第一篇：離散型隨機(jī)變量的方差教案

離散型隨機(jī)變量的方差一、三維目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差。

2、過程與方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會(huì)應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差。

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價(jià)值。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

三、教學(xué)難點(diǎn)：

四、教學(xué)過程：

（一）、復(fù)習(xí)引入：

1..數(shù)學(xué)期望

則稱 E??x1p1?x2p2???xnpn??為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．2.數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平

3.期望的一個(gè)性質(zhì): E(a??b)?aE??b

5、如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X ～ B（n,p），則EX=np

（二）、講解新課：

1、(探究1)某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？1?1?1?1?2?2 X??2?3?3?410?1?

432110?2?10?3?10?4?10?2

(探究2)某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？

s2?1[(x1?x)2???(xi?x)2???(x2 n

n?x)]

s2?1

[(1?2)2?(1?2)2?(1?2)2?(1?2)2?(2?2)2

?(2?2)2?(2?2)2?(3?2)2?(3?2)2?(4?2)2]?1

s2?4?(1?2)2?3?(2?2)2?2?(3?2)21101010?10?(4?2)22、離散型隨機(jī)變量取值的方差的定義: 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布為：

則(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,?n)相對(duì)于均值EX的偏離程度，而n

DX ??(x2i?EX)pi

i?

1為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度。我們稱DX為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根DX叫做隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的平均程度，它們的值越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

（三）、基礎(chǔ)訓(xùn)練

求DX和DX解：EX?0?0.1?1?0.2?2?0.4?3?0.2?4?0.1?

2DX?(0?2)2?0.1?(1?2)2?0.2?(2?2)2?0.4?(3?2)2?0.2?(4?2)2?0.1?1.2

= 40 000;

DX?.2?1.09

5（四）、方差的應(yīng)用

用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。解：EX1?9,EX2?9DX1?0.4,DX2?0.8

表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊中平均得分差別不會(huì)很大，但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定，多數(shù)得分在9環(huán)，而乙得分比較分散，近似平均分布在8－10環(huán)。

問題1：如果你是教練，你會(huì)派誰參加比賽呢？

問題2：如果其他對(duì)手的射擊成績都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？

問題3：如果其他對(duì)手的射擊成績都在9環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？

解：根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1= 1400 ,DX1 =(1200-1400)2 ×0.4 +(1400-1400)2×0.3+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX2 =(1000-1400)2×0.4+(1 400-1400)×0.3 +(1800-1400)2×0.2 +(2200-1400)2×0.l

= 160000.因?yàn)镋X1 =EX2, DX1

（五）、幾個(gè)常用公式：

（1）若X服從兩點(diǎn)分布，則DX=p(1-p）。（2）若X～B(n，p)，則DX=np(1-p)（3）D（ax+b）= a2DX；(六）、練習(xí)：

1、已知??3??18，且D??13,則D??

2、已知隨機(jī)變量X的分布列

求DX和 DX3、若隨機(jī)變量X滿足P（X=c）=1,其中c為常數(shù)，求DX。

(七)、小結(jié)：

1、離散型隨機(jī)變量取值的方差、標(biāo)準(zhǔn)差及意義

2、記住幾個(gè)常見公式：

（1）若X服從兩點(diǎn)分布，則DX=p(1-p）。（2）若X～B(n，p)，則DX=np(1-p)（3）D（ax+b）= a2DX；(八)、作業(yè)：P691、4

第二篇：很好的離散型隨機(jī)變量（本站推薦）

“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計(jì) 楊智平發(fā)布時(shí)間： 2010-8-4 23:33:52

“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就是指：知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，以及每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率．而對(duì)于給定的隨機(jī)現(xiàn)象，首先要描述所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．在數(shù)學(xué)上處理時(shí)，一個(gè)常用的、也很自然的做法就是用數(shù)來表示結(jié)果，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，使得每個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，這樣就可以通過實(shí)數(shù)空間（定量的角度）來刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，從而就可以利用數(shù)學(xué)工具，用數(shù)學(xué)分析的方法來研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象．簡言之，隨機(jī)變量是連接隨機(jī)現(xiàn)象和實(shí)數(shù)空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型，這便是為什么要引入隨機(jī)變量的緣由.隨機(jī)變量在概率統(tǒng)計(jì)研究中起著極其重要的作用，隨機(jī)變量是用來描述隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果的一類特殊的變量，隨機(jī)變量能夠反映隨機(jī)現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機(jī)變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實(shí)際問題中．隨機(jī)變量就是建立了一個(gè)從隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射，這與函數(shù)概念在本質(zhì)上（一種對(duì)應(yīng)關(guān)系）是一致的，隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．

離散型隨機(jī)變量是最簡單的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系．本節(jié)課主要通過離散型隨機(jī)變量展示用實(shí)數(shù)空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的方法．本節(jié)課的重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)離散型隨機(jī)變量的特征，了解其本質(zhì)屬性，體會(huì)引入隨機(jī)變量的作用．

二、教學(xué)目標(biāo)解析

1．在對(duì)具體實(shí)例的分析中，認(rèn)識(shí)和體會(huì)隨機(jī)變量對(duì)刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和建立隨機(jī)變量概念的必要性，并會(huì)恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量來描述所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象，能敘述隨機(jī)變量可能取的值及其所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；

2．在列舉的隨機(jī)試驗(yàn)中，通過對(duì)隨機(jī)變量取值類型的分辨，歸納和概括離散型隨機(jī)變量的特征，形成離散型隨機(jī)變量的概念，并會(huì)利用離散型隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；

3．在舉例、觀察、思考、發(fā)現(xiàn)中經(jīng)歷將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想方法，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí)．

三、教學(xué)問題診斷分析

本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是對(duì)引入隨機(jī)變量目的與作用的認(rèn)識(shí)，以及隨機(jī)變量和普通變量的本質(zhì)區(qū)別．隨機(jī)變量這個(gè)概念其實(shí)早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場合都已不自覺的“實(shí)際使用”，只是沒有明朗化．學(xué)生學(xué)習(xí)這一概念就是把這些“實(shí)際使用的”規(guī)則、程序、步驟等進(jìn)一步加以明確．所以，教師的責(zé)任就是為學(xué)生建立隨機(jī)變量這個(gè)概念修通渠道．可通過學(xué)生熟悉的擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)讓學(xué)生體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)生，在師生舉例中來體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)展，特別是諸如拋擲一枚硬幣等試驗(yàn)，其結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，怎么讓學(xué)生自然地想到用數(shù)來表示其試驗(yàn)結(jié)果，并且所用的數(shù)又盡量簡單，便于研究．教學(xué)中需多舉試驗(yàn)結(jié)果本身已具有數(shù)值意義的實(shí)例，來發(fā)揮正遷移作用．通過多舉例讓學(xué)生理解：一旦給出了隨機(jī)變量，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率．

另外，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系，從學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式看，下位學(xué)習(xí)依靠的主要是同化，上位學(xué)習(xí)依靠的主要是順應(yīng)，上位學(xué)習(xí)一般采用的思維方法主要是概括和綜合，它主要通過改造（歸納和綜合）原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．因此，從這一角度來分析，學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量概念的學(xué)習(xí)和真正理解比離散型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)要困難一些．故在隨機(jī)變量的教學(xué)中，要特別重視學(xué)生舉例，讓學(xué)生在充分的自主活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過程，體驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，體會(huì)隨機(jī)變量對(duì)刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和研究隨機(jī)現(xiàn)象的工具性作用，從而來把握隨機(jī)變量的內(nèi)核．

四、教學(xué)支持條件分析

學(xué)生在必修3概率一章中學(xué)習(xí)過的隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件、簡單的概率模型和必修1中學(xué)習(xí)過的變量、函數(shù)、映射等知識(shí)是學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟和“接納”隨機(jī)變量概念的重要知識(shí)基礎(chǔ)，教學(xué)時(shí)應(yīng)充分注意這一教學(xué)條件；另外，為更好地形成隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量兩個(gè)概念，教學(xué)中可借助媒體列舉和展現(xiàn)豐富的實(shí)例和問題，以留給學(xué)生更多的時(shí)間思考和概括．

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)基本流程

（二）教學(xué)過程

1.理解隨機(jī)變量概念

問題1：拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些？概率分別是多少？ [設(shè)計(jì)意圖] 以學(xué)生熟悉的隨機(jī)試驗(yàn)為例，在復(fù)習(xí)舊知中孕育新知．

[師生活動(dòng)] 畫表一，指出試驗(yàn)結(jié)果分別有“1點(diǎn)的面朝上”、“2點(diǎn)的面朝上”、“3點(diǎn)的面朝上”、“4點(diǎn)的面朝上”、“5點(diǎn)的面朝上”、“6點(diǎn)的面朝上”，它們都是基本事件．為了研究這些事件，常常把它們分別與一個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)起來．比如，用數(shù)字1與“1點(diǎn)的面朝上”這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）對(duì)應(yīng)，用數(shù)字2與“2點(diǎn)的面朝上”這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）對(duì)應(yīng)，等等．師生共同填寫數(shù)字，形成表二．

引導(dǎo)學(xué)生分析，像這樣“用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的量用X來表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，說明X是一個(gè)變量．

[設(shè)計(jì)意圖] “用數(shù)字來表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”實(shí)際上早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場合都已不自覺地“實(shí)際使用”，如射擊比賽中會(huì)用“環(huán)數(shù)”去表示射擊成績，擲骰子時(shí)會(huì)用“點(diǎn)數(shù)”去表示擲出結(jié)果，抽獎(jiǎng)時(shí)會(huì)先對(duì)獎(jiǎng)券“編號(hào)”，隨機(jī)抽取一部分學(xué)生時(shí)會(huì)用“學(xué)號(hào)”去代替等等，只是沒有明朗化．因而，“用數(shù)字來表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”可以通過教師有啟發(fā)地提問，有意義地講授進(jìn)行，讓學(xué)生覺得問題的提出，概念的發(fā)生、發(fā)展過程較為自然，能夠從教師的講授中感受數(shù)學(xué)是怎樣一步步研究現(xiàn)實(shí)世界的．

問題2：在這里（指著表二），每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對(duì)應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？

[設(shè)計(jì)意圖]建立一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射．讓學(xué)生感悟：一旦給出了隨機(jī)變量，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每一個(gè)值時(shí)的概率，從而感受把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)字化（成為實(shí)數(shù)）的必要性，體會(huì)引入隨機(jī)變量的必要性．同時(shí)讓學(xué)生感受概念的從無到有、自然形成的過程．

[師生活動(dòng)] 啟發(fā)誘導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在這里建立了一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射．形成下表三：拋擲一枚骰子

讓學(xué)生觀察、思考：剛才，用數(shù)字表示試驗(yàn)結(jié)果的變量X，它根據(jù)什么在變化？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，它的變化是有規(guī)律的，這是個(gè)特殊的變量，與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān)，在試驗(yàn)之前不知道會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)值（即它的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，因此取值具有隨機(jī)性，即在試驗(yàn)之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗(yàn)，它的取值隨之確定）．同時(shí)，教師指出：在這個(gè)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系（也即建立了一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射）使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）都用一個(gè)確定的數(shù)字表示（即所有可能取值是明確的）．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母表示．

問題3：隨機(jī)變量這個(gè)概念與我們?cè)?jīng)學(xué)過的函數(shù)概念有類似的地方嗎?

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生與曾經(jīng)學(xué)過的函數(shù)概念比較，從而加深對(duì)隨機(jī)變量概念的理解．

[師生活動(dòng)]“類比”函數(shù)概念，領(lǐng)悟隨機(jī)變量和函數(shù)概念在本質(zhì)上都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)，在這兩種映射之間，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．隨機(jī)變量的取值范圍我們稱為隨機(jī)變量的值域．如拋擲一枚骰子，隨機(jī)變量的值域?yàn)椋?/p>

引導(dǎo)學(xué)生利用隨機(jī)變量表達(dá)一些事件，例如拋擲一枚骰子中，表示“1點(diǎn)的面朝上”； “3點(diǎn)的面朝上”可以用表示；表示“5點(diǎn)的面朝上”或“6點(diǎn)的面朝上”．

同時(shí)指出：通過映射把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，也就是，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，這樣“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”來表示，即可把“對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究具體轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量概率分布的研究”．這樣我們就可以借用有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)了．

接著，進(jìn)一步指出：在學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)（必修3）》時(shí)我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過概率、方差等概念，學(xué)過簡單的概率模型，在今后的學(xué)習(xí)中，我們將利用隨機(jī)變量描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象，進(jìn)一步體會(huì)概率模型的作用及運(yùn)用概率思想思考和解決一些實(shí)際問題．（體現(xiàn)章引言）

2．對(duì)隨機(jī)變量的深刻認(rèn)識(shí)(對(duì)對(duì)應(yīng)思想——映射的體驗(yàn))

問題4：你能再舉些例子嗎？（請(qǐng)學(xué)生列舉隨機(jī)試驗(yàn)，并將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化，不必寫出概率）

[設(shè)計(jì)意圖] 讓學(xué)生參與舉例，體驗(yàn)將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化（把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極其重要的數(shù)學(xué)方法）和將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程.其意義在于兩個(gè)方面:其一,學(xué)生通過尋找(尋找本身就是一個(gè)甄別隨機(jī)與非隨機(jī)的過程),選擇自己感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象,并學(xué)會(huì)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件;其二,在將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程中體會(huì)隨機(jī)變量在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的重要作用.同時(shí)進(jìn)一步深刻理解隨機(jī)變量的概念,領(lǐng)悟隨機(jī)變量學(xué)習(xí)的重要性，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí)．

[師生活動(dòng)]教師關(guān)注學(xué)生的舉例，關(guān)注其關(guān)鍵過程：隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些？如何將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化？要求學(xué)生畫表，體會(huì)映射的過程．教師給學(xué)生充分展示和交流所舉例子的時(shí)間．同時(shí)，教師也參與舉例（教材中有關(guān)于抽取產(chǎn)品、射擊、瀏覽某網(wǎng)頁等例子可以納入進(jìn)來），深刻體會(huì)將實(shí)際問題（隨機(jī)現(xiàn)象）數(shù)學(xué)化（數(shù)字化）的過程，感受建立隨機(jī)變量概念的重要意義．

對(duì)學(xué)生列舉的試驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)事件，諸如投擲一枚硬幣的試驗(yàn)等，要引導(dǎo)學(xué)生分析比較，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，可以用不同的隨機(jī)變量來表示．但用哪兩個(gè)數(shù)字來表示，主要是要盡量簡單，合理，便于研究．如表四：拋擲一枚骰子

在學(xué)生舉例中學(xué)習(xí)如何用隨機(jī)變量去定義試驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)事件（中間表示映射的一欄表格可以省略）．

問題5：任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用不同的數(shù)字表示嗎？

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生領(lǐng)悟任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字來表示（試驗(yàn)結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的可以通過賦值，將其數(shù)量化），同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用不同的數(shù)字表示，表示的原則主要是有實(shí)際意義，簡單合理，便于研究．

3．形成離散型隨機(jī)變量概念

問題6：隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎？你能否舉個(gè)（些）例子，而隨機(jī)變量的取值不是整數(shù)呢？

[設(shè)計(jì)意圖] 關(guān)注學(xué)生的舉例，借學(xué)生舉出的例子，引導(dǎo)分析數(shù)學(xué)化之后的隨機(jī)變量取值的集合的特征（一個(gè)新概念產(chǎn)生之后，我們應(yīng)該端詳它一番），分辨隨機(jī)變量的類型，即某些隨機(jī)變量的取值是離散的，而有些不是,從而給出離散型隨機(jī)變量的概念．如果學(xué)生列舉的都是離散型隨機(jī)變量，則教師可啟發(fā)點(diǎn)撥，啟發(fā)后引導(dǎo)學(xué)生再舉例，或給出以下問題7：

問題7：請(qǐng)仿照剛才的例子，分析下列隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)變量可以取哪些值？你能夠一個(gè)一個(gè)列出來嗎?

（1）某公交車站每隔10分鐘有1輛汽車到站，某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,他等車的時(shí)間；

（2）檢測一批燈泡（相同型號(hào)）的使用壽命．

[設(shè)計(jì)意圖]通過與前面列舉例子的比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果中，表示隨機(jī)事件的隨機(jī)變量的取值是一個(gè)區(qū)間，其值無法一一列出，以此形成離散型隨機(jī)變量的概念．同時(shí)明晰在隨機(jī)現(xiàn)象中隨機(jī)變量的取值類型是豐富多樣的，這也是對(duì)隨機(jī)變量概念（外延）的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)．

問題8：如果我們僅僅關(guān)心“某人等車的時(shí)間多于5分鐘或不多于5分鐘”兩種情況，那該怎樣定義隨機(jī)變量呢?

[設(shè)計(jì)意圖] 在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，為研究方便，有時(shí)需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量．讓學(xué)生明白恰當(dāng)定義隨機(jī)變量給我們研究問題帶來方便．問（2）讓學(xué)生選擇自己關(guān)心的問題來恰當(dāng)定義隨機(jī)變量．

[師生活動(dòng)]通過分析，讓學(xué)生明白，在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量．

4．練習(xí)反饋（見教科書第45頁）

下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示？若能，請(qǐng)寫出各隨機(jī)變量可能的取值并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

（1）拋擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和；

（2）某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù)；

（3）任意抽取一瓶某種標(biāo)有2500ml的飲料,其實(shí)際量與規(guī)定量之差．

[設(shè)計(jì)意圖]在應(yīng)用中鞏固離散型隨機(jī)變量的概念，并能熟練利用離散型隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

5．小結(jié)回授

問題9：你能用自己的語言描述隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的定義及它們之間的區(qū)別嗎？（學(xué)生回答后，可以再問：你能簡單地說說引入隨機(jī)變量的好處嗎？）

[設(shè)計(jì)意圖] 學(xué)生用自己的語言來概括本節(jié)課學(xué)到的知識(shí)，是一種“主動(dòng)建構(gòu)”，也真正體現(xiàn)知識(shí)學(xué)到了手．

[師生活動(dòng)]引入隨機(jī)變量后，隨機(jī)試驗(yàn)中我們感興趣的事件就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率．也即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，我們就可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象了．

六、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)

人教A版教科書第49頁習(xí)題2.1中A組,第1,2,3題.教學(xué)反思 對(duì)隨機(jī)變量概念學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)上，分兩步走：第一步是認(rèn)識(shí)“用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的量是一個(gè)變量，第二步是通過建立“一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射” 認(rèn)識(shí)到在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，即這是一個(gè)特殊的變量，與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān)，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)隨機(jī)變量概念，并理解隨機(jī)變量的特征：它的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，具有隨機(jī)性，即在試驗(yàn)之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗(yàn)，它的取值隨之確定，且所有可能取值是明確的．進(jìn)一步，如何讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)和理解“隨機(jī)變量”這一概念？原教學(xué)設(shè)計(jì)采用讓學(xué)生舉例的方式，在學(xué)生的活動(dòng)中來完成對(duì)“隨機(jī)變量”概念的理解，這一設(shè)計(jì)思路得到同行肯定．事實(shí)上，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，必須要有他們身體力行的實(shí)踐，從自己親歷親為的探索思考中獲得體驗(yàn)，從自己不斷深入的概括活動(dòng)中，獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)的領(lǐng)悟．此處安排學(xué)生舉例正是基于這種考慮，其意義在于：其一，可以觀察學(xué)生是否領(lǐng)會(huì)把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)學(xué)化的思想，以及怎樣把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)學(xué)化（尤其是試驗(yàn)的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的隨機(jī)現(xiàn)象）；其二，體會(huì)引入隨機(jī)變量概念后，隨機(jī)試驗(yàn)中的事件就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來，“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”來表示，（即研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律就可以轉(zhuǎn)化為研究隨機(jī)變量的概率分布）．

第三篇：教案09-2.1離散型隨機(jī)變量及其分布續(xù)

教學(xué)對(duì)象 計(jì)劃學(xué)時(shí) 2

管理系505-13、14、15；經(jīng)濟(jì)系205-

1、2 授課時(shí)間

2006年3月3日；星期五；1—2節(jié)

教學(xué)內(nèi)容

第二章 一維隨機(jī)變量及其概率分布 第一節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布律（續(xù)）

三、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布

1、二點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布

2、泊松分布

通過教學(xué)，使學(xué)生能夠：

1、掌握兩點(diǎn)分布

2、掌握貝努利概型和二項(xiàng)分布

3、掌握泊松分布

教學(xué)目的

知 識(shí)：

1、兩點(diǎn)分布

2、貝努利概型和二項(xiàng)分布

3、泊松分布

技能與態(tài)度

1、將生活中的隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)變量的分布相聯(lián)系

2、會(huì)分析計(jì)算生產(chǎn)實(shí)際中的概率問題

教學(xué)重點(diǎn) 常見的分布 教學(xué)難點(diǎn) 貝努利概型

教學(xué)資源 自編軟件（演示貝努利概型）

教學(xué)后記

培養(yǎng)方案或教學(xué)大綱

修改意見 對(duì)授課進(jìn)度計(jì)劃 修改意見 對(duì)本教案的修改意見 教學(xué)資源及學(xué)時(shí) 調(diào)整意見 其他 教研室主任：

系部主任：

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 1 頁

教學(xué)活動(dòng)流程

教學(xué)步驟、教學(xué)內(nèi)容、時(shí)間分配

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課

復(fù)習(xí)內(nèi)容：（5分鐘）

1、隨機(jī)變量的概念

2、分布律的概念 導(dǎo)入新課：（2分鐘）

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)方法

提問講解

鞏固所學(xué)知識(shí)，與技能

上一次我們引入了隨機(jī)變量的概念，已經(jīng)學(xué)會(huì)了用含有引出本節(jié)要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的等式或不等式來表示不同的隨機(jī)事件。在實(shí)際問的主要內(nèi)容 題中，不同的離散型隨機(jī)變量擁有各自不同的分布律。但生

產(chǎn)管理和實(shí)際生活中，有很多隨機(jī)變量的分布規(guī)律是類似的，常見的分布有三類：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布

1、掌握兩點(diǎn)分布

二、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

2、掌握貝努利概型和二項(xiàng)分布

3、掌握泊松分布

三、知識(shí)學(xué)習(xí)（50分鐘）

三、常見的離散型隨機(jī)變量的分布

(一)兩點(diǎn)分布（0—1分布）若隨機(jī)變量X的分布律為

X01pP1?p，則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布。

若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，如產(chǎn)品是否合格，試驗(yàn)是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面，射擊是否中靶，新生兒的性別，等等，它們都可以用（0-1）分布來描述，只不過對(duì)不同的問題參數(shù)p的值不同而已。可見，（0-1）分布是經(jīng)常遇到的一種分布。

例

1、從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一球，?1,取到白球以X表示取出球的顏色情況，即X=?，求X的0,取到紅球?分布律。

解：P{X=1}=1C61C10=0.6，P{X=0}=

1C41C10=0.4

則X的分布律為XP010.40.6

(二)二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布是實(shí)際中很常見的一種分布，為了對(duì)它進(jìn)行研究，需要先介紹一種非常重要的概率模型——貝努利概型

我們?cè)趯?shí)際中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況:所考慮的試驗(yàn)是

掌握兩點(diǎn)分布的 概念

講授法

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 2 頁 由一系列的子試驗(yàn)組成的，而這些子試驗(yàn)的結(jié)果是互不影響的，即子試驗(yàn)之間是互相獨(dú)立的。例如，將一枚硬幣連續(xù)拋n次，我們可以將每拋一次看成一個(gè)子試驗(yàn)，而每次拋硬幣出現(xiàn)正面與反面的結(jié)果是互不影響的。而且隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是在大量的重復(fù)試驗(yàn)的條件下才呈現(xiàn)出來的，因此對(duì)某個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，在概率分布的研究中也有重要的作用。

我們只討論每次只有兩個(gè)結(jié)果的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

1、貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)

定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果：A或A，在相同的條件下將E重復(fù)進(jìn)行n次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果是互不影響，則稱這n重獨(dú)立試驗(yàn)。

它是數(shù)學(xué)家貝努利首先研究的，因此也叫n重貝努利試驗(yàn)，簡稱貝努利試驗(yàn)，這時(shí)討論的問題叫貝努利概型

說明：貝努利試驗(yàn)應(yīng)同時(shí)滿足以下條件：(1)在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)；

(2)每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：A發(fā)生或A不發(fā)生；(3)在每次試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率均相同，即P(A)=p；(4)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的

對(duì)于貝努利概型，我們主要研究在n次貝努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率。

定理：在貝努利概型中，設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，則在n次貝努利試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)k次的概率kk為Pn(k)?Cn（k=0,1,2,?,n）p(1?p)n?k，理解貝努利概型

例2：將一枚均勻的硬幣拋擲3次（與3枚硬幣擲一次相當(dāng)），求正面出現(xiàn)1次的概率

解：n=3，k=1，p=0.5，1-p=0.5，則1P3(1)?C3(0.5)1(1?0.5)3?1=0.375 用古典概率解釋: Ω={正正正,正正反,正反正,正反反,．．．反正正,反正反,反反正,反反反} ．．．．．．說明:簡單問題用古典概型解決還可以,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)太多時(shí),樣本點(diǎn)有2n個(gè)，只能用公式求解

軟件演示：

例3：從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次取一件，求有兩次取得次品的概率

解：將每一次抽取當(dāng)做一次試驗(yàn)，設(shè)A={取到次品}，有放回地抽取5次，看成是一個(gè)5重貝努利試驗(yàn)，n=5，兩次取得次品，則有k=2，每次試驗(yàn)中

p = P(A)=1C31C12?13，則1-p=，44

掌握計(jì)算公式

講授法

講授法 板書

軟件演示

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 3 頁 2因此P5(2)?C5()2(1?)5?2=1414135 5122、二項(xiàng)分布

定義：若隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,?,n，且kkP{X=k}=Cnp(1?p)n?k，k =0,1,2,?,n

其中0

特例：當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布即為兩點(diǎn)分布 例4(P 21)

說明：二項(xiàng)分布的應(yīng)用非常廣泛，但是當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，計(jì)算量又很大，平時(shí)解題可以不用計(jì)算，當(dāng)n>5時(shí)用式子表示即可。為便于應(yīng)用，可直接查閱二項(xiàng)分布表(P157附表6），查表結(jié)果是X取值從0到x的累計(jì)概率。即P{X≤x}。若計(jì)算X=m的概率，可用P{X=m}=P{X≤m}—P{X≤m—1}

例如：P{X=5}=P{X≤5}—P{X≤4}

例5(P22)、工廠生產(chǎn)的螺絲次品率為0.05，每個(gè)螺絲是否為次品是相互獨(dú)立的，產(chǎn)品出售時(shí)10個(gè)螺絲打成一包，并承諾若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)多于一個(gè)次品即可退貨。用X表示一包內(nèi)次品的個(gè)數(shù)。求（1）X的分布律；（2）工廠的退貨率

解：對(duì)一包內(nèi)的10個(gè)螺絲逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，相當(dāng)于進(jìn)行10重貝努利試驗(yàn)，因此X~B(10,0.05)

k（1）X的分布律：P{X=k}=C10（k(0.05)k(0.95)10?k，=0,1,2,?,10）（2）當(dāng)X>1時(shí)退貨，退貨率為：P{X>1}= 1—P{X≤1}=1—k?0?1kC10(0.05)k(0.95)10?k

泊松定理（Poisson）:設(shè)λ>0是一常數(shù)，n是正整數(shù)。若npn=λ，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有?k??lim(1?pn)?e。（證：P23注釋）n???k!定理的條件npn=λ，意味著n很大時(shí)pn必定很小，由定理知，當(dāng)X~B(n, p)，且n很大而p很小時(shí)，有kCnkpnn?kkP{X=k}=Cnp(1?p)kn?k?k? ?e，λ=np ≈k!?k? ?e計(jì)算在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n≥20且p≤0.05時(shí)，用k!kkCnp(1?p)n?k的近似值效果頗佳；

?k? ?當(dāng)n≥100且np≤10時(shí)，效果更好。e的值有表可

k!

掌握二項(xiàng)分布的計(jì)算

理解定理內(nèi)容

講授法 板書

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 4 頁

N3k因λ=np =3，由泊松定理P(X≤N)≈?e?3，k!k?0

N3k?3故問題轉(zhuǎn)化為求N的最小值，使?e≥0.99

k!k?0

N3k??3k即1??e?3??e?3?0.01

k!k!k?0k?N?1

查書后附表2（P140）可知，當(dāng)N+1≥9即時(shí)N ≥8時(shí)，上式成立。因此，為達(dá)到上述要求，至少需配備8名維修工 人。

類似的問題在其他領(lǐng)域也會(huì)遇到，如電話交換臺(tái)接線員 的配備，機(jī)場供飛機(jī)起降的跑道數(shù)的確定等.(三)泊松分布

定義：若隨機(jī)變量X所有可能的取值為0,1,2,?,而理解泊松分布的定義 ?k? ?查（見書后附表P139）

例

6、某車間有同類型的設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，設(shè)一臺(tái)設(shè)備的故障由一名工人維修，問至少需配備多少名維修工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01？

解 設(shè)需配備N名工人，X為同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備的臺(tái)數(shù)，則X~B(300,0.01)。所需解決的問題是確定N的最小值，使P(X≤N)≥0.99 e，其中λ>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λk!的泊松分布，記為X~P(λ)

具有泊松分布的隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng)用中是很多的。例如，在每個(gè)時(shí)段內(nèi)電話交換臺(tái)收到的電話的呼喚次數(shù)、某商店在一天內(nèi)來到的顧客人數(shù)、在某時(shí)段內(nèi)的某放射性物質(zhì)發(fā)出的經(jīng)過計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)、在某時(shí)段內(nèi)在車站候車的人數(shù)、單位面積上布匹的疵點(diǎn)數(shù)、單位時(shí)間內(nèi)商店銷售非緊俏商品的件數(shù)、等等，只要試驗(yàn)的結(jié)果為兩個(gè)，且由很多因素共同作用來決定的隨機(jī)變量，都可認(rèn)為是服從泊松分布。泊松分布也是一種常見的重要分布。它是二項(xiàng)分布的極限分布，因此可用泊松分布的計(jì)算公式計(jì)算二項(xiàng)分布。

例15：每分鐘經(jīng)過收費(fèi)站的汽車流量服從泊松分布：X ~P(5)，求每分鐘經(jīng)過該收費(fèi)站的汽車不足9輛的概率。

解：P{X<9}=1—P{X≥9}=1-0.0681=0.9319 P{X=k}=

例1 某人獨(dú)立地射擊目標(biāo)，每次射擊的命中率為0.02，掌握分布律的性射擊200次，求目標(biāo)被擊中的概率。質(zhì)

解：把每次射擊看成一次試驗(yàn)，這是200重貝努利試驗(yàn)。設(shè)擊中的次數(shù)為X，則X~B(200,0.02)

四、技能學(xué)習(xí)（20分鐘）

教師提問

引導(dǎo)學(xué)生寫出答案

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 5 頁

=0,1,2,?,200）

所求概率：P{X≥1}=1—P{X=0}=1—0.98200=0.9824 說明：雖然每次的命中率很小，但當(dāng)射擊次數(shù)足夠大時(shí)，擊中目標(biāo)的概率很大。這個(gè)事實(shí)告訴我們，一個(gè)事件盡管在 一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，kX的分布律為：P{X=k}=C200（k(0.02)k(0.98)200?k，這個(gè)事件的發(fā)生幾乎是必然的。也就是說，小概率事件在大量獨(dú)立重復(fù)室驗(yàn)中是不可忽視的。

當(dāng)問題的規(guī)模很大時(shí)，一般n很大且p很小，無法查表。而直接計(jì)算又很麻煩，下面給出一個(gè)當(dāng)n很大而p很小時(shí)的近似計(jì)算公式.例

2、車間現(xiàn)有90臺(tái)同類型的設(shè)備，各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，每臺(tái)發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障只能由一個(gè)人修理。配備維修工人的方法有兩種，一種是由三人分開維護(hù)，每人負(fù)責(zé)30臺(tái)；另一種是由3人共同維護(hù)90臺(tái)。分別求在兩種情況下車間的設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率。

解：設(shè)X為出現(xiàn)故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)

（1）每人負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)，可認(rèn)為是30重貝努利試驗(yàn)，因此X~B(30,0.01)，當(dāng)X>1時(shí)等待修理。

λ=np =0.3，P{X>1}= P{X≥2}≈?(0.3)e?0.3≈

k?2??kk!0.0369 Ai=“第i個(gè)人負(fù)責(zé)的30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障而無人修理”。可知P(Ai)=0.0369，而90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障無人修理的事件為A1∪A2∪A3，故采用第一種方法，所求概率為

P(A1∪A2∪A3)= 1-P(A1A2A3)=1-(1-0.0369)3=0.1067

（2）三人共同維護(hù)90臺(tái)，認(rèn)為是90重貝努利試驗(yàn)，因此X~B(90,0.01)，當(dāng)X>3時(shí)等待修理。

而所求概率為P{X>3}= P{X≥4}≈?(0.9)e?0.9≈

k?4??kk!0.0135 因?yàn)?.0135<0.0369，顯然共同負(fù)責(zé)比分塊負(fù)責(zé)的維修效率提高了。因此后者的管理效益更好。由此可以看到，用概率的知識(shí)可以解決運(yùn)籌學(xué)所要解決的有效運(yùn)用人力、物力資源的某些問題。

五、態(tài)度養(yǎng)成

六、技能訓(xùn)練（16分鐘）

做事認(rèn)真的態(tài)度

通過實(shí)際訓(xùn)練，學(xué)生練習(xí)練習(xí)：一大樓有五個(gè)同類型的獨(dú)立供水設(shè)備，在任意時(shí)使學(xué)生理解樣本老師巡刻每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時(shí)刻 的寫法與含義 視，解答《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 6 頁(1)恰好有兩個(gè)設(shè)備被使用的概率P1是多少?(2)至少有三個(gè)設(shè)備被使用的概率P2是多少?(3)至多有三個(gè)設(shè)備被使用的概率P3是多少?(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率P4是多少? 解：在同一時(shí)刻觀察五個(gè)設(shè)備,它們工作與否是相互獨(dú)立的,故可視為5重貝努里試驗(yàn)，n=5，p=0.1，于是可得：

2(1)P1＝P5(2)＝C5(0.1)2(0.9)53＝0.0729

－

問題

(2)P2＝P5(3)+ P5(4)+ P5(5)＝0.00856(3)P3＝P5(0)+ P5(1)+ P5(2)+ P5(3)＝0.99954(4)P4＝1－P5(0)＝1－0.95＝0.40951 {X=0}={沒有取到次品}，P{X=0}=

02C3C72C1011C3C72C1020C3C72C10?7 157 15{X=1}={取到一件次品}，P{X=1}=?{X=2}={取到兩件次品}，P{X=2}=?1 15XX的分布律為：P0715171521 1

5七、課堂小結(jié)（3分鐘）

在學(xué)習(xí)時(shí)要理解三種分布之間的關(guān)系：兩點(diǎn)分布討論的是一次貝努利試驗(yàn)的結(jié)果，它只有兩個(gè)結(jié)果，二項(xiàng)分布討論的是N次貝努利試驗(yàn)的結(jié)果，它有N+1個(gè)結(jié)果。兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例，泊泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布。它對(duì)應(yīng)無窮多次的貝努利試驗(yàn)，因此，貝努利試驗(yàn)是非常重要的一類試驗(yàn)。

概括總結(jié)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系

簡要概括本節(jié)內(nèi)容

八、布置作業(yè)（1分鐘）

復(fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容

預(yù)習(xí)連續(xù)型隨機(jī)變量 P36—5、6、7

鞏固所學(xué)的知識(shí) 培養(yǎng)自學(xué)能力

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》09—§2-1離散型隨機(jī)變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 7 頁

第四篇：離散型隨機(jī)變量的教學(xué)設(shè)計(jì)

“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

“隨機(jī)變量及其分布”一章的主要內(nèi)容就是要通過具體實(shí)例，幫助學(xué)生理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差的概念，理解超幾何分布和二項(xiàng)分布的概型并能解決簡單的實(shí)際問題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念。

“離散型隨機(jī)變量”是這一章的開門課。因此，在本節(jié)課中，讓學(xué)生了解本章的主要內(nèi)容及其研究該內(nèi)容所用的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)任務(wù)，提高他們的求知欲望，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣非常重要。于是，本節(jié)課的第一個(gè)教學(xué)任務(wù)就是要做好章頭圖的教學(xué)。教材的章頭圖從實(shí)例和圖形兩個(gè)方面展示了本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，一個(gè)是離散型隨機(jī)變量的產(chǎn)生背景和分布列的條形圖，另一個(gè)是正態(tài)分布的背景和正態(tài)分布密度曲線。教學(xué)時(shí)要充分地運(yùn)用章頭圖的這兩個(gè)背景，通過問題的形式，幫助學(xué)生明確本章要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和意義。

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率。對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，只要了解了它可能出現(xiàn)的結(jié)果，以及每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，也就基本把握了它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。為了使用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象，需要用數(shù)字描述隨機(jī)現(xiàn)象，建立起連接數(shù)和隨機(jī)現(xiàn)象的橋梁——隨機(jī)變量。隨機(jī)變量能夠反映隨機(jī)現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機(jī)變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實(shí)際問題中。而高中階段主要研究的是有限的離散型的隨機(jī)變量，因此，本節(jié)課的第二個(gè)教學(xué)任務(wù)就是通過具體實(shí)例，幫助學(xué)生掌握隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的概念，理解它們的意義和作用，能對(duì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，用一個(gè)隨機(jī)變量表示，并能確定其取值范圍。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.了解本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容和意義。具體要求為：

（1）通過章頭圖中給出的射擊運(yùn)動(dòng)的情景，幫會(huì)學(xué)生了解，在射擊運(yùn)動(dòng)中，每次射擊的成績是一個(gè)非常典型的隨機(jī)事件。在這個(gè)離散型的隨機(jī)事件中，如何刻畫每個(gè)運(yùn)用員射擊的技術(shù)水平與特點(diǎn)？如何比較兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員的射擊水平？如何選拔運(yùn)動(dòng)員參加比賽獲勝的概率大？這些問題的解決需要離散型隨機(jī)變量的概率分布、均值、方差等有關(guān)知識(shí)；

（2）通過章頭圖中給出的高爾頓板游戲情景，幫助學(xué)生了解在這樣一個(gè)連續(xù)型的隨機(jī)事件的游戲活動(dòng)中，小球落在哪個(gè)槽中的可能性更大？槽中的小球最后會(huì)堆積成什么形狀？這些問題與本章將要學(xué)習(xí)的正態(tài)分布有關(guān)；

（3）在上述兩個(gè)情景的基礎(chǔ)上，通過問題的形式，幫助學(xué)生提出本章要研究的問題和基本思想：隨機(jī)事件形形色色，隨機(jī)現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但如果舍棄具體背景，它們就會(huì)呈現(xiàn)出一些共性；如果把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示試驗(yàn)結(jié)果，就可以用數(shù)學(xué)工具來研究這些隨機(jī)現(xiàn)象。這樣不僅闡述了本章的主要內(nèi)容，而且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們明確本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)以及研究本章內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想方法。

2.理解隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的描述性定義，以及隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系，能夠把一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果用隨機(jī)變量表示，能夠根據(jù)所關(guān)心的問題定義一個(gè)隨機(jī)變量。具體要求是：

（1）在對(duì)具體問題的分析過程中，幫助學(xué)生理解用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的意義和作用：為了使用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象，需要用數(shù)字描述隨機(jī)現(xiàn)象，建立起連接數(shù)和隨機(jī)現(xiàn)象的橋梁——隨機(jī)變量，掌握隨機(jī)變量的描述性概念，了解隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造隨機(jī)變量應(yīng)當(dāng)注意的問題（如隨機(jī)變量應(yīng)該有實(shí)際意義、應(yīng)該盡量簡單，以便于研究），以及用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件的方法等；

（2）通過具體問題的對(duì)比分析，幫助學(xué)生理解隨機(jī)變量有兩個(gè)類型：

??取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量?離散型隨機(jī)變量?

隨機(jī)變量? 隨型機(jī)變量?取無窮多個(gè)值的離散??連續(xù)型隨機(jī)變量能夠根據(jù)具體問題，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果用一個(gè)隨機(jī)變量表示，并能寫出其取值范圍；能夠熟練地用隨機(jī)變量的取值表示一個(gè)隨機(jī)事件；

（3）通過反思隨機(jī)變量的定義過程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)，在實(shí)際應(yīng)用中如何根據(jù)實(shí)際問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量（如根據(jù)所關(guān)心的問題，定義隨機(jī)變量），以達(dá)到事半功倍的效果。

三、重點(diǎn)和難點(diǎn)解析

本節(jié)內(nèi)容是為求分布列作鋪墊的一節(jié)概念課。所以要把隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的概念講清楚。于是，可以確定的重點(diǎn)、難點(diǎn)是：

重點(diǎn)：用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的意義和方法；

難點(diǎn)：對(duì)隨機(jī)變量意義的理解；構(gòu)造隨機(jī)變量的方法；隨機(jī)變量取值范圍的確定。

四、教學(xué)問題診斷分析

1.是否講解“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念？

研究隨機(jī)現(xiàn)象，就是要研究隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（其中的每一個(gè)結(jié)果即為一個(gè)隨機(jī)事件）和每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率（即描述每一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量），從而把握它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這里有三個(gè)概念：隨機(jī)事件、隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)。

在必修三中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件的概念（即在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件），之前，學(xué)生通過在初中數(shù)學(xué)和必修三的概率學(xué)習(xí)，又有了隨機(jī)現(xiàn)象的觀念，因此，學(xué)生對(duì)“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念是能夠不加定義而自明的，也就是“隨機(jī)試驗(yàn)”可以作為不加定義的原始概念引入。事實(shí)上，教材在介紹隨機(jī)變量的概念時(shí)，不加定義地引入了“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念（教材第44頁第一個(gè)思考下方第一行），就是基于這樣的考慮，因此，在教學(xué)中，對(duì)“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念不需要（也根本沒有必要）引導(dǎo)學(xué)生下定義，以避免嚴(yán)格的定義可能造成學(xué)生理解的模糊，影響對(duì)主干概念“隨機(jī)變量”的理解。

事實(shí)上，“試驗(yàn)”一詞有十分廣泛的含義：凡是對(duì)對(duì)象的觀察或?yàn)榇硕M(jìn)行的實(shí)驗(yàn)都稱之為試驗(yàn)。如果一個(gè)試驗(yàn)滿足以下條件，則稱之為隨機(jī)試驗(yàn)：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確且可以知道的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。

2.怎樣建構(gòu)“隨機(jī)變量”的概念？

本節(jié)內(nèi)容圍繞隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用“數(shù)”表示進(jìn)行展開。擲骰子試驗(yàn)、擲硬幣試驗(yàn)是學(xué)生比較熟悉的兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)擲骰子試驗(yàn)的結(jié)果和數(shù)字1~6對(duì)應(yīng)起來學(xué)生很容易理解，而擲硬幣試驗(yàn)的結(jié)果則不容易聯(lián)想到數(shù)字。可以引導(dǎo)學(xué)生思考：值一枚硬幣的結(jié)果是否也可以用數(shù)字表示呢？通過把“正面向上”與1對(duì)應(yīng)，“反面向上”與0對(duì)應(yīng)，使得擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果同樣也可以用數(shù)字表示，這樣的問題還可以列舉，如新生嬰兒性別抽查：可能是男，也可能是女，同樣可以分別用1和0表示這兩種結(jié)果，在此基礎(chǔ)上抽象概括出隨機(jī)變量的描述性定義。

3.怎樣深化對(duì)“隨機(jī)變量”概念本質(zhì)的理解？ 對(duì)隨機(jī)變量概念的理解，不是下個(gè)定義一步完成的，為了幫助學(xué)生深入地體會(huì)隨機(jī)變量的本質(zhì)，可以對(duì)擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果的表示方法提出下面問題：還可以用其他的數(shù)來表示這兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果嗎？目的是鼓勵(lì)學(xué)生提出其他表示方法，比如“正面向上”用1表示，“反面向上”用-1表示等，以使學(xué)生理解隨機(jī)變量的本質(zhì)。事實(shí)上，對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，可以用不同的隨機(jī)變量來表示其所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。為了幫助學(xué)生體會(huì)，究竟選擇什么樣的隨機(jī)

變量更為合適？這就涉及到構(gòu)造隨機(jī)變量應(yīng)當(dāng)注意的一些基本問題：如隨機(jī)變量應(yīng)該有實(shí)際意義，應(yīng)該盡量簡單，以便于研究。例如，對(duì)于擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)?可以表示為???1??2????n，其中?i???1,第i次試驗(yàn)出現(xiàn)正面?0,第i次試驗(yàn)出現(xiàn)反面，通過這樣的例子，幫助學(xué)生體會(huì)用數(shù)字1和0表示，能夠直接反應(yīng)出正面向上的次數(shù)，這顯然很方便；而用1和-1分別表示試驗(yàn)結(jié)果的反面和正面，那么擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)?的表達(dá)式就會(huì)變得很復(fù)雜。為了進(jìn)一步深化對(duì)概念的理解，可以引導(dǎo)學(xué)生將隨機(jī)變量與函數(shù)概念進(jìn)行類比：隨機(jī)變量與函數(shù)有類似的地方嗎？使他們了解隨機(jī)變量的概念實(shí)際上也可以看作是函數(shù)概念的推廣。

4.如何通過隨機(jī)變量表示所關(guān)心的隨機(jī)事件？

引入隨機(jī)變量的目的是為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，那么如何通過隨機(jī)變量表示所關(guān)心的隨機(jī)事件呢？可以通過一些例子介紹用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件的方法，特別是一些較為復(fù)雜的隨機(jī)事件的表示方法。例子的類型列舉可以廣泛：如有窮可列、無窮可列、不可列等三個(gè)類型。特別是對(duì)不可列的隨機(jī)變量問題，可以根據(jù)所關(guān)心的問題，能夠把它構(gòu)造成可列的隨機(jī)變量。從而進(jìn)一步體會(huì)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件的方法。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.情境引入

情境1：在射擊運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員每次射擊的成績具有什么特征？（隨機(jī)性）運(yùn)動(dòng)員每次射擊的成績是一個(gè)什么事件？（隨機(jī)事件）

如何刻畫每個(gè)運(yùn)動(dòng)員射擊的技術(shù)水平與特點(diǎn)？如何比較兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員的射擊水平？如何選擇優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員代表國家參加奧運(yùn)會(huì)的比賽才能使得獲勝的概率大？解決這個(gè)問題要涉及到離散型隨機(jī)變量的概率分布模型。

情境2：高爾頓是英國生物學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家，他設(shè)計(jì)了一個(gè)著名的游戲——高爾頓板游戲。如圖，在一塊木板上釘上釘著若干排相互平行并相互錯(cuò)開的圓柱形小模塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃昂髶跤胁ＡВ缓笞屢粋€(gè)個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球落在哪個(gè)槽中的可能性更大？槽中的小球最后會(huì)堆積成什么形狀？

這個(gè)問題近似地服從正態(tài)分布，它是很多自然現(xiàn)象和生產(chǎn)、生活實(shí)際問題中經(jīng)常遇到的一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布模型。

以上兩個(gè)問題就是我們本章要學(xué)習(xí)的兩個(gè)重要的隨機(jī)變量概率分布模型，本章的課題是——隨機(jī)變量及其分布。

引言：我們知道，概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量。無論是運(yùn)動(dòng)員的一次射擊，還是利用高爾頓板做一次游戲，都是隨機(jī)試驗(yàn)，只要了解了這些隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即每一個(gè)結(jié)果就是一個(gè)隨機(jī)事件），以及每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，我們也就基本把握了它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)事件形形色色，隨機(jī)現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但如果舍棄具體背景，他們就會(huì)呈現(xiàn)出一些共性；如果把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，應(yīng)隨機(jī)變量表示試驗(yàn)結(jié)果，就可以用數(shù)學(xué)工具來研究這些隨機(jī)現(xiàn)象。

引導(dǎo)學(xué)生閱讀章頭圖的內(nèi)容。然后展示本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：兩類隨機(jī)變量的概率分布模型：離散型隨機(jī)變量——（在講概率分布列、均值和方差的基礎(chǔ)上）研究二項(xiàng)分布和超幾何分布模型；連續(xù)型隨機(jī)變量——正態(tài)分布模型。

2.離散型隨機(jī)變量

問題1：概率是描述在一次隨機(jī)試驗(yàn)中某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量。如擲骰子就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它有六種可能性結(jié)果。你還能舉出一些隨機(jī)試驗(yàn)的例子嗎？該隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：能夠判定簡單的隨機(jī)試驗(yàn)，并能列舉出所有可能的結(jié)果，為用“數(shù)”表示這些結(jié)果做好準(zhǔn)備。

問題2：（1）擲一枚骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)X是1，2，3，4，5，6中的某一個(gè)數(shù)；

（2）在一塊地上種10棵樹苗，成活的棵樹Y是0，1，2，3，?，10中的某個(gè)數(shù)。

下面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是否可以用數(shù)字表示呢？

（3）擲一枚硬幣所有可能的結(jié)果；正面向上——1；反面向上——0

（4）新生兒性別，抽查的所有可能的結(jié)果；男——1；女——0 設(shè)計(jì)意圖：通過討論引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都可用數(shù)字進(jìn)行表示，這樣隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)字之間就構(gòu)成了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這為引入隨機(jī)變量的概念奠定基礎(chǔ)。

問題3：上述四個(gè)例子說明，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)字之間構(gòu)成了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示。這樣隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果就可以看成是一個(gè)變量，我們稱其為隨機(jī)變量。你能給隨機(jī)變量下一個(gè)定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過分析、綜合活動(dòng)，嘗試給隨機(jī)變量下定義。這種定義方式是描述性的，學(xué)生可以憑借自己的理解下定義，只要這種描述比較準(zhǔn)確就可以，不一定按照課本的描述性定義。如一般地，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量表示，這個(gè)變量就叫做隨機(jī)變量，等。

問題4：在（3）和（4）的兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，其試驗(yàn)的結(jié)果是否還可以用其他人數(shù)字表示？

設(shè)計(jì)意圖：通過討論，得出結(jié)論：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用不同的隨機(jī)變量表示。如上面兩個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果還可以用-1和1表示等。

問題5：在擲一枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，其結(jié)果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他數(shù)字表示，那么，在5次擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，出現(xiàn)“正面向上”的次數(shù)?可以怎樣表示？由此你認(rèn)為定義一個(gè)隨機(jī)變量需要遵循哪些原則？

設(shè)計(jì)意圖：出現(xiàn)“正面向上”次數(shù)???1??2??????5，?1,第i次試驗(yàn)出現(xiàn)正面，當(dāng)一次試驗(yàn)的結(jié)果表示為?i?? ?=0，1，2，3，4，5；

?0,第i次試驗(yàn)出現(xiàn)反面。?1,第i次試驗(yàn)正面向上，當(dāng)一次試驗(yàn)的結(jié)果表示為?i?? ?i?-5，-4，-3，-2，-1，0.-1,第i次試驗(yàn)反面向上。?從使用意義上看，顯然把正面向上的次數(shù)表示成負(fù)數(shù)不太合適，而且這樣也不方便，因此，構(gòu)造隨機(jī)變量時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意一些基本問題：如隨機(jī)變量應(yīng)該有實(shí)際意義，應(yīng)當(dāng)盡量簡單，以便于研究。

問題6：隨機(jī)變量和函數(shù)有類似的地方嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生把隨機(jī)變量和函數(shù)進(jìn)行類比，使他們了解隨機(jī)變量的概念實(shí)際上也可以看作是函數(shù)概念的推廣：隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)。在這兩種映射之間，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)與函數(shù)的值域。

例1 判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由。（1）每天你接到的電話的個(gè)數(shù)X；（2）標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度T；（3）某一自動(dòng)裝置無故障運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間t；（4）體積64立方米的正方體的棱長a；（5）拋擲兩次骰子,兩次結(jié)果的和s.（6）袋中裝有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取5個(gè)球，其中所含白球的個(gè)數(shù)η.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)行隨機(jī)變量概念辨析。

例2.寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值（或范圍）:

(1)從10張已編號(hào)的卡片（從1號(hào)到10號(hào)）中任取1張被取出的卡片的號(hào)數(shù)X．(2)一個(gè)袋中裝有3個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取5個(gè)，其中所含白球數(shù)Y．(3)拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和ξ．

(4)接連不斷地射擊,首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)ξ．(5)某網(wǎng)頁在24小時(shí)內(nèi)被瀏覽的次數(shù)η.(6)某一自動(dòng)裝置無故障運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間T（7）電燈泡的壽命X。

設(shè)計(jì)意圖：訓(xùn)練寫出隨機(jī)變量的取值或范圍，并在此基礎(chǔ)上通過分類得到“離散型隨機(jī)變量”的概念。

問題7：在前面所舉這些例子中，這些隨機(jī)變量都有什么特征？ 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些隨機(jī)變量的取值都可以一一列出。

問題8：所有取值能夠一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量有兩類：一類是離散型隨機(jī)變量的取有限個(gè)值的，一類是離散型隨機(jī)變量取無限個(gè)值的（如例2（3）），我們主要研究取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量。

例3.寫出下列離散型隨機(jī)變量可能的取值:

(1)在考試中需回答三個(gè)問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分ξ的可能取值有哪些？

(2)本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．甲乙兩人租車的時(shí)間都不超過4小時(shí)（兩人不一定同時(shí)回來），則兩人所付的總費(fèi)用X的可能取值有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)寫出較為復(fù)雜的離散型隨機(jī)變量取值

問題9：利用隨機(jī)變量可以表示一些事件。在例1中，你能說出｛X=0｝、｛X=4｝、｛X<3｝各表示怎樣的事件嗎？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件，使學(xué)生能夠清晰地說出每一個(gè)隨機(jī)變量取值的實(shí)際意義。

問題10：在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)诙x隨機(jī)變量。例如，對(duì)燈泡的使用壽命，如果我們僅關(guān)心燈泡的使用壽命是否不少于1000小時(shí)，那么就可以定義?0,壽命?1000小時(shí)如下的隨機(jī)變量：???，與燈泡的壽命X相比較，隨機(jī)變量?的構(gòu)造更?1,壽命?1000小時(shí)簡單，它只取兩個(gè)不同的值0和1，是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，研究起來更加容易。你能根據(jù)實(shí)際意義，把能對(duì)（2）定義一個(gè)隨機(jī)變量嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生能夠根據(jù)所關(guān)心的問題，定義出離散型隨機(jī)變量。例4.請(qǐng)根據(jù)所關(guān)心的問題，定義一個(gè)離散型隨機(jī)變量：(1)擲一枚骰子，關(guān)心“擲出的點(diǎn)數(shù)是否為偶數(shù)”；

(2)任意抽取一瓶標(biāo)有2500 ml 的某飲料，其實(shí)際量與規(guī)定量之差在±5ml以內(nèi)為合格；(3)在某項(xiàng)體能測試中，跑1 km成績?cè)? min之內(nèi)的為優(yōu)秀；4 min以上5 min以內(nèi)為合格；某同學(xué)體能測試的結(jié)果.設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)能夠根據(jù)所關(guān)心的問題定義一個(gè)隨機(jī)變量。

備用例題：下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示？若能，請(qǐng)寫出可能取值，并說出這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。

（1）棱長為1的正方體中，任意兩條棱之間的距離（兩條棱相交，可認(rèn)為距離為0）；

（2）如圖，從A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”，該“立體”的體積為V。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固并強(qiáng)化定義離散型變量的方法，并能準(zhǔn)確寫出所求可能取值。

小結(jié)：以上我們通過一些具體實(shí)例研究了隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)字表示，引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，并對(duì)如何根據(jù)實(shí)際需要定義一個(gè)離散型隨機(jī)變量，并判斷它的所有可能取值進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。實(shí)際上隨機(jī)變量的每一個(gè)取值，都表示一個(gè)隨機(jī)事件，每一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量就是概念，如擲骰子試驗(yàn)中P(X?1)?116就表示點(diǎn)數(shù)為1的概率為6規(guī)律了。我們學(xué)習(xí)隨機(jī)變量就是為了研究它的概率，這就是我們下節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。，也就是如果我們能夠知道每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率，也就把握了這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的基本 6

第五篇：“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)設(shè)計(jì)之我見

“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)設(shè)計(jì)之我見

人民教育出版社中數(shù)室 田載今

隨機(jī)變量是因隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的量．由于隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是事先無法確定的，所以表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的量要因結(jié)果的不同而變化，這樣的量當(dāng)然屬于隨機(jī)變量．隨機(jī)變量的本質(zhì)是定義在樣本空間Ω上的一個(gè)映射，它把試驗(yàn)結(jié)果映為實(shí)數(shù)，即其中，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，由滿足

R，的基本事件所組成的集合也是一個(gè)事件．

引入隨機(jī)變量的概念，其作用不僅是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化從而帶來表示方法的簡化，更重要的是把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究數(shù)學(xué)化，從而可以利用數(shù)學(xué)方法研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，其中對(duì)隨機(jī)變量的概率分布的研究是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．

如果樣本空間是可數(shù)的，即量的取值

或，則隨機(jī)變也可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量即離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量比連續(xù)型隨機(jī)變量更容易理解，它是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要隨機(jī)變量類型．

一般地，關(guān)于離散型隨機(jī)變量的教學(xué)目標(biāo)大多規(guī)定為：

通過具體實(shí)例，歸納概括離散型隨機(jī)變量的特征，得出離散型隨機(jī)變量的概念；

體會(huì)引入隨機(jī)變量的作用；

滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行隨機(jī)分析的思想方法．

目前的高中數(shù)學(xué)教材中，離散型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的分布列大都先后出現(xiàn)在兩個(gè)小節(jié)中的內(nèi)容．從教師教學(xué)用書中所附的教學(xué)設(shè)計(jì)案例和一般的實(shí)際教學(xué)過程看，將這兩個(gè)內(nèi)容分在兩節(jié)課中學(xué)習(xí)是一般的教學(xué)安排．在這部分內(nèi)容的第一課時(shí)中，通常只安排關(guān)于離散型隨機(jī)變量概念的內(nèi)容，而不涉及離散型隨機(jī)變量的分布列．筆者認(rèn)為，這樣安排是有一定道理的：第一，離散型隨機(jī)變量是基礎(chǔ)概念，離散型隨機(jī)變量的分布列是針對(duì)離散型隨機(jī)變量而定義的，從邏輯關(guān)系上說兩者有先后之分；第二，兩個(gè)概念的第一次出現(xiàn)分在不同課時(shí)內(nèi)，學(xué)習(xí)內(nèi)容單一，目標(biāo)明確，可以將其分別解決，避免認(rèn)識(shí)不清而產(chǎn)生混淆，從而使基本概念學(xué)得更扎實(shí)牢固；第三，這樣處理與現(xiàn)行教材的課文、練習(xí)、習(xí)題的安排順序保持基本一致，便于學(xué)生自學(xué)和做作業(yè)．

兵法曰：兵無常態(tài)，水無常勢．這就是說解決問題的方法不是一成不變的，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況權(quán)衡利弊相機(jī)行事．同樣地，教學(xué)有法，教無定法．一種教學(xué)設(shè)計(jì)難以方方面面都能兼顧，往往在保證了一些方面有利的同時(shí)，也存在另一些方面的不足．如前所述，引入離散型隨機(jī)變量的概念，體會(huì)引入隨機(jī)變量的作用，滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行隨機(jī)分析的思想方法，是本部分的教學(xué)目標(biāo)，三者是相互聯(lián)系的一個(gè)整體（三位一體）．如果只是引入離散型隨機(jī)變量的概念，而不能較明顯地體現(xiàn)為什么要引入它，則會(huì)影響對(duì)其作用和相關(guān)思想方法的體會(huì)．要體現(xiàn)引入隨機(jī)變量的作用，滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行隨機(jī)分析的思想方法，顯然離不開對(duì)離散型隨機(jī)變量的概率分布的研究，這是把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵．從這個(gè)角度看，如果能在同一課時(shí)中引入離散型隨機(jī)變量后，緊接著出現(xiàn)分布列，使兩者更密切地聯(lián)系起來，可能更有利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)．

筆者考察實(shí)際教學(xué)發(fā)現(xiàn)，在一節(jié)課中僅討論離散型隨機(jī)變量，內(nèi)容上顯得比較單薄，時(shí)間上顯得比較寬余，效果上顯得比較拖沓，從提高教學(xué)效率考慮似還有潛力可挖．更重要的是，如果只引入隨機(jī)變量而不涉及概率分布，這節(jié)課至多只能使人感到隨機(jī)變量是對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的一種數(shù)量化表示，而無法認(rèn)識(shí)這種表示與隨機(jī)度量（即可能性大小）的密切聯(lián)系，這使得體會(huì)隨機(jī)變量作用的效果大打折扣．在高中數(shù)學(xué)教材的向量部分，曾指出“如果沒有運(yùn)算，向量只是一個(gè)‘路標(biāo)’，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限．”與此類似，如果不涉及概率分布，隨機(jī)變量只是一種“表示”，因?yàn)橛辛烁怕史植迹S機(jī)變量才能在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)發(fā)揮作用．

筆者認(rèn)為，將離散型隨機(jī)變量和其分布列更緊密地聯(lián)系起來，在實(shí)際教學(xué)中具有可行性．為說明這一點(diǎn)，筆者不揣冒昧地提出如下一種教學(xué)過程的設(shè)計(jì)草案，敬請(qǐng)讀者指正．

離散型隨機(jī)變量及其分布列第一課時(shí)的教學(xué)過程草案

一、描述隨機(jī)變量

試驗(yàn)結(jié)果經(jīng)常可以用表示計(jì)數(shù)或度量的量來表示，例如出現(xiàn)某種現(xiàn)象的次數(shù)，某物理量的長度，等等．即使是定性的試驗(yàn)結(jié)果，也可以數(shù)量化表示．例如擲硬幣時(shí)，正面向上記為1，反面向上記為0．表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的量，其取值事先不能確定，它隨著試驗(yàn)結(jié)果隨機(jī)確定．一般地，隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的量叫做隨機(jī)變量（random variable）．隨機(jī)變量通常用

表示．

二、考慮隨機(jī)試驗(yàn)案例及相關(guān)問題

請(qǐng)看下面的隨機(jī)試驗(yàn)，并考慮相關(guān)問題．

隨機(jī)試驗(yàn)1 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子．

（1）用X表示擲出的點(diǎn)數(shù)，要表示試驗(yàn)的全部可能結(jié)果，X應(yīng)取哪些值？

擲骰子時(shí)，擲出的點(diǎn)數(shù)可能是1，2，3，4，5，6中的一個(gè)，但事先不能確定，結(jié)果是隨機(jī)產(chǎn)生的．用X表示擲出的點(diǎn)數(shù)，X的值應(yīng)隨機(jī)地取1，2，3，4，5，6中的某個(gè)．

（2）X取到每一個(gè)值的概率各是多少？

由古典概型可知，X取1，2，3，4，5，6中每一個(gè)值的概率都是下：

這可以列表表示如

（3）X<5表示什么？它對(duì)應(yīng)的概率是多少？

X<5表示事件“點(diǎn)數(shù)小于5”，即事件“點(diǎn)數(shù)為1或2或3或4”．它的概率為

（4）如果多次重復(fù)擲一枚骰子，那么擲出點(diǎn)數(shù)的平均值最可能是多少？

每次擲出的點(diǎn)數(shù)無法事先確定，因此多次擲出的點(diǎn)數(shù)的平均值也無法事先確定．但是，我們可以依據(jù)“大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率穩(wěn)定于概率”對(duì)此進(jìn)行估計(jì)．由于點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6出現(xiàn)的頻率都會(huì)穩(wěn)定于，所以多次重復(fù)擲骰子時(shí)點(diǎn)數(shù)的平均值最可能是

隨機(jī)試驗(yàn)2 同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣．

（1）用X表示擲出正面的個(gè)數(shù)，要表示試驗(yàn)的全部可能結(jié)果，X應(yīng)取哪些值？

擲兩枚硬幣時(shí)，擲出正面的個(gè)數(shù)可能是0，1，2中的一個(gè)，但事先不能確定，結(jié)果是隨機(jī)產(chǎn)生的．用X表示擲出正面的個(gè)數(shù)，X的值應(yīng)隨機(jī)地取0，1，2中的某個(gè)．

（2）X取到每一個(gè)值的概率各是多少？

由古典概型可知，X取0，1，2中每一個(gè)值的概率可以列表表示如下：

（3）X<2和X>0各表示什么？它們對(duì)應(yīng)的概率各是多少？

X<2表示事件“正面?zhèn)€數(shù)小于2”，即事件“正面?zhèn)€數(shù)為0或1”； X>0表示事件“正面?zhèn)€數(shù)大于0”，即事件“正面?zhèn)€數(shù)為1或2”．它捫的概率分別為和．

（4）如果多次重復(fù)這個(gè)試驗(yàn)，那么擲出正面?zhèn)€數(shù)的平均值最可能是多少？

每次擲出的結(jié)果無法事先確定，因此多次擲出的正面?zhèn)€數(shù)的平均值也無法事先確定．但是，我們可以依據(jù)“大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率穩(wěn)定于概率”對(duì)此進(jìn)行估計(jì)．由于點(diǎn)數(shù)0，1，2出現(xiàn)的頻率分別會(huì)穩(wěn)定于，和，所以多次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)正面?zhèn)€數(shù)的平均值最可能是

三、引出離散型隨機(jī)變量及其分布列

思考1 上面兩個(gè)X是隨機(jī)變量嗎？它們的取值形式有什么特點(diǎn)？這些取值與試驗(yàn)結(jié)果有什么關(guān)系？

在上述試驗(yàn)及相關(guān)問題中，兩個(gè)X分別表示“點(diǎn)數(shù)”和“正面?zhèn)€數(shù)”，它們都是表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的量，都隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，因此都是隨機(jī)變量．這兩個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值都可以一一列出，即分別為1，2，3，4，5，6和0，1，2．每一列數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果．

一般地，所有可能取值能夠一一列出的隨機(jī)變量，叫做離散型隨機(jī)變量（discrete random variable）．

思考2 上面兩個(gè)表格的形式有什么特點(diǎn)？它們表示了什么內(nèi)容？

上面問題中的表格，分兩行列出隨機(jī)變量X的可取值，以及各值對(duì)應(yīng)的概率．它不僅表示出離散型隨機(jī)變量X的變化范圍，而且表示出各種變化的可能性大小，即從變化內(nèi)容及其可能性這兩方面全面地刻畫了離散型隨機(jī)變量X．

一般地，表示離散型隨機(jī)變量X的所有可能值及取各個(gè)值的概率的表格

叫做X的分布列（distribution series）．X的分布列也可以表示為

容易發(fā)現(xiàn)，由于概率的和

思考3 初步體會(huì)離散型隨機(jī)變量及其分布列的作用．

從上面的問題可以看出，對(duì)于研究隨機(jī)試驗(yàn)問題，例如估計(jì)多次重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果的平均值，離散型隨機(jī)變量及其分布列是非常有用的工具．由此可以覺察，引入隨機(jī)變量給定量地表示和研究隨機(jī)性問題帶來方便；有了離散型隨機(jī)變量及其分布列，就可以對(duì)許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果從變化范圍和變化可能性兩方面有更清晰的認(rèn)識(shí)．

四、例題

此處例題為鞏固與加深對(duì)離散型隨機(jī)變量及其分布列的一般認(rèn)識(shí)而安排,二項(xiàng)分布、超幾何分布等內(nèi)容安排在后續(xù)課時(shí)．

例 用隨機(jī)變量X表示擲兩枚骰子的試驗(yàn)結(jié)果,并寫出X的分布列．

解：設(shè)X表示兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和，則X的分布列為

與隨機(jī)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果一一對(duì)應(yīng)，所以它們所對(duì)應(yīng)的，根據(jù)X的分布列，可以求出有關(guān)事件的概率．例如，五、小結(jié)

1.回顧離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念；

2.初步體會(huì)離散型隨機(jī)變量及其分布列在研究隨機(jī)試驗(yàn)問題時(shí)的作用．

前面已經(jīng)說過，教學(xué)有法，教無定法．教材和教學(xué)的設(shè)計(jì)方案具有多樣性，不同方案各有長短．選擇方案的關(guān)鍵在于從實(shí)際出發(fā)，在保證重點(diǎn)，突出要實(shí)現(xiàn)的主要教學(xué)目標(biāo)的前提下，力求教學(xué)效果的最大化．筆者提出上述意見及教學(xué)設(shè)計(jì)，只是一孔之見，意在拋磚引玉，能為改進(jìn)教材和教學(xué)的討論提供參考．

2010-07-08 人教網(wǎng)