第一篇：均值不等式教案2

課題：§3.2.2均值不等式 課時:第2課時 授課時間: 授課類型：新授課

【教學目標】

1．知識與技能：利用均值定理求極值與證明。

2．過程與方法：培養學生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3．情態與價值：激發學習數學的熱情，培養善于思考、勤于動手的學習品質。【教學重點】利用均值定理求極值與證明。【教學難點】利用均值定理求極值與證明。

【教學過程】

1、復習：

定理：如果a,b是正數，那么

a?b?ab(當且僅當a?b時取“?”號).22、利用均值定理求最值應注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關鍵

3、例子：

1)已知x≠0，當x取什么值時，x2+2）已知x>1,求y=x+

81的值最小，最小值是多少？ 2x1的最小值 x?13）已知x∈R，求y=x2?2x?12的最小值

4）已知x>1,求y=x+116x+2的最小值 xx?15）已知0

8）要建一個底面積為12m2，深為3m的長方體無蓋水池，如果底面造價每平方米600元，側面造價每平方米400元，問怎樣設計使總造價最低，最低總造價是多少元？

9）一段長為Lm的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 小結：利用均值定理求極值

課堂練習：第73頁習題3-2B:1,2 課后作業：第72頁習題3-2A:3,4,5 2

板書設計：

教學反思：

第二篇：均值不等式教案

§3.2 均值不等式

【教學目標】

1.理解均值不等式

2.能利用均值不等式求最值或證明不等式

【教學重點】

掌握均值不等式

【教學難點】

利用均值不等式證明不等式或求函數的最值，【教學過程】

一、均值不等式：

均值定理：如果a,b?R?,那么_______________________(當且僅當_______時取等號)證明：

定理說明：

a?b1、稱為正數a,b的______________稱ab為正數a,b的___________因2此定理又敘述為：________________________________________

2、幾種變形：

（１）a?b?2ab

（_______________）

?a?b?

（２）???ab

（_______________）

2??

（３）a2?b2?2ab

（_______________）

3、應用定理注意的問題：

（１）應用定理的條件_____________________

（２）定理注意_____________________

二、定理應用：證明簡單的不等式或求最值

ba例

1、已知ab?0，求證：??2

ab

1例

2、當x?0時,求x?的最值,并求取最值時x的值.x

21??1??變式：

1、已知a,b?R?,求證:?a???b???4

a??b??

2、若x?3,函數y?x?

13、若x?0,求x?的最值.x1,當x為何值時函數有最值,此時x是何值? x?3

?2x2?x?3?x?0?的最大值,以及此時x的值.例

3、求函數f?x??x

x2?2x?3?x?0?的最小值及取得最小值時x的值.變式：求函數f?x??x

例

4、（1）一個矩形的面積為100m2，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？

（2）已知矩形的周長為36cm，問這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？

結論：（１）___________________________________________________

（２）___________________________________________________ 變式：已知直角三角形的面積為50，問兩直角邊各為多少時，它們的和最小？這個最小值是多少？

課堂小結：

課后練習：課本練習A、B

第三篇：均值不等式教案

3．2均值不等式 教案（3）

（第三課時）

教學目標：

了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用

教學重點：

了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用

教學過程

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應設法通過適當的放縮變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式，再利用不等式的性質證得原命題．

a2b2c

2???a?b?c 例

2、若a,b,c?R，則bca?

本題若用“求差法”證明，計算量較大，難以獲得成功，注意到a , b , c∈R，從結論的特點出發，均值不等式，問題是不難獲證的．

＋

例

3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a?b?c?ab?bc?ca 證明：∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca

以上三式相加：2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca

∴a?b?c?ab?bc?ca

例

4、已知a,b,c,d都是正數，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 22222222222222

2分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發生聯系，從而正確運用，同時證明：∵a,b,c,d都是正數，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞得

ab?cdac?bd??0,??0.22

由不等式的性質定理4的推論1，得

?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

小結：正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數

課堂練習：第77頁練習A、B

課后作業：略

第四篇：均值不等式教案2

課 題： 第02課時 三個正數的算術-幾何平均不等式(第二課時）教學目標：

1．能利用三個正數的算術-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題； 2．了解基本不等式的推廣形式。

教學重點：三個正數的算術-幾何平均不等式

教學難點：利用三個正數的算術-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題 教學過程：

一、知識學習：

定理3：如果a,b,c?R?，那么推廣：

a?b?c3?abc。當且僅當a?b?c時，等號成立。3a1?a2???ann≥a1a2?an。當且僅當a1?a2???an時，等號成立。

n語言表述：n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

思考：類比基本不等式，是否存在：如果a,b,c?R?，那么a?b?c?3abc（當且僅當a?b?c時，等號成立）呢？試證明。

二、例題分析： 例1：求函數y?2x?223333(x?0)的最小值。x解一： y?2x?31112?2x2???332x2???334∴ymin?334 xxxxx33312223解二：y?2x??22x??26x當2x?即x?時 x2xx23 ∴ymin?26?12?23312?26324 21的最小值。

(a?b)b上述兩種做法哪種是錯的？錯誤的原因是什么？ 變式訓練1 若a,b?R?且a?b,求a?由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時關鍵是要_____________________ 例2 ：如下圖，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名著虛線折轉成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？

變式訓練2 已知：長方體的全面積為定值Ｓ，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值． 由例題，我們應該更牢記 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等號的方向也可以知道：積定____________，和定______________.三、鞏固練習1.函數y?3x?12(x?0)的最小值是（）2xA.6

B.66

C.9

D.12 2．函數y?x4(2?x2)(0?x?2)的最大值是（）

D.2727A.0

B.1

C.四、課堂小結：

通過本節學習，要求大家掌握三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會應用它證明一些不等式及求函數的最值，但是在應用時，應注意定理的適用條件。

五、課后作業

P10習題1.1第11，12，13題

六、教學后記：

第三課時（略）

第五篇：不等式證明,均值不等式

1、設a,b?R，求證：ab?(ab)?aba?b2?abba2、已知a,b,c是不全相等的正數，求證：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a24、設a,b?R?，且a?b?1，求證：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求證：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求證：a?b?

7、a,b,c,d?R求證：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c11118、求證2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求證：?2n?1n?22n10、求下列函數的最值

（1）已知x＞0，求y?2?x?

（2）已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2）x1的最小值（4）x?

2111（3）已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（）221611、若正數a,b滿足ab?(a?b)?1則a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正數a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值為（）（4）

13、求函數y?

14、二次函數f(x)?x?ax?x?a的兩根x1,x2滿足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范圍（）（0，15、關于x的方程x?2m(x?3)?2m?14?0有兩個實數根，且一個大于1，一個小于1，則m的取值范圍是（）（m＜-

22221）

416、關于x的方程mx?2x?1?0至少有一個負根，則m的取值范圍是（m?1）

17、關于x的方程2kx?2x?3k?2?0有兩個實數根，一個小于1，另一個大于1，求實數k的取值范圍（k＞0或k＜-4）

218、為使方程x2?2px?1?0的兩根在（-2,2）內，求p的取值范圍（-＜p＜

19、函數f(x)?ax2?x?1有零點，則a的取值范圍是（a?

20、判斷函數f(x)?x-

21、已知方程x?22343）41）41?1的零點的個數（一個）x3?95?x?k在??1,1?上有實數根，求實數k的取值范圍（??,?）2?162?

22、已知方程7x2?(m?13)x?m2?m?2?0有兩個實數根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范圍（(?2,?1)?(3,4)）

23、關于的方程2ax?x?1?0在（0,1）內恰有一解，求實數a的取值范圍(1,??)

24、若關于的方程lg(x

x2x2?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一實根，求a的取值范圍