第一篇：離散型隨機變量的均值教案 Microsoft Word 文檔

[課題]2-5（1離散型隨機變量的均值教案 備課時間：01—30上課時間：02—？主備：賈永亮 班級： 姓名： [學習目標]：（1）理解隨機變量均值的含義，會求隨機變量的均值。（2）高考A級要求。[學習重點]：會計算簡單的條件概率。[學習難點]：條件概率的意義。[學法指導]：由計算樣本的平均值類比得到散型隨機變量的數(shù)學期望。[課前預習導學]： 問題1：怎樣刻畫離散型隨機變量取值的平均水平呢？ 引例：甲，乙兩個工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，在相同的條件下，他們生產(chǎn)100件產(chǎn)品所出的不合格品數(shù)分別用X1,X2表示，X1,X2的概率分布如下。X1 pk0 0?7 1 2 3 0?1 3 0?1 1 0?1 2 X2 pk 0 0?5 0?3 0?2 0 問題2：如何比較甲，乙兩個工人的技術？ 問題3：回顧計算樣本的平均值的方法？ 問題4：類比計算樣本平均值的方法，你能給出散型隨機變量的數(shù)學期望嗎？用符號如何表示？ 問題5：你能解決引例提出的問題嗎？ [課堂學習研討]： 例1：在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同。某學生一次從中摸出5個球，其中紅球個數(shù)為X，求X的數(shù)學期望。例2：從批量較大的成品中隨機取出10件進行質(zhì)量檢查，若這批產(chǎn)品的不合格率為0?05，隨機變量X表示這10件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，求隨機變量X的數(shù)學期望E(X)。[課內(nèi)訓練鞏固]： 1．設X表示10次獨立重復射擊命中目標的次數(shù)，每次射中目標的概率為0?4，則E(X)? 2．假設100個產(chǎn)品中有10個次品，從中抽取5個檢查，其中廢品個數(shù)為X，則E(X)? [課后拓展延伸]： 例3：證明：若X～B(n,p)，則E(X)?np [課后練習]： 1．袋中有編號1,2,3,4,5的5個小球，從其中任取3個小球，以X表示取出的3個小球中的最大編號，則E(X)? 2．某射手每次射擊擊中目標的概率都是p，他手中有10發(fā)子彈準備對一目標連續(xù)射擊（每次打一發(fā)），一旦擊中目標或子彈打完了，就立刻轉(zhuǎn)移到別的地方去。問：他在轉(zhuǎn)移前平均射擊幾次？ 課后反思總結]：

第二篇：離散型隨機變量的方差教案

離散型隨機變量的方差一、三維目標：

1、知識與技能：了解離散型隨機變量的方差、標準差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差。

2、過程與方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會應用上述公式計算有關隨機變量的方差。

3、情感、態(tài)度與價值觀：承前啟后，感悟數(shù)學與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學的文化功能與人文價值。

二、教學重點：

三、教學難點：

四、教學過程：

（一）、復習引入：

1..數(shù)學期望

則稱 E??x1p1?x2p2???xnpn??為ξ的數(shù)學期望，簡稱期望．2.數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平

3.期望的一個性質(zhì): E(a??b)?aE??b

5、如果隨機變量X服從二項分布，即X ～ B（n,p），則EX=np

（二）、講解新課：

1、(探究1)某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？1?1?1?1?2?2 X??2?3?3?410?1?

432110?2?10?3?10?4?10?2

(探究2)某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？

s2?1[(x1?x)2???(xi?x)2???(x2 n

n?x)]

s2?1

[(1?2)2?(1?2)2?(1?2)2?(1?2)2?(2?2)2

?(2?2)2?(2?2)2?(3?2)2?(3?2)2?(4?2)2]?1

s2?4?(1?2)2?3?(2?2)2?2?(3?2)21101010?10?(4?2)22、離散型隨機變量取值的方差的定義: 設離散型隨機變量X的分布為：

則(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,?n)相對于均值EX的偏離程度，而n

DX ??(x2i?EX)pi

i?

1為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度。我們稱DX為隨機變量X的方差，其算術平方根DX叫做隨機變量X的標準差.隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量偏離于均值的平均程度的平均程度，它們的值越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

（三）、基礎訓練

求DX和DX解：EX?0?0.1?1?0.2?2?0.4?3?0.2?4?0.1?

2DX?(0?2)2?0.1?(1?2)2?0.2?(2?2)2?0.4?(3?2)2?0.2?(4?2)2?0.1?1.2

= 40 000;

DX?.2?1.09

5（四）、方差的應用

用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。解：EX1?9,EX2?9DX1?0.4,DX2?0.8

表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊中平均得分差別不會很大，但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定，多數(shù)得分在9環(huán)，而乙得分比較分散，近似平均分布在8－10環(huán)。

問題1：如果你是教練，你會派誰參加比賽呢？

問題2：如果其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？

問題3：如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？

解：根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1= 1400 ,DX1 =(1200-1400)2 ×0.4 +(1400-1400)2×0.3+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX2 =(1000-1400)2×0.4+(1 400-1400)×0.3 +(1800-1400)2×0.2 +(2200-1400)2×0.l

= 160000.因為EX1 =EX2, DX1

（五）、幾個常用公式：

（1）若X服從兩點分布，則DX=p(1-p）。（2）若X～B(n，p)，則DX=np(1-p)（3）D（ax+b）= a2DX；(六）、練習：

1、已知??3??18，且D??13,則D??

2、已知隨機變量X的分布列

求DX和 DX3、若隨機變量X滿足P（X=c）=1,其中c為常數(shù)，求DX。

(七)、小結：

1、離散型隨機變量取值的方差、標準差及意義

2、記住幾個常見公式：

（1）若X服從兩點分布，則DX=p(1-p）。（2）若X～B(n，p)，則DX=np(1-p)（3）D（ax+b）= a2DX；(八)、作業(yè)：P691、4

第三篇：很好的離散型隨機變量（本站推薦）

“離散型隨機變量”的教學反思與再設計 楊智平發(fā)布時間： 2010-8-4 23:33:52

“離散型隨機變量”的教學反思與再設計

一、教學內(nèi)容解析

概率是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的．認識隨機現(xiàn)象就是指：知道這個隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結果，以及每一個結果出現(xiàn)的概率．而對于給定的隨機現(xiàn)象，首先要描述所有可能出現(xiàn)的結果．在數(shù)學上處理時，一個常用的、也很自然的做法就是用數(shù)來表示結果，即把隨機試驗的結果數(shù)量化，使得每個結果對應一個數(shù)，這樣就可以通過實數(shù)空間（定量的角度）來刻畫隨機現(xiàn)象，從而就可以利用數(shù)學工具，用數(shù)學分析的方法來研究所感興趣的隨機現(xiàn)象．簡言之，隨機變量是連接隨機現(xiàn)象和實數(shù)空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關實數(shù)的數(shù)學工具來研究隨機現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應用到不同領域的概率模型，這便是為什么要引入隨機變量的緣由.隨機變量在概率統(tǒng)計研究中起著極其重要的作用，隨機變量是用來描述隨機現(xiàn)象的結果的一類特殊的變量，隨機變量能夠反映隨機現(xiàn)象的共性，有關隨機變量的結論可以應用到具有不同背景的實際問題中．隨機變量就是建立了一個從隨機試驗結果的集合到實數(shù)集合的映射，這與函數(shù)概念在本質(zhì)上（一種對應關系）是一致的，隨機試驗結果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數(shù)的值域．

離散型隨機變量是最簡單的隨機變量，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關系．本節(jié)課主要通過離散型隨機變量展示用實數(shù)空間刻畫隨機現(xiàn)象的方法．本節(jié)課的重點是認識離散型隨機變量的特征，了解其本質(zhì)屬性，體會引入隨機變量的作用．

二、教學目標解析

1．在對具體實例的分析中，認識和體會隨機變量對刻畫隨機現(xiàn)象的重要性和建立隨機變量概念的必要性，并會恰當?shù)囟x隨機變量來描述所感興趣的隨機現(xiàn)象，能敘述隨機變量可能取的值及其所表示的隨機試驗的結果；

2．在列舉的隨機試驗中，通過對隨機變量取值類型的分辨，歸納和概括離散型隨機變量的特征，形成離散型隨機變量的概念，并會利用離散型隨機變量刻畫隨機試驗的結果；

3．在舉例、觀察、思考、發(fā)現(xiàn)中經(jīng)歷將隨機試驗結果數(shù)量化的過程，滲透將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的思想方法，進一步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識．

三、教學問題診斷分析

本節(jié)課學生學習的難點是對引入隨機變量目的與作用的認識，以及隨機變量和普通變量的本質(zhì)區(qū)別．隨機變量這個概念其實早已存在于學生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺的“實際使用”，只是沒有明朗化．學生學習這一概念就是把這些“實際使用的”規(guī)則、程序、步驟等進一步加以明確．所以，教師的責任就是為學生建立隨機變量這個概念修通渠道．可通過學生熟悉的擲骰子的隨機試驗讓學生體會隨機變量概念的發(fā)生，在師生舉例中來體會隨機變量概念的發(fā)展，特別是諸如拋擲一枚硬幣等試驗，其結果不具有數(shù)量性質(zhì)，怎么讓學生自然地想到用數(shù)來表示其試驗結果，并且所用的數(shù)又盡量簡單，便于研究．教學中需多舉試驗結果本身已具有數(shù)值意義的實例，來發(fā)揮正遷移作用．通過多舉例讓學生理解：一旦給出了隨機變量，即把每個結果都用一個數(shù)表示后，認識隨機現(xiàn)象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率．

另外，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關系，從學習的認知方式看，下位學習依靠的主要是同化，上位學習依靠的主要是順應，上位學習一般采用的思維方法主要是概括和綜合，它主要通過改造（歸納和綜合）原有認知結構中的有關內(nèi)容而建立新的認知結構．因此，從這一角度來分析，學生對隨機變量概念的學習和真正理解比離散型隨機變量的學習要困難一些．故在隨機變量的教學中，要特別重視學生舉例，讓學生在充分的自主活動中體驗數(shù)學化的過程，體驗將隨機試驗結果數(shù)量化的過程，體會隨機變量對刻畫隨機現(xiàn)象的重要性和研究隨機現(xiàn)象的工具性作用，從而來把握隨機變量的內(nèi)核．

四、教學支持條件分析

學生在必修3概率一章中學習過的隨機試驗、隨機事件、簡單的概率模型和必修1中學習過的變量、函數(shù)、映射等知識是學習、領悟和“接納”隨機變量概念的重要知識基礎，教學時應充分注意這一教學條件；另外，為更好地形成隨機變量和離散型隨機變量兩個概念，教學中可借助媒體列舉和展現(xiàn)豐富的實例和問題，以留給學生更多的時間思考和概括．

五、教學過程設計

（一）教學基本流程

（二）教學過程

1.理解隨機變量概念

問題1：拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的結果有哪些？概率分別是多少？ [設計意圖] 以學生熟悉的隨機試驗為例，在復習舊知中孕育新知．

[師生活動] 畫表一，指出試驗結果分別有“1點的面朝上”、“2點的面朝上”、“3點的面朝上”、“4點的面朝上”、“5點的面朝上”、“6點的面朝上”，它們都是基本事件．為了研究這些事件，常常把它們分別與一個數(shù)字對應起來．比如，用數(shù)字1與“1點的面朝上”這個試驗結果（樣本點）對應，用數(shù)字2與“2點的面朝上”這個試驗結果（樣本點）對應，等等．師生共同填寫數(shù)字，形成表二．

引導學生分析，像這樣“用數(shù)字表示隨機試驗的結果”的量用X來表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，說明X是一個變量．

[設計意圖] “用數(shù)字來表示隨機試驗的結果”實際上早已存在于學生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺地“實際使用”，如射擊比賽中會用“環(huán)數(shù)”去表示射擊成績，擲骰子時會用“點數(shù)”去表示擲出結果，抽獎時會先對獎券“編號”，隨機抽取一部分學生時會用“學號”去代替等等，只是沒有明朗化．因而，“用數(shù)字來表示隨機試驗的結果”可以通過教師有啟發(fā)地提問，有意義地講授進行，讓學生覺得問題的提出，概念的發(fā)生、發(fā)展過程較為自然，能夠從教師的講授中感受數(shù)學是怎樣一步步研究現(xiàn)實世界的．

問題2：在這里（指著表二），每一個試驗結果用唯一確定的數(shù)字與它對應，這個對應關系是什么？

[設計意圖]建立一個從試驗結果的集合到實數(shù)集合的映射．讓學生感悟：一旦給出了隨機變量，即把每個結果都用一個數(shù)表示后，認識隨機現(xiàn)象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每一個值時的概率，從而感受把隨機試驗的結果數(shù)字化（成為實數(shù)）的必要性，體會引入隨機變量的必要性．同時讓學生感受概念的從無到有、自然形成的過程．

[師生活動] 啟發(fā)誘導，引導學生發(fā)現(xiàn)在這里建立了一個從試驗結果的集合到實數(shù)集合的映射．形成下表三：拋擲一枚骰子

讓學生觀察、思考：剛才，用數(shù)字表示試驗結果的變量X，它根據(jù)什么在變化？讓學生發(fā)現(xiàn)它的取值隨試驗結果的變化而變化，它的變化是有規(guī)律的，這是個特殊的變量，與隨機試驗的結果有關，在試驗之前不知道會出現(xiàn)哪個值（即它的取值依賴于試驗結果，因此取值具有隨機性，即在試驗之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗，它的取值隨之確定）．同時，教師指出：在這個試驗中，我們確定了一個對應關系（也即建立了一個試驗結果到實數(shù)的映射）使得每一個試驗結果（樣本點）都用一個確定的數(shù)字表示（即所有可能取值是明確的）．在這個對應關系下，數(shù)字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母表示．

問題3：隨機變量這個概念與我們曾經(jīng)學過的函數(shù)概念有類似的地方嗎?

[設計意圖]引導學生與曾經(jīng)學過的函數(shù)概念比較，從而加深對隨機變量概念的理解．

[師生活動]“類比”函數(shù)概念，領悟隨機變量和函數(shù)概念在本質(zhì)上都是一種對應關系，都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)，在這兩種映射之間，試驗結果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數(shù)的值域．隨機變量的取值范圍我們稱為隨機變量的值域．如拋擲一枚骰子，隨機變量的值域為；

引導學生利用隨機變量表達一些事件，例如拋擲一枚骰子中，表示“1點的面朝上”； “3點的面朝上”可以用表示；表示“5點的面朝上”或“6點的面朝上”．

同時指出：通過映射把隨機試驗結果與實數(shù)進行對應，也就是，把隨機試驗的結果數(shù)量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，這樣“隨機試驗結果的集合到對應概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應概率集合的映射”來表示，即可把“對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究具體轉(zhuǎn)化為對隨機變量概率分布的研究”．這樣我們就可以借用有關實數(shù)的數(shù)學工具來研究隨機現(xiàn)象的本質(zhì)了．

接著，進一步指出：在學習《數(shù)學（必修3）》時我們曾經(jīng)學習過概率、方差等概念，學過簡單的概率模型，在今后的學習中，我們將利用隨機變量描述和分析某些隨機現(xiàn)象，進一步體會概率模型的作用及運用概率思想思考和解決一些實際問題．（體現(xiàn)章引言）

2．對隨機變量的深刻認識(對對應思想——映射的體驗)

問題4：你能再舉些例子嗎？（請學生列舉隨機試驗，并將試驗結果數(shù)量化，不必寫出概率）

[設計意圖] 讓學生參與舉例，體驗將實際問題數(shù)學化（把實際問題數(shù)學化是學習數(shù)學極其重要的數(shù)學方法）和將隨機試驗結果數(shù)量化的過程.其意義在于兩個方面:其一,學生通過尋找(尋找本身就是一個甄別隨機與非隨機的過程),選擇自己感興趣的隨機現(xiàn)象,并學會用隨機變量表示隨機事件;其二,在將試驗結果數(shù)量化的過程中體會隨機變量在研究隨機現(xiàn)象中的重要作用.同時進一步深刻理解隨機變量的概念,領悟隨機變量學習的重要性，進一步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識．

[師生活動]教師關注學生的舉例，關注其關鍵過程：隨機試驗中所有可能出現(xiàn)的結果有哪些？如何將試驗的結果數(shù)量化？要求學生畫表，體會映射的過程．教師給學生充分展示和交流所舉例子的時間．同時，教師也參與舉例（教材中有關于抽取產(chǎn)品、射擊、瀏覽某網(wǎng)頁等例子可以納入進來），深刻體會將實際問題（隨機現(xiàn)象）數(shù)學化（數(shù)字化）的過程，感受建立隨機變量概念的重要意義．

對學生列舉的試驗結果沒有數(shù)量標志的隨機事件，諸如投擲一枚硬幣的試驗等，要引導學生分析比較，讓學生體會對于同一個隨機試驗，可以用不同的隨機變量來表示．但用哪兩個數(shù)字來表示，主要是要盡量簡單，合理，便于研究．如表四：拋擲一枚骰子

在學生舉例中學習如何用隨機變量去定義試驗結果沒有數(shù)量標志的隨機事件（中間表示映射的一欄表格可以省略）．

問題5：任何隨機試驗的所有結果都可以用數(shù)字表示嗎？同一個隨機試驗的結果，可以用不同的數(shù)字表示嗎？

[設計意圖]讓學生領悟任何隨機試驗的所有結果都可以用數(shù)字來表示（試驗結果不具有數(shù)量性質(zhì)的可以通過賦值，將其數(shù)量化），同一個隨機試驗的結果，可以用不同的數(shù)字表示，表示的原則主要是有實際意義，簡單合理，便于研究．

3．形成離散型隨機變量概念

問題6：隨機變量的取值都是整數(shù)嗎？你能否舉個（些）例子，而隨機變量的取值不是整數(shù)呢？

[設計意圖] 關注學生的舉例，借學生舉出的例子，引導分析數(shù)學化之后的隨機變量取值的集合的特征（一個新概念產(chǎn)生之后，我們應該端詳它一番），分辨隨機變量的類型，即某些隨機變量的取值是離散的，而有些不是,從而給出離散型隨機變量的概念．如果學生列舉的都是離散型隨機變量，則教師可啟發(fā)點撥，啟發(fā)后引導學生再舉例，或給出以下問題7：

問題7：請仿照剛才的例子，分析下列隨機現(xiàn)象，隨機變量可以取哪些值？你能夠一個一個列出來嗎?

（1）某公交車站每隔10分鐘有1輛汽車到站，某人到達該車站的時刻是隨機的,他等車的時間；

（2）檢測一批燈泡（相同型號）的使用壽命．

[設計意圖]通過與前面列舉例子的比較，引導學生發(fā)現(xiàn)這兩個試驗結果中，表示隨機事件的隨機變量的取值是一個區(qū)間，其值無法一一列出，以此形成離散型隨機變量的概念．同時明晰在隨機現(xiàn)象中隨機變量的取值類型是豐富多樣的，這也是對隨機變量概念（外延）的進一步認識．

問題8：如果我們僅僅關心“某人等車的時間多于5分鐘或不多于5分鐘”兩種情況，那該怎樣定義隨機變量呢?

[設計意圖] 在研究隨機現(xiàn)象時，為研究方便，有時需要根據(jù)所關心的問題恰當?shù)囟x隨機變量．讓學生明白恰當定義隨機變量給我們研究問題帶來方便．問（2）讓學生選擇自己關心的問題來恰當定義隨機變量．

[師生活動]通過分析，讓學生明白，在研究隨機現(xiàn)象時，有時需要根據(jù)所關心的問題恰當?shù)囟x隨機變量．

4．練習反饋（見教科書第45頁）

下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值并說明這些值所表示的隨機試驗的結果．

（1）拋擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和；

（2）某足球隊在5次點球中射進的球數(shù)；

（3）任意抽取一瓶某種標有2500ml的飲料,其實際量與規(guī)定量之差．

[設計意圖]在應用中鞏固離散型隨機變量的概念，并能熟練利用離散型隨機變量刻畫隨機試驗的結果．

5．小結回授

問題9：你能用自己的語言描述隨機變量和離散型隨機變量的定義及它們之間的區(qū)別嗎？（學生回答后，可以再問：你能簡單地說說引入隨機變量的好處嗎？）

[設計意圖] 學生用自己的語言來概括本節(jié)課學到的知識，是一種“主動建構”，也真正體現(xiàn)知識學到了手．

[師生活動]引入隨機變量后，隨機試驗中我們感興趣的事件就可以通過隨機變量的取值表達出來．認識隨機現(xiàn)象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率．也即把隨機試驗的結果數(shù)量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，我們就可以借助于有關實數(shù)的數(shù)學工具來研究所感興趣的隨機現(xiàn)象了．

六、目標檢測設計

人教A版教科書第49頁習題2.1中A組,第1,2,3題.教學反思 對隨機變量概念學習的設計上，分兩步走：第一步是認識“用數(shù)字表示隨機試驗的結果”的量是一個變量，第二步是通過建立“一個從試驗結果的集合到實數(shù)集合的映射” 認識到在這個對應關系下，數(shù)字隨著試驗結果的變化而變化，即這是一個特殊的變量，與隨機試驗的結果有關，在此基礎上學習隨機變量概念，并理解隨機變量的特征：它的取值依賴于試驗結果，具有隨機性，即在試驗之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗，它的取值隨之確定，且所有可能取值是明確的．進一步，如何讓學生深刻認識和理解“隨機變量”這一概念？原教學設計采用讓學生舉例的方式，在學生的活動中來完成對“隨機變量”概念的理解，這一設計思路得到同行肯定．事實上，要使學生真正理解數(shù)學知識，必須要有他們身體力行的實踐，從自己親歷親為的探索思考中獲得體驗，從自己不斷深入的概括活動中，獲得對數(shù)學概念、原理的本質(zhì)的領悟．此處安排學生舉例正是基于這種考慮，其意義在于：其一，可以觀察學生是否領會把隨機試驗結果數(shù)學化的思想，以及怎樣把隨機試驗結果數(shù)學化（尤其是試驗的結果不具有數(shù)量性質(zhì)的隨機現(xiàn)象）；其二，體會引入隨機變量概念后，隨機試驗中的事件就可以通過隨機變量的取值表達出來，“隨機試驗結果的集合到對應概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應概率集合的映射”來表示，（即研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律就可以轉(zhuǎn)化為研究隨機變量的概率分布）．

第四篇：教案09-2.1離散型隨機變量及其分布續(xù)

教學對象 計劃學時 2

管理系505-13、14、15；經(jīng)濟系205-

1、2 授課時間

2006年3月3日；星期五；1—2節(jié)

教學內(nèi)容

第二章 一維隨機變量及其概率分布 第一節(jié) 離散型隨機變量及其分布律（續(xù)）

三、常見離散型隨機變量的概率分布

1、二點分布和二項分布

2、泊松分布

通過教學，使學生能夠：

1、掌握兩點分布

2、掌握貝努利概型和二項分布

3、掌握泊松分布

教學目的

知 識：

1、兩點分布

2、貝努利概型和二項分布

3、泊松分布

技能與態(tài)度

1、將生活中的隨機現(xiàn)象與隨機變量的分布相聯(lián)系

2、會分析計算生產(chǎn)實際中的概率問題

教學重點 常見的分布 教學難點 貝努利概型

教學資源 自編軟件（演示貝努利概型）

教學后記

培養(yǎng)方案或教學大綱

修改意見 對授課進度計劃 修改意見 對本教案的修改意見 教學資源及學時 調(diào)整意見 其他 教研室主任：

系部主任：

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 1 頁

教學活動流程

教學步驟、教學內(nèi)容、時間分配

一、復習導入新課

復習內(nèi)容：（5分鐘）

1、隨機變量的概念

2、分布律的概念 導入新課：（2分鐘）

教學目標

教學方法

提問講解

鞏固所學知識，與技能

上一次我們引入了隨機變量的概念，已經(jīng)學會了用含有引出本節(jié)要學習隨機變量的等式或不等式來表示不同的隨機事件。在實際問的主要內(nèi)容 題中，不同的離散型隨機變量擁有各自不同的分布律。但生

產(chǎn)管理和實際生活中，有很多隨機變量的分布規(guī)律是類似的，常見的分布有三類：兩點分布、二項分布、泊松分布

1、掌握兩點分布

二、明確學習目標

2、掌握貝努利概型和二項分布

3、掌握泊松分布

三、知識學習（50分鐘）

三、常見的離散型隨機變量的分布

(一)兩點分布（0—1分布）若隨機變量X的分布律為

X01pP1?p，則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布。

若某個隨機試驗的結果只有兩個，如產(chǎn)品是否合格，試驗是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面，射擊是否中靶，新生兒的性別，等等，它們都可以用（0-1）分布來描述，只不過對不同的問題參數(shù)p的值不同而已。可見，（0-1）分布是經(jīng)常遇到的一種分布。

例

1、從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一球，?1,取到白球以X表示取出球的顏色情況，即X=?，求X的0,取到紅球?分布律。

解：P{X=1}=1C61C10=0.6，P{X=0}=

1C41C10=0.4

則X的分布律為XP010.40.6

(二)二項分布

二項分布是實際中很常見的一種分布，為了對它進行研究，需要先介紹一種非常重要的概率模型——貝努利概型

我們在實際中經(jīng)常會遇到這樣的情況:所考慮的試驗是

掌握兩點分布的 概念

講授法

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 2 頁 由一系列的子試驗組成的，而這些子試驗的結果是互不影響的，即子試驗之間是互相獨立的。例如，將一枚硬幣連續(xù)拋n次，我們可以將每拋一次看成一個子試驗，而每次拋硬幣出現(xiàn)正面與反面的結果是互不影響的。而且隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性是在大量的重復試驗的條件下才呈現(xiàn)出來的，因此對某個試驗獨立重復地進行n次，在概率分布的研究中也有重要的作用。

我們只討論每次只有兩個結果的n次獨立重復試驗。

1、貝努利(Bernoulli)試驗

定義：設隨機試驗E只有兩種可能的結果：A或A，在相同的條件下將E重復進行n次，若各次試驗的結果是互不影響，則稱這n重獨立試驗。

它是數(shù)學家貝努利首先研究的，因此也叫n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗，這時討論的問題叫貝努利概型

說明：貝努利試驗應同時滿足以下條件：(1)在相同條件下進行n次重復試驗；

(2)每次試驗只有兩種可能結果：A發(fā)生或A不發(fā)生；(3)在每次試驗中，A發(fā)生的概率均相同，即P(A)=p；(4)各次試驗是相互獨立的

對于貝努利概型，我們主要研究在n次貝努利試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率。

定理：在貝努利概型中，設事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為p，則在n次貝努利試驗中，事件A出現(xiàn)k次的概率kk為Pn(k)?Cn（k=0,1,2,?,n）p(1?p)n?k，理解貝努利概型

例2：將一枚均勻的硬幣拋擲3次（與3枚硬幣擲一次相當），求正面出現(xiàn)1次的概率

解：n=3，k=1，p=0.5，1-p=0.5，則1P3(1)?C3(0.5)1(1?0.5)3?1=0.375 用古典概率解釋: Ω={正正正,正正反,正反正,正反反,．．．反正正,反正反,反反正,反反反} ．．．．．．說明:簡單問題用古典概型解決還可以,當試驗次數(shù)太多時,樣本點有2n個，只能用公式求解

軟件演示：

例3：從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次取一件，求有兩次取得次品的概率

解：將每一次抽取當做一次試驗，設A={取到次品}，有放回地抽取5次，看成是一個5重貝努利試驗，n=5，兩次取得次品，則有k=2，每次試驗中

p = P(A)=1C31C12?13，則1-p=，44

掌握計算公式

講授法

講授法 板書

軟件演示

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 3 頁 2因此P5(2)?C5()2(1?)5?2=1414135 5122、二項分布

定義：若隨機變量X的取值為0,1,2,?,n，且kkP{X=k}=Cnp(1?p)n?k，k =0,1,2,?,n

其中0

特例：當n=1時，二項分布即為兩點分布 例4(P 21)

說明：二項分布的應用非常廣泛，但是當重復試驗的次數(shù)很多時，計算量又很大，平時解題可以不用計算，當n>5時用式子表示即可。為便于應用，可直接查閱二項分布表(P157附表6），查表結果是X取值從0到x的累計概率。即P{X≤x}。若計算X=m的概率，可用P{X=m}=P{X≤m}—P{X≤m—1}

例如：P{X=5}=P{X≤5}—P{X≤4}

例5(P22)、工廠生產(chǎn)的螺絲次品率為0.05，每個螺絲是否為次品是相互獨立的，產(chǎn)品出售時10個螺絲打成一包，并承諾若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)多于一個次品即可退貨。用X表示一包內(nèi)次品的個數(shù)。求（1）X的分布律；（2）工廠的退貨率

解：對一包內(nèi)的10個螺絲逐個進行檢驗，相當于進行10重貝努利試驗，因此X~B(10,0.05)

k（1）X的分布律：P{X=k}=C10（k(0.05)k(0.95)10?k，=0,1,2,?,10）（2）當X>1時退貨，退貨率為：P{X>1}= 1—P{X≤1}=1—k?0?1kC10(0.05)k(0.95)10?k

泊松定理（Poisson）:設λ>0是一常數(shù)，n是正整數(shù)。若npn=λ，則對任一固定的非負整數(shù)k，有?k??lim(1?pn)?e。（證：P23注釋）n???k!定理的條件npn=λ，意味著n很大時pn必定很小，由定理知，當X~B(n, p)，且n很大而p很小時，有kCnkpnn?kkP{X=k}=Cnp(1?p)kn?k?k? ?e，λ=np ≈k!?k? ?e計算在實際計算中，當n≥20且p≤0.05時，用k!kkCnp(1?p)n?k的近似值效果頗佳；

?k? ?當n≥100且np≤10時，效果更好。e的值有表可

k!

掌握二項分布的計算

理解定理內(nèi)容

講授法 板書

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第 4 頁

N3k因λ=np =3，由泊松定理P(X≤N)≈?e?3，k!k?0

N3k?3故問題轉(zhuǎn)化為求N的最小值，使?e≥0.99

k!k?0

N3k??3k即1??e?3??e?3?0.01

k!k!k?0k?N?1

查書后附表2（P140）可知，當N+1≥9即時N ≥8時，上式成立。因此，為達到上述要求，至少需配備8名維修工 人。

類似的問題在其他領域也會遇到，如電話交換臺接線員 的配備，機場供飛機起降的跑道數(shù)的確定等.(三)泊松分布

定義：若隨機變量X所有可能的取值為0,1,2,?,而理解泊松分布的定義 ?k? ?查（見書后附表P139）

例

6、某車間有同類型的設備300臺，各臺設備的工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，設一臺設備的故障由一名工人維修，問至少需配備多少名維修工人，才能保證設備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01？

解 設需配備N名工人，X為同一時刻發(fā)生故障的設備的臺數(shù)，則X~B(300,0.01)。所需解決的問題是確定N的最小值，使P(X≤N)≥0.99 e，其中λ>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λk!的泊松分布，記為X~P(λ)

具有泊松分布的隨機變量在實際應用中是很多的。例如，在每個時段內(nèi)電話交換臺收到的電話的呼喚次數(shù)、某商店在一天內(nèi)來到的顧客人數(shù)、在某時段內(nèi)的某放射性物質(zhì)發(fā)出的經(jīng)過計數(shù)器的粒子數(shù)、在某時段內(nèi)在車站候車的人數(shù)、單位面積上布匹的疵點數(shù)、單位時間內(nèi)商店銷售非緊俏商品的件數(shù)、等等，只要試驗的結果為兩個，且由很多因素共同作用來決定的隨機變量，都可認為是服從泊松分布。泊松分布也是一種常見的重要分布。它是二項分布的極限分布，因此可用泊松分布的計算公式計算二項分布。

例15：每分鐘經(jīng)過收費站的汽車流量服從泊松分布：X ~P(5)，求每分鐘經(jīng)過該收費站的汽車不足9輛的概率。

解：P{X<9}=1—P{X≥9}=1-0.0681=0.9319 P{X=k}=

例1 某人獨立地射擊目標，每次射擊的命中率為0.02，掌握分布律的性射擊200次，求目標被擊中的概率。質(zhì)

解：把每次射擊看成一次試驗，這是200重貝努利試驗。設擊中的次數(shù)為X，則X~B(200,0.02)

四、技能學習（20分鐘）

教師提問

引導學生寫出答案

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 5 頁

=0,1,2,?,200）

所求概率：P{X≥1}=1—P{X=0}=1—0.98200=0.9824 說明：雖然每次的命中率很小，但當射擊次數(shù)足夠大時，擊中目標的概率很大。這個事實告訴我們，一個事件盡管在 一次實驗中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨立重復試驗中，kX的分布律為：P{X=k}=C200（k(0.02)k(0.98)200?k，這個事件的發(fā)生幾乎是必然的。也就是說，小概率事件在大量獨立重復室驗中是不可忽視的。

當問題的規(guī)模很大時，一般n很大且p很小，無法查表。而直接計算又很麻煩，下面給出一個當n很大而p很小時的近似計算公式.例

2、車間現(xiàn)有90臺同類型的設備，各臺設備的工作是相互獨立的，每臺發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障只能由一個人修理。配備維修工人的方法有兩種，一種是由三人分開維護，每人負責30臺；另一種是由3人共同維護90臺。分別求在兩種情況下車間的設備發(fā)生故障不能及時維修的概率。

解：設X為出現(xiàn)故障的設備臺數(shù)

（1）每人負責30臺設，可認為是30重貝努利試驗，因此X~B(30,0.01)，當X>1時等待修理。

λ=np =0.3，P{X>1}= P{X≥2}≈?(0.3)e?0.3≈

k?2??kk!0.0369 Ai=“第i個人負責的30臺設備發(fā)生故障而無人修理”。可知P(Ai)=0.0369，而90臺設備發(fā)生故障無人修理的事件為A1∪A2∪A3，故采用第一種方法，所求概率為

P(A1∪A2∪A3)= 1-P(A1A2A3)=1-(1-0.0369)3=0.1067

（2）三人共同維護90臺，認為是90重貝努利試驗，因此X~B(90,0.01)，當X>3時等待修理。

而所求概率為P{X>3}= P{X≥4}≈?(0.9)e?0.9≈

k?4??kk!0.0135 因為0.0135<0.0369，顯然共同負責比分塊負責的維修效率提高了。因此后者的管理效益更好。由此可以看到，用概率的知識可以解決運籌學所要解決的有效運用人力、物力資源的某些問題。

五、態(tài)度養(yǎng)成

六、技能訓練（16分鐘）

做事認真的態(tài)度

通過實際訓練，學生練習練習：一大樓有五個同類型的獨立供水設備，在任意時使學生理解樣本老師巡刻每個設備被使用的概率為0.1，問在同一時刻 的寫法與含義 視，解答《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 6 頁(1)恰好有兩個設備被使用的概率P1是多少?(2)至少有三個設備被使用的概率P2是多少?(3)至多有三個設備被使用的概率P3是多少?(4)至少有一個設備被使用的概率P4是多少? 解：在同一時刻觀察五個設備,它們工作與否是相互獨立的,故可視為5重貝努里試驗，n=5，p=0.1，于是可得：

2(1)P1＝P5(2)＝C5(0.1)2(0.9)53＝0.0729

－

問題

(2)P2＝P5(3)+ P5(4)+ P5(5)＝0.00856(3)P3＝P5(0)+ P5(1)+ P5(2)+ P5(3)＝0.99954(4)P4＝1－P5(0)＝1－0.95＝0.40951 {X=0}={沒有取到次品}，P{X=0}=

02C3C72C1011C3C72C1020C3C72C10?7 157 15{X=1}={取到一件次品}，P{X=1}=?{X=2}={取到兩件次品}，P{X=2}=?1 15XX的分布律為：P0715171521 1

5七、課堂小結（3分鐘）

在學習時要理解三種分布之間的關系：兩點分布討論的是一次貝努利試驗的結果，它只有兩個結果，二項分布討論的是N次貝努利試驗的結果，它有N+1個結果。兩點分布是二項分布的特例，泊泊松分布是二項分布的極限分布。它對應無窮多次的貝努利試驗，因此，貝努利試驗是非常重要的一類試驗。

概括總結，幫助學生構建知識體系

簡要概括本節(jié)內(nèi)容

八、布置作業(yè)（1分鐘）

復習本節(jié)內(nèi)容

預習連續(xù)型隨機變量 P36—5、6、7

鞏固所學的知識 培養(yǎng)自學能力

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 7 頁

第五篇：離散型隨機變量的教學設計

“離散型隨機變量”的教學設計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

“隨機變量及其分布”一章的主要內(nèi)容就是要通過具體實例，幫助學生理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列、均值、方差的概念，理解超幾何分布和二項分布的概型并能解決簡單的實際問題，使學生認識分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性，認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念。

“離散型隨機變量”是這一章的開門課。因此，在本節(jié)課中，讓學生了解本章的主要內(nèi)容及其研究該內(nèi)容所用的數(shù)學思想方法，對學生明確學習目標和學習任務，提高他們的求知欲望，激發(fā)他們的學習興趣非常重要。于是，本節(jié)課的第一個教學任務就是要做好章頭圖的教學。教材的章頭圖從實例和圖形兩個方面展示了本章要學習的內(nèi)容，一個是離散型隨機變量的產(chǎn)生背景和分布列的條形圖，另一個是正態(tài)分布的背景和正態(tài)分布密度曲線。教學時要充分地運用章頭圖的這兩個背景，通過問題的形式，幫助學生明確本章要學習的主要內(nèi)容和意義。

對于一個隨機現(xiàn)象，就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結果和每一個結果出現(xiàn)的概率。對于隨機試驗，只要了解了它可能出現(xiàn)的結果，以及每一個結果發(fā)生的概率，也就基本把握了它的統(tǒng)計規(guī)律。為了使用數(shù)學工具研究隨機現(xiàn)象，需要用數(shù)字描述隨機現(xiàn)象，建立起連接數(shù)和隨機現(xiàn)象的橋梁——隨機變量。隨機變量能夠反映隨機現(xiàn)象的共性，有關隨機變量的結論可以應用到具有不同背景的實際問題中。而高中階段主要研究的是有限的離散型的隨機變量，因此，本節(jié)課的第二個教學任務就是通過具體實例，幫助學生掌握隨機變量和離散型隨機變量的概念，理解它們的意義和作用，能對一個隨機試驗的結果，用一個隨機變量表示，并能確定其取值范圍。

二、目標和目標解析

1.了解本章學習的內(nèi)容和意義。具體要求為：

（1）通過章頭圖中給出的射擊運動的情景，幫會學生了解，在射擊運動中，每次射擊的成績是一個非常典型的隨機事件。在這個離散型的隨機事件中，如何刻畫每個運用員射擊的技術水平與特點？如何比較兩個運動員的射擊水平？如何選拔運動員參加比賽獲勝的概率大？這些問題的解決需要離散型隨機變量的概率分布、均值、方差等有關知識；

（2）通過章頭圖中給出的高爾頓板游戲情景，幫助學生了解在這樣一個連續(xù)型的隨機事件的游戲活動中，小球落在哪個槽中的可能性更大？槽中的小球最后會堆積成什么形狀？這些問題與本章將要學習的正態(tài)分布有關；

（3）在上述兩個情景的基礎上，通過問題的形式，幫助學生提出本章要研究的問題和基本思想：隨機事件形形色色，隨機現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但如果舍棄具體背景，它們就會呈現(xiàn)出一些共性；如果把隨機試驗的結果數(shù)量化，用隨機變量表示試驗結果，就可以用數(shù)學工具來研究這些隨機現(xiàn)象。這樣不僅闡述了本章的主要內(nèi)容，而且激發(fā)了學生的學習興趣，使他們明確本章的學習目標以及研究本章內(nèi)容的數(shù)學思想方法。

2.理解隨機變量和離散型隨機變量的描述性定義，以及隨機變量與函數(shù)的關系，能夠把一個隨機試驗的結果用隨機變量表示，能夠根據(jù)所關心的問題定義一個隨機變量。具體要求是：

（1）在對具體問題的分析過程中，幫助學生理解用隨機變量表示隨機試驗結果的意義和作用：為了使用數(shù)學工具研究隨機現(xiàn)象，需要用數(shù)字描述隨機現(xiàn)象，建立起連接數(shù)和隨機現(xiàn)象的橋梁——隨機變量，掌握隨機變量的描述性概念，了解隨機變量與函數(shù)的關系，構造隨機變量應當注意的問題（如隨機變量應該有實際意義、應該盡量簡單，以便于研究），以及用隨機變量表示隨機事件的方法等；

（2）通過具體問題的對比分析，幫助學生理解隨機變量有兩個類型：

??取有限個值的離散型隨機變量?離散型隨機變量?

隨機變量? 隨型機變量?取無窮多個值的離散??連續(xù)型隨機變量能夠根據(jù)具體問題，把隨機試驗的結果用一個隨機變量表示，并能寫出其取值范圍；能夠熟練地用隨機變量的取值表示一個隨機事件；

（3）通過反思隨機變量的定義過程，引導學生體會，在實際應用中如何根據(jù)實際問題恰當?shù)囟x隨機變量（如根據(jù)所關心的問題，定義隨機變量），以達到事半功倍的效果。

三、重點和難點解析

本節(jié)內(nèi)容是為求分布列作鋪墊的一節(jié)概念課。所以要把隨機變量和離散型隨機變量的概念講清楚。于是，可以確定的重點、難點是：

重點：用隨機變量表示隨機試驗結果的意義和方法；

難點：對隨機變量意義的理解；構造隨機變量的方法；隨機變量取值范圍的確定。

四、教學問題診斷分析

1.是否講解“隨機試驗”的概念？

研究隨機現(xiàn)象，就是要研究隨機試驗可能出現(xiàn)的結果（其中的每一個結果即為一個隨機事件）和每一個結果發(fā)生的概率（即描述每一個隨機事件發(fā)生可能性大小的度量），從而把握它的統(tǒng)計規(guī)律。這里有三個概念：隨機事件、隨機現(xiàn)象和隨機試驗。

在必修三中，學生已經(jīng)學習了隨機事件的概念（即在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件），之前，學生通過在初中數(shù)學和必修三的概率學習，又有了隨機現(xiàn)象的觀念，因此，學生對“隨機試驗”的概念是能夠不加定義而自明的，也就是“隨機試驗”可以作為不加定義的原始概念引入。事實上，教材在介紹隨機變量的概念時，不加定義地引入了“隨機試驗”的概念（教材第44頁第一個思考下方第一行），就是基于這樣的考慮，因此，在教學中，對“隨機試驗”的概念不需要（也根本沒有必要）引導學生下定義，以避免嚴格的定義可能造成學生理解的模糊，影響對主干概念“隨機變量”的理解。

事實上，“試驗”一詞有十分廣泛的含義：凡是對對象的觀察或為此而進行的實驗都稱之為試驗。如果一個試驗滿足以下條件，則稱之為隨機試驗：（1）試驗可以在相同條件下重復進行；（2）試驗的所有結果是明確且可以知道的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果。

2.怎樣建構“隨機變量”的概念？

本節(jié)內(nèi)容圍繞隨機試驗的結果可以用“數(shù)”表示進行展開。擲骰子試驗、擲硬幣試驗是學生比較熟悉的兩個隨機試驗，對擲骰子試驗的結果和數(shù)字1~6對應起來學生很容易理解，而擲硬幣試驗的結果則不容易聯(lián)想到數(shù)字。可以引導學生思考：值一枚硬幣的結果是否也可以用數(shù)字表示呢？通過把“正面向上”與1對應，“反面向上”與0對應，使得擲硬幣的試驗結果同樣也可以用數(shù)字表示，這樣的問題還可以列舉，如新生嬰兒性別抽查：可能是男，也可能是女，同樣可以分別用1和0表示這兩種結果，在此基礎上抽象概括出隨機變量的描述性定義。

3.怎樣深化對“隨機變量”概念本質(zhì)的理解？ 對隨機變量概念的理解，不是下個定義一步完成的，為了幫助學生深入地體會隨機變量的本質(zhì)，可以對擲硬幣的試驗結果的表示方法提出下面問題：還可以用其他的數(shù)來表示這兩個試驗結果嗎？目的是鼓勵學生提出其他表示方法，比如“正面向上”用1表示，“反面向上”用-1表示等，以使學生理解隨機變量的本質(zhì)。事實上，對于同一個隨機試驗，可以用不同的隨機變量來表示其所有可能出現(xiàn)的結果。為了幫助學生體會，究竟選擇什么樣的隨機

變量更為合適？這就涉及到構造隨機變量應當注意的一些基本問題：如隨機變量應該有實際意義，應該盡量簡單，以便于研究。例如，對于擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)?可以表示為???1??2????n，其中?i???1,第i次試驗出現(xiàn)正面?0,第i次試驗出現(xiàn)反面，通過這樣的例子，幫助學生體會用數(shù)字1和0表示，能夠直接反應出正面向上的次數(shù)，這顯然很方便；而用1和-1分別表示試驗結果的反面和正面，那么擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)?的表達式就會變得很復雜。為了進一步深化對概念的理解，可以引導學生將隨機變量與函數(shù)概念進行類比：隨機變量與函數(shù)有類似的地方嗎？使他們了解隨機變量的概念實際上也可以看作是函數(shù)概念的推廣。

4.如何通過隨機變量表示所關心的隨機事件？

引入隨機變量的目的是為了研究隨機現(xiàn)象，那么如何通過隨機變量表示所關心的隨機事件呢？可以通過一些例子介紹用隨機變量表示隨機事件的方法，特別是一些較為復雜的隨機事件的表示方法。例子的類型列舉可以廣泛：如有窮可列、無窮可列、不可列等三個類型。特別是對不可列的隨機變量問題，可以根據(jù)所關心的問題，能夠把它構造成可列的隨機變量。從而進一步體會用隨機變量表示隨機事件的方法。

五、教學過程設計

1.情境引入

情境1：在射擊運動中，運動員每次射擊的成績具有什么特征？（隨機性）運動員每次射擊的成績是一個什么事件？（隨機事件）

如何刻畫每個運動員射擊的技術水平與特點？如何比較兩個運動員的射擊水平？如何選擇優(yōu)秀運動員代表國家參加奧運會的比賽才能使得獲勝的概率大？解決這個問題要涉及到離散型隨機變量的概率分布模型。

情境2：高爾頓是英國生物學家和統(tǒng)計學家，他設計了一個著名的游戲——高爾頓板游戲。如圖，在一塊木板上釘上釘著若干排相互平行并相互錯開的圓柱形小模塊，小木塊之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃昂髶跤胁ＡВ缓笞屢粋€個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球落在哪個槽中的可能性更大？槽中的小球最后會堆積成什么形狀？

這個問題近似地服從正態(tài)分布，它是很多自然現(xiàn)象和生產(chǎn)、生活實際問題中經(jīng)常遇到的一種連續(xù)型隨機變量的概率分布模型。

以上兩個問題就是我們本章要學習的兩個重要的隨機變量概率分布模型，本章的課題是——隨機變量及其分布。

引言：我們知道，概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。無論是運動員的一次射擊，還是利用高爾頓板做一次游戲，都是隨機試驗，只要了解了這些隨機試驗可能出現(xiàn)的結果（即每一個結果就是一個隨機事件），以及每一個結果發(fā)生的概率，我們也就基本把握了它的統(tǒng)計規(guī)律。隨機事件形形色色，隨機現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但如果舍棄具體背景，他們就會呈現(xiàn)出一些共性；如果把隨機試驗的結果數(shù)量化，應隨機變量表示試驗結果，就可以用數(shù)學工具來研究這些隨機現(xiàn)象。

引導學生閱讀章頭圖的內(nèi)容。然后展示本章的知識結構圖：兩類隨機變量的概率分布模型：離散型隨機變量——（在講概率分布列、均值和方差的基礎上）研究二項分布和超幾何分布模型；連續(xù)型隨機變量——正態(tài)分布模型。

2.離散型隨機變量

問題1：概率是描述在一次隨機試驗中某個隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。如擲骰子就是一個隨機試驗，它有六種可能性結果。你還能舉出一些隨機試驗的例子嗎？該隨機試驗的所有可能結果有哪些？

設計意圖：能夠判定簡單的隨機試驗，并能列舉出所有可能的結果，為用“數(shù)”表示這些結果做好準備。

問題2：（1）擲一枚骰子，出現(xiàn)向上的點數(shù)X是1，2，3，4，5，6中的某一個數(shù)；

（2）在一塊地上種10棵樹苗，成活的棵樹Y是0，1，2，3，?，10中的某個數(shù)。

下面兩個隨機試驗的結果是否可以用數(shù)字表示呢？

（3）擲一枚硬幣所有可能的結果；正面向上——1；反面向上——0

（4）新生兒性別，抽查的所有可能的結果；男——1；女——0 設計意圖：通過討論引導學生發(fā)現(xiàn)任何一個隨機試驗的結果都可用數(shù)字進行表示，這樣隨機試驗的結果與數(shù)字之間就構成了一個對應關系，這為引入隨機變量的概念奠定基礎。

問題3：上述四個例子說明，隨機試驗的結果與數(shù)字之間構成了一個對應關系，使得每一個試驗的結果都用一個確定的數(shù)字表示。這樣隨機試驗的結果就可以看成是一個變量，我們稱其為隨機變量。你能給隨機變量下一個定義嗎？

設計意圖：引導學生通過分析、綜合活動，嘗試給隨機變量下定義。這種定義方式是描述性的，學生可以憑借自己的理解下定義，只要這種描述比較準確就可以，不一定按照課本的描述性定義。如一般地，如果一個隨機試驗的結果可以用一個變量表示，這個變量就叫做隨機變量，等。

問題4：在（3）和（4）的兩個隨機試驗中，其試驗的結果是否還可以用其他人數(shù)字表示？

設計意圖：通過討論，得出結論：一個隨機試驗的結果可以用不同的隨機變量表示。如上面兩個試驗的結果還可以用-1和1表示等。

問題5：在擲一枚硬幣的隨機試驗中，其結果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他數(shù)字表示，那么，在5次擲硬幣的隨機試驗中，出現(xiàn)“正面向上”的次數(shù)?可以怎樣表示？由此你認為定義一個隨機變量需要遵循哪些原則？

設計意圖：出現(xiàn)“正面向上”次數(shù)???1??2??????5，?1,第i次試驗出現(xiàn)正面，當一次試驗的結果表示為?i?? ?=0，1，2，3，4，5；

?0,第i次試驗出現(xiàn)反面。?1,第i次試驗正面向上，當一次試驗的結果表示為?i?? ?i?-5，-4，-3，-2，-1，0.-1,第i次試驗反面向上。?從使用意義上看，顯然把正面向上的次數(shù)表示成負數(shù)不太合適，而且這樣也不方便，因此，構造隨機變量時，應當注意一些基本問題：如隨機變量應該有實際意義，應當盡量簡單，以便于研究。

問題6：隨機變量和函數(shù)有類似的地方嗎？

設計意圖：引導學生把隨機變量和函數(shù)進行類比，使他們了解隨機變量的概念實際上也可以看作是函數(shù)概念的推廣：隨機變量和函數(shù)都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)。在這兩種映射之間，試驗結果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當與函數(shù)的值域。

例1 判斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由。（1）每天你接到的電話的個數(shù)X；（2）標準大氣壓下，水沸騰的溫度T；（3）某一自動裝置無故障運轉(zhuǎn)的時間t；（4）體積64立方米的正方體的棱長a；（5）拋擲兩次骰子,兩次結果的和s.（6）袋中裝有6個紅球，4個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數(shù)η.設計意圖：進行隨機變量概念辨析。

例2.寫出下列各隨機變量可能的取值（或范圍）:

(1)從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張被取出的卡片的號數(shù)X．(2)一個袋中裝有3個白球和5個黑球，從中任取5個，其中所含白球數(shù)Y．(3)拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和ξ．

(4)接連不斷地射擊,首次命中目標需要的射擊次數(shù)ξ．(5)某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被瀏覽的次數(shù)η.(6)某一自動裝置無故障運轉(zhuǎn)的時間T（7）電燈泡的壽命X。

設計意圖：訓練寫出隨機變量的取值或范圍，并在此基礎上通過分類得到“離散型隨機變量”的概念。

問題7：在前面所舉這些例子中，這些隨機變量都有什么特征？ 設計意圖：引導學生發(fā)現(xiàn)這些隨機變量的取值都可以一一列出。

問題8：所有取值能夠一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。離散型隨機變量有兩類：一類是離散型隨機變量的取有限個值的，一類是離散型隨機變量取無限個值的（如例2（3）），我們主要研究取有限個值的離散型隨機變量。

例3.寫出下列離散型隨機變量可能的取值:

(1)在考試中需回答三個問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學回答這三個問題的總得分ξ的可能取值有哪些？

(2)本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租車不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費標準為2元(不足1小時的部分按1小時計算)．甲乙兩人租車的時間都不超過4小時（兩人不一定同時回來），則兩人所付的總費用X的可能取值有哪些？

設計意圖：練習寫出較為復雜的離散型隨機變量取值

問題9：利用隨機變量可以表示一些事件。在例1中，你能說出｛X=0｝、｛X=4｝、｛X<3｝各表示怎樣的事件嗎？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？

設計意圖：引導學生學習用隨機變量表示隨機事件，使學生能夠清晰地說出每一個隨機變量取值的實際意義。

問題10：在研究隨機現(xiàn)象時，需要根據(jù)所關心的問題恰當?shù)诙x隨機變量。例如，對燈泡的使用壽命，如果我們僅關心燈泡的使用壽命是否不少于1000小時，那么就可以定義?0,壽命?1000小時如下的隨機變量：???，與燈泡的壽命X相比較，隨機變量?的構造更?1,壽命?1000小時簡單，它只取兩個不同的值0和1，是一個離散型隨機變量，研究起來更加容易。你能根據(jù)實際意義，把能對（2）定義一個隨機變量嗎？

設計意圖：引導學生能夠根據(jù)所關心的問題，定義出離散型隨機變量。例4.請根據(jù)所關心的問題，定義一個離散型隨機變量：(1)擲一枚骰子，關心“擲出的點數(shù)是否為偶數(shù)”；

(2)任意抽取一瓶標有2500 ml 的某飲料，其實際量與規(guī)定量之差在±5ml以內(nèi)為合格；(3)在某項體能測試中，跑1 km成績在4 min之內(nèi)的為優(yōu)秀；4 min以上5 min以內(nèi)為合格；某同學體能測試的結果.設計意圖：練習能夠根據(jù)所關心的問題定義一個隨機變量。

備用例題：下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示？若能，請寫出可能取值，并說出這些值所表示的隨機試驗的結果。

（1）棱長為1的正方體中，任意兩條棱之間的距離（兩條棱相交，可認為距離為0）；

（2）如圖，從A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，該“立體”的體積為V。

設計意圖：鞏固并強化定義離散型變量的方法，并能準確寫出所求可能取值。

小結：以上我們通過一些具體實例研究了隨機試驗的結果可以用數(shù)字表示，引進了隨機變量的概念，并對如何根據(jù)實際需要定義一個離散型隨機變量，并判斷它的所有可能取值進行了系統(tǒng)的研究。實際上隨機變量的每一個取值，都表示一個隨機事件，每一個隨機事件發(fā)生的可能性大小的度量就是概念，如擲骰子試驗中P(X?1)?116就表示點數(shù)為1的概率為6規(guī)律了。我們學習隨機變量就是為了研究它的概率，這就是我們下節(jié)課要學習的內(nèi)容。，也就是如果我們能夠知道每一個隨機變量取值的概率，也就把握了這個隨機現(xiàn)象的基本 6