第一篇：均值不等式說(shuō)課稿

《均值不等式》說(shuō)課稿

山東陵縣一中 燕繼龍李國(guó)星

尊敬的各位評(píng)委、老師們：

大家好！我今天說(shuō)課的題目是 《均值不等式》，下面我從教材分析，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，教學(xué)方法，學(xué)生學(xué)法，教學(xué)過程，板書設(shè)計(jì)，效果分析八個(gè)方面說(shuō)說(shuō)我對(duì)這堂課的設(shè)計(jì)。

一、教材分析：

均值不等式又稱基本不等式，選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內(nèi)容。是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位。對(duì)于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實(shí)際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生對(duì)后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進(jìn)一步研究，起到承前啟后的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：

（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；

（2）能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問題。

2、過程與方法：

（1）探索并了解均值不等式的證明過程、體會(huì)均值不等式的證明方法；

（2）培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神；

（2）通過對(duì)均值不等式成立條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；

(3)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來(lái)，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界。

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：通過對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認(rèn)為結(jié)果固然重要，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)之一；再者，均值不等式有比較廣泛的應(yīng)用，需重點(diǎn)掌握，而用好均值不等式，關(guān)鍵是對(duì)不等式成立條件的準(zhǔn)確理解，因此，均值不等式及其成立的條件也是教學(xué)重點(diǎn)。

難點(diǎn)：很多同學(xué)對(duì)均值不等式成立的條件的認(rèn)識(shí)不深刻，在應(yīng)用時(shí)候常常出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點(diǎn)。

四、教學(xué)方法：

為了達(dá)到目標(biāo)、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn)，我本著以教師為主導(dǎo)的原則，再結(jié)合本節(jié)的實(shí)際特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)方法。

突出重點(diǎn)的方法：我將通過引導(dǎo)啟發(fā)、學(xué)生展示來(lái)突出均值不等式的推導(dǎo)；通過多媒體展示、來(lái)突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點(diǎn)的方法：我將采用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和

來(lái)突破均值不等式成立的條件這個(gè)難點(diǎn)。

此外還將繼續(xù)采用個(gè)人和小組積分法，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與的熱情。

五、學(xué)生學(xué)法：

在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，注重知識(shí)與能力，過程與方法，情感態(tài)度和價(jià)值觀三個(gè)方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，具體如下：

1、課前預(yù)習(xí)----學(xué)會(huì)；、明確重點(diǎn)、解決疑點(diǎn)；

2、分組討論

3、積極參與----敢于展示、大膽質(zhì)疑、爭(zhēng)相回答；

4、自主探究----學(xué)生實(shí)踐，鞏固提高；

六、教學(xué)過程：

采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，運(yùn)用學(xué)案導(dǎo)學(xué)開展本節(jié)課的教學(xué)，首先進(jìn)行

:課前預(yù)習(xí)

（一）成果反饋

1.對(duì)課前小組合作完成的現(xiàn)實(shí)生活中的問題：

“今有一臺(tái)天平，兩臂不等長(zhǎng)，要用它稱物體質(zhì)量，將物體放在左、右托盤各稱一次，稱得的質(zhì)量分別為a,b，問：能否用a,b的平均值表示物體的真實(shí)質(zhì)量？若不能，這二者是什么關(guān)系？”

進(jìn)行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式抽出兩名同學(xué)上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________

a?b

2?。

預(yù)備定理：a2?b2?2ab(a,b?R)，仿照預(yù)備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0，求證：?

ab

ab?2，并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件。

與此同時(shí)，其他同學(xué)分組合作探究和均值定理有關(guān)的以下問題，教師巡視并參與討論，適時(shí)點(diǎn)撥。

① 適用范圍a,b?________，x?0,x?

1x??2

對(duì)嗎？

② 等號(hào)成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)__________時(shí)，________=_________ ③ 語(yǔ)言表述：兩個(gè)___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點(diǎn)：兩個(gè)正數(shù)的______中項(xiàng)不小于它們的_____中項(xiàng)

。⑥ 幾何解釋（見右圖）：________________

⑦常見變形a?b?_______

?________,即ab?

___________。例：

4、（1）一個(gè)矩形的面積為100 m，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？（2）已知矩形的周長(zhǎng)是36m，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規(guī)律：

兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有______值； 兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有______值。

等待兩名同學(xué)做完后，適時(shí)終止討論，學(xué)生各就各位。首先針對(duì)黑板上這兩道題發(fā)動(dòng)學(xué)生上來(lái)捉錯(cuò)（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學(xué)生對(duì)定理及應(yīng)用條件的認(rèn)識(shí)。其次，老師根據(jù)剛才巡視掌握的情況，結(jié)合多媒體進(jìn)行有針對(duì)性的講解（重點(diǎn)應(yīng)強(qiáng)調(diào)均值定理的幾何解釋：半徑不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程，使定理“形化”），進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)定理的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用能力，初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”

第二步：課內(nèi)探究

（二）精講點(diǎn)撥 1.例：求函數(shù)f(x)?

?2x?x?

3x

(x?0)的最大值，及此時(shí)x的值。

先和學(xué)生們一起探討該問題的解題思路，先拆分再提出“-”號(hào)，為使用均值定理創(chuàng)造條件，后由學(xué)生們獨(dú)立完成，教師通過巡視或提問發(fā)現(xiàn)問題，通過多媒體演示來(lái)解決問題，該例題主要讓學(xué)生注意定理的應(yīng)用條件及一些變形技巧。

2．多媒體展示辨析對(duì)錯(cuò)：

?這幾道辨析題先讓學(xué)生們捉錯(cuò)，再由

多媒體給出答案，創(chuàng)設(shè)情境加深學(xué)生對(duì)用均值定理求函數(shù)最值時(shí)注意“一正、二定、三相等”的認(rèn)識(shí)

（三）有效訓(xùn)練

1.(獨(dú)立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()

A、y?x?

1x

B、y?sinx?

1sinx

(0?x?

?)

C、y??

1D、y?tanx?

本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，待學(xué)生完成后，隨機(jī)抽取幾名學(xué)生說(shuō)一下答案，選D，應(yīng)該不會(huì)有問題。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長(zhǎng)為一常值C(C>0)，當(dāng)α為何值時(shí)，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運(yùn)用均值不等式不會(huì)出現(xiàn)定值，需要拼湊。待學(xué)生討論過后，先通答案，??2時(shí)扇形面積最大值為

c

tanx

(0?x?

?)

。若有必要，抽派小組代表到講臺(tái)上講解，及時(shí)反饋矯正。

（四）本節(jié)小結(jié)

小結(jié)本節(jié)課主要內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)，由學(xué)生總結(jié)，教師完善，不外乎： 1.兩個(gè)重要不等式

a?b?2ab(a,b?R,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”)

2a?b2

?a,b?R,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”)

?

2.用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”。

（一）、雙基達(dá)標(biāo)（必做，獨(dú)立完成）：

1、課本第71頁(yè)練習(xí)A、B；

2、已知x??1,求y?x?6?

x?

1的最值；

（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：

?

23、若a,b?R且a?

b

?1,求a?最大值及此時(shí)a,b的值.4、a?0,b?0,且

5、求函數(shù)f(x)?

1a

?

9b

?1,求a?b最小值.x?3x?1x?

1(x??1)的最小值。

通過作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，注重分層次設(shè)計(jì)題目，更加關(guān)注學(xué)生的差異。

七、板書設(shè)計(jì)：

由于本節(jié)采用多媒體教學(xué)，板書比較簡(jiǎn)單，且大部分是學(xué)生的展示。

八、效果分析：

本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，通過學(xué)案導(dǎo)學(xué)，多媒體展示，師生互動(dòng)，生生互動(dòng)。學(xué)生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，說(shuō)起來(lái)容易做起來(lái)難，學(xué)生還得通過反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會(huì)。

我的說(shuō)課到此結(jié)束，懇請(qǐng)各位評(píng)委和老師們批評(píng)指正，謝謝！

第二篇：均值不等式說(shuō)課稿

說(shuō)課題目：高中數(shù)學(xué)人教B版必修第三章第二節(jié)

-------均值不等式（1）

一、本節(jié)內(nèi)容的地位和作用

均值不等式又叫做基本不等式，選自人教B版（必修5）的第3章的2節(jié)的內(nèi)容，是在上節(jié)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究．同時(shí)也是為了以后學(xué)習(xí)中的幾種重要不等式，以及不等式的證明作鋪墊，起著承上啟下的作用。

本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應(yīng)用廣泛性、條件約束性等特點(diǎn)，所以本節(jié)課可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)靈活解決實(shí)際問題的能力。

二、教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式，理解這個(gè)均值不等式的幾何意義，并掌握定理中取等號(hào)的條件。

2.過程與方法：探索并了解均值不等式的證明過程、體會(huì)均值不等式的證明方法； 培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀： 通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、研究精神。通過對(duì)均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)。

重點(diǎn)：通過對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認(rèn)為結(jié)果固然重要，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)。

難點(diǎn)：很多同學(xué)對(duì)均值不等式成立的條件的認(rèn)識(shí)不深刻，在應(yīng)用時(shí)候常常出錯(cuò)誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點(diǎn)。

三、教法、學(xué)法

教法：本節(jié)課主要采用探究歸納，啟發(fā)誘導(dǎo)，講練結(jié)合的教學(xué)方法。以學(xué)生為主體，以均值不等式為主線，從實(shí)際問題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思索 學(xué)法： 從實(shí)際生活出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題出發(fā)，探求均值不等式，發(fā)現(xiàn)均值不等式的實(shí)質(zhì)，利用均值不等式解決實(shí)際問題的過程。

四、學(xué)情分析

學(xué)生已學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式的性質(zhì)，這為本節(jié)課學(xué)習(xí)奠定了必要的知識(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生具有一定的分析能力、觀察能力，思維較活躍。但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)比較薄弱，缺乏知識(shí)的探究歸納能力。

五、教學(xué)流程圖

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1、創(chuàng)設(shè)情境

從古至今中國(guó)人有很多發(fā)明創(chuàng)造推動(dòng)了和推動(dòng)著世界的前進(jìn)，在這璀璨的星空里，最耀眼的一顆就是被奉為2002年北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的《趙爽弦圖》

如圖

如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)

為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為

, 這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積

為

由于4個(gè)直角三角形的面積和小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式 a2?b2?2ab

2、探索發(fā)現(xiàn)

均值不等式：

a?b 如果a>0，b>0那么 2?ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，式中等號(hào)成立。

3、例題講解

例

矩形的面積為100m 2，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形周長(zhǎng)最短。最短周長(zhǎng)是多少？ 解題

1：審題（把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化）

2：分析（矩形的長(zhǎng)與寬的乘積是一個(gè)常數(shù)，求長(zhǎng)與寬的和的2倍的最小值；）3：解題

4：回顧（給出規(guī)律：規(guī)律：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值）。

4、自我嘗試

練習(xí)：

已知矩形的周長(zhǎng)是36m，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？ 規(guī)律：

兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值

5、歸納總結(jié)：

知識(shí)：:均值定理及其成立的條件，及其均值定理的應(yīng)用

方法：一正，二定，三相等。思想：類比和數(shù)形結(jié)合的思想

七、說(shuō)明：

本節(jié)課采取多媒體展示，師生互動(dòng)，生生互動(dòng)。學(xué)生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，說(shuō)起來(lái)容易做起來(lái)難，學(xué)生還得通過反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會(huì)。

第三篇：均值不等式說(shuō)課稿1

一教材分析

1、教材地位和作用

均值不等式又叫做基本不等式，選自人教B版（必修5）的3章的2節(jié)的內(nèi)容，是在上節(jié)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究．同時(shí)也是為了以后學(xué)習(xí)中的幾種重要不等式，以及不等式的證明作鋪墊，起著承上啟下的作用。

本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應(yīng)用廣泛性、條件約束性等特點(diǎn)，所以本節(jié)課可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)靈活解決實(shí)際問題的能力。

“均值不等式”在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應(yīng)用。求最值是高考的熱點(diǎn)。它在科學(xué)研究、經(jīng)濟(jì)管理、工程設(shè)計(jì)上都有廣泛的作用。

2、教學(xué)目標(biāo)

A．知識(shí)目標(biāo)：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式，理解這個(gè)均值不等式的幾何意義，并掌握定理中取等號(hào)的條件.B．能力目標(biāo)：通過對(duì)均值不等式的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生探究問題，分析與解決問題的能力。參透類比思想，數(shù)形結(jié)合的思想，優(yōu)化了學(xué)生的思維品質(zhì)。

C.情感目標(biāo):（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、研究精神。（2）通過對(duì)均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)，并形成勇于提出問題、分析問題的習(xí)慣。

3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：

通過對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認(rèn)為結(jié)果固然重要，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)

難點(diǎn)：

很多同學(xué)對(duì)均值不等式成立的條件的認(rèn)識(shí)不深刻，在應(yīng)用時(shí)候常常出錯(cuò)誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點(diǎn)

二教法學(xué)法分析

1.教法

本節(jié)課主要采用探究歸納，啟發(fā)誘導(dǎo)，講練結(jié)合的教學(xué)方法。以學(xué)生為主體，以均值不等式為主線，從實(shí)際問題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思索。

2、教學(xué)手段

為了使抽象變?yōu)榫唧w，我使用了多媒體。為了突出重點(diǎn)我使用了彩色粉筆。3，學(xué)法

從實(shí)際生活出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題出發(fā)，探求均值不等式，發(fā)現(xiàn)均值不等式的實(shí)質(zhì)，利用均值不等式解決實(shí)際問題的過程。使學(xué)生從代數(shù)證明和幾何證明兩方面理解并掌握基本不等式。

三教學(xué)過程

（一）、創(chuàng)設(shè)情景，引入課題

從古至今中國(guó)人有很多發(fā)明創(chuàng)造推動(dòng)了和推動(dòng)著世界的前進(jìn)，在這璀璨的星空里，最耀眼的一顆就是被奉為2002年北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的《趙爽弦圖》（動(dòng)畫打出）。

如圖是在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。這就是公元前1000多年前我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽發(fā)現(xiàn)并記錄在《周脾算經(jīng)》中的發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的《趙爽弦圖》；它比歐洲畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的發(fā)現(xiàn)早了500多年。

你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：勾起學(xué)生強(qiáng)烈的民族自豪感和強(qiáng)烈的求知欲，并對(duì)學(xué)生滲透愛國(guó)主義教育，同時(shí)告訴學(xué)生記住我國(guó)光輝而燦爛的歷史。

探究圖形中的不等關(guān)系（用提問題的方式）

將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形。

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b

4個(gè)直角

22三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為a?b。

由于4個(gè)直角三角形的面積和小于正方形的面積，22我們就得到了一個(gè)不等式：a?b?2ab。

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時(shí)，22正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有a?b?2ab。

22a,b?R,那么a?b?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”號(hào))得到結(jié)論：重要不等式：如果

具有這種形式的式子就是我們今天要討論的問題.（二）新課講授。

1給出均值定理（在老師寫均值不等式定理時(shí)，要求同學(xué)在課本上了解均值定理，并思考怎樣證明。），師生一起證明均值不等式。

a?ba?0，b?0)2要證：?????????①

即證：a?b????????????②

要證②，只要證：a?b??0????③

2要證③，只要證：（-）?0 ??④

點(diǎn)評(píng)，強(qiáng)調(diào)取等條件；

2.?a?b2的幾何意義 a?b?a?0，b?0)2當(dāng)a≠b時(shí)，OC>CD，即

a?b?當(dāng)a=b時(shí)，OC=CD，即

2我們是否能從圖中看見當(dāng)D向O點(diǎn)移動(dòng)時(shí)CD是逐漸變長(zhǎng)了，當(dāng)D,O重合時(shí)CD最長(zhǎng)，并且a=b.a?b

3.在數(shù)學(xué)中，我們稱2為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).均值不等式還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).設(shè)計(jì)意圖：探索發(fā)現(xiàn)，觀察歸納，形成概念，加深對(duì)均值不等式的認(rèn)識(shí)和理解；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對(duì)比的數(shù)學(xué)思想，多方面思考問題的能力．讓學(xué)生積極的參與到學(xué)習(xí)中來(lái)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（三）例題講解（精講第一題）

例，矩形的面積為100 m2，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形周長(zhǎng)最短。最短周長(zhǎng)是多少？

用波利亞的4環(huán)節(jié)來(lái)進(jìn)行解題

1：審題（把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化）

2：分析（矩形的長(zhǎng)與寬的乘積是一個(gè)常數(shù)，求長(zhǎng)與寬的和的2倍的最小值；）3：解題

4：回顧（給出規(guī)律：規(guī)律：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值）。

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)例題體現(xiàn)了基本不等式的實(shí)用價(jià)值。隨著高考綜合科目的確定，聯(lián)系各個(gè)學(xué)科的試題將會(huì)不斷出現(xiàn)，數(shù)學(xué)作為工具性的學(xué)科，學(xué)好數(shù)學(xué)，也增強(qiáng)了攻讀好其他學(xué)科的信心。

為了體現(xiàn)夸美紐斯的鞏固性原則，我設(shè)計(jì)了下面練習(xí)。

練習(xí)：已知矩形的周長(zhǎng)是36m，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？

先老師對(duì)該練習(xí)進(jìn)行提示，再抽一位同學(xué)在黑板上來(lái)練習(xí)，其他同學(xué)在下面練習(xí)。做完后大家一起點(diǎn)評(píng)該練習(xí)，不讓同學(xué)通過上面的回顧來(lái)終結(jié)下面的規(guī)律：

兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值

四小結(jié)（教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)本節(jié)課）:

知識(shí):均值定理及其成立的條件，及其均值定理的應(yīng)用

方法：一正，二定，三相等。

思想：類比和數(shù)形結(jié)合的思想。

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí)．

五作業(yè)：

基礎(chǔ)題：課本 第77頁(yè)A組 1.提高題：課本 第77頁(yè)A組 3.4研究題：設(shè)正數(shù)a、b,試盡可能多的給出含有a和b的兩個(gè)元素的不等式

板書設(shè)計(jì)：

為了更好的板書本節(jié)課的內(nèi)容，使整個(gè)板面重點(diǎn)突出，層次分明，我將黑板分為四版.定理例題練習(xí)副版

定理的證明講解講解

第四篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語(yǔ)：一切的方法都要落實(shí)到動(dòng)手實(shí)踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點(diǎn)

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問題.重難點(diǎn)：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對(duì)均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會(huì)太大.二．考點(diǎn)梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號(hào).（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡(jiǎn)記：和定積最大。

2）.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡(jiǎn)記：積定和最小。

3、幾個(gè)重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號(hào)）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測(cè)

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個(gè)數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長(zhǎng)為24cm的鐵絲做成長(zhǎng)方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁(yè)（共4頁(yè)）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當(dāng)z取得最大值時(shí),xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向

二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實(shí)際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬(wàn)元購(gòu)買一輛大貨車,第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬(wàn)元,假定該年每年的運(yùn)輸收入均為25萬(wàn)元.小王在該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價(jià)格為25?x萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大?)(利潤(rùn)=累計(jì)收入+銷售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小？

五、當(dāng)堂檢測(cè)

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點(diǎn)A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對(duì)任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬(wàn)只,每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬(wàn)元,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元,預(yù)計(jì)銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬(wàn)只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變,第n次投入后的年利潤(rùn)為f(n)萬(wàn)元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達(dá)式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?

第五篇：常用均值不等式及證明證明

常用均值不等式及證明證明

這四種平均數(shù)滿足Hn?Gn?

An?Qn

?、ana1、a2、?R?，當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2??

?an時(shí)取“=”號(hào)

僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用

均值不等式的變形：

(1)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有a

2?b2?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))，a,b?0?2ab

(4)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有

a?a-b??b?a-b?

a2?b2?

2ab?0

(5)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有

(8)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有

a2?

b2?c2?ab?bc?ac

a?b?c?abc(10)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有

均值不等式的證明：

方法很多，數(shù)學(xué)歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。

引理：設(shè)A≥0，B≥0，則?A?B??An?nA?n-1?B

n

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數(shù)學(xué)歸納法)。

當(dāng)n=2時(shí)易證；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)ak?1是則設(shè)

a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak

用歸納假設(shè)

下面介紹個(gè)好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數(shù)f?x?,x1,x2,?,xn是函數(shù)f?x?在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)，設(shè)f?x??lnx，f

?x?為上凸增函數(shù)所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）