第一篇：《概率的預測》教案4(華東師大九年級上)

概率的預測

第一課時 什么是概率

（一）教學內容

本節課主要學習概率的定義和通過列表法解決理論概率問題，從實驗中尋找規律 教學目標

1、知識與技能

通過實驗，理解事件發生的可能性問題，感受理論概率的意義

2、過程與方法

經歷實驗等活動過程，學會用列表法估計某一事件發生的概率

3、情感、態度與價值觀 發展學生合作交流的意識和能力 重難點、關鍵

重點：運用列表法計算簡單事件發生的概率 難點：對概率的理解 關鍵：在實驗中尋找規律 教學準備

教師準備：骰子、撲克牌、硬幣 學生準備：骰子、撲克牌、硬幣 教學過程

一、合作實驗，尋找規律

1、實驗感知

教師活動：拿出一枚硬幣拋擲，提出：結果有幾種情況？

學生活動：拿出一枚硬幣拋擲發現結果只有兩種情況：“出現正面”和“出現反面”，而且發生的可能性均等

教師引入：表示一個事件發生的可能性大小的這個數，叫做該事件的概率

11，出現反面的概率是 2211教師引導：可記作P（出現正面）=，P（出現反面）=

22學生聯想：拋擲一枚硬幣出現正面的概率是

2、問題提出

投擲一枚普通的六面體骰子，“出現數字為5”的概率為多少？

B.投擲一枚均勻的骰子，每個點數出現的頻率相同

C.轉盤A大，轉盤B大，顏色和圖案都一樣的情況下，用轉盤A實驗成功的概率大 D.明天一定會下雨

6.如圖26.1-2，有一個被等分為8個角形的轉盤，轉動轉盤，指針落在白色區域的概率是（）

153A.1 B.3 C.8 D.8

7.袋子里有1個紅球，3個白球，5個黃球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸1個球： ⑴摸到紅球的概率是多少？ ⑵摸到白球的概率是多少？ ⑶摸到黃球的概率是多少？ ⑷哪一個概率大？

第二課時 什么是概率

（二）教學內容

本節課繼續上一節的內容，學習概率的應用 教學目標 1.知識與技能

通過第一課時問題的變式推廣，掌握并運用列表法計算簡單事件發生的概率 2.過程與方法

經歷實驗、統計等活動過程，在活動中進一步發展學生的合作交流意識，學會求簡單事件的概率的方法

3.情感、態度與價值觀

培養應用概率解決問題的能力，感受其實際價值 重難點、關鍵

1.重點：掌握列表法、樹狀圖來計算簡單事件的概率的方法 2.難點：理解概率的內涵

3.關鍵：運用實驗的方法獲取數據，列成表格或樹狀圖，直觀地求出事件的概率 教學準備

1.教師準備：投影儀、撲克牌

只口袋中取出黑球的概率，P甲（取出黑球）=所以應選乙袋成功機會大

848088???，P（取出黑球）=，乙30152902930教師活動：參與分析例

2、例3，并講解求解的方法

學生活動：參與分析例

2、例3，從中認識理論概率的運算方法 三．繼續探究，實驗牽引 1．課堂演練 用列表法求概率：

⑴將一枚均勻的硬幣擲兩次，兩次都是正面朝上的概率是多少？

⑵游戲者同時轉動如下圖26.1-3（甲）、（乙）中兩個轉盤進行“配紫色”游戲，求游戲者獲勝的概率

教師活動：提出問題，引導學生掌握列表求解概率的具體步驟

學生活動：書面練習，同桌交流（拿出制作的學具，如上圖26.1-3（甲）、（乙））

2． 思路點撥

⑴擲兩次硬幣，兩次都是正面朝上的概率是，所列表格可以是：

⑵游戲者獲勝的概率等于，所列表格可以是：

四．隨堂練習，鞏固深化 1． 課本P113練習

2． 探研時空

隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，至少有一次正面朝上的概率是多少？ 思路點撥：運用樹狀圖分析如下：

總共有4種結果，每種結果出現的可能性相同，而至少有一次正面朝上的結果有3次：（正，正）、（正，反）、（反，正）,所以至少有一次正面朝上的概率是五．課堂總結，提高認識

本節課主要學習列表法、樹狀圖求概率，在學習中要領會概率與統計之間的內在聯系，學會多樣思維

六．布置作業，專題突破 1.課本P117習題26.1第3題 2.選用課時作業優化設計 七．課后反思（略）

第二課時作業優化設計

1.如圖26.1-4，均勻的正四面體的各面依次標有1，2，3，4四個數字，同時拋擲兩個這樣的四面體，它們著地一面的數字不同的概率你能求得出來嗎？與同伴交流

3，本題也可用列表法 4

2.如果有兩組同樣的牌，每組3張，它們的牌面數字分別是3，4，5，那么從每組牌中各摸出一張牌，兩張牌面數字和為幾的概率最大？兩張牌面數字和等于8的概率是多少？

第三課時 在復雜情況下列舉所有機會均等的結果

（一）教學內容

本節課主要學習復雜狀態下機會均等的事件結果 教學目標 1.知識與技能

思路點撥：50個同學有2個同學的生日相同，并不能說明50個同學中有2個同學生日相同的概率是1；而50個同學中沒有2個同學生日相同，也不能說其概率為0.教師活動：提出問題，組織學生交流，適時引導 學生活動：小組合作探究，而后進行小組匯報 二．獲例學習，應用所學

教師活動：復習列表法與樹狀圖的應用 投影顯示課本P113例4 思路點撥：這里投擲硬幣的次數為3，第一次可能出現的結果只有兩種：正

面和反面；但是第二次投擲的結果有四種：正，反，正，反，即

第三次再投擲，那是在第二次的結果上：。

從上到下就有：，從上到下每一條路徑就是一種可能的結果，這里每一種結果發生的機會均等，即P（正正正）=P（正正反）=8教師活動：引導學生畫樹狀圖，并請一位學生上臺解釋自己畫的樹狀圖，然后再寫出解答。（見課本P114）

學生活動：討論例4，應用樹狀圖進行分析，進一步理解樹狀圖的分析方法 拓展延伸：課本P114思考 師生活動：教師組織學生進行討論 三．聯系實際，豐富聯想

課堂活動：每個同學課外調查10人的生日寫在紙條上，從全班的調查結果中隨機選取50個被調查的人，看看他們中有沒有2個人的生日相同，將全班同學的調查數據集中起來設計一個方案，估計50人中有2個生日相同的概率

所有機會均等的結果(二)

教學內容

本節課繼續學習復雜情況下機會均等的事件結果問題、教學目標

1．知識與技能．

能利用實驗的方法估計一些復雜的隨機事件發生的概率；形成對某一事件發生的概率的較為全面的理解． ‘ 2．過程與方法．

經歷實驗、統計等活動的過程，在活動中進一步發展學生合作交流的意識和能力．初步形成隨機觀念．

3．情感、態度與價值觀．

發展學生初步的辨證思維能力，感受概率的應用價值．

重難點、關鍵

1．重點：學會，應用實驗的方法估計隨機事件的概率． 2．難點：理解概率的內涵；對模擬實驗的了解．

3．關鍵：概率的實驗估算、理論計算以及頻率的偏差等應是理解概率的一個關鍵．

教學準備

l.準備：投影儀、12生肖郵票制戒投影片、編球號l～12號、布口袋、計算器． 2．學生準備：計算器． 教學過程

一、問題牽引，小組交流 1．思考：課本P114問題2．

教師活動：組織學生分成四人小組，討論“問題2”． 教具配合：用球和布袋為教具，輔助學生進行直觀認識．

學生活動：動手操作，感知問題的內涵．部分學生在黑板上畫出實驗思想，用樹狀圖表示

2．辨析理解：課本Pll5思考．

評析：讓學生通過比較，能真正領會“問題2”的本質特征． 3．繼續探究：課本P115問題3．

師生活動：教師引導學生應用列表法，解決“問題3”．

評析：上述兩個問題主要是鞏固畫樹狀圖法和列表法解決概率問題．

二、合作探究，方案設計

1．問題提出：通過調查，我們估計了6個人中有2個人生肖根同的概率．要想使這種估計盡可能精確．就需要盡可能多地增加調查對象，而這樣做即費時又費力．請同學們想一想，能不能不用調查即可估計出這一概率呢?請你設計出具體的實驗方案．

教師活動：操作投影儀，提出問題．巡視、關注小姐學生的設計方案，適時引導．

學生活動；分四人小組探究問題的結論，設計解決問題的實驗方案，而后小組匯報各自的方案．

媒體使用：投影顯示問題情境，合作探究，師生互動．

評析：教學中，教師先提出問題，組織學生分小組進行充分的交流．引導學生思考具體方案．學生的方案多種多樣，只要合理就可以肯定和鼓勵．教師在提出問題前，通過投影儀顯示12生肖圖片等，激發學生的興趣． 2．參考答案：

(1)用撲克牌，從撲克牌中選出梅花色12張，分別為1～10，J(11)Q(12)．每個生肖都對應著一張撲克牌

(2)用12枚一元錢的錢幣，一面貼上1～12號，每個生肖都對應著一枚錢幣． 3．閱讀比較：

有人說，可以用12個編有號碼的、大小相同的球代替12種不同的生肖，這種每個人的生肖都對應著一個球，6個人中有2個人生肖相同，就意味著6個球中有2個球的號碼相同,因此，可在口袋中放人這樣的12個球，從中摸了1個球，記下它的號碼，放回去，再從中摸出1個球，記下它的號碼，放回去；??，直至摸出1個球，記下第6個號碼，為一次實驗，重復多次實驗，即可估計6個人中有2個人生肖相同的概率．

想一想：(1)你認為這樣說法有道理嗎?(2)為什么每次摸出球后都要放回去?

21314-

第二篇：數學：26.2模擬實驗教案(華東師大版九年級上)

§26．2模擬實驗

第一課時用替代物做模擬實驗

教學內容

本節課主要學習的內容是如何應用替代物進行模擬實驗·

教學目標

1．知識與技能：學會應用替代物進行模擬實驗的方法，感受其應用內涵． 2．過程與方法：結合具體情境，初步感受隨機事件中的實驗思想． 3．情感、態度與價值觀：培養良好的推斷思維，體會概率的應用價值．

重難點、關鍵

1．重點：認識用替代物進行模擬實驗的本質．

2．難點：怎樣選擇替代物，怎樣進行實驗并得出估計值．

3．關鍵：通過具體實驗領會一些事件發生的概率，揭示概率與統計之間的內在聯系．

教學準備：學生準備：圍棋子、布袋、硬幣等

教學過程

一、問題牽引，導入新知 l、問題提出：

(1)在一個摸球實驗中，假設沒有白球和黑球，該怎么辦? 學生活動：思考后回答：可以用圍棋中白子和黑子，還可以用??(2)在“投擲一顆均勻的骰子”的實驗中，如果沒有骰子．又該怎么辦? 學生活動：想出多種替代方法．

(3)在“拋擲一枚均勻的硬幣”的實驗中，如果沒有硬幣，怎么辦? 學生活動：思考后回答：可以用兩張撲克牌或瓶子蓋等．

(4)抽屜里有尺碼相同的3雙黑襪子和l雙白襪子，混放在一起，在夜晚不開燈的情況下，你隨意拿出2只，如何用實驗估計它們恰好是一雙的概率．你打算怎樣實驗?如果手邊沒有襪子應該怎么辦? 學生活動：填寫課本P120表26．2．1．

2．教師再次進行用替代物進行模擬實驗的講解．

二、實驗操作．遷移探究 1．問題提出：

一個口袋中有8個黑色的球和若干個白色的球，若不許將球倒出來，則應如何估計出其中的白球數呢? 實驗替代物，白色、黑色圍棋子

教師活動：操作投影儀，顯示題目，組織學生討論．

學生活動：分四人小組進行討論，設計一個方案，并開展活動．

評析：教學中給予學生較大的空間，采用分四人小組合作交流，而后再小組匯報的教學活動方式．讓學生上講臺陳述自己的方案．應該注意的是：學生的方案結果只是一個估計值，比較粗略．不要過多苛求，只是讓學生知道這些是現實生活中常用的估計方法． 2．參考思路： ．

(1)思路1：從口袋中隨機摸出一球，記下其顏色，再把它放回袋中，不斷重復上述過程，共摸了200次，其中有57次摸到黑球，因此我們估計口袋中大約有20個白球． 建構方法：假設口袋中有x個白球，通過多8?次實驗，可估}卜出從口袋中隨機摸出一球，它x為黑球的概率；另一方面這個概率又應等于，據此可估計出白球數x(2)思路2：利用抽樣調查方法，從口袋中一次摸出10個球，求出其中黑球數與10的比值，再把球放回口袋中，不斷重復上述過程，總共摸了20次，黑球數與10的比值的平均數為0．25，因此，估計口袋中大約有24個白球． 建構方法：假設口袋中有z個白球，通過多次抽樣調查，求出樣本中黑球數與總球數的比

8?x

第三篇：專題二 統計與概率教案4

專題二 統計與概率（2）

【教學目標】：

1、計算和分析材料中的數據

2、用樹狀圖、列表法計算簡單事件的概率 【教學重點】：用樹狀圖、列表法計算簡單事件的概率 【教學難點】：用樹狀圖、列表法計算簡單事件的概率 【教學過程】：

一、知識點回顧：

1、描述數據常用的統計圖：、、2、方差公式：

2、一般的，在一次實驗中，可能出現的結果有n種，并且它們發生的可能性，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為P（A）=

二、典型例題：

中招考點：條形統計圖、扇形統計圖分析、計算數據

1、學習成為商城人的時尚，義烏市新圖書館的啟用，吸引了大批讀者．有關部門統計了2011年10月至2012年3月期間到市圖書館的讀者的職業分布情況，統計圖如下：

（1）在統計的這段時間內，共有 萬人到市圖書館閱讀，其中商人所占百分比是，并將條形統計圖補充完整

（2）若今年4月到市圖書館的讀者共28000名，估計其中約有多少名職工？

中招考點：用樹狀圖、列表法計算簡單事件的概率

2、為了解學生的藝術特長發展情況，某校音樂組決定圍繞“在舞蹈、樂器、聲樂、戲曲、其它活動項目中，你最喜歡哪一項活動（每人只限一項）”的問題，在全校范圍內隨機抽取部分學生進行問卷調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖．

請你根據統計圖解答下列問題：

（1）在這次調查中一共抽查了 名學生，其中，喜歡“舞蹈”活動項目的人數占抽查總人數的百分比為，喜歡“戲曲”活動項目的人數是 人；

（2）若在“舞蹈、樂器、聲樂、戲曲”活動項目任選兩項設立課外興趣小組，請用列表或畫樹狀圖的方法求恰好選中“舞蹈、聲樂”這兩項活動的概率．

中招考點：用樹狀圖、列表法計算簡單事件的概率

3、西寧市教育局自實施新課程改革后，學生的自主學習、合作交流能力有很大提高．張老師為了了解所教班級學生自主學習、合作交流的具體情況，對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調查，將調查結果分成四類，A：特別好；B：好；C：一般；D：較差；并將調查結果繪制成以下不完整的統計圖，請你根據統計圖解答下列問題：

（1）本次調查中，張老師一共調查了 名同學；（2）將上面的條形統計圖補充完整；

（3）為了共同進步，張老師想從被調查的A類和D類學生分別選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請用列表法或畫樹形圖的方法列出所有等可能的結果，并求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．

三、當堂檢測：

1、中招考點：方差公式：說明與檢測P78第3題

2、中招考點：求簡單事件的概率：說明與檢測P79第6、7題

3、中招考點：分析、計算統計圖中的數據：說明與檢測P81第13題

四、延伸拓展：

1、高中招生指標到校是我市中考招生制度改革的一項重要措施．某初級中學對該校近四年指標到校保送生人數進行了統計，制成了如下兩幅不完整的統計圖：

（1）該校近四年保送生人數的極差是 ．請將折線統計圖補充完整；

（2）該校2009年指標到校保送生中只有1位女同學，學校打算從中隨機選出2位同學了解他們進人高中階段的學習情況．請用列表法或畫樹狀圖的方法，求出所選兩位同學恰好是1位男同學和1位女同學的概率．

五、課后作業

1、見學案

第四篇：九年級數學上解直角三角形教案(華東師大版)

九年級數學上解直角三角形教案(華東

師大版)本資料為woRD文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址

解直角三角形

【知識與技能】

.理解仰角、俯角的含義，準確運用這些概念來解決一些實際問題.2.培養學生將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的能力.【過程與方法】

通過本章的學習培養同學們的分析、研究問題和解決問題的能力.【情感態度】

在探究學習過程中，注重培養學生的合作交流意識，體驗從實踐中來到實踐中去的辯證唯物主義思想，激發學生學習數學的興趣.【教學重點】

理解仰角和俯角的概念.【教學難點】

能解與直角三角形有關的實際問題.一、情境導入，初步認識

如圖，為了測量旗桿的高度Bc，小明站在離旗桿10米的A處，用高1.50米的測角儀DA測得旗桿頂端c的仰角α=52°，然后他很快就算出旗桿Bc的高度了.（精確到0.1米）

你知道小明是怎樣算出的嗎？

二、思考探究，獲取新知

想要解決剛才的問題，我們先來了解仰角、俯角的概念.【教學說明】學生觀察、分析、歸納仰角、俯角的概念.現在我們可以來看一看小明是怎樣算出來的.【分析】在Rt△cDE中，已知一角和一邊，利用解直角三角形的知識即可求出cE的長，從而求出cB的長.解：在Rt△cDE中，∵cE=DE?tanα=AB?tanα=10×tan52°≈12.80，∴Bc=BE+cE=DA+cE≈12.80+1.50=14.3（米）.答：旗桿的高度約為14.3米.例如圖，兩建筑物的水平距離為32.6m，從點A測得點D的俯角α為35°12′,測得點c的俯角β為43°24′，求這兩個建筑物的高.（精確到0.1m）

解:過點D作DE⊥AB于點E，則∠AcB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=Bc=32.6m.在Rt△ABc中，∵tan∠AcB=，∴AB=Bc?tan∠AcB=32.6×tan43°24′≈30.83（m）.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=，∴AE=DE?tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m）.∴Dc=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m）

答：兩個建筑物的高分別約為30.8m，7.8m.【教學說明】關鍵是構造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后將實際問題轉化為幾何問題解決.三、運用新知，深化理解

.如圖，一只運載火箭從地面L處發射，當衛星達到A點時，從位于地面R處的雷達站測得AR的距離是6km，仰角為43°，1s后火箭到達B點，此時測得BR的距離是6.13km，仰角為45.54°，這個火箭從A到B的平均速度是多少？（精確到0.01km/s）

2.如圖所示，當小華站在鏡子EF前A處時，他看自己的腳在鏡中的像的俯角為45°；如果小華向后退0.5米到B處，這時他看到自己的腳在鏡中的像的俯角為30°.求小華的眼睛到地面的距離.（結果精確到0.1米，參考數據：3≈1.73）

【答案】1.0.28km/s

2.1.4米

四、師生互動，課堂小結

.這節課你學到了什么？你有何體會？

2.這節課你還存在什么問題？

.布置作業：從教材相應練習和“習題24.4”中選取.2.完成練習冊中本課時練習.本節課從學生接受知識的最近發展區出發，創設了學生最熟悉的旗桿問題情境，引導學生發現問題、分析問題.在探索活動中，學生自主探索知識，逐步把生活實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的學習方法，養成交流與合作的良好習慣.讓學生在學習過程中感受到成功的喜悅，產生后繼學習的激情，增強學數學的信心.

第五篇：概率講稿-總復習4

總復習四

1． 設X~U(0,)，求E(sinX)。

2?解：E(sinX)=??202?sinxdx=??2?

2． 伽瑪函數?(?)=?0x??1e?xdx（??0），證明其具有下列性質：

（1）?(??1)???(?)；（2）?(n)?(n?1)!，n是自然數；（3）?(12)?3． 稱X，概率密度為 ~?(?,?)（即參數為?,?的伽瑪分布）

?

????1??xf(x)?xe（x?0），求EX,DX

?(?)???????x?(??1)?????t?e?t1解：EX?=（令）===xedx?x?tdt???00?(?)???(?)?(?)??EX=?2

??0????1?t??????1??x?(??2)1xf(x)dx=== xedxtedt?(?)?0?(?)?2?(?)?2?02=(??1)??2，因此，DX=EX2?EX=

2(??1)??2?2??2=2 ??4． 設X,Y獨立同分布N(0,1)，求E(X2?Y2)

1x2?y2exp(?)，則 解：f(x,y)=2?2E(X2?Y2)=??2x2?y2f(x,y)dxdy=?d??00R2???1e2??r22r2dr=?0?2tedt

12?t=2?(32)=21?()=22?2

5．證明（1）?XY（2）?XY?1的充要條件是：存在常數a,b，使P{Y?a?bX}?1 ?1；證：顯然對于一切實數t，恒有

E[(Y?EY)?t(X?EX)]2?0，整理得

t2DX?2tCov(X,Y)?DY?0，也即二次多項式f(t)=t2DX?2tCov(X,Y)?DY 恒非負，故有

??0，即4Cov2(X,Y)?4DX?DY，因此可得?XY?1

另外，?XY?1的充要條件是??0，即存在t?t0，使得f(t0)=0，可是

?EX)]2?0，?EX)]2?D(Y?t0X)即E[(Y?EY)?t0(X可是E[(Y?EY)?t0(X從而D(Y?t0X)?0的充要條件是P{Y?t0X?a}?1，證完。

6．在無放回抽樣問題中（共有N個產品，其中有M個次品），用Y表示取出的n個產品中次品的數量，求EY。

解：原操作等價于每次取一個，無放回的取n次，令

?1,第k次抽取，取到次品；Xk??，k?1，2，?，n

?0,第k次抽取，取到正品則Y??Xk，因此

k?1nnEY=?EXk=nk?1MM

（其中EX1?EX2???EXn?）NN7．（匹配成對數的期望）將n封不同的信與n個不同的信封隨機匹配，記N為匹配成對數，求EN

解：記Ak=第k封信與第k個信封匹配，k令Xk?1,2,?,n

?1,A發生??k，k?1,2,?,n ?0,否則1?，k?1,2,?,n ??Xk，而EXk?P（Ak）nk?1n則有N故有EN?1

8．設隨機變量X取非負整值，分布列為

ak，a?0，k?0,1,2,?，求EX,DX P{X?k}=k?1(1?a)1??a?ak解：EX??k=k?? ?k?11?ak?1?1?a?k?0(1?a)???xS(x)k?1令S(x)??kx，則? dx???kxdx=?xk=

1?xxk?1k?1k?1k?k 2 因此S(x)?x，從而 2(1?x)EX =1aS()=a 1?a1?a類似方法可求得

DX?a(1?a)

9．設X~N(0,?2)，求E(Xn)

2k?1解：E(X)=???x??2k?11x2exp(?2)dx=0（利用對稱性）

2?2??E(X)=???x2k2k?2k1x21x2exp(?2)dx=2?xexp(?2)dx

02?2?2??2??=2k?2k???k?0t12?tedt=

2k?2k??(k?)=

122k?2k?2k1(k?1)?(k?)= ??(2k?1)！?2210．設X1,X2,?,Xn是相互獨立的隨機變量，證明E(11．設X1,X2,?,Xn是相互獨立的隨機變量，DXknnX1?X2???Xkk)=

X1?X2???Xnn??k2，k?1,2,?,n。試找系數，使?akXk的方差最小。a1,a2,?,an（ak?0,?ak?1）k?1k?1提示：這是有約束條件的極值問題，可用拉格朗日乘數法解決。12．若X的密度函數是偶函數，且EX證明：Cov(X,由于EX??2??，證明：X與X不相關，但它們不相互獨立。

X)=E(XX)?EXEX，??xf(x)dx?0（奇函數在對稱區間上積分為零）

?????E(XX)??xxf(x)dx?0（隨機變量函數的期望）

因此Cov(X,但是YX)?0，從而X與X不相關

?X與X有著嚴格的函數關系，因此不獨立。

13．若X與Y都是只取兩個值的隨機變量，證明：若X，Y不相關，則X，Y相互獨立。

??x22?2?,x?0，求：14．設輪船橫向搖擺的隨機振幅X的概率密度p(x)??Axe（1）A；（2）??0,x?0 遇到大于其振幅均值的概率；（3）X的方差。

xm?xm.e(x?0)，證明：P{0?X?2(m?1)}?15．設X的密度為p(x)?m?1m!證明：P{0?X?2(m?1)}=?02(m?1)xm?xedx m!16．設隨機變量X取值于區間[a,b]上，(???a?b???),證明下列不等式成立：a?EX?b,DX?(b?a2)。2證明：設X的密度函數為則EX=

f(x)，a?x?b

f(x)dx（第二積分中值公式）=x0（歸一性）?xf(x)dx=x?abb0a其中a?x0 ?b，這就證明了結論a?EX?b

17．設X，Y幾乎必然相等，即P(X證明：P({X?Y)?1,證明它們的分布函數相等。

?Y})?0

FX(x)?P(X?x)=P({X?Y,X?x}?{X?Y,X?x})

=P({X?Y,X?x})+P({{X?Y,X?x})=P{Y?x}=FY(x)

18．設X取非負整值，且EX存在，證明：EX??P(X?k)

k?1?證明：（絕對收斂級數之和與各項運算次序無關）

p1 p2?p2

p3?p3?p3

p4?p4?p4?p4，期望定義是按行相加，應當等于按列相加。

??????19．設(X,Y)服從二維正態分布，并且滿足EX?EY?0，DX?DY?1,E(XY)??，證明：E(max(X,Y))?1???

20．一輛機場交通車送25名乘客到7個站，假設每一個乘客都和其他人一樣等可能地在任 一站下車，并且他們行動獨立，交通車只在有人下車時才停站。問：它停站的期望次數是多少？ 答案：7[1?(625)] 721．給定隨機選出的500人，問：（1）他們中生日是元旦的人數超過1個的概率是多少？（2）他們中生日是元旦的期望人數。

***1)()?C500()()***0,)，EX?

（2）X~B(500 365365答案：（1）0p1?C500(22．某自動化作業的機器生產出不合格品的概率是2%，一旦出現不合格品隨即進行校正調節，求兩次調節間生產合格品的期望數。答案：EX?49

23．某袋中裝有N張標號1至N的票券，按放回方式逐張抽取，問：到第一張抽出的票券再次被抽出時為止，抽取的期望數是多少？ 解：（1）設X?到第一張抽出的票券再次被抽出時為止，抽取的次數，則

?N?1?P{X?k}???N??EX?N?1

24設k?21

（k?2,3,?）NX1,?,Xm相互獨立且具有相同的分布列P(X1?k)?pk,k?0,1,2,?.證明：

?E(min(X1,?,Xm))??rkm,其中rk??pn

k?1n?k證明：令Z?min{X1,X2,?,Xm}，則P{Z?k}?P{X1?k,?,Xm?k}=Pm{X1?k}

n?kP{X1?k}=pk?pk?1??=?pn=rk

因此P{Z?k}?rkm

P{Z?k}=P{Z?k}?P{Z?k?1}=rkm?rkm?1

從而EZ ??kp{Z?k}??rkm，證完。

k?1??k?1 5