第一篇：均值不等式應(yīng)用

均值不等式應(yīng)用

一．均值不等式

22a?b1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?a?b時(shí)取“=”）22

22.(1)若a,b?R*，則a?b?(2)若a,b?R*，則a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）2

a?b?(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”(3)若a,b?R*，則ab??）???2?2

3.若x?0，則x?

取“=”）1）;若x?0，則x?1??2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時(shí)?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取“=”xx

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）

xxx

ab4.若ab?0，則??2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）ba

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）)?22

注：（1）3.已知x,y?R,x+y=s,xy=p.6．及值定理：

①若p為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，s=x+y有；

②若s為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，p=xy有。

（備注）：求最值的條件“一正，二定，三取等”

應(yīng)用一：求最值

解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)

例1：已知x??5，求函數(shù)y?4x?2?1的最大值。44x?

51不是常數(shù)，所以對(duì)4x?2要進(jìn)行拆、4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x?2)?

湊項(xiàng)，∵x?511??,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?1，即x?1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax?1。5?4x

評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)

例1.當(dāng)

時(shí)，求y?x(8?2x)的最大值。

1解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩

個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，y?x(8?2x)的最大值為8。

評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。

變式：設(shè)0?x?3，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

32x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???? 222??

3?當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?3???0,?時(shí)等號(hào)成立。

4?2?

技巧三： 分離

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?1

解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng),即

時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。技巧四：換元

解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??

5ttt

當(dāng),即t=

時(shí),y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?等式來(lái)求最值。

技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)?x?調(diào)性。

例：求函數(shù)y?

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不g(x)

a的單x

2的值域。

2?t(t?

2)，則y?

?1

?t?(t?2)

t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)閥?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,???。

練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.t1t

1t5。

2?5?2??

11x2?3x?1

y?2sinx?,x?(0,?)y?2x?,x?3,(x?0)??(3)（1）y?（2）

sinxx?3x

2．已知0?x?

1，求函數(shù)y3．0?x?

.；，求函數(shù)y

3.條件求最值

ab

1.若實(shí)數(shù)滿足a?b?2，則3?3的最小值是.解： 3和3都是正數(shù)，3?3≥23a?3b?3a?b?6

a

b

a

b

ababab

當(dāng)3?3時(shí)等號(hào)成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即當(dāng)a?b?1時(shí)，3?3的最小值

是6．

變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知x?0,y?0，且

??1，求x?y的最小值。xy

19?19???1，?x?y?????

x?y???12xyxy??

錯(cuò)解： ∵x?0,y?0，且．．

故 ?x?y?min?12。

錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在x?y?x?

y，在1?9?x

y

成立條件是

?即y?9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問(wèn)題xy

時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

?19?y9x19

正解：∵x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當(dāng)且僅當(dāng)

19y9x?時(shí)，上式等號(hào)成立，又??1，可得x?4,y?12時(shí)，?x?y?min?16。

xyxy

x

y

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

?

(2)若a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y最小值

xy

y 2

技巧

七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x＋ ＝1，求x1＋y的最大值.a 2＋b

2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。

11＋y中y前面的系數(shù)為，x1＋y＝x

1＋y2·＝2 x2＋22

下面將x，1y ＋分別看成兩個(gè)因式： 22

x＋x＋ ≤

222

技巧

八、取平方

2y 21

2＋)x＋ ＋ 2222

3＝ ＝即1＋y＝2 ·x

4＋ ≤ 2245、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b

2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤，本題很簡(jiǎn)單

3x ＋2y≤2

3x）2＋（2y）2 ＝2

3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2·(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W

≤20 ＝5

變式: 求函數(shù)y?

1?x?5)的最大值。

解析：注意到2x?

1與5?2x的和為定值。

y2?

2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

又y?0，所以0?y?當(dāng)且僅當(dāng)2

x?1=5?2x，即x?

時(shí)取等號(hào)。故ymax? 2

評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1． 已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?ab?bc?ca

2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

?1??1??1?

3、已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求證：???1???1???1??8

?a??b??c?

?

解：?a、b、c?R，a?b?c?1。

?1?1?1?a?b?c?

1?1

1?1

aaabc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1時(shí)取等號(hào)。?1??1??1?。當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c??1?1?1?8??????3?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題

例：已知x?0,y?0且1?9?1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

x

y

條件：m≤(x+y)的最小值，m????,16?

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a?b?1,P?

lga?lgb,Q?

1a?b(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是22

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?a?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

22Q?

第二篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語(yǔ)：一切的方法都要落實(shí)到動(dòng)手實(shí)踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點(diǎn)

要求：1.了解均值不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題.重難點(diǎn)：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對(duì)均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會(huì)太大.二．考點(diǎn)梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號(hào).（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡(jiǎn)記：和定積最大。

2）.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡(jiǎn)記：積定和最小。

3、幾個(gè)重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號(hào)）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測(cè)

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個(gè)數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長(zhǎng)為24cm的鐵絲做成長(zhǎng)方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁(yè)（共4頁(yè)）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當(dāng)z取得最大值時(shí),xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向

二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實(shí)際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬(wàn)元購(gòu)買一輛大貨車,第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬(wàn)元,假定該年每年的運(yùn)輸收入均為25萬(wàn)元.小王在該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價(jià)格為25?x萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大?)(利潤(rùn)=累計(jì)收入+銷售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？

五、當(dāng)堂檢測(cè)

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點(diǎn)A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對(duì)任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬(wàn)只,每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬(wàn)元,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元,預(yù)計(jì)銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬(wàn)只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變,第n次投入后的年利潤(rùn)為f(n)萬(wàn)元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達(dá)式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?

第三篇：均值不等式的應(yīng)用

均值不等式的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握平均不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)而掌握極值定理

2.運(yùn)用基本不等式和極值定理熟練地處理一些極值與最值問(wèn)題 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用

教學(xué)方法：講練結(jié)合 教

具：多媒體 教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定義，平均不等式 2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系----并推廣：調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù) 3.極值定理：積定和最??；和定積最大

注：①極值定理成立的條件：一正二定三相等 ②應(yīng)用時(shí)應(yīng)該注意的問(wèn)題： 4.練習(xí)：

3①若x?0,求y?1?2x?的最大值.xx2?2x?2②?4?x?1,求的最值.2x?2y2?2?1,求x1?y2的最大值.③x?R,且x?21④ y?x(2?3x)⑤y?1?4x?

5?4x

二、新授：

1.基本應(yīng)用：

掌握用重要不等式求最值的方法，重視運(yùn)用過(guò)程中的三個(gè)條件：正數(shù)、相等、常數(shù)

4例1.求函數(shù)y?x?的值域.x(??,?4]或[4,??)

例2.已知x?2y?1,x、y?R?，求x2y的最大值.11x?x?4y31x?2y32)??(2?)?分析：x2y??x?x?4y?（443432721當(dāng)x=4y即x?,y?時(shí)取等號(hào).36例3.設(shè)a,b,x,y?R，且有a2+b2=3,x2+y2=6,求ax+by的最大值.分析：運(yùn)用柯西不等式 2．變形運(yùn)用：

對(duì)于某些復(fù)雜的函數(shù)式，需適當(dāng)變形后，再運(yùn)用重要不等式求最值.?23例4.求y?sinxcos2x(x?(0,))函數(shù)的最大值.29ab例5.已知a,b,x,y?R?且??1，求x?y的最小值.xy分析：此題若能靈活變形，運(yùn)用重要不等式求最值，則能起到事半功倍的效果.解法一：用判別式法----轉(zhuǎn)換為一個(gè)未知數(shù)利用判別式 解法二：換元法----令x?acsc2?,y?bsec2? 解法三：轉(zhuǎn)換為一個(gè)字母利用基本不等式求解

ab解法四：利用x?y=(x?y)?(?)

xy11變形：已知a,b,x,y?R?，且x?2y?1,求u??的最小值.xy3.綜合運(yùn)用：

例6.已知直角三角形的內(nèi)切圓半徑為1，求此三角形面積的最小值.解：略.例7.將一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角（四個(gè)全等的正方形），作成一個(gè) 無(wú)蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少？最大容積是多少？

解：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為x

a則其容積為V?x(a?2x)2,(0?x?)

2114x?(a?2x)?(a?2x)32a3V??4x?(a?2x)?(a?2x)?[]?

44327aa2a3當(dāng)且僅當(dāng)4x?a?2x即x?時(shí)取“=”即剪去的小邊長(zhǎng)為時(shí)，容積為

6627

三、練習(xí)：

66?3x2的最小值，y?2?3x的最小值.xx2.已知a,b滿足ab?a?b?3,求ab的范圍.1.x?0時(shí)求y?3.已知x,y滿足xy?x?y?1，求x?y的最小值.4.已知a2?b2?10，求a+b的范圍.5.已知x?0,y?0,z?0，求(1?x2)(1?y2)(1?z2)?8xyz的解.四、小結(jié)：

五、作業(yè)：

1.若0?x?1, 求y?x4(1?x2)的最大值

2．制作一個(gè)容積為16?m3的圓柱形容器(有底有蓋)，問(wèn)圓柱底半徑和高各取多少時(shí)，用料最??？（不計(jì)加工時(shí)的損耗及接縫用料）(R?2m,h?4m)

六、板書設(shè)計(jì)：

第四篇：均值不等式公式總結(jié)及應(yīng)用

均值不等式應(yīng)用

a2?b21.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?

2a?b**2.(1)若a,b?R，則?ab(2)若a,b?R，則a?b?2ab 222（當(dāng)且僅當(dāng)a（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）?b時(shí)取“=”）

a?b?(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”(3)若a,b?R，則ab??）???2?*2

3.若x?0，則x?1?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取“=”）x

1若x?0，則x???2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時(shí)取“=”）x

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）xxx

ab）??2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”ba4.若ab?0，則

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）)?22

『ps.(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所

謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用』 應(yīng)用一：求最值

例1：求下列函數(shù)的值域

（1）y＝3x 2＋

12x1（2）y＝x＋2x

解：(1)y＝3x 2＋≥22x 2113x 2· 2＝2x

1x·＝2； x6∴值域?yàn)閇6，+∞）1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋≥2x

11當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋= －（－ x－）≤－2xx

∴值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[2，+∞）

1x·=－2 x

解題技巧

技巧一：湊項(xiàng)

例已知x?

54，求函數(shù)y?4x?

2?

1的最大值。4x?5

解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x?2)?

不是常數(shù)，所以對(duì)4x?2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，4x?

5511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當(dāng)且僅當(dāng)5?4x

?，即x?1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax?1。

5?4x

評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù) 例1.當(dāng)解析：由

時(shí)，求知，y?x(8?2x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但

其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，y?

x(8?2x)的最大值為8。

評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)0

?x?，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

232x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??? 222??

當(dāng)且僅當(dāng)2x技巧三： 分離

?3?2x,即x?

3?3?

??0,?時(shí)等號(hào)成立。4?2?

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?

1解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng),即

時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。技巧四：換元

解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt

當(dāng),即t=時(shí),y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。

評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。y?mg(x)?

例：求函數(shù)y?

2的值域。

t(t

?

2)，則y

?1

?t?(t?2)

t11

?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。

tt15

因?yàn)閥?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?。

t2

因t

所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

?5?,???。??2?

練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.11x2?3x?1,x?(0,?),x?3(3)y?2sinx?,(x?0)（2）y?2x?（1）y?

sinxx?3x

2．已知0?條件求最值 1.若實(shí)數(shù)滿足a

x?

1，求函數(shù)y.；3．0?x?，求函數(shù)y?

3.?b?2，則3a?3b的最小值是.a

分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過(guò)程，而且3解： 當(dāng)3

a

?3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，3a和3b都是正數(shù)，3a?3b≥23a?3b?3a?b?6

?3b時(shí)等號(hào)成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即當(dāng)a?b?1時(shí)，3a?3b的最小值是6．

11變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換

多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知x?0,y錯(cuò)解：?．．

?0，且??1，求x?y的最小值。

xy

1919?x?0,y?0，且??1，?x?y?????

x?y???12故 ?x?y?min?12。?xyxy??

在1?9y?x?y，錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在x?

?xy19

?xy

即

y?9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步

驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

正解：?x?0,y

?19?y9x19

?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當(dāng)且僅當(dāng)

19y9x

?1，可得x?4,y?12時(shí)，?x?y?min?16。?時(shí)，上式等號(hào)成立，又?xyxy

變式：（1）若

x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

y?R?且a?b

x

y

?1，求x

?y的最小值

已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 2y 2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)1＋y 2 中y2前面的系數(shù)為

12，x1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2· ＝x·

＋

y 2

下面將x，12

＋

y 2

分別看成兩個(gè)因式：

x·

＋

y 2

x 2＋（12

≤

y 2

＋)222

x 2＋＝

y 21

＋222

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

＋

y 2≤ 2

4技巧八：

已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.ab

分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行。

－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

118

－2t 2＋34t－31

＝－2（t＋

16）＋34∵t＋

16≥2

30－2b

30－2b

ttt

t·

t

＝8

∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。ab∴ 30－ab≥22 ≤u≤3ab

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2令u＝

ab則u2＋22 u－30≤0，－5

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥

點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式

a?b

?（a,b?R?）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；②如何由已知不等式

2的范圍，關(guān)鍵是尋找到

ab?a?2b?30出發(fā)求得ab（a,b?R?）

a?b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式

a?b

?ab（a,b?R?），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.2

變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值。技巧

九、取平方

5、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝

3x ＋

2y 的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本題很簡(jiǎn)單

3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

∴ W≤＝

3x ·

2y ＝10＋2

3x ·

2y ≤10＋（3x)2·（2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

變式

: 求函數(shù)y?

解析：注意到2x?

1與5?

2x的和為定值。

?x?)的最大值。

y2?2?4??4?(2x?1)?(5?

2x)?8

又

y?0，所以0?y??

時(shí)取等號(hào)。故ymax? 2

當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x

評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知

a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

11?ab?c，?1???aaa1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c?R，且a?b?c

?

分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“

2”連乘，又可由此變形入手。

解：?a、b、c?R，a?b?

c

?

?1。?

11?ab?

c?1???aaa。同理

?1?b，1?1?

c

述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。?1?1?1??8??????3abc?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題 例：已知x?0,y

?0且??1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

xy

19x?y9x?9y10y9x??1，???1.????1 xykxkykkxky

解：令x?y?k,x?0,y?0,?1?

?2?。?k?16，m????,16? kk

1a?b

(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是.22

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a

?b?1,P?a?lgb,Q?

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

Q?

（lga?lgb)?lga?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

第五篇：均值不等式的變形和應(yīng)用

均值不等式的變形和應(yīng)用

一、變形

1.設(shè)a,b是正實(shí)數(shù)，則

a2ab+b 2a或+ 2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）bba

2.設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，則

a2+b2+c2?abbc+ca（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）

3.設(shè)a,b是正實(shí)數(shù)，則

a+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)a+b

成立）

4.設(shè)a1,a2,b1,b2是實(shí)數(shù)，則

(2222a1+a2b1+b2?a1b1a2b2（當(dāng)且僅當(dāng)a1:a2=b1:b2)()()時(shí)，等號(hào)成立）

二、應(yīng)用

（一).在求最值中的應(yīng)用

在求最值時(shí)，要利用湊項(xiàng)、湊系數(shù)、分離和換元等方法，使兩個(gè)整數(shù)的和或積或平方和為定值，以利用均值不等式;還要注意“一正二定三取等”，特別在多次利用均值不等式時(shí)注意取等條件.驏1x1.若x,y是正數(shù)，則琪琪

2驏1+琪y琪2的最小值是多少？

桫2y桫2x

解：驏琪x1+驏琪桫2y

琪琪桫y12x

=x2+xy+1y14y2+y2+x+4x

=驏琪琪x2+1+驏桫4x2xy+驏桫yx1+y2

桫

4y2

?12+1=

4ì?2?x=

12?

4x當(dāng)且僅當(dāng)?íx?=y，即x=y=時(shí)等號(hào)成立

?

yx

2??1?

=y24

y2.設(shè)0

(3-2x)的最大值.解：因?yàn)?

3，所以3-2x>0

故y=4x(3-2x)

=2 2x(3-2x)

￡2驏2x+3-2x

桫2

=92

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x，即x=3

驏4

?

琪琪0,3桫2

時(shí)，等號(hào)成立.3.已知a,b為正實(shí)數(shù)，2b+ab+a=30，求函數(shù)y=的最

小值.解：法一：由2b+ab+a=30得

a=30-2b

b+1

所以ab=30-2b-2b2+30b+1b

b

b+1

由a,b為正實(shí)數(shù)得0

ab=

-2t2+34t-32

t=-2驏琪琪t16+34 桫t

?2 34

=18

故y3118，當(dāng)且僅當(dāng)t=4，即b=3，法二：30-ab=a+2b

所以30-ab

令u

u2--300

a=6時(shí)，等號(hào)成立ab

.解得-

uab￡18 1

故y3，當(dāng)且僅當(dāng)t=4，即b=3，a=6時(shí)，等號(hào)成立.18

（二).不等式與方程的轉(zhuǎn)化

4.111

設(shè)x,y均為正實(shí)數(shù)，且+=，求xy的最小值.2+x2+y3

4+x+y1

解：通分得=

4+2(x+y)+xy3

(x+y)=8

所以xy=8+x+y?8（）

整理得xy-

即

故xy3

-0

4?2（舍）

16，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí)，等號(hào)成立.（三).不等式與恒成立問(wèn)題

x

5.若對(duì)任意x>0，￡a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值

x+3x+1

范圍.驏x

解：由題意得 a3x+3x+1桫

又x>0

max

x111

=?

所以

5x+3x+1x+3+13x驏x

即x+3x+1桫

=

max

.輊11

故a3，a的取值范圍為,+

5犏5臌

（四).證明不等式

在證明不等式時(shí)，要利用比較法、分析法、放縮法、等項(xiàng)匹配法和反證法等方法.6.a2b2c2

已知a,b,c均為正數(shù)，求證++?ab+c.bca

a2

證明：+b 2a

ba2

所以?2ab

bb2

同理?2bc

c

c2

?2ca a

a2b2c2

以上三式相加得++?2ab+2b-c+2c-a

bca

()()()

=a+b+c

（亦可直接用變形4）

（五).實(shí)際應(yīng)用

將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再用解以上題目的方法解決問(wèn)題，但要注意實(shí)際問(wèn)題下函數(shù)的定義域.