第一篇：如何理解方差和標準差的意義（大全）

如何理解方差和標準差的意義？ 隨機變量X的方差為:D(X)?E(X-E(X))2 ,方差的平方根D(X)稱為標準差，它描述隨機變量取值與其數學期望值的離散程度，描述隨機變量穩定與波動，集中與分散的狀況。標準差大，則隨機變量不穩定，取值分散，預期數學期望值的偏離差大，在量綱上它與數學期望一致。

在實際問題中，若兩個隨機變量X,Y,且E(X),E(Y)E(X)?E(Y)或E(X)與E(Y)比較接近時，我們常用D(X)與D(Y)來比較這兩個隨機變量。方差值大的，則表明該隨機變量的取值較為離散，反之則表明他較為集中。同樣，標準差的值較大，則表明該隨機變量的取值預期期望值的偏差較大，反之，則表明此偏差較小。

隨機變量X的數學期望和方差有何區別和聯系？

1.隨機變量X的數學期望E(X)描述的是隨機變量X的平均值，而方差D(X)刻畫的是隨機變量X與數學期望E(X)的平均離散程度。方差D(X)大，則隨機變量X與數學期望E(X)的平均離散程度大，隨機變量X取值在數學期望附近分散；方差D(X)小，則隨機變量X與數學期望E(X)的平均離散程度小，隨機變量X取值在數學期望附近集中。

2.方差D(X)?E(X-E(X))2是用數學期望來定義的，方差D(X)是隨機變量X函數(X-E(X))的數學期望，所以，由隨機變量函數的數學期望的計算公式我們得到： 2（1）若X為離散型，則有（2.3）（2）若X為連續型，則有（2.4）

3.在實際問題中，我們經常用D(X)?E(X-E(X))2來計算方差。由此可以得到：隨機變量X與數學期望E(X)不存在，則方差一定不存在。4.若隨機變量X與數學期望E(X)存在，方差也可能不存在。

切比雪夫不等式的意義是什么？有哪些應用？

切比雪夫不等式有兩種等價形式的表達形式：P(X?E(X)??)?1?P(X?E(X)??)?1?D(X)D(X)D(X)?2或?2。它反映了隨機變量在數學期望的?鄰域的概率不小于。如果隨機變量的分布不知道，只要知道它的數學期望和方差，我們就可以利用2?切比雪夫不等式估計概率。它的應用有以下幾個方面：

（1）已知數學期望和方差，我們就可以利用切比雪夫不等式估計在數學期望的?鄰域的概率。

（2）已知數學期望和方差，對確定的概率，利用切比雪夫不等式求出?，從而得到所需估計區間的長度。（3）對n重貝努力試驗，利用切比雪夫不等式可以確定試驗次數。（4）它是推導大數定律和其他定理的依據。

解題的具體步驟：

首先，根據題意確定恰當的隨機變量X，求出數學期望E(X)與D(X)； 其次，確定??0的值，最后，由切比雪夫不等式進行計算和證明。

注:

（一）相關系數的含義

1.相關系數刻畫隨機變量 X和Y之間的什么關系？（1）相關系數也常稱為“線性相關系數”。這是因為，實際相關系數并不是刻畫了隨機變量X和Y之間的“一般”關系的程度，而只是“線性”關系的程度。這種說話的根據之一就在于，當且僅當X和Y有嚴格的線性關系是才有|?XY|達到最大值1.可以容易舉出例子說明：即使X和Y有嚴格的函數關系但非線性關系，|?XY|不僅不必為1，還可以為0.（2）如果0?|?XY|?1，則解釋為：隨機變量X和Y之間有一定程度的“線性關系而非嚴格的線性關系”

2.相關系數?XY刻畫了隨機變量X和Y之間的“線性相關”程度.3.|?XY|的值越接近1, Y與X的線性相關程度越高;4.|?XY|的值越近于0, Y與Y的線性相關程度越弱.5.當|?XY|?1時, Y與X的變化可完全由X的線性函數給出.6.當?XY?0時, Y與X之間不是線性關系.7.上面談到的“線性相關”的意義還可以從最小二乘法的角度解釋：（p95）

2設e?E[Y?(aX?b)],稱為用aX?b來近似Y的均方誤差,則有下列結論.設D(X)?0,D(Y)?0, 則a0?小.cov(X,Y)D(X),b0?E(Y)?a0E(X)使均方誤差達到最注: 我們可用均方誤差e來衡量以aX?b近似表示Y的好壞程度, e值越小表示aX?b2與Y的近似程度越好.且知最佳的線性近似為a0X?b.而其余均方誤差e?D(Y)(1??XY).從這個側面也能說明.|?XY|越接近1, e越小.反之, |?XY|越近于0, e就越大.Y與X的線性相關性越小.8.由于相關系數只能刻畫隨機變量線性關系的程度，而不能刻畫一般的函數相依關系的程度。在概率論中還引進了另外 相關性指標，以補救這個缺點。但是，這些指標都未能在應用中推開。究其原因，除了這些指標在性質上比較復雜外，還有一個重要原因：在統計學應用上，最重要的而為分布是二維正態分布。而對二維正態分布而言，相關系數是X和Y的相關性的完美的刻畫，沒有上面指出的缺點。

第二篇：方差和標準差

4.4

方差和標準差

〖教學目標〗

◆1、了解方差、標準差的概念.◆2、會求一組數據的方差、標準差，并會用他們表示數據的離散程度．

◆3、能用樣本的方差來估計總體的方差．

◆4、通過實際情景，提出問題，并尋求解決問題的方法，培養學生應用數學的意識和能力．

〖教學重點與難點〗

◆教學重點：本節教學的重點是方差的概念和計算。.◆教學難點：方差如何表示數據的離散程度，學生不容易理解，是本節教學的難點.〖教學過程〗

一、創設情景，提出問題

甲、乙兩名射擊手的測試成績統計如下表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

甲命中環數

乙命中環數

①請分別

算出甲、乙兩名射擊手的平均成績；

②請根據這兩名射擊手的成績在圖中畫出折線圖；

二、合作交流，感知問題

請根據統計圖，思考問題：

①、甲、乙兩名射擊手他們每次射擊成績與他們的平均成績比擬，哪一個偏離程度較低？

②、射擊成績偏離平均數的程度與數據的離散程度與折線的波動情況有怎樣的聯系？

③、用怎樣的特征數來表示數據的偏離程度？可否用各個數據與平均的差的累計數來表示數據的偏離程度？

④、是否可用各個數據與平均數的差的平方和來表示數據的偏離程度？

⑤、數據的偏離程度還與什么有關？要比擬兩組樣本容量不相同的數據的偏離平均數的程度，應如何比擬？

三、概括總結，得出概念

1、根據以上問題情景，在學生討論，教師補充的根底上得出方差的概念、計算方法、及用方差來判斷數據的穩定性。

2、方差的單位和數據的單位不統一，引出標準差的概念。

〔注意：在比擬兩組數據特征時，應取相同的樣本容量，計算過程可借助計數器〕

3、現要挑選一名射擊手參加比賽，你認為挑選哪一位比擬適宜？為什么？

〔這個問題沒有標準答案，要根據比賽的具體情況來分析，作出結論〕

四、應用概念，穩固新知

1、某樣本的方差是4，那么這個樣本的標準差是。

2、一個樣本1，3，2，X，5，其平均數是3，那么這個樣本的標準差是。

3、甲、乙兩名戰士在射擊訓練中，打靶的次數相同，且中環的平均數X甲=X乙，如果甲的射擊成績比擬穩定，那么方差的大小關系是S2甲

S2乙

4、一個樣本的方差是S=[〔X1—4〕2+〔X2—4〕2+…+〔X5—4〕2]，那么這個樣本的平均數是，樣本的容量是。

５、八年級〔５〕班要從黎明和張軍兩位侯選人中選出一人去參加學科競賽，他們在平時的５次測試中成績如下〔單位：分〕

黎明：　652

653

654

652

654

張軍：

667

662

653

640

643

如果你是班主任，在收集了上述數據后，你將利用哪些統計的知識來決定這一個名額？〔解題步驟：先求平均數，再求方差，然后判斷得出結論〕

五、穩固練習，反應信息

１、課本“課內練習〞第１題和第２題。

２、課本“作業題〞第３題。

3、甲、乙兩人在相同條件下各射靶

（1

〕

次，每次射靶的成績情況如下圖．

（1

〕請填寫下表：

（2)請你就以下四個不同的角度對這次測試結果進行分析：

①

從平均數和方差相結．合看，誰的成績較好？

②

從平均數和命中

環以上的次數相結合看，誰的成績較好？

③

從折線圖上兩人射擊命中環數的走勢看，誰更有潛力？

六、通過探究，找出規律

兩組數據1，2，3，4，5和101，102，103，104，105。

1、求這兩組數據的平均數、方差和標準差。

2、將這兩組數據畫成折線圖，并用一條平行于橫軸的直線來表示這兩組數據的平均數，觀察你畫的兩個圖形，你發現了哪些有趣的結論？

3、假設兩組數據為1，2，3，4，5和3，6，9，12，15。你要能發現哪些有趣的結論？

4、用你發現的結論來解決以下的問題：

數據X1，X２，X３，…Xn的平均數為a，方差為b，標準差為c。那么

①

數據X1＋３，X２＋３，X３＋３…，Xn＋３的平均數為，方差為，標準差為。

②

數據X1—３，X２—３，X３—３…Xn—３的平均數為，方差為，標準差為。

③

數據４X1，４X２，４X３，…４Xn的平均數為，方差為，標準差為。

④

數據２X1—３，２X２—３，２X３—３，…２Xn—３的平均數為，方差為，標準差為。

七、小結回憶，反思提高

１、這節課我們學習了方差、標準差的概念，方差的實質是各數據與平均數的差的平方的平均數。方差越大，說明數據的波動越大，越不穩定。

２、標準差是方差的一個派生概念，它的優點是單位和樣本的數據單位保持一致，給計算和研究帶來方便。

３、利用方差比擬數據波動大小的方法和步驟：先求平均數，再求方差，然后判斷得出結論。

八、分層作業，延伸拓展

１、必做題：作業本底頁。

２、選做題：

在某旅游景區上山的一條小路上有一些斷斷續續的臺階，如以下圖是其中的甲、乙段臺階路的示意圖〔圖中的數字表示每一級臺階的高度〕．請你用所學過的統計量〔平均數、中位數、方差等〕進行分析，答復以下問題：

（1

〕兩段臺階路每級臺階的高度有哪些相同點和不同點？

（2

〕哪段臺階路走起來更舒服？為什么？

（3

〕為方便游客行走，需要重新整修上山的小路，對于這兩段臺階路，在臺階數不變的情況下，請你提出合理的整修建議．

第三篇：數學：22.2《方差 標準差》同步練習(滬科版八年級下)

22.2方差 標準差 同步練習

1.數據4，5，6，7，8的平均數是___________，方差是_________.２．五個數1，2，3，4，a的平均數是3，則a =________，這五個數的方差是________.３．若已知一組數據：x1，x2，…，xn的平均數為x，方差為S，那么 另一組數據：3x1－2，?3x2－2，…，3xn－2的平均數為______，方差為______． ４．已知，一組數據x1,x2,……，xn的平均數是10，方差是2，①數據x1+3,x2+3,……，xn+3的平均數是__________,方差是_________，2

②數據2x1,2x2,……，2xn的平均數是__________,方差是____________，③數據2x1+3,2x2+3,……，2xn+3的平均數是_________,方差是_________.5.選擇題：樣本方差的作用是（）

A、估計總體的平均水平B、表示樣本的平均水平

C、表示總體的波動大小D、表示樣本的波動大小，從而估計總體的波動大小

6．從甲、乙兩種棉苗中各抽10株，測得它們的株高分別如下：（單位：cm）

甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42

乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40

問：①哪種棉花的苗長得高？ ②哪種棉花的苗長得整齊？

7.甲、乙兩個小組各10名學生的英語口語測驗成績如下（單位：分）：

甲組：769084868***

乙組：***97974

哪個小組學生的成績比較穩定？

第四篇：樣本方差證明

一弛，你好！

樣本方差有2種表達方式：

S2

n1n??(Xi?)2-----（1）ni?1

1n

Sn?1?(Xi?)2-----（2）?n?1i?12

從理論上說這2種定義都是可行的，現實生活中更經常使用方程（2），是因為方程（2）是總體方差真實值?2的無偏估計量，而（1）是有偏估計量。無偏性在應用中非常重要，估計量只有無偏才能保證在樣本數目足夠大時無限趨近于真實值，估計才有意義。證明方程（2）的無偏性如下，思路是對估計量求期望，看是否等于總體方差：

n1E(Sn?1)?E[(Xi?)2]?n?1i?1

n1?E{?[(Xi??)?(??)]2}n?1i?1

nn12?E{?[(Xi??)?2?(Xi??)(??)?n(??)2}n?1i?1i?12

n1?{?E(Xi??)2?2nE(??)2?nE(??)2}n?1i?1

n1?{?E(Xi??)2?nE(??)2}n?1i?1

?212?{n??n()}n?1n

??2

證畢。

如果有問題，可隨時聯系我。

祝好！

陳謝晟

第五篇：方差 教案設計

方差 教案設計

教學設計示例1 第一課時 素質教育目標(一)知識教學點

使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數據的方差與標準差.(二)能力訓練點 1.培養學生的計算能力.2.培養學生觀察問題、分析問題的能力，培養學生的發散思維能力.(三)德育滲透點

1.培養學生認真、耐心、細致的學習態度和學習習慣.2.滲透數學來源于實踐，又反過來作用于實踐的觀點.(四)美育滲透點

通過本節課的教學，滲透了數學知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發學生對美好事物的追求，岣哐???STRONG數學美的鑒賞力.重點難點疑點及解決辦法 1.教學重點：方差概念.2.教學難點 ：方差概念.3.教學疑點：學生不易理解為什么要用方差去描述一組數據

第 1 頁 的波動大小，為什么不可以用各數據與其平均數的差的來和來衡量這組數據的波動大小呢?為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而將其平方呢?對這些問題教師在剖析方差定義時要講清楚.4.解決辦法：教師要講清方差，標準差的意義，即它們都是用來描述一組數據波動情況的特征數，常用來比較兩組數據的波動大小，我們所研究的僅是這兩組數據的個數相等，平均數相等或比較接近時的情況.教學步驟(一)明確目標

前面我們學習了平均數、眾數及中位數，它們都是描述一組數據的集中趨勢的量，這節課我們將進一步學習衡量樣本(或一組數據)和總體的另一類特征數方差、標準差及其計算.這種開門見山式引入課題，能迅速將學生的注意力集中起來，進入新課講解.(二)整體感知

對于一組數據來說，我們除了關心它的集中趨勢以外，還關心它的波動大小.衡量這個波動大小的最常用的特征數，就是方差和標準差.(三)教學過程

1.請同學們看下面的問題：(用幻燈出示)

第 2 頁 兩臺機床同時生產直徑是40毫米的零件，為了檢驗產品質量，從產品中各抽出10件進行測量，記錄

教師引導學生做出表格，觀察表里的數據和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，哪個機床做得好呢? 對于這個問題，學生會馬上想到計算它們的平均數.教師可把學生分成兩級分別計算這兩組數據的平均數.(請兩名同學到黑板計算)計算的結果說明兩組數據的平均數都等于規定尺寸40毫米.這時教師引導學生思考，這能說明兩個機床做的一樣好嗎?不能!我們再觀察上圖(給學生充分的時間觀察，找出左右兩圖的區別)從圖中看到，機床甲生產的零件的直徑與規定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多;機床乙生產的零件的直徑與規定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這 說明，在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，機床乙比機床甲要好.教師說明：從上面看到，對于一組數據，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數的大小).通過引例的學習，使學生理解為什么要研究數據波動的大小，為提出方差概念做好了準 備.第 3 頁 2.方差概念

教師講解，為了描述一組數據的波動大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個數據與這組數據的平均數的差的絕對值，再取其平均數，用這個平均數來衡量這組數據的波動大小，通常，采用的是下面的做法：

設在一組數據 中，各數據與它們的平均數 的差的平方分別是，那么我們用它們的平均數，即用

來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差.一組數據方差越大，說明這組數據波動越大.教師要剖析公式中每一個元素的意義，以便學生理解和掌握.在學生理解方差概念時，可能會提出疑問：為什么要這樣定義方差?(教師說明，在表示各數據與其平均數的倔離程度時，為了防止正偏差與負偏差的相互抵消)為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而要將它們平方?(教師說明，這主要是因為在很多問題里，含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數據波動大小的功能上，方差更強些)為什么要除以數據個數n?(是為了消除數據個數的影響).在學生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計算機床甲、乙兩組數據的方差，再根據理論說明哪個機床做得更好.教師范解

從 知道，機床甲生產的10個零件直徑比機床乙生產的10

第 4 頁 個零件直徑波動要大.這樣做使學生深刻體會到數學來源于實踐，又反過來作用實踐，不僅使學生對學習數學產生濃厚的興趣，而且培養了學生應用數學的意識.3.例1(用幻燈出示)已知兩組數據： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分別計算這兩組數據的方差.讓學生自己動手計算，求平均數時激發學生用簡化公式計算，找一名好學生到黑板計算.解：根據公式②(取)，有

從 知道，乙組數據比甲組數據波動大.4.標準差概念

在有些情況下，需要用到方差的算術平方根

并把它叫做這組數據的標準差.它也是一個用來衡量一組數據的波動大小的重要的量.教師引導學生分析方差與標準差的區別與聯系：

計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數據一致，有時用它比較方便.課堂練習教材P165中(1)、(2)(四)總結、擴展

知識小結：通過這節課的學習，使我們知道了對于一組數據，第 5 頁 有時只知道它的平均數還不夠，還需要知道它的波動大小;而描述一組數據的波動大小的量不止一種，最常用的是方差和標準差.方差與標準差這兩個概念既有聯系又有區別.方法小結：求一組數據方差的方法;先求平均數，再利用③求方差，求一組數據標準差的方法：先求這組數據的方差，然后再求方差的算術平方根.布置作業

教材P173中1，2(1)(2)板書設計 14.3 方差(一)方差公式③ 引例 例1 標準差公式④ 教學設計示例2

一、教學目的

1.使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數據的方差與標準差.2.使學生了解樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.二、教學重點、難點

重點：方差、標準差、樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.難點：樣本方差、樣本標準差的計算.三、教學過程

第 6 頁 復習提問

計算一組數據的平均數有哪些方法? 引入新課

在很多實際問題中，只知道一組數據的平均數是不夠的，還需要知道這組數據的波動大小.如何了解數據的波動大小?這正是我們要解決的問題.新課

引例 兩臺機床同時生產直徑是40毫米的零件.為了檢驗產品質量，從產品中抽出10件進行測量，結果如下(單位：毫米)：

表中數據表成如下形式：

可在此處讓學生用公式②分別計算這兩組數據的平均數(還可提問學生a取什么值最好，這樣學生能在教師的啟發下得到a=40最合適).當學生算出如下平均數：

讓學生思考，兩組數據的平均數都等于規定尺寸40毫米時，甲、乙兩機床性能是否都一樣好?提出問題讓學生議議后，再引導學生看圖1，讓學生認識到機床甲生產的零件的直徑與規定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多;機床乙生產的零件的直徑與規定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這說明，在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，機床乙比機床甲要好.這反映出，對一組數據，除需要了解它們的平均水平以外，第 7 頁 還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數的大小).在此處要告訴學生：描述一組數據的波動大小，可以采用不止一種辦法.本課介紹方差即是一種方法.即：

來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差.要強調一組數據方差越大，說明這組數據波動越大.條件許可時，還可介紹③式可表示為：

接下來可以請兩個學生計算引例中機床甲、乙兩組數據的方差.從0.0260.008可以比較出，機床甲生產的10個零件直徑比機床乙生產的10個零件直徑波動要大.(接下來教師再給出如下例題.)例1 已知兩組數據： 分別計算這兩組數據的方差.講此例后，要強調求解步驟為：

(1)求平均數;(2)求方差;(3)比較方差得出結論.此后接前面問題說，用來衡量一組數據的波動的方法還可用一組數據的標準差，即

公式④(即標準差)也是用來衡量一組數據波動大小的重要的量.在本節引例中，兩組數據的標準差，可讓學生算一下，得出： 說明：計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數據一致，有時用它比較方便.第 8 頁 小結

1.本課學了計算一組數據的方差的公式③.2.本課在方差的基礎上又學了計算一組數據的標準差的公式④.練習：選用課本練習題.作業 ：選用課本習題.四、教學注意問題

要注意通過例題講好求方差題目的解題格式.教學設計示例3

一、教學目的

1.使學生進一步理解方差、標準差的意義.2.使學生掌握利用簡化公式計算一組數據的方差的方法.3.使學生會根據同類問題兩組數據的方差(或標準差)比較兩組數據的波動情況.二、教學重點、難點

重點：簡化計算一組數據的方差公式.難點：利用方差(或標準差)比較兩組數據的波動情況.三、教學過程 復習提問

1.什么是一組數據的方差、標準差? 2.一組數據的方差和標準差應如何計算? 引入新課

第 9 頁 我們看到，用公式③計算一組數據的方差比較麻煩.那么，有否較簡便的計算方法呢? 新課

教師應在黑板上進行如下推導：

推導上述公式后，可讓學生仿①～④四個公式的方法歸納推理出如下結論：

一般地，如果一組數據的個數是n，那么它們的方差可以用下面的公式計算：

在這時，教師要強調：當一組數據中的數較小時，用公式⑤計算方差比公式③計算少了求各數據與平均數的差一步，因此比較方便.例2 計算下面數據的方差(結果保留到小數點后第1位)： 3-1 2 1-3 3 教師可讓學生共同來完成此例.接下來教師按教材指出，當一組數據較大時，可按下述公式計算方差：

其中x1=x1-a，x2=x2-a，xn=xn-a，x1，x2，xn是原已知的n個數據，a是接近這組數據的平均數的一個常數.為使學生對公式⑥加深印象，可讓學生用公式⑥解下例.例3 甲、乙兩個小組各10名學生的英語口語測驗成績如下(單位：分)：

哪個小組學生的成績比較整齊?

第 10 頁 解后，指出解題步驟有如下三步：(3)代入公式⑥計算方差并比較得解.小結

1.本課介紹了當一組數據中的數值較小時，用以計算方差的簡化計算公式⑤.2.本課又學習了當一組數據中的數值較大時，用以計算方差的簡化公式⑥.練習：選用課本練習題.作業 ：選用課本習題.補充作業

2.甲、乙兩組數據的方差之和為13，標準差之和為5，且甲的波動比乙的波動大，求它們各自的標準差.(答案：S甲=3，S乙=2.)3.在某次數學考試中，甲、乙兩校各8個班，不及格的人數分別如下：

分別計算這兩組數據的平均數與方差.四、教學注意問題

要注意給學生講如下三點：

1.方差與標準差是衡量樣本和總體波動大小的特征數.2.用簡化計算公式求方差較為方便.3.對同類問題的兩組數據，方差小的波動小、方差大的波動大

第 11 頁

第 12 頁