SD＝，BS＝7，∵BD2＝BS2＋SD2＝72＋()2，∴BD＝2，∵EK∥BD，∴△CBD∽△CEK，∴＝＝，∴CK＝＝＝，EK＝＝＝.∵HM∥AC，∴∠HMB＝∠ACB＝60°，∴△HMB為等邊三角形，BM＝BH＝HM＝2，CM＝CB－BM＝4，又∵HM∥AC，∴△HMG∽△KCG，∴＝，即＝，∴MG＝，BG＝，EG＝，∵EK∥BD，∴△GBP∽△GEK，∴＝，∴BP＝.24.【答案】

【思路分析】(1)因為點C是x軸上的一動點，且∠ACB＝90°保持不變，所以由圓周角的性質得，點C必在以AB為直徑的圓上，所以以AB為直徑畫圓，與x軸相交于兩點，除點C的另一點就是所求；(2)因為∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，所以過點B作BE⊥x軸，垂足為E，則構造了一個“K”字型的基本圖形，再由相似三角的性質得出比例式，化簡后得m2－5m＋2＝0，問題得證；(3)由(2)中的證明過程可知，一個二次項系數為1的一元二次方程，一次項系數是點A的橫坐標與點B的橫坐標的和的相反數；常數項是點A的縱坐標與點B的縱坐標的積，先把方程ax2＋bx＋c＝0，化為

x2＋x＋＝0，再根據上述關系寫出一對固定點的坐標；(4)由(2)的證明中知，本題的關鍵點在“K”字型的構造，所以本小題解題的關鍵是要抓住圖②中的“K”字型，只要P、Q兩點分別在AD、BD上，過P、Q分別作x軸垂線，垂足為M、N，這樣就構造出滿足條件的基本圖形，再應用相似三角形的性質，可得相應的關系式．

圖①

圖②

(1)解：如解圖①，先作出AB的中點O1，以O1為圓心，AB為半徑畫圓．

x軸上另外一個交點即為D點；(4分)

(2)證明：如解圖①，過點B作x軸的垂線交x軸于點E，∵∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDE＝90°，∵∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠OAD＝∠BDE，∵∠AOD＝∠DEB＝90°，∴△AOD∽△DEB，(6分)

∴＝，即＝，∴m2－5m＋2＝0，∴m是x2－5x＋2＝0的一個實根；(8分)

(3)解：(0，1)，(，)或(0，)，(－，c)；(10分)

(4)解：在解圖②中，P在AD上，Q在BD上，過P，Q分別作x軸的垂線交x軸于M，N.由(2)知△PMD∽△DNQ，∴＝，(12分)

∴x2－(m1＋m2)x＋m1m2＋n1n2＝0與ax2＋bx＋c＝0同解，∴－＝m1＋m2；＝m1m2＋n1n2.(14分)

【難點突破】本題是一道考查數形結合思想的題．本題解題的突破口要抓住∠ACB＝90°保持不變的特征，構造相似三角形中的基本圖形，通過數形結合的方法，以相似三角形的比例式為橋梁，以此獲得關于m的等量關系，從而使問題得以解決．