第一篇：均值不等式教案

§3.2 均值不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解均值不等式

2.能利用均值不等式求最值或證明不等式

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握均值不等式

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用均值不等式證明不等式或求函數(shù)的最值，【教學(xué)過程】

一、均值不等式：

均值定理：如果a,b?R?,那么_______________________(當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)取等號)證明：

定理說明：

a?b1、稱為正數(shù)a,b的______________稱ab為正數(shù)a,b的___________因2此定理又?jǐn)⑹鰹椋篲_______________________________________

2、幾種變形：

（１）a?b?2ab

（_______________）

?a?b?

（２）???ab

（_______________）

2??

（３）a2?b2?2ab

（_______________）

3、應(yīng)用定理注意的問題：

（１）應(yīng)用定理的條件_____________________

（２）定理注意_____________________

二、定理應(yīng)用：證明簡單的不等式或求最值

ba例

1、已知ab?0，求證：??2

ab

1例

2、當(dāng)x?0時(shí),求x?的最值,并求取最值時(shí)x的值.x

21??1??變式：

1、已知a,b?R?,求證:?a???b???4

a??b??

2、若x?3,函數(shù)y?x?

13、若x?0,求x?的最值.x1,當(dāng)x為何值時(shí)函數(shù)有最值,此時(shí)x是何值? x?3

?2x2?x?3?x?0?的最大值,以及此時(shí)x的值.例

3、求函數(shù)f?x??x

x2?2x?3?x?0?的最小值及取得最小值時(shí)x的值.變式：求函數(shù)f?x??x

例

4、（1）一個(gè)矩形的面積為100m2，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，矩形的周長最短？最短周長是多少？

（2）已知矩形的周長為36cm，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，它的面積最大？最大面積是多少？

結(jié)論：（１）___________________________________________________

（２）___________________________________________________ 變式：已知直角三角形的面積為50，問兩直角邊各為多少時(shí)，它們的和最小？這個(gè)最小值是多少？

課堂小結(jié)：

課后練習(xí)：課本練習(xí)A、B

第二篇：均值不等式教案

3．2均值不等式 教案（3）

（第三課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

了解均值不等式在證明不等式中的簡單應(yīng)用

教學(xué)重點(diǎn)：

了解均值不等式在證明不等式中的簡單應(yīng)用

教學(xué)過程

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應(yīng)設(shè)法通過適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉(zhuǎn)化為完全平方式，再利用不等式的性質(zhì)證得原命題．

a2b2c

2???a?b?c 例

2、若a,b,c?R，則bca?

本題若用“求差法”證明，計(jì)算量較大，難以獲得成功，注意到a , b , c∈R，從結(jié)論的特點(diǎn)出發(fā)，均值不等式，問題是不難獲證的．

＋

例

3、已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?ab?bc?ca 證明：∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca

以上三式相加：2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca

∴a?b?c?ab?bc?ca

例

4、已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 22222222222222

2分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)證明：∵a,b,c,d都是正數(shù)，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞得

ab?cdac?bd??0,??0.22

由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得

?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

小結(jié)：正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

課堂練習(xí)：第77頁練習(xí)A、B

課后作業(yè)：略

第三篇：均值不等式教案2

課題：§3.2.2均值不等式 課時(shí):第2課時(shí) 授課時(shí)間: 授課類型：新授課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．知識與技能：利用均值定理求極值與證明。

2．過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3．情態(tài)與價(jià)值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)善于思考、勤于動(dòng)手的學(xué)習(xí)品質(zhì)。【教學(xué)重點(diǎn)】利用均值定理求極值與證明。【教學(xué)難點(diǎn)】利用均值定理求極值與證明。

【教學(xué)過程】

1、復(fù)習(xí)：

定理：如果a,b是正數(shù)，那么

a?b?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”號).22、利用均值定理求最值應(yīng)注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關(guān)鍵

3、例子：

1)已知x≠0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2+2）已知x>1,求y=x+

81的值最小，最小值是多少？ 2x1的最小值 x?13）已知x∈R，求y=x2?2x?12的最小值

4）已知x>1,求y=x+116x+2的最小值 xx?15）已知0

8）要建一個(gè)底面積為12m2，深為3m的長方體無蓋水池，如果底面造價(jià)每平方米600元，側(cè)面造價(jià)每平方米400元，問怎樣設(shè)計(jì)使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？

9）一段長為Lm的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 小結(jié)：利用均值定理求極值

課堂練習(xí)：第73頁習(xí)題3-2B:1,2 課后作業(yè)：第72頁習(xí)題3-2A:3,4,5 2

板書設(shè)計(jì)：

教學(xué)反思：

第四篇：不等式證明,均值不等式

1、設(shè)a,b?R，求證：ab?(ab)?aba?b2?abba2、已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a24、設(shè)a,b?R?，且a?b?1，求證：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求證：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求證：a?b?

7、a,b,c,d?R求證：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c11118、求證2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求證：?2n?1n?22n10、求下列函數(shù)的最值

（1）已知x＞0，求y?2?x?

（2）已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2）x1的最小值（4）x?

2111（3）已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（）221611、若正數(shù)a,b滿足ab?(a?b)?1則a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正數(shù)a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值為（）（4）

13、求函數(shù)y?

14、二次函數(shù)f(x)?x?ax?x?a的兩根x1,x2滿足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范圍（）（0，15、關(guān)于x的方程x?2m(x?3)?2m?14?0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，則m的取值范圍是（）（m＜-

22221）

416、關(guān)于x的方程mx?2x?1?0至少有一個(gè)負(fù)根，則m的取值范圍是（m?1）

17、關(guān)于x的方程2kx?2x?3k?2?0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，求實(shí)數(shù)k的取值范圍（k＞0或k＜-4）

218、為使方程x2?2px?1?0的兩根在（-2,2）內(nèi)，求p的取值范圍（-＜p＜

19、函數(shù)f(x)?ax2?x?1有零點(diǎn)，則a的取值范圍是（a?

20、判斷函數(shù)f(x)?x-

21、已知方程x?22343）41）41?1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（一個(gè)）x3?95?x?k在??1,1?上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍（??,?）2?162?

22、已知方程7x2?(m?13)x?m2?m?2?0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范圍（(?2,?1)?(3,4)）

23、關(guān)于的方程2ax?x?1?0在（0,1）內(nèi)恰有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(1,??)

24、若關(guān)于的方程lg(x

x2x2?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一實(shí)根，求a的取值范圍

第五篇：均值不等式說課稿

《均值不等式》說課稿

山東陵縣一中 燕繼龍李國星

尊敬的各位評委、老師們：

大家好！我今天說課的題目是 《均值不等式》，下面我從教材分析，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，教學(xué)方法，學(xué)生學(xué)法，教學(xué)過程，板書設(shè)計(jì)，效果分析八個(gè)方面說說我對這堂課的設(shè)計(jì)。

一、教材分析：

均值不等式又稱基本不等式，選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內(nèi)容。是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位。對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實(shí)際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進(jìn)一步研究，起到承前啟后的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能：

（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；

（2）能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡單的問題。

2、過程與方法：

（1）探索并了解均值不等式的證明過程、體會(huì)均值不等式的證明方法；

（2）培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神；

（2）通過對均值不等式成立條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；

(3)認(rèn)識到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界。

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：通過對新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認(rèn)為結(jié)果固然重要，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)之一；再者，均值不等式有比較廣泛的應(yīng)用，需重點(diǎn)掌握，而用好均值不等式，關(guān)鍵是對不等式成立條件的準(zhǔn)確理解，因此，均值不等式及其成立的條件也是教學(xué)重點(diǎn)。

難點(diǎn)：很多同學(xué)對均值不等式成立的條件的認(rèn)識不深刻，在應(yīng)用時(shí)候常常出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點(diǎn)。

四、教學(xué)方法：

為了達(dá)到目標(biāo)、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn)，我本著以教師為主導(dǎo)的原則，再結(jié)合本節(jié)的實(shí)際特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)方法。

突出重點(diǎn)的方法：我將通過引導(dǎo)啟發(fā)、學(xué)生展示來突出均值不等式的推導(dǎo)；通過多媒體展示、來突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點(diǎn)的方法：我將采用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和

來突破均值不等式成立的條件這個(gè)難點(diǎn)。

此外還將繼續(xù)采用個(gè)人和小組積分法，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與的熱情。

五、學(xué)生學(xué)法：

在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，注重知識與能力，過程與方法，情感態(tài)度和價(jià)值觀三個(gè)方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，具體如下：

1、課前預(yù)習(xí)----學(xué)會(huì)；、明確重點(diǎn)、解決疑點(diǎn)；

2、分組討論

3、積極參與----敢于展示、大膽質(zhì)疑、爭相回答；

4、自主探究----學(xué)生實(shí)踐，鞏固提高；

六、教學(xué)過程：

采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，運(yùn)用學(xué)案導(dǎo)學(xué)開展本節(jié)課的教學(xué)，首先進(jìn)行

:課前預(yù)習(xí)

（一）成果反饋

1.對課前小組合作完成的現(xiàn)實(shí)生活中的問題：

“今有一臺(tái)天平，兩臂不等長，要用它稱物體質(zhì)量，將物體放在左、右托盤各稱一次，稱得的質(zhì)量分別為a,b，問：能否用a,b的平均值表示物體的真實(shí)質(zhì)量？若不能，這二者是什么關(guān)系？”

進(jìn)行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式抽出兩名同學(xué)上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________

a?b

2?。

預(yù)備定理：a2?b2?2ab(a,b?R)，仿照預(yù)備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0，求證：?

ab

ab?2，并推導(dǎo)出式中等號成立的條件。

與此同時(shí)，其他同學(xué)分組合作探究和均值定理有關(guān)的以下問題，教師巡視并參與討論，適時(shí)點(diǎn)撥。

① 適用范圍a,b?________，x?0,x?

1x??2

對嗎？

② 等號成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)__________時(shí)，________=_________ ③ 語言表述：兩個(gè)___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點(diǎn)：兩個(gè)正數(shù)的______中項(xiàng)不小于它們的_____中項(xiàng)

。⑥ 幾何解釋（見右圖）：________________

⑦常見變形a?b?_______

?________,即ab?

___________。例：

4、（1）一個(gè)矩形的面積為100 m，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長是36m，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規(guī)律：

兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有______值； 兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有______值。

等待兩名同學(xué)做完后，適時(shí)終止討論，學(xué)生各就各位。首先針對黑板上這兩道題發(fā)動(dòng)學(xué)生上來捉錯(cuò)（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學(xué)生對定理及應(yīng)用條件的認(rèn)識。其次，老師根據(jù)剛才巡視掌握的情況，結(jié)合多媒體進(jìn)行有針對性的講解（重點(diǎn)應(yīng)強(qiáng)調(diào)均值定理的幾何解釋：半徑不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程，使定理“形化”），進(jìn)一步加深學(xué)生對定理的認(rèn)識及應(yīng)用能力，初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”

第二步：課內(nèi)探究

（二）精講點(diǎn)撥 1.例：求函數(shù)f(x)?

?2x?x?

3x

(x?0)的最大值，及此時(shí)x的值。

先和學(xué)生們一起探討該問題的解題思路，先拆分再提出“-”號，為使用均值定理創(chuàng)造條件，后由學(xué)生們獨(dú)立完成，教師通過巡視或提問發(fā)現(xiàn)問題，通過多媒體演示來解決問題，該例題主要讓學(xué)生注意定理的應(yīng)用條件及一些變形技巧。

2．多媒體展示辨析對錯(cuò)：

?這幾道辨析題先讓學(xué)生們捉錯(cuò)，再由

多媒體給出答案，創(chuàng)設(shè)情境加深學(xué)生對用均值定理求函數(shù)最值時(shí)注意“一正、二定、三相等”的認(rèn)識

（三）有效訓(xùn)練

1.(獨(dú)立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()

A、y?x?

1x

B、y?sinx?

1sinx

(0?x?

?)

C、y??

1D、y?tanx?

本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，待學(xué)生完成后，隨機(jī)抽取幾名學(xué)生說一下答案，選D，應(yīng)該不會(huì)有問題。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C(C>0)，當(dāng)α為何值時(shí)，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運(yùn)用均值不等式不會(huì)出現(xiàn)定值，需要拼湊。待學(xué)生討論過后，先通答案，??2時(shí)扇形面積最大值為

c

tanx

(0?x?

?)

。若有必要，抽派小組代表到講臺(tái)上講解，及時(shí)反饋矯正。

（四）本節(jié)小結(jié)

小結(jié)本節(jié)課主要內(nèi)容，知識點(diǎn)，由學(xué)生總結(jié)，教師完善，不外乎： 1.兩個(gè)重要不等式

a?b?2ab(a,b?R,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”)

2a?b2

?a,b?R,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”)

?

2.用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”。

（一）、雙基達(dá)標(biāo)（必做，獨(dú)立完成）：

1、課本第71頁練習(xí)A、B；

2、已知x??1,求y?x?6?

x?

1的最值；

（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：

?

23、若a,b?R且a?

b

?1,求a?最大值及此時(shí)a,b的值.4、a?0,b?0,且

5、求函數(shù)f(x)?

1a

?

9b

?1,求a?b最小值.x?3x?1x?

1(x??1)的最小值。

通過作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，注重分層次設(shè)計(jì)題目，更加關(guān)注學(xué)生的差異。

七、板書設(shè)計(jì)：

由于本節(jié)采用多媒體教學(xué)，板書比較簡單，且大部分是學(xué)生的展示。

八、效果分析：

本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，通過學(xué)案導(dǎo)學(xué)，多媒體展示，師生互動(dòng)，生生互動(dòng)。學(xué)生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，說起來容易做起來難，學(xué)生還得通過反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會(huì)。

我的說課到此結(jié)束，懇請各位評委和老師們批評指正，謝謝！