第一篇：均值不等式教案3

課題：§3.2.3均值不等式課時:第3課時 授課時間:授課類型：新授課

【教學目標】

1．知識與技能：了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。

2．過程與方法：培養學生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3．情態與價值：激發學習數學的熱情，培養善于思考、勤于動手的學習品質。

【教學重點】了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。

【教學難點】了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。

【教學過程】

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應設法通過適當的放縮變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式，再利用不等式的性質證得原命題。

a2b2c

2???a?b?c 例

2、若a,b,c?R，則bca?

本題若用“求差法”證明，計算量較大，難以獲得成功，注意到a , b , c∈R，從結論的特點出發，均值不等式，問題是不難獲證的。

＋

例

3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a?b?c?ab?bc?ca 證明：∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca

以上三式相加：2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca

∴a?b?c?ab?bc?ca

例

4、已知a,b,c,d都是正數，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發生聯系，從而正確運用，同22222222222222

2證明：∵a,b,c,d都是正數，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得ab?cdac?bd??0,??0.22

(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4由不等式的性質定理4的推論1，得 ?

即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

小結：正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數

課堂練習：第73頁習題B 3、4課后作業：第73頁習題B 5、6

板書設計：

教學反思：

第二篇：均值不等式教案

3．2均值不等式 教案（3）

（第三課時）

教學目標：

了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用

教學重點：

了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用

教學過程

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應設法通過適當的放縮變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式，再利用不等式的性質證得原命題．

a2b2c

2???a?b?c 例

2、若a,b,c?R，則bca?

本題若用“求差法”證明，計算量較大，難以獲得成功，注意到a , b , c∈R，從結論的特點出發，均值不等式，問題是不難獲證的．

＋

例

3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a?b?c?ab?bc?ca 證明：∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca

以上三式相加：2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca

∴a?b?c?ab?bc?ca

例

4、已知a,b,c,d都是正數，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 22222222222222

2分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發生聯系，從而正確運用，同時證明：∵a,b,c,d都是正數，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞得

ab?cdac?bd??0,??0.22

由不等式的性質定理4的推論1，得

?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

小結：正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數

課堂練習：第77頁練習A、B

課后作業：略

第三篇：均值不等式教案

§3.2 均值不等式

【教學目標】

1.理解均值不等式

2.能利用均值不等式求最值或證明不等式

【教學重點】

掌握均值不等式

【教學難點】

利用均值不等式證明不等式或求函數的最值，【教學過程】

一、均值不等式：

均值定理：如果a,b?R?,那么_______________________(當且僅當_______時取等號)證明：

定理說明：

a?b1、稱為正數a,b的______________稱ab為正數a,b的___________因2此定理又敘述為：________________________________________

2、幾種變形：

（１）a?b?2ab

（_______________）

?a?b?

（２）???ab

（_______________）

2??

（３）a2?b2?2ab

（_______________）

3、應用定理注意的問題：

（１）應用定理的條件_____________________

（２）定理注意_____________________

二、定理應用：證明簡單的不等式或求最值

ba例

1、已知ab?0，求證：??2

ab

1例

2、當x?0時,求x?的最值,并求取最值時x的值.x

21??1??變式：

1、已知a,b?R?,求證:?a???b???4

a??b??

2、若x?3,函數y?x?

13、若x?0,求x?的最值.x1,當x為何值時函數有最值,此時x是何值? x?3

?2x2?x?3?x?0?的最大值,以及此時x的值.例

3、求函數f?x??x

x2?2x?3?x?0?的最小值及取得最小值時x的值.變式：求函數f?x??x

例

4、（1）一個矩形的面積為100m2，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？

（2）已知矩形的周長為36cm，問這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？

結論：（１）___________________________________________________

（２）___________________________________________________ 變式：已知直角三角形的面積為50，問兩直角邊各為多少時，它們的和最小？這個最小值是多少？

課堂小結：

課后練習：課本練習A、B

第四篇：均值不等式教案2

課題：§3.2.2均值不等式 課時:第2課時 授課時間: 授課類型：新授課

【教學目標】

1．知識與技能：利用均值定理求極值與證明。

2．過程與方法：培養學生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3．情態與價值：激發學習數學的熱情，培養善于思考、勤于動手的學習品質。【教學重點】利用均值定理求極值與證明。【教學難點】利用均值定理求極值與證明。

【教學過程】

1、復習：

定理：如果a,b是正數，那么

a?b?ab(當且僅當a?b時取“?”號).22、利用均值定理求最值應注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關鍵

3、例子：

1)已知x≠0，當x取什么值時，x2+2）已知x>1,求y=x+

81的值最小，最小值是多少？ 2x1的最小值 x?13）已知x∈R，求y=x2?2x?12的最小值

4）已知x>1,求y=x+116x+2的最小值 xx?15）已知0

8）要建一個底面積為12m2，深為3m的長方體無蓋水池，如果底面造價每平方米600元，側面造價每平方米400元，問怎樣設計使總造價最低，最低總造價是多少元？

9）一段長為Lm的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 小結：利用均值定理求極值

課堂練習：第73頁習題3-2B:1,2 課后作業：第72頁習題3-2A:3,4,5 2

板書設計：

教學反思：

第五篇：均值不等式及其應用

教師寄語：一切的方法都要落實到動手實踐中

高三一輪復習數學學案

均值不等式及其應用

一．考綱要求及重難點

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題.重難點：1.主要考查應用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現，難度為中低檔題，若出現證明題難度也不會太大.二．考點梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當且僅當_________時取等號.（3）其中_________稱為正數a,b的算術平均值，_________稱為正數a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設正實數x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓練1.若x??1，求函數f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數學）設a + b = 2, b>0, 則當a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓練

2、已知a,b,c都是實數，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實際應用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸到第幾年年底,該車運輸累計收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)

變式訓練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成。

（1）現有可圍36米長鋼筋網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網總長最小？

五、當堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數列，x,c,d,y成等比數列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產品的年銷售量為100萬只,每只產品的銷售價為10元,每只產品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數,n?N),若產品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?