第一篇：九年級數學下冊27.4正多邊形和圓教案3新華東師大版

27.4正多邊形和圓

教學目標：1.了解正多邊形和圓的有關概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用多邊形和圓的有關知識畫多邊形． 2.復習正多邊形概念，讓學生盡可能講出生活中的多邊形為引題引入正多邊形和圓這一節間的內容．

3、通過正多邊形性質的教學培養學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；通過正多邊形有關概念的教學，培養學生的閱讀理解能力．

重難點：正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、?邊長之間的關系． 教學過程

一、探索新知

如果我們以正多邊形對應頂點的交點作為圓心，過點到頂點的連線為半徑，能夠作一個圓，很明顯，這個正多邊形的各個頂點都在這個圓上，如圖，?正六邊形ABCDEF，連結AD、CF交于一點，以O為圓心，OA為半徑作圓，那么肯定B、C、?D、E、F都在這個圓上．

因此，正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

為了今后學習和應用的方便，?我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個多邊形的中心．

外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

例1．已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑

ED是a，?求正六邊形的周長和面積．

O

CF

AMB 現在我們利用正多邊形的概念和性質來畫正多邊形．

例2．利用你手中的工具畫一個邊長為3cm的正五邊形．

分析：要畫正五邊形，首先要畫一個圓，然后對圓五等分，因此，?應該先求邊長為3的正五邊形的半徑．

二、嘗試應用

例3．在直徑為AB的半圓內，劃出一塊三角形區域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現要建造一個內接于△ABC?的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24-94的設計方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的邊AB上的高h．

（2）設DN=x，且h?DNNF?，當x取何值時，水池DEFN的面積最大？ hAB（3）實際施工時，發現在AB上距B點1．85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否

位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護大樹，請設計出另外的方案，使內接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．

CNhADGE

分析：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現學的知識，應用配方法求最值．（3）的設計要有新意，?應用圓的對稱性就能圓滿解決此題．

三、歸納小結（學生小結，老師點評）本節課你有什么收獲？

四、當堂達標

1．如圖1所示，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則∠ADB的度數是（）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

FB

(1)(2)(3)2．圓內接正五邊形ABCDE中，對角線AC和BD相交于點P，則∠APB的度數是（）． A．36° B．60° C．72° D．108° 3．若半徑為5cm的一段弧長等于半徑為2cm的圓的周長，?則這段弧所對的圓心角為（）A．18° B．36° C．72° D．144°

4．已知正六邊形邊長為a，則它的內切圓面積為_______． 5.正五邊形ABCDE的對角線AC、BE相交于M．

（1）求證：四邊形CDEM是菱形；（2）設MF=BE·BM，若AB=4，求BE的長．

教后反思：

第二篇：九年級數學圓教案4

第二十四章“圓”簡介

課程教材研究所

李海東

與三角形、四邊形等一樣，圓也是基本的平面圖形，也是“空間與圖形”的主要研究對象，是人們生活中常見的圖形。本章將在學生前面學習了一些基本的直線形──三角形、四邊形等的基礎上，進一步研究一個基本的曲線形──圓，探索圓的有關性質，了解與圓有關的位置關系等，并結合一些圖形性質的證明，進一步發展學生的邏輯思維能力。本章共安排四個小節和兩個選學內容，教學時間大約需要17課時，具體安排如下（僅供參考）：

24.1 圓

5課時 24.2 與圓有關的位置關系

6課時 24.3 正多邊形和圓

2課時 24.4 弧長和扇形的面積

2課時 數學活動

小結

2課時

一、教科書內容和課程學習目標

（一）本章知識結構框圖

本章知識結構如下圖所示：

（二）教科書內容

本章是在學習了直線圖形的有關性質的基礎上，來研究一種特殊的曲線圖形──圓的有關性質。圓也是常見的幾何圖形之一，不僅日常生活中的許多物體是圓形的，而且在工農業生產、交通運輸、土木建筑等方面都可以看到圓。圓的有關性質，也被廣泛的應用。圓也是平面幾何中最基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且是進一步學習數學以及其他科學的重要的基礎。圓的許多性質，比較集中地反映了事物內部量變與質變的關系、一般與特殊的關系、矛盾的對立統一關系等等。結合圓的有關知識，可以對學生進行辯證唯物主義世界觀的教育。所以這一章的教學，在初中的學習中也占有重要地位。

本章是在小學學過的一些圓的知識的基礎上，系統的研究圓的概念、性質、圓中有關的角、點與圓、直線與圓、圓與圓、圓與正多邊形之間的位置、數量關系。本章共分為四個小節，第1小節是“圓”，主要是圓的有關概念和性質，圓的概念和性質是進一步研究圓與其他圖形位置、數量關系的主要依據，是全章的基礎。這一節包括“圓”“垂直于弦的直徑”“弧、弦、圓心角”“圓周角”四個部分。“24.1.1 圓”的主要內容是圓的定義和圓中的一些相關概念。圓的定義是研究圓的有關性質的基礎。在小學，學生接觸過圓，對它有一定的認識。教科書首先結合生活中一些圓的實際例子，在學生小學學過的畫圓的基礎上，通過設置一個觀察欄目，用“發生法”給出了圓的定義。進一步的教科書又分析了圓上每一個點與圓心的距離都等于定長，同時到定點的距離等于定長的點都在圓上，這樣實際上從點和集合的角度進一步認識圓，這樣再認識之后，學生對圓的 認識就加深了。接下來，是與圓有關的一些概念，如半徑、直徑、弦、弧等，對于這些概念要讓學生結合圖形進行認識，并多進行比較，以搞清他們的異同。在接下來的幾部分，教科書探究并證明了垂徑定理、弧、弦、圓心角的關系定理、圓周角定理。垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質，是圓的軸對稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關系的重要依據，同時也為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據；圓周角定理及其推論對于角的計算、證明角相等、弧、弦相等等問題提供了十分簡便的方法。所以垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是本小節的重點，也是本章的重點內容。而垂徑定理及其推論的條件和結論比較復雜，容易混淆，圓周角定理的證明要用到完全歸納法，學生對與分類證明的必要性不易理解，所以這兩部分內容也是本節的難點。

“24.2 與圓有關的位置關系”包括三部分內容，點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系。在“點與圓的位置關系”中，教科書首先結合射擊問題，給出了點與圓的三種不同位置關系，接下來討論了過三點的圓，并結合“過同一直線上的三點不能作圓”介紹了反證法。在“直線與圓的位置關系”中，教科書首先討論了直線與圓的三種位置關系，然后重點研究了直線與圓相切的情況，給出了直線與圓相切的判定定理、性質定理、切線長定理，在此基礎上介紹了三角形的內切圓。在“圓與圓的位置關系”中，重點是討論圓與圓的不同位置關系。本小節中，直線與圓的位置關系是中心內容，切線的判定定理、性質定理、切線長定理等則是研究直線與圓的有關問題時常用的定理，是本節的重點內容。反證法的思想在前面章節有所滲透，在這一小節正式提出，它是一種間接證法，學生接受還是有一定的困難，所以對于反證法的教學是本節的一個難點；另外切線的判定定理和性質定理的題設和結論容易混淆，證明性質定理又要用到反證法，因此這兩個定理的教學也是本節的難點，這些也同時是本章的難點。正多邊形是一種特殊的多邊形，它有一些類似于圓的性質。例如，圓有獨特的對稱性，它不僅是軸對稱圖形、中心對稱圖形，而且它的任意一條直徑所在直線都是它的對稱軸，繞圓心旋轉任意一個角度都能和原來的圖形重合。正多邊形也是軸對稱圖形，正n邊形就有n條對稱軸，當n為偶數時，它也是中心對稱圖形，而且繞中心每旋轉，都能和原來的圖形重合，可見正多邊形和圓有很多內在的聯系。另外，正多邊形也在生產和生活中有著廣泛的應用，所以教科書接下來安排了“正多邊形和圓”的內容。教科書回顧學生已經了解的正多邊形概念的基礎上，以正五邊形為例，證明了利用等分圓周得到正五邊形的方法，接下來介紹了正多邊形的有關概念，如中心、半徑、中心角、邊心距等，并進一步介紹了畫正多邊形的方法。正多邊形的有關計算是本節的重點內容，這些計算都是幾何中的基礎知識，正確掌握它們也要綜合運用以前所學的知識，這些知識在生產和生活中也常要用到。本節的教學難點在學生對正n邊形中“n”的接受和理解上。學生對三角形、四邊形、圓等這些具體圖形比較習慣，對于泛指的n邊形

不習慣。為了降低難度，教科書涉及的證明、計算等問題都是結合具體的多邊形為例的，教學時要注意把這種針對具體圖形的結論和方法推廣，使學生實現由具體到抽象，特殊到一般的認識上的飛躍，提高學生的思維能力。

教科書接下來的24.4節的主要內容是一些與圓有關的計算，包括兩部分“弧長和扇形的面積”“圓錐的側面積和全面積”?！盎￠L和扇形的面積”是在小學學過的圓周長、面積公式的基礎上推導出來的，應用這些公式，就可以計算一些與圓有關的簡單組合圖形的周長和面積。由于圓錐的側面展開圖是扇形，所以教科書接下來介紹了圓錐的側面積和全面積的計算。這些計算不僅是幾何中基本的計算，也是日常生活中經常要用到的，運用這些知識也可以解決一些簡單的實際問題。圓錐的側面積的計算還可以培養學生的空間觀念，因此對這部分內容的教學也要重視。

（三）課程學習目標

1．理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征。

2.了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線。

3.了解三角形的內心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓。

4.了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側面積及全面積。

5.結合相關圖形性質的探索和證明，進一步培養學生的合情推理能力，發展學生的邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的教學，進一步培養學生綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力，同時對學生進行辯證唯物主義世界觀的教育。

二、本章編寫特點

（一）突出圖形性質的探索過程，重視直觀操作和邏輯推理的有機結合 圓是日常生活中常見的圖形之一，也是平面幾何中的基本圖形，本章重點研究了與圓有關的一些性質。教科書在編寫時，注意突出圖形性質的探索過程，重

視直觀操作和邏輯推理的有機結合，通過多種手段，如觀察度量、實驗操作、圖形變換、邏輯推理等來探索圖形的性質。

例如結合圓的軸對稱性，發現垂徑定理及其推論；利用圓的旋轉對稱性，發現圓中弧、弦、圓心角之間的關系；通過觀察、度量，發現圓心角與圓周角、圓周角之間的數量關系；利用直觀操作，發現點與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關系等等。在學生通過觀察、操作、變換探究出圖形的性質后，還要求學生能對發現的性質進行證明，使直觀操作和邏輯推理有機的整合在一起，使推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續。

（二）注意聯系實際

圓是人們日常生活和生產中應用較廣的一種幾何圖形，不僅日常生活中許多物體是圓形的，而且在工農業生產、交通運輸、土木建筑等方面都可以見到圓。這部分內容與實際聯系比較緊密。在教科書編寫時，也充分注意到這一點。例如，在引入圓、正多邊形等概念時，舉出了大量的實際生活中的例子；在介紹點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系時，也是注意從它們在實際生活中的應用引入；利用垂徑定理解決求趙州橋的主橋拱半徑的問題；根據海洋館中人們視野的關系引出研究圓周角與圓心角、圓周角之間的關系；利用正多邊形的有關計算求亭子的地基；實際問題中有關弧長、扇形的面積、圓錐的側面積和全面積的計算問題等等。教科書的例、習題中也有一些實際應用的例子等等。這些材料都是從實際中提煉出來的，要通過這些知識的教學，幫助學生從實際生活中發現數學問題、運用所學知識解決實際問題。教學時，還可以根據本地區的實際，選擇一些實際問題，引導學生加以解決，提高他們應用知識解決問題的能力。

（三）重視滲透數學思想方法

教學中不僅要教知識，更重要的是教方法，本章重涉及的數學思想方法也比較多。例如，圓周角定理證明中的通過分類討論，把一般問題轉化為特殊情況來證明；研究點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系時的分類的思想；研究正多邊形的有關問題是通過把問題轉化為解直角三角形來解決的；正多邊形的畫圖是通過等分圓來完成的；等等。通過這些知識的教學，使學生學會化未知為已知、化復雜為簡單、化一般為特殊或化特殊為一般的思考方法，提高學生分析問題和解決問題的能力。

另外，在本章，通過理論聯系實際，對學生進行唯物論認識論的教育；通過圓的許多性質之間的內在聯系，圓與其他圖形之間量變與質變的關系，一般與特殊之間的關系等，對學生進行辯證唯物主義觀點的教育；使學生增強民族的自豪感和振興中華的使命感，對他們進行學習目的的教育，培養他們良好的個性品質。

三、幾個值得關注的問題

（一）進一步培養推理論證能力

從培養學生的邏輯思維能力來說，“圓”這一階段處于學生初步掌握了推理論證方法的基礎上進一步鞏固和提高的階段，不僅要求學生能熟練地用綜合法證明命題，熟悉探索法的推理過程，而且要求了解反證法。教學中要重視推理論證的教學，進一步提高學生的思維能力。教科書在這方面也還是很重視的。在推理與證明的要求方面，除了要求學生對經過觀察、實驗、探究得出的結論進行證明以外，有一些圖形的性質是直接由已有的結論經過推理論證得出的。另外，為了鞏固并提高學生的推理論證能力，本章的定理證明中，除了采用了規范的證明方法外，還有一些采用了探索式的證明方法。這種方法不是先有了定理再去證明它，而是根據題設和已有知識，經過推理，得出結論。這些對激發學生的學習興趣，活躍學生的思維，對發展學生的思維能力有好處。教學中要注意啟發和引導，使學生在熟悉“規范證明”的基礎上，推理論證能力有所提高和發展。

另外，這部分內容所涉及的圖形很多是圓和直線形的組合，而且題目也相對以前比較復雜，教學時應注意多幫助學生復習有關直線形的知識，做到以新帶舊、新舊結合，而且要加強解題思路的分析，幫助學生樹立已知與未知、簡單與復雜、特殊與一般在一定條件下可以轉化的思想，使學生學會把未知化為已知，把復雜問題化為簡單問題，把一般問題化為特殊問題的思考方法。如對于圓周角定理的證明，可以先從最簡單的情況──角的一邊經過圓心時入手，再推廣到一般情形。通過這樣的訓練，可以提高學生邏輯思維能力和分析解決實際問題的能力。

（二）重視知識間的聯系與綜合

圓是學生學習的第一個曲線形。學生由學習直線形到曲線形，在認識上是一個飛躍。在教學時，應注意充分利用學生在小學學過的圓的知識，搞好銜接。同時要注意加強圓和直線形的聯系，把圓和直線形的有關問題對照講解。如在講“不在同一直線上的三個點確定一個圓”時，可以和“兩點確定一條直線”相對照，這樣可以加深學生對知識的理解。教科書在編寫時，也注意從學生學習的規律出發，加強新舊知識的聯系，發揮知識的遷移作用。例如，在講圓的定義時，先回顧小學學過的定義，在分析圓上的點的特征的基礎上，用集合語言重新給出描述；在學習圓及正多邊形的計算時，注意將新知識與直角三角形的知識、小學學過的圓的周長與面積的知識聯系起來，使新知識在學生眼里不陌生，容易接受。

圓是一種特殊曲線，它有獨特的對稱性。它不僅是軸對稱圖形、中心對稱圖形，而且它的任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。繞圓心旋轉任意一個角度都能與原來的圖形重合（旋轉對稱性）。圓的對稱性在日常生活和生產中有著廣泛的應用，因此應當讓學生很好地掌握。在研究圓的有關性質時，充分利用圓的 對稱性也是本章編寫的一個特點。如垂徑定理，弧、弦、圓心角的關系，切線長定理等，都是讓學生充分利用圓的這些對稱性，通過觀察、實驗等探究出性質，再進行證明，體現圖形的認識、圖形的變換、圖形的證明的有機結合。這些也是教學時應當重點注意的。

（三）注意把握好教學要求

本章教學內容與以往教材內容相比，刪減幅度比較大（原義教大綱教材53課時，現在17課時），教學時要注意把握好教學要求。教學內容應當限制在課標和教材所出現的范圍，按照課標要求刪減的內容，教學中不要再揀回，以免影響學生對基礎知識的學習。對于推理論證的要求，課程標準中在本章沒有明確規定。教科書中是按照整套教科書對于推理證明的要求來處理的。在本章，要求學生對于一些圓的有關性質進行證明，并利用這些性質去證明一些相關的結論。但要注意，這里的證明也要控制難度，對于一般學生，控制在教科書“綜合應用”的題目難度內，對于學有余力的學生，可以要求他們完成“拓廣探索”欄目的習題。

反證法的思想在七年級上冊教科書代數部分就有涉及，在后續的相關章節也有應用。但當時只是滲透反證法的思想，沒有作為一種方法提出。在本章，結合“過同一直線上的三點不能作圓”，正式提出了反證法，并且在后續內容，如“圓的切線垂直于過切點的半徑”的證明時也有應用。由于反證法是一種間接證法，學生接受起來有一定困難。因此，教科書主要是要求讓學生理解反證法的思想，后續習題也沒有安排相應的習題。這里也要注意把握好對反證法的要求，不要讓學生作過多過難的關于反證法的習題。

另外，圓有許多重要性質，其中最主要的是圓的對稱性（軸對稱和旋轉不變性），教科書在證明圓的許多重要性質時，都運用了它的對稱性。但是，因為用對稱的定義證明問題，對學生來說比較困難，所以在本章的教學中，一方面要重視利用圓的對稱性（教科書中在使用圓的對稱性）；另一方面又不應要求學生嚴格地利用對稱性寫出證明過程。教學中要把握好這個要求。

（四）重視信息技術的應用

在本章的教學中，有條件的學校還是要重視信息技術工具的使用。利用信息技術工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動起來。許多計算機軟件還具有測量功能，這也有利于我們在圖形運動變化的過程中去發現其中不變的位置關系和數量關系，有利于發現圖形的性質。

例如，本章許多圖形的性質都可以利用計算機軟件設置一些探究活動，讓圖形動起來，在這種運動變化中發現圖形的性質。如弧、弦、圓心角之間的關系。

有許多計算機軟件具有測量功能，可以方便地測出角的大小和線段的長度，這也有利于在運動變化中觀察它們的關系，發現圖形的性質。如圓周角定理。另外還可以通過計算機軟件讓圖形動起來，在動態變化過程中去發現點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，還可以通過測量，去發現這種位置關系所對應的數量關系，如直線與圓的位置關系中直線到圓心的距離與圓的半徑的關系，兩圓位置關系中圓心距與圓半徑的關系等。

第三篇：九年級數學下冊 24.6 正多邊形與圓教案 滬科版

第24章 圓

24.6正多邊形與圓（2）

——正多邊形的性質

【教學內容】正多邊形與圓 【教學目標】 知識與技能

了解正多邊形和圓的有關概念；，會應用多邊形和圓的有關知識畫多邊形． 過程與方法

通過作圖，培養作圖能力．

情感、態度與價值觀

通過探究 正多邊形與圓知識，逐步培養學生的研究問題能力；培養學生解 決實際問題的能力和應用數學的意識。

【教學重難點】 重點：正多邊形與圓

難點：正多邊形與圓

【導學過程】 【知識回顧】 1.復習

（1）什么叫正多邊形？

（2）從你身邊舉出兩三個正多邊形的實例，正多邊形具有軸對稱、?中心對稱嗎？其對稱軸有幾條，對稱中心是哪一點？ 【情景導入】

【新知探究】

探究

一、1、正多邊形和圓有什么關系？ 只要把一個圓分成 的一些弧，就可以作出這個圓的，這個圓就是這個正多邊形的。

2、通過教材圖形，識別什么叫正多邊形的中心、正多邊形的中心角、正多邊形的邊心距？

3、計算一下正五邊形的中心角時多少？正五邊形的一個內角是多少？正五邊形的一個外角是多少？正六邊形呢？

4通過上述計算，說明正n邊形的一個內角的度數是多少？中心角呢？正多邊形的中心角與外角的大小有什么關系？

5、如何利用等分圓弧的方法來作正n邊形？ 方法

一、用量角器作一個等于 的圓心角。

方法

二、正六邊形、正三角形、正十二邊形等特殊正多邊形的作法？

…….【知識梳理】

正多邊形與圓的概念。【隨堂練習】

1．如圖1所示，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則∠ADB的度數是（）． A．60° B．45° C．30° D．22．5°

BDCA

(1)(2)(3)2．圓內接正五邊形ABCDE中，對角線AC和BD相交于點P，則∠APB的度數是（）． A．36° B．60° C．72° D．108°

3．若半徑為5cm的一段弧長等于半徑為2cm的圓的周長，?則這段弧所對的圓心角為（）

A．18° B．36°C．72° D．144°

4．已知正六邊形邊長為a，則它的內切圓面積為_____．

5．如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C為圓心，CA長為半徑的圓交AB于D，若AC=6，則AD的長為_______．

6．四邊形ABCD為⊙O的內接梯形，如圖3所示，AB∥CD，且CD為直徑，?如果⊙O的半徑等于r，∠C=60°，那圖中△OAB的邊長AB是______；△ODA的周長是_______；∠BOC的度數是________．

第四篇：九年級數學正多邊形與圓教案

九年級數學正多邊形與圓教案

學習目標：

1、了解正多邊形的概念、正多邊形和圓的關系；

2、會通過等分圓心角的方法等分圓周，畫出所需的正多邊形；

3、能夠用直尺和圓規作圖，作出一些特殊的正多邊形；

4、理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念。

學習重點：正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系。學習難點：利用直尺與圓規作特殊的正多邊形。學習過程：

一、情境創設：

觀察下列圖形，你能說出這些圖形的特征嗎？

提問：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質？

2．正方形的邊、角各有什么性質？

二、探索活動：

活動一 觀察生活中的一些圖形，歸納它們的共同特征，引入正多邊形的概念

概念： 叫做正多邊形。

（注：各邊相等與各角相等必須同時成立）

提問：矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

活動二 用量角器作正多邊形，探索正多邊形與圓的內在聯系

1、用量角器將一個圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點所得的n邊形是這個圓的內接正n邊形；圓的內接正n邊形將圓n等分；

2、正多邊形的外接圓的圓心叫正多邊形的中心?；顒尤?探索正多邊形的對稱性

問題：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中，哪些是軸對稱圖形？哪些是中心對稱圖形？哪些既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形？如果是軸對稱圖形，畫出它的對稱軸；如果是中心對稱圖形，找出它的對稱中心。

問題：正多邊形與圓有什么關系呢？什么是正多邊形的中心？

發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓．圓心就是正多邊形的中心。

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形．要將圓六等分呢？你知道為什么嗎？

思考：任何一個正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形嗎？跟邊數有何關系？ 結論：正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形有 條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的 ；一個正多邊形，如果有偶數條邊，那么它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。活動四 利用直尺與圓規作特殊的正多邊形 問題：用直尺和圓規作出正方形，正六多邊形。

思考：如何作正八邊形正三角形、正十二邊形？

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

拓展2：各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形？

三、課堂練習

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內角是______．

4、正n邊形的一個外角度數與它的______角的度數相等．

5、P144 練習1、2

四、課堂小結

1、正多邊形的概念、正多邊形與圓的關系以及正多邊形的對稱性；

2、利用直尺與圓規作一些特殊的正多邊形。

正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個中心角都等于 ．

五、課堂作業：

P108 5 6

第五篇：[初中數學]正多邊形和圓教案2 人教版

《正多邊形和圓》教案2 教學目標 ：

（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理；

（2）通過正多邊形定義教學，培養學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力；

（3）進一步向學生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學重點：

正多邊形的概念與正多邊形和圓的關系的第一個定理．

教學難點 ：

對定理的理解以及定理的證明方法．

教學活動設計：

（一）觀察、分析、歸納：

觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質？

2．正方形的邊、角各有什么性質？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質的共同點．

教師組織學生進行，并可以提問學生問題．

（二）正多邊形的概念：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

（2）概念理解：

①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等．菱形不是正多邊形，因為角不一定相等．

（三）分析、發現：

問題：正多邊形與圓有什么關系呢？

發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關系的定理

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；

(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．

我們以n=5的情況進行證明．

已知：⊙O中，= = = =，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經過點A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

證明：（略）

引導學生分析、歸納證明思路：

弧相等

說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可以根據這個定理來判定，即：①依次連結圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正多邊形或根據它作正多邊形．

（五）初步應用

P157練習

1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么? 2．求證：正五邊形的對角線相等．

3．如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內接和外切正五邊形．

（六）小結：

知識：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形．

能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

（七）作業 教材P172習題A組2、3． 教學設計示例2 教學目標 ：

（1）理解正多邊形與圓的關系定理；

（2）理解正多邊形的對稱性和邊數相同的正多邊形相似的性質；

（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（4）通過正多邊形性質的教學培養學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；

教學重點：

理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質定理．

教學難點 ：

對“正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解．

教學活動設計：

（一）提出問題：

問題：上節課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內切圓呢？

（二）實踐與探究：

組織學生自己完成以下活動．

實踐：

1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

2、作已知三角形的內切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內切圓有什么關系？

探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點．)（2）根據正方形的哪個性質證明對角線的交點是它的外接圓圓心？

（3）正方形有內切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？

（三）拓展、推理、歸納：

（1）拓展、推理：

過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結OA、OB、OC、OD．

同理，點E在⊙O上．

所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O．

因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內切圓．

（2）歸納：

正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上

它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑．

其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑．

正五邊形的各頂點共圓．

正五邊形有外接圓．

圓心到各邊的距離相等．

正五邊形有內切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．

照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內切圓．

定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓．

正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個中心角都等于 ．

（3）鞏固練習：

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內角是______．

4、正n邊形的一個外角度數與它的______角的度數相等．

（四）正多邊形的性質：

1、各邊都相等．

2、各角都相等．

觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？

3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．邊數是偶數的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．

4、邊數相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．

5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓．

以上性質，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養學生的探究問題的能力、培養學生的研究意識，也培養學生的協作學習精神．

（五）總結

知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（2）正多邊形與圓的關系定理、正多邊形的性質．

能力：探索、推理、歸納等能力．

方法：證明點共圓的方法．

（六）作業 P159中練習1、2、3．

教學設計示例3 教學目標 ：

（1）鞏固正多邊形的有關概念、性質和定理；

（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；

（3）通過例題的研究，培養學生的探索精神和不斷更新的創新意識及選優意識．

教學重點：

綜合運用正多邊形的有關概念和正多邊形與圓關系的有關定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯想和化歸．

教學難點 ：綜合運用知識證題．

教學活動設計：

（一）知識回顧

1．什么叫做正多邊形？

2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3．正多邊形有哪些性質？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)4．正n邊形的每個中心角都等于 ．

5．正多邊形的有關的定理．

（二）例題研究：

例

1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．

已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可．

教師引導學生分析，學生動手證明．

證法1：連結OA、OB、OC，∵五邊形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

同理 = = =，即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點．所以五邊形ABCDE是正五邊形．

反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關系定理1來判定，證明關鍵是證出各切點為圓的等分點．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．

此外，用正多邊形與圓的關系定理1中“把圓n等分，依次連結各分點，所得的多邊形是圓內接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內接n邊形是正n邊形”，證明關鍵是證出各接點是圓的等分點。

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法．

拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚．

例

2、已知：正六邊形ABCDEF．

求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內切圓．

作法：1過A、B、C三點作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．

2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內切圓．

用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內切圓．

練習：P161

1、求證：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形．

2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例．

(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；

(2)各角相等的圓內接多邊形是正多邊形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內切圓．

（三）小結

知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質和判定方法．

能力與方法：重點復習了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內切圓的畫法．

（四）作業

教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4．

探究活動

折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形．

（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）

（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形．

（提示：可以．主要應用把一個直角三等分的原理．參考圖形如下：

①對折成小正方形ABCD；

②對折小正方形ABCD的中線；

③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；

④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形．）

探究問題：

（安徽省2002）某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：

甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形；

乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形, 形，= =，可以證明六邊形ADBECF的各內角相等，但它未必是正六邊形；

丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形．我想，邊數是7時，它可能也 是正多邊形．

(1)請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等．

(2)請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．

(3)根據以上探索過程，提出你的猜想(不必證明)．

（1）[說明]（2）[證明]（3）[猜想]

解：（1）由圖知∠AFC對 ．因為 =，而∠DAF對的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內角相．

（2）因為∠A對，∠B對，又因為∠A=∠B，所以 = ．所以 = ．

同理 = = = = = = ．所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形．

猜想：當邊數是奇數時(或當邊數是3，5，7，9，……時)，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形