第一篇：淺談均值不等式的教學

數理

淺談均值不等式的教學

岳陽縣第四中學楊偉

均值不等式是高中數學新教材第六章教學的重點，也是難點，它是證明不等式、解決求最值問題的重要工具，它的應用范圍幾乎涉及高中數學的所有章節;它也是高考的熱點,且常考常新。下面就均值不等式的應用及需要注意的幾個問題舉例說明

一、均值不等式的應用

（一）、通過特征分析，用于證不等式

均值不等式：1)a2+b2≥2ab = ab +ab(a,b∈R)

2)a+b ≥

∈R+)

兩端的結構、數字具有如下特征：

1)次數相等；2)項數相等或不等式右側系數與左側項數相等； 3)左和右積。當要證的不等式具有上述特征時，考慮用均值不等式證明。

例1．已知a，b，c為不全相等的正數，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：觀察要證不等式的兩端都是關于a，b，c的3次多項式，左側6項，右側6項，左和右積，具備均值不等式的特征。

證明:≧ b2+c2≥2bc, a>0, ? a(b2+c2)≥2abc

同理，b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 ≧a，b，c不全相等，? 上述三個不等式中等號不能同時成立，因此

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc。

（二）、抓條件“一正、二定、三等”求最值

由均值不等式（2)，推證出最值定理及其使用的前提條件：“一正、二定、壹

三相等”，求最值時，三者缺一不可。

例2.已知x, y∈R+且9x+16y＝144，求xy的最大值。

分析：由題設一正：x, y∈R+，二定: 9x+16y＝144。求積的最大值，可考慮用均值不等式求解。解：≧ x, y∈R+，?xy =

19x?16y

21×9x×16y≤()×=36 144214

4當且僅當9x=16y，即x=8,y=9/2時，(xy)max=36.例3 某商品進貨價為每件50元，據市場調查，當銷售價格每件x元（50≤x≤80）

5時，每天銷售的件數為p?，若想每天獲得的利潤最多，則銷售價為多少元？2

(x?40)105105

解：由題意：利潤S?(x?50)? ?(x?50)?22

(x?40)(x?50)?20(x?50)?100

100105，≧ x?50≥0，?(x?50)?≥20，?

100(x?50)

(x?50)??20

(x?50)105100

?2500，當且僅當(x?50)??S≤，20?20(x?50)

即 x?60或x?40（不合題意舍去）.答：當售價為60元時，每天獲得的利潤最多為2500元

（三）、抓“當且僅當……等號成立”的條件，實現相等與不等的轉化在均值不等式中“當且僅當……等號成立”的“當且僅當”是“充要條件”的同義詞，它給出了相等與不等的界，是相等與不等轉化的突破口。

例4．在ΔABC中，若三邊a，b，c滿足條件(a+b+c)3=27abc，試判定三角形ABC的形狀。

分析：(a+b+c)3=27abc，具有三元均值不等式的結構特征，且屬均值不等式的特

貳

例(取等號情形)，所以有下面解法。

解：≧a>0, b>0, c>0，故有不等式a+b+c≥

3abc（見閱讀材料），即(a+b+c)

y

1z

≥27abc，當且僅當a=b=c時，上式等號成立，故三角形為等邊三角形。

例5．已知x,y,z為正實數，且x+y+z=3, ++ =3.求x2+y2+z2的值。解：由題設得(x+)+(y+)+(z+)=6≧ x,y,z>0, ?, x+≥2 ,y+ ≥2 , z+ ≥2?.(x+)+(y+)+(z+)≥6

此不等式等號成立，當且僅當上述三個不等式的等號同時成立，即x= ,y= , z=?x2=1,y2=1, z2=1, ?x2+y2+z2=3.說明：均值不等式給出了相等、不等的界，即等號成立的條件。

總之，均值不等式成立的條件，結構特征，積、和為定值，等號成立的條件，是理解應用均值不等式的認知角度。同學們要學會觀察已知和未知的結構特征、數字特征，認清其區別、聯系，聯想相關的知識點、方法，尋找解決問題的突破口。

1x

1x

1x1x

1x

1y1z

1y1z

1y1z

1y1z

二、需謹防的幾個誤區

（一）、忽視定理成立的前提條件

例6.求函數y=

(x?4)(x?9)的最值。x

(x?4)(x?9)x2?13x?3636錯解：y===13+x+≥

xxx當且僅當x =

36即x

時取等號。

叁

所以當時，y的最小值為25，此函數沒有最大值。

(x?4)(x?9)的定義域為(-≦,0)∪(0,+≦)，上述解題過程中應用x

分析：函數y=

了均值不等式，卻忽略了均值不等式成立的條件，因而導致錯誤。

正解：函數y=

(x?4)(x?9)的定義域為(-≦,0)∪(0,+≦)x

(x?4)(x?9)x2?13x?3636y===13+x+

xxx

當時，x+

3636≥

當且僅當x =即x = 6時取等號。xx所以當x=6時，ymin =2

5當x＜0時，-x＞0,-36

＞0 x

因為(-x)+(-

3636)≥

=12當且僅當-x=-即xx時取等號。

所以x+

≤-12x

所以當x=-6時，ymax =13-12=

1（二）、忽略了定值的選取

例7.當x＞0時，求 y=4x +

9的最小值。x

2錯解：因為 x＞0, y=4x +≥

x2所以當且僅當4x=

9即

y min

x

肆

分析：錯誤的原因是4x與

9的積不是定值。x2

99=2x +2x +≥

22xx正解：因為 x＞0, y=4x +

9當且僅當 2x=2，即

x=時等號成立。

x2

所以當

x=

ymin

（三）、忽略“＝”號成立的可能性

例8.求

∈R)的最小值。

錯解：因為

≥

所以ymin =2，即，找不到這樣的x。

1t

正解：令

≥2)，則 y=t+(t≥2)又因為t≥1時，y=t+是遞增的。所以當t=2，即x=0時，ymin=。

1x

1t

例9.已知：x,y∈R+，且x+4y=1，求+ 的最小值。

1y

伍

錯解：因為 1=x+4y≥

所以

4所以+ 1x1y

≥8

所以 + 的最小值為8。

1x1y

分析：錯誤的原因是等號取不到。因為第一個等號成立的條件是x=4y，第二個等號成立的條件是x=y，且兩等號不能同時成立。

1x

正解：因為+ =(x+4y)(+)=5+

1y1x1y4yx+ ≥

xy當且僅當

4yx11

=，即x=,y=時等號成立。xy36

所以當x=,y=時，+ 的最小值為9。

3161x1y

由此可見，在應用均值不等式求值時，一定要注意：一正（各項或各因式均為正），二定（和或積為定值），三相等(各項或各因式能取得相等的值)，若不具備這三個條件，則需作適當的變形，以滿足上述前提，減少錯誤發生的可能性。

二〇〇七年九月

陸

第二篇：均值不等式教學設計

3.2均值不等式

教學目標

（一）知識與技能：明確均值不等式及其使用條件，能用均值不等式解決簡單的最值問題.（二）過程與方法：通過對問題主動探究,實現定理的發現，體驗知識與規律的形成過程.（三）情感態度與價值觀：通過問題的解決以及自身的探索研究領略獲取新知的喜悅.教學重點：均值不等式的推導與證明，均值不等式的應用.教學難點：均值不等式的應用 教學過程

創設情境如圖,AB是圓的直徑，D是CAB上與A、B不重合的一點，AD=a,DB=b,過點D作垂直于AB的弦CD，連AC,BC,AaODbB則CD=＿＿,半徑OC=＿＿＿＿E 討論 :(1)CD OC(2)文字敘述（幾何意義）：(3)試用含a、b的表達式來表示上述關系 注意：（1）當 時，(2)a、b的取值范圍

探求新知：均值不等式的內容及證明

均值定理：

證明：（比較作差法）

變形應用：（1）

（2）

討論釋疑：

牛刀小試：已知x?0,則x?1x? 例

1、已知ab?0，求證：baa?b?2并推導出式中等號成立的條件

例

2、求函數f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最值，以及此時x的值

精煉鞏固：

?t2 1.設t?0,則函數f(t)?4t?1的最小值為此時t的值 2.已知正數a,b滿足a?b?1,則ab有最值為

點撥提高：

總結本節課的你的收獲。

課堂小測：.已知正數a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。2.設x?3,則函數f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證：(a?11a)(b?b)?4

課堂小測：.已知正數a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。2.設x?3,則函數f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證：(a?11a)(b?b)?4

課堂小測：

.已知正數a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。2.設x?3,則函數f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證：(a?11a)(b?b)?4

課堂小測：

.已知正數a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。2.設x?3,則函數f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證：(a?11a)(b?b)?4

第三篇：均值不等式及其應用

教師寄語：一切的方法都要落實到動手實踐中

高三一輪復習數學學案

均值不等式及其應用

一．考綱要求及重難點

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題.重難點：1.主要考查應用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現，難度為中低檔題，若出現證明題難度也不會太大.二．考點梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當且僅當_________時取等號.（3）其中_________稱為正數a,b的算術平均值，_________稱為正數a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設正實數x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓練1.若x??1，求函數f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數學）設a + b = 2, b>0, 則當a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓練

2、已知a,b,c都是實數，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實際應用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸到第幾年年底,該車運輸累計收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)

變式訓練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成。

（1）現有可圍36米長鋼筋網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網總長最小？

五、當堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數列，x,c,d,y成等比數列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產品的年銷售量為100萬只,每只產品的銷售價為10元,每只產品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數,n?N),若產品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

第四篇：均值不等式說課稿

《均值不等式》說課稿

山東陵縣一中 燕繼龍李國星

尊敬的各位評委、老師們：

大家好！我今天說課的題目是 《均值不等式》，下面我從教材分析，教學目標，教學重點、難點，教學方法，學生學法，教學過程，板書設計，效果分析八個方面說說我對這堂課的設計。

一、教材分析：

均值不等式又稱基本不等式，選自普通高中課程標準實驗教科書(人教B版)必修5第三章第3節內容。是不等式這一章的核心，在高中數學中有著比較重要的地位。對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實際問題都起到工具性作用。通過本節的學習有利于學生對后面不等式的證明及前面函數的一些最值值域進一步研究，起到承前啟后的作用。

二、教學目標：

1、知識與技能：

（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；

（2）能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。

2、過程與方法：

（1）探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法；

（2）培養探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3、情感態度與價值觀：

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養探索、鉆研、合作精神；

（2）通過對均值不等式成立條件的分析，養成嚴謹的科學態度；

(3)認識到數學是從實際中來，通過數學思維認知世界。

三、教學重點和難點：

重點：通過對新課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為結果固然重要，但數學學習過程更重要，它有利于培養學生的數學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣泛的應用，需重點掌握，而用好均值不等式，關鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式及其成立的條件也是教學重點。

難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出現錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節課的難點。

四、教學方法：

為了達到目標、突出重點、突破難點、解決疑點，我本著以教師為主導的原則，再結合本節的實際特點，確定本節課的教學方法。

突出重點的方法：我將通過引導啟發、學生展示來突出均值不等式的推導；通過多媒體展示、來突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點的方法：我將采用重復法（在課堂的每一環節，以各種方式進行強調均值不等式和

來突破均值不等式成立的條件這個難點。

此外還將繼續采用個人和小組積分法，調動學生積極參與的熱情。

五、學生學法：

在學生的學習中，注重知識與能力，過程與方法，情感態度和價值觀三個方面的共同發展。充分體現學生是主體，具體如下：

1、課前預習----學會；、明確重點、解決疑點；

2、分組討論

3、積極參與----敢于展示、大膽質疑、爭相回答；

4、自主探究----學生實踐，鞏固提高；

六、教學過程：

采取“三步驟四環節和諧高效課堂”教學模式，運用學案導學開展本節課的教學，首先進行

:課前預習

（一）成果反饋

1.對課前小組合作完成的現實生活中的問題：

“今有一臺天平，兩臂不等長，要用它稱物體質量，將物體放在左、右托盤各稱一次，稱得的質量分別為a,b，問：能否用a,b的平均值表示物體的真實質量？若不能，這二者是什么關系？”

進行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式抽出兩名同學上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________

a?b

2?。

預備定理：a2?b2?2ab(a,b?R)，仿照預備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0，求證：?

ab

ab?2，并推導出式中等號成立的條件。

與此同時，其他同學分組合作探究和均值定理有關的以下問題，教師巡視并參與討論，適時點撥。

① 適用范圍a,b?________，x?0,x?

1x??2

對嗎？

② 等號成立的條件，當且僅當__________時，________=_________ ③ 語言表述：兩個___數的____平均數_____它們的_______平均數 ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數列觀點：兩個正數的______中項不小于它們的_____中項

。⑥ 幾何解釋（見右圖）：________________

⑦常見變形a?b?_______

?________,即ab?

___________。例：

4、（1）一個矩形的面積為100 m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長是36m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規律：

兩個正數的積為常數時，它們的和有______值； 兩個正數的和為常數時，它們的積有______值。

等待兩名同學做完后，適時終止討論，學生各就各位。首先針對黑板上這兩道題發動學生上來捉錯（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學生對定理及應用條件的認識。其次，老師根據剛才巡視掌握的情況，結合多媒體進行有針對性的講解（重點應強調均值定理的幾何解釋：半徑不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程，使定理“形化”），進一步加深學生對定理的認識及應用能力，初步掌握用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”

第二步：課內探究

（二）精講點撥 1.例：求函數f(x)?

?2x?x?

3x

(x?0)的最大值，及此時x的值。

先和學生們一起探討該問題的解題思路，先拆分再提出“-”號，為使用均值定理創造條件，后由學生們獨立完成，教師通過巡視或提問發現問題，通過多媒體演示來解決問題，該例題主要讓學生注意定理的應用條件及一些變形技巧。

2．多媒體展示辨析對錯：

?這幾道辨析題先讓學生們捉錯，再由

多媒體給出答案，創設情境加深學生對用均值定理求函數最值時注意“一正、二定、三相等”的認識

（三）有效訓練

1.(獨立完成)下列函數的最小值為2的是()

A、y?x?

1x

B、y?sinx?

1sinx

(0?x?

?)

C、y??

1D、y?tanx?

本題意在鞏固用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”，待學生完成后，隨機抽取幾名學生說一下答案，選D，應該不會有問題。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C(C>0)，當α為何值時，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運用均值不等式不會出現定值，需要拼湊。待學生討論過后，先通答案，??2時扇形面積最大值為

c

tanx

(0?x?

?)

。若有必要，抽派小組代表到講臺上講解，及時反饋矯正。

（四）本節小結

小結本節課主要內容，知識點，由學生總結，教師完善，不外乎： 1.兩個重要不等式

a?b?2ab(a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)

2a?b2

?a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)

?

2.用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”。

（一）、雙基達標（必做，獨立完成）：

1、課本第71頁練習A、B；

2、已知x??1,求y?x?6?

x?

1的最值；

（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：

?

23、若a,b?R且a?

b

?1,求a?最大值及此時a,b的值.4、a?0,b?0,且

5、求函數f(x)?

1a

?

9b

?1,求a?b最小值.x?3x?1x?

1(x??1)的最小值。

通過作業使學生進一步鞏固本節課所學內容，注重分層次設計題目，更加關注學生的差異。

七、板書設計：

由于本節采用多媒體教學，板書比較簡單，且大部分是學生的展示。

八、效果分析：

本節課采取了我校推行的“三步驟四環節和諧高效課堂”教學模式，通過學案導學，多媒體展示，師生互動，生生互動。學生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”，說起來容易做起來難，學生還得通過反思和課后訓練進一步體會。

我的說課到此結束，懇請各位評委和老師們批評指正，謝謝！

第五篇：常用均值不等式及證明證明

常用均值不等式及證明證明

這四種平均數滿足Hn?Gn?

An?Qn

?、ana1、a2、?R?，當且僅當a1?a2??

?an時取“=”號

僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用

均值不等式的變形：

(1)對實數a,b，有a

2?b2?2ab(當且僅當a=b時取“=”號)，a,b?0?2ab

(4)對實數a,b，有

a?a-b??b?a-b?

a2?b2?

2ab?0

(5)對非負實數a,b，有

(8)對實數a,b,c，有

a2?

b2?c2?ab?bc?ac

a?b?c?abc(10)對實數a,b,c，有

均值不等式的證明：

方法很多，數學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則?A?B??An?nA?n-1?B

n

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數學歸納法)。

當n=2時易證；

假設當n=k時命題成立，即

那么當n=k+1時，不妨設ak?1是則設

a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak

用歸納假設

下面介紹個好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數f?x?,x1,x2,?,xn是函數f?x?在區間(a,b)內的任意n個點，設f?x??lnx，f

?x?為上凸增函數所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）