第一篇：均值不等式的證明方法

柯西證明均值不等式的方法 by zhangyuong（數學之家）

本文主要介紹柯西對證明均值不等式的一種方法，這種方法極其重要。一般的均值不等式我們通常考慮的是An?Gn: 一些大家都知道的條件我就不寫了

x1?x2?...?xn

n

?

x1x2...xn

我曾經在《幾個重要不等式的證明》中介紹過柯西的這個方法，現在再次提出：

二維已證，四維時：

a?b?c?d?(a?b)?(c?d)?2ab?2cd?4八維時:

(a?b?c?d)?(e?f?g?h)?4abcd?4efgh?8abcdefgh

abcd

?4abcd

這樣的步驟重復n次之后將會得到

x1?x2?...?x2n

n

?

n

x1x2...x2n

令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?

n

x1?x2?...?xn

n

?A

由這個不等式有

A?

nA?(2?n)A

nn

?

n

x1x2..xnA

2?n

n

?(x1x2..xn)2A

n

1?

n2

n

即得到

x1?x2?...?xn

n

?

n

x1x2...xn

這個歸納法的證明是柯西首次使用的，而且極其重要，下面給出幾個競賽題的例子：

例1：

n

若0?ai?1(i?1,2,...,n)證明?

i?1

11?ai

?

n

1?(a1a2...an)n

例2：

n

若ri?1(i?1,2,...,n)證明?

i?1

1ri?1

?

n

1?(r1r2...rn)n

這2個例子是在量在不同范圍時候得到的結果，方法正是運用柯西的歸納法：

給出例1的證明：

當n?2時11?a1

?

11?a2

?

?(1?

?a1?a2)?2(1?a1)(1?a2)

設p?a1?a2,q?

?(1?q)(2?p)?2(1?p?q)

?p?2q?pq?2q?p(1?q)?2q(q?1)?p?2q，而這是2元均值不等式因此11?a1?

?

11?a22

n

?

11?a3

?

11?a4

??

此過程進行下去

n

?

因此?

i?1

1?ai

1?(a1a2...a2n)2

n

令an?1?an?2?...?a2n?(a1a2...an)n?G

n

有?

i?1n

11?ai

11?ai

?(2?n)

n

11?G

?

n

n2?n

n

?

n

1?(GG

?

n1?G

n)

n

1?G

即?

i?1

例3：

已知5n個實數ri,si,ti,ui,vi都?1(1?i?n),記R?T?

n

1n

n

?r,S

ii

?

1n

n

?s

i

i

1n

n

?t,U

ii

?

1n

n

?u

i

i,V?

1n

n

?v，求證下述不等式成立：

ii

?

i?1

（risitiuivi?1risitiuivi?1)?（RSTUV?1RSTUV?1)

n

要證明這題，其實看樣子很像上面柯西的歸納使用的形式

其實由均值不等式，以及函數f(x)?ln因此

e?1e?1

x

x

是在R上單調遞減

RSTUV?

?

（RSTUV?1RSTUV?1)?

n

我們要證明：

n

?(rstuv

i?1

iii

i

risitiuivi?1

i

?1)?

證明以下引理：

n

?(x

i?1

xi?1

i

x2?1x2?1

n

?1)?

n?2時，?(令A?

x1?1x1?1)（）?2

?A(x1x2?1?x1?x2)?(x1?x2?1?x1x2)

?2A(x1x2?x1?x2?1)?A(x1x2?1?x1?x2)?(1?x1x2?x1?x2)?2A(x1x2?1?x1?x2)

?(A?1)(x1x2?1)?2A(x1x2?1)顯然成立

2?n

n

n

因

此?（i?1

xi?1xi?1

n)?（G?1G?1)

2?n

n

?（GGGG

n

n

n

n

?1?1

2?n2

n)，G?

n

?（G?1G?1

n)

因此?（i?1

xi?1xi?1

n)?

所以原題目也證畢了

這種歸納法威力十分強大，用同樣方法可以證明Jensen:

f(x1)?f(x2)

?f（x1?x2)，則四維：

f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?2f（x1?x2)?2f（x3?x4)?4f（x1?x2?x3?x4)

一直進行n次有

f(x1)?f(x2)?...?f(x2n)

n

?f（x1?x2?...?x2n

n),令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?

n

x1?x2?...?xn

n

n

?A

有

f(x1)?...?f(xn)?(2?n)f(A)

n

n

?f（nA?(2?n)A

n)?f(A)

所以得到

f(x1)?f(x2)?...?f(xn)

n

?f（x1?x2?...?xn

n)

所以基本上用Jensen證明的題目都可以用柯西的這個方法來證明

而且有些時候這種歸納法比Jensen的限制更少

其實從上面的看到，對于形式相同的不等式，都可以運用歸納法證明

這也是一般來說能夠運用歸納法的最基本條件

第二篇：常用均值不等式及證明證明

常用均值不等式及證明證明

這四種平均數滿足Hn?Gn?

An?Qn

?、ana1、a2、?R?，當且僅當a1?a2??

?an時取“=”號

僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用

均值不等式的變形：

(1)對實數a,b，有a

2?b2?2ab(當且僅當a=b時取“=”號)，a,b?0?2ab

(4)對實數a,b，有

a?a-b??b?a-b?

a2?b2?

2ab?0

(5)對非負實數a,b，有

(8)對實數a,b,c，有

a2?

b2?c2?ab?bc?ac

a?b?c?abc(10)對實數a,b,c，有

均值不等式的證明：

方法很多，數學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則?A?B??An?nA?n-1?B

n

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數學歸納法)。

當n=2時易證；

假設當n=k時命題成立，即

那么當n=k+1時，不妨設ak?1是則設

a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak

用歸納假設

下面介紹個好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數f?x?,x1,x2,?,xn是函數f?x?在區間(a,b)內的任意n個點，設f?x??lnx，f

?x?為上凸增函數所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）

第三篇：均值不等式證明

均值不等式證明

一、已知x,y為正實數，且x+y=1求證

xy+1/xy≥17/

41=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥

2當且僅當xy=1/xy時取等

也就是xy=1時

畫出xy+1/xy圖像得

01時，單調增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得證

繼續追問：

拜托，用單調性誰不會，讓你用均值定理來證

補充回答：

我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的法二：

證xy+1/xy≥17/4

即證4(xy)2-17xy+4≥0

即證(4xy-1)(xy-4)≥0

即證xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈R+，x+y=

1顯然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得證

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4x2y2-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!

二、已知a>b>c，求證：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即為均值不等式。

概念：

1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數：Qn=√

這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、…、an∈R+，當且僅當a1=a2=…=an時勸=”號

均值不等式的一般形式：設函數D(r)=^(1/r)(當r不等于0時);

(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

則有：當r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√

方法很多，數學歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。

原題等價于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

當n=2時易證;

假設當n=k時命題成立，即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么當n=k+1時，不妨設a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

設s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)

={s/k+/}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設

下面介紹個好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數f(x)，x1,x2,...xn是函數f(x)在區間(a,b)內的任意n個點，則有：f≥1/n*

設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數

所以，ln≥1/n*=ln

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。

第四篇：不等式證明,均值不等式

1、設a,b?R，求證：ab?(ab)?aba?b2?abba2、已知a,b,c是不全相等的正數，求證：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a24、設a,b?R?，且a?b?1，求證：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求證：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求證：a?b?

7、a,b,c,d?R求證：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c11118、求證2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求證：?2n?1n?22n10、求下列函數的最值

（1）已知x＞0，求y?2?x?

（2）已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2）x1的最小值（4）x?

2111（3）已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（）221611、若正數a,b滿足ab?(a?b)?1則a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正數a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值為（）（4）

13、求函數y?

14、二次函數f(x)?x?ax?x?a的兩根x1,x2滿足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范圍（）（0，15、關于x的方程x?2m(x?3)?2m?14?0有兩個實數根，且一個大于1，一個小于1，則m的取值范圍是（）（m＜-

22221）

416、關于x的方程mx?2x?1?0至少有一個負根，則m的取值范圍是（m?1）

17、關于x的方程2kx?2x?3k?2?0有兩個實數根，一個小于1，另一個大于1，求實數k的取值范圍（k＞0或k＜-4）

218、為使方程x2?2px?1?0的兩根在（-2,2）內，求p的取值范圍（-＜p＜

19、函數f(x)?ax2?x?1有零點，則a的取值范圍是（a?

20、判斷函數f(x)?x-

21、已知方程x?22343）41）41?1的零點的個數（一個）x3?95?x?k在??1,1?上有實數根，求實數k的取值范圍（??,?）2?162?

22、已知方程7x2?(m?13)x?m2?m?2?0有兩個實數根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范圍（(?2,?1)?(3,4)）

23、關于的方程2ax?x?1?0在（0,1）內恰有一解，求實數a的取值范圍(1,??)

24、若關于的方程lg(x

x2x2?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一實根，求a的取值范圍

第五篇：用均值不等式證明不等式

用均值不等式證明不等式

【摘要】：不等式的證明在競賽數學中占有重要地位．本文介紹了用均值不等式證明幾個不等式，我們在證明不等式時，常用到均值不等式。要求我們要認真分析題目，本文通過幾個國內外競賽數學的試題，介紹用均值不等式證明初等不等式的基本方法及技巧。

【關鍵詞】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

設 a1、a2、?、an 是 n 個 正數，則不等式H(a)?G(a)?A(a)?Q(a)稱為均值不等式[1]．其中

H(a)?

n

1a

1?1a

2???

1an，G(a)?

a1a2a1a?an，A(n)?

a1?a2???an

n

22，2

Q(n)?

a1?a2???an

n

?、an 的調和不等式，幾何平均值，算術平均值，均方根平均分別稱為 a1、a2、值．

例1設a1、a2、…、an均為正，記

?(n)?n（a1?a2???an

n

?

a1a2?an)

試證：?(n)??(n?1)，并求等號成立的條件．

證明由所設條件，得

?(n)??(n?1)

=n（a1?a2???an

n

?

n

a1a2?an)?(n?1)（a1?a2??an?

1n?1

?

n?1

a1a2?an?1)

=a1?a2???an?nna1a2?an?(a1?a2???an?1)?(n?1)n?1a1a2?an?1

=an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n，n?1

???(a1a2?an?1)n?1，有 將G(a)?A(a)應用于n個正數：an，（a1a2?an?1）

?????????????????

n?1個

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1

n

?(a1a2?an)n，即

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n．

所以?(n)??(n?1)，當且僅當an?(a1a2?an?1)立．

n?1，即ann?1?a1a2?an?時等號成1

此題不只是公式的直接應用．代表了均值不等式中需要挖掘信

?、an 的一類題． 息找a1、a2、例2設x?y?z?0，求證：6(x3?y3?z3)2?(x2?y2?z2)3． 證明當x?y?z?0時不等式顯然成立．

除此情況外，x、y、z中至少有一正一負．不妨設xy?0，因為

z??(x?y)，所以

I?6(x?y?z)?6[x?y?(x?y)]?6[?3xy(x?y)]?54xyz

．

若由此直接用G(a)?A(a)(n?3)，只能得到較粗糙的不等式

I?54xyz?54（x?y?z

2)?2(x?y?z)，3222

3如果改用下面的方法，用G(a)?A(a)，便得

I?54xyz

222

?216

xy2

?

xy2

?z

?xy?xy2???z?

??(2z2?2xy)3，?216???3????

再注意到x2?y2?(x?y)2?2xy?z2?2xy，因而2z2?2xy?x2?y2?z2，于是即得欲證的不等式．

此題解題的關鍵在于構造a1、a2、?、an通常需要拓寬思路多次嘗試，此類也屬均值不等式的常考類題． 例3設x?0，證明：2

x

?2

x

?2?2

x

．(第16屆全蘇數學競賽試題[2])

證明此不等式的外形有點像均值不等式． 由G(a)?A(a)，得

x?2

x

x

?2

x

?2?2

x

?2

x

?2?2，又

x?2

x

1111

?(x12x4)2?x6，即得要證的不等式．

結語

有些不等式則可以利用某個已經證明成立的不等式來證明(因此多熟悉幾個比較常見的不等式是有好處的)；有些不等式還要用數學歸納法來證明等等．而且在一個題目的證明過程中，也往往不止應用一種方法，而需要靈活運用各種方法．因此，要培養和提高自己的證題能力。

參考文獻

[1]陳傳理等編．數學競賽教程 [M]．北京：高等教育出版設，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等編．高中數學競賽輔導講座[M]．上海：上海科學技術出版社，1987．38-49