第一篇：均值定理證明不等式的方法技巧
均值定理證明不等式的方法技巧
1． 輪換對稱型。
例1．若a,b,c是互不相等的實數，求
證：a
?b
?c
?ab?bc?ac.2
策略：所證不等式是關于a,b,c的輪換對稱式，注意到a?b即可。
證明：?a,b,c是互不相等的實數，?a
?2ab，然后輪換相加
?b
?2ac,b
?c
?2bc,a?c
?2ac.?b
將上面三個同向不等式即a
相加得：2a
?
?c
??2?ab
?bc?ac?。
?b
?c
?ab?bc?ac.點評：分段應用基本等式，然后整體相加(乘)得結論，是證明輪換對稱不等式的常用技
巧。
2． 利用“1”的代換型。
例2．已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證： 策略：做“1”的代換。證明：
1a?1b?1c?
a?b?c
a
?
a?b?c
b
?
a?b?c
c
?
1a
?
1b
?
1c
?9.a??ca??cb??b
?3?????????????3?2?2?2?9.b??ac??bc??a
3.逆向運用公式型。
策略：為脫去左邊的根號，將a?
12,b?
12轉換成1?
1??a?
2?
1???,1??b?
2??
?
?,然后逆向運?
用均值不等式： 若a,b?R
?
則 ab?
a?b2
.例3．已知a,b?R,a?b?1求證： a?
?
?b?
?2.證明：?a?
1212
?34?
1??
??a???
2???b2b?
12?32?
1?a?
12?34?a2.同理b??12
于是有 a?
?a?b??2.點評：依據求證式的結構，湊出常數因子，是解決此類問題的關鍵。
4． 挖掘隱含條件證明不等式。
例4．已知a,b?R,a?b?1求證：?1?
?
?
?
?
1??1?1??1???.a??b?9
?a,b?R,a?b?1
1??2
?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含策略:由于??a?b?
4??ab??
?2??
著一個不等式ab?
?
.14
證明：?a,b?R,a?b?1?ab?。
1??1?111a?b12?
而 ?1???1???1????1???1??1?8?9.abababababab????1??1??
??1???1???9.a??b??
5． 用均值不等式的變式形式證明不等式。例5．已知a,b,c?R?,求證： a2?b2?
b
?c
?c
?a
?
2?a?b?c?.策略：本題的關鍵在于對a2?b2,b2?c2,c2?a2的處理，如果能找出
a
?b與a?b間的關系，問題就可以
解決，注意到
?
a
?b
?2ab?2a
?
?b
??
?a?b??
2a
?
?b
??
?
a?b ?其中a,b,c?R?即可。
證明：?a,b,c?R
222222
?a?b?
?a?b?c
?b??c?。?a?
b
?c
?
c
?a
?
三式相加得：a2?b2?
b
?c
?c
?a
?
2?a?b?c?
a
點評：解題時要注意a?b?2ab的變式應用。常用
?
?b2
?
a?b2
(其中
a,b?R)來解決有關根式不等式的問題。
第二篇：均值不等式的證明方法
柯西證明均值不等式的方法 by zhangyuong（數學之家）
本文主要介紹柯西對證明均值不等式的一種方法，這種方法極其重要。一般的均值不等式我們通常考慮的是An?Gn: 一些大家都知道的條件我就不寫了
x1?x2?...?xn
n
?
x1x2...xn
我曾經在《幾個重要不等式的證明》中介紹過柯西的這個方法，現在再次提出：
二維已證，四維時：
a?b?c?d?(a?b)?(c?d)?2ab?2cd?4八維時:
(a?b?c?d)?(e?f?g?h)?4abcd?4efgh?8abcdefgh
abcd
?4abcd
這樣的步驟重復n次之后將會得到
x1?x2?...?x2n
n
?
n
x1x2...x2n
令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?
n
x1?x2?...?xn
n
?A
由這個不等式有
A?
nA?(2?n)A
nn
?
n
x1x2..xnA
2?n
n
?(x1x2..xn)2A
n
1?
n2
n
即得到
x1?x2?...?xn
n
?
n
x1x2...xn
這個歸納法的證明是柯西首次使用的，而且極其重要，下面給出幾個競賽題的例子：
例1：
n
若0?ai?1(i?1,2,...,n)證明?
i?1
11?ai
?
n
1?(a1a2...an)n
例2：
n
若ri?1(i?1,2,...,n)證明?
i?1
1ri?1
?
n
1?(r1r2...rn)n
這2個例子是在量在不同范圍時候得到的結果，方法正是運用柯西的歸納法：
給出例1的證明：
當n?2時11?a1
?
11?a2
?
?(1?
?a1?a2)?2(1?a1)(1?a2)
設p?a1?a2,q?
?(1?q)(2?p)?2(1?p?q)
?p?2q?pq?2q?p(1?q)?2q(q?1)?p?2q，而這是2元均值不等式因此11?a1?
?
11?a22
n
?
11?a3
?
11?a4
??
此過程進行下去
n
?
因此?
i?1
1?ai
1?(a1a2...a2n)2
n
令an?1?an?2?...?a2n?(a1a2...an)n?G
n
有?
i?1n
11?ai
11?ai
?(2?n)
n
11?G
?
n
n2?n
n
?
n
1?(GG
?
n1?G
n)
n
1?G
即?
i?1
例3：
已知5n個實數ri,si,ti,ui,vi都?1(1?i?n),記R?T?
n
1n
n
?r,S
ii
?
1n
n
?s
i
i
1n
n
?t,U
ii
?
1n
n
?u
i
i,V?
1n
n
?v，求證下述不等式成立：
ii
?
i?1
（risitiuivi?1risitiuivi?1)?（RSTUV?1RSTUV?1)
n
要證明這題，其實看樣子很像上面柯西的歸納使用的形式
其實由均值不等式，以及函數f(x)?ln因此
e?1e?1
x
x
是在R上單調遞減
RSTUV?
?
（RSTUV?1RSTUV?1)?
n
我們要證明：
n
?(rstuv
i?1
iii
i
risitiuivi?1
i
?1)?
證明以下引理：
n
?(x
i?1
xi?1
i
x2?1x2?1
n
?1)?
n?2時，?(令A?
x1?1x1?1)（）?2
?A(x1x2?1?x1?x2)?(x1?x2?1?x1x2)
?2A(x1x2?x1?x2?1)?A(x1x2?1?x1?x2)?(1?x1x2?x1?x2)?2A(x1x2?1?x1?x2)
?(A?1)(x1x2?1)?2A(x1x2?1)顯然成立
2?n
n
n
因
此?（i?1
xi?1xi?1
n)?（G?1G?1)
2?n
n
?（GGGG
n
n
n
n
?1?1
2?n2
n)，G?
n
?（G?1G?1
n)
因此?（i?1
xi?1xi?1
n)?
所以原題目也證畢了
這種歸納法威力十分強大，用同樣方法可以證明Jensen:
f(x1)?f(x2)
?f（x1?x2)，則四維：
f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?2f（x1?x2)?2f（x3?x4)?4f（x1?x2?x3?x4)
一直進行n次有
f(x1)?f(x2)?...?f(x2n)
n
?f（x1?x2?...?x2n
n),令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?
n
x1?x2?...?xn
n
n
?A
有
f(x1)?...?f(xn)?(2?n)f(A)
n
n
?f（nA?(2?n)A
n)?f(A)
所以得到
f(x1)?f(x2)?...?f(xn)
n
?f（x1?x2?...?xn
n)
所以基本上用Jensen證明的題目都可以用柯西的這個方法來證明
而且有些時候這種歸納法比Jensen的限制更少
其實從上面的看到，對于形式相同的不等式，都可以運用歸納法證明
這也是一般來說能夠運用歸納法的最基本條件
第三篇：常用均值不等式及證明證明
常用均值不等式及證明證明
這四種平均數滿足Hn?Gn?
An?Qn
?、ana1、a2、?R?，當且僅當a1?a2??
?an時取“=”號
僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用
均值不等式的變形：
(1)對實數a,b，有a
2?b2?2ab(當且僅當a=b時取“=”號)，a,b?0?2ab
(4)對實數a,b，有
a?a-b??b?a-b?
a2?b2?
2ab?0
(5)對非負實數a,b，有
(8)對實數a,b,c，有
a2?
b2?c2?ab?bc?ac
a?b?c?abc(10)對實數a,b,c，有
均值不等式的證明：
方法很多，數學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序
不等式法、柯西不等式法等等
用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。
引理：設A≥0，B≥0，則?A?B??An?nA?n-1?B
n
注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數學歸納法)。
當n=2時易證；
假設當n=k時命題成立，即
那么當n=k+1時，不妨設ak?1是則設
a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak
用歸納假設
下面介紹個好理解的方法琴生不等式法
琴生不等式：上凸函數f?x?,x1,x2,?,xn是函數f?x?在區間(a,b)內的任意n個點，設f?x??lnx，f
?x?為上凸增函數所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）
第四篇：均值不等式證明
均值不等式證明
一、已知x,y為正實數，且x+y=1求證
xy+1/xy≥17/
41=x+y≥2√(xy)
得xy≤1/4
而xy+1/xy≥
2當且僅當xy=1/xy時取等
也就是xy=1時
畫出xy+1/xy圖像得
01時，單調增
而xy≤1/4
∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4
得證
繼續追問：
拜托，用單調性誰不會，讓你用均值定理來證
補充回答：
我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的法二：
證xy+1/xy≥17/4
即證4(xy)2-17xy+4≥0
即證(4xy-1)(xy-4)≥0
即證xy≥4，xy≤1/4
而x,y∈R+，x+y=
1顯然xy≥4不可能成立
∵1=x+y≥2√(xy)
∴xy≤1/4，得證
法三：
∵同理0
xy+1/xy-17/4
=(4x2y2-4-17xy)/4xy
=(1-4xy)(4-xy)/4xy
≥0
∴xy+1/xy≥17/4
試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!
二、已知a>b>c，求證：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)
于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0
即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】
那么
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】
≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0
三、1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即為均值不等式。
概念：
1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數：Qn=√
這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、…、an∈R+，當且僅當a1=a2=…=an時勸=”號
均值不等式的一般形式：設函數D(r)=^(1/r)(當r不等于0時);
(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))
則有：當r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√
方法很多，數學歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。
引理：設A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。
注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。
原題等價于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。
當n=2時易證;
假設當n=k時命題成立，即
((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么當n=k+1時，不妨設a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則
ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。
設s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)
={s/k+/}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理
=(s/k)^k*a(k+1)
≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設
下面介紹個好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函數f(x)，x1,x2,...xn是函數f(x)在區間(a,b)內的任意n個點，則有：f≥1/n*
設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數
所以，ln≥1/n*=ln
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。
第五篇：不等式證明,均值不等式
1、設a,b?R，求證：ab?(ab)?aba?b2?abba2、已知a,b,c是不全相等的正數，求證：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc
3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a24、設a,b?R?，且a?b?1，求證：(a?)?(b?)?
5、若a?b?1，求證：asinx?bcosx?
16、已知a?b?1，求證：a?b?
7、a,b,c,d?R求證：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c11118、求證2?2?2???2＜2 123n
1111????＜1
9、求證：?2n?1n?22n10、求下列函數的最值
（1）已知x＞0，求y?2?x?
（2）已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2）x1的最小值（4）x?
2111（3）已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（）221611、若正數a,b滿足ab?(a?b)?1則a?b的最小值是（）
（2?2333）
12、已知正數a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值為（）（4）
13、求函數y?
14、二次函數f(x)?x?ax?x?a的兩根x1,x2滿足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范圍（）（0，15、關于x的方程x?2m(x?3)?2m?14?0有兩個實數根，且一個大于1，一個小于1，則m的取值范圍是（）（m＜-
22221）
416、關于x的方程mx?2x?1?0至少有一個負根，則m的取值范圍是（m?1）
17、關于x的方程2kx?2x?3k?2?0有兩個實數根，一個小于1，另一個大于1，求實數k的取值范圍（k＞0或k＜-4）
218、為使方程x2?2px?1?0的兩根在（-2,2）內，求p的取值范圍（-＜p＜
19、函數f(x)?ax2?x?1有零點，則a的取值范圍是（a?
20、判斷函數f(x)?x-
21、已知方程x?22343）41）41?1的零點的個數（一個）x3?95?x?k在??1,1?上有實數根，求實數k的取值范圍（??,?）2?162?
22、已知方程7x2?(m?13)x?m2?m?2?0有兩個實數根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范圍（(?2,?1)?(3,4)）
23、關于的方程2ax?x?1?0在（0,1）內恰有一解，求實數a的取值范圍(1,??)
24、若關于的方程lg(x
x2x2?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一實根，求a的取值范圍
點擊咨詢 