第一篇：離散型隨機變量及其分布列教學(xué)反思

《離散型隨機變量及其分布列》教學(xué)反思

一、教學(xué)內(nèi)容、要求以及完成情況的再認(rèn)識

《離散型隨機變量的分布列》在近幾年高考的推波助瀾下愈發(fā)突顯出其應(yīng)用性和問題設(shè)計的新穎和創(chuàng)造性，如火如荼的新課改時時刻刻在提醒我們“思路決定出路”，們明確教學(xué)設(shè)計應(yīng)是為了“學(xué)生的學(xué)而設(shè)計教”，不是為了 “老師的教而設(shè)計學(xué)”。

1.學(xué)的重點應(yīng)是離散型隨機變量的分布列的含義與性質(zhì)而非如何求概率 看過《離散型隨機變量的分布列》的幾個視頻，大多采用“一個定義、三項注意、變式訓(xùn)練”的傳授型數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，定義匆匆過，訓(xùn)練變式多，學(xué)生表示隨機變量的分布列時錯誤不斷。這些錯誤集中指向是某些事件的概率求錯，從而導(dǎo)致分布列的表示錯誤，老師又糾錯，學(xué)生還犯錯。整堂課反映出的教學(xué)重點是求隨機事件的概率。孰不知學(xué)生出錯的根本原因是在思維的過程中沒有有意識的將分布列問題轉(zhuǎn)化為求互斥事件的概率。正所如皮之不存、毛之焉附，歷經(jīng)離散型隨機變量的分布列的概念的教學(xué)過程并形成解題時將分布列問題轉(zhuǎn)化為求互斥事件的概率的意識理應(yīng)成為教學(xué)的重點。

2.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)是從創(chuàng)設(shè)概念的生長點的問題情境切入探究而不是拋給學(xué)生

“一個定義、三項注意、變式訓(xùn)練”的“拋式”數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，猶如過眼云煙，未建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)概念的理解猶如空中樓閣，未建立在思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進行的類比歸納的正遷移思維猶如斷了翅膀的鳥，未歷經(jīng)數(shù)學(xué)概念的探究而進行的變式訓(xùn)練亦不過是模仿解題。“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)活動是由“情景問題”驅(qū)動的，“問題解決”是其主要的活動形式，創(chuàng)設(shè)可以連續(xù)變式的正多面體的問題情境，提出從低緯度向高緯度發(fā)展的問題是歷經(jīng)數(shù)學(xué)概念再創(chuàng)造的好的開始。

引例1：某人拋一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)有幾種情況？如何表示？各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別是多少？

引例2：100件產(chǎn)品中有10件次品，任取其中的4件，出現(xiàn)次品的情況有幾種？如何表示？各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別是多少？

引例3：扔一枚硬幣，出現(xiàn)的結(jié)果有幾種？能用數(shù)表示嗎？如果可以，如何表示？各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別是多少？

以上三個問題，集中指向了先是隨機變量取不同值時對應(yīng)概率的表示，更加如何簡潔的表示，而離散型隨機變量的分布列也是概率的一種表示形式，古典概率就是離散型隨機變量的分布列的知識生長點。這就是將數(shù)學(xué)概念的引入情境化、順其自然、不強加于人，是要合乎學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、不苛求與形式。3．?dāng)?shù)學(xué)概念的含義和性質(zhì)是剝洋蔥皮式的探究而不是變式訓(xùn)練的強化 學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解出現(xiàn)偏差，往往是學(xué)生站的認(rèn)識問題的角度不合理、維度不全面，所以我借助于問題串、采用“剝洋蔥皮”的方式從數(shù)學(xué)概念的外延出發(fā)探尋概念的內(nèi)涵。問是深入思考的開始、是質(zhì)疑探究的延續(xù)。

離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)是概念的外延，而離散型隨機變量的概率分布列的內(nèi)涵是一個必然事件分解成有限個互斥事件的概率的另一種表示形式，更主要的是應(yīng)在概念的生成中形成解決問題的思維方法。

問題1.通過以上簡單的離散型隨機變量的分布列，歸納出離散型隨機變量的分布列具有哪些性質(zhì)？(學(xué)生發(fā)現(xiàn)性質(zhì))性質(zhì)2的理解是本節(jié)課的一個難點，設(shè)置如下問題串： 問題2.性質(zhì)2的含義是什么？

問題3.每一個分布列有多少個隨機事件？ 問題4.隨機事件之間是什么關(guān)系？

問題5.這些隨機事件構(gòu)成的復(fù)雜事件又表示什么事件？

通過以上問題串的探究，就是要學(xué)生歷經(jīng)離散型隨機變量分布列的本質(zhì)的認(rèn)識過程，從而形成求解離散型隨機變量的分布列的方法和步驟：

①明確隨機變量的含義、確定隨機變量的取值 ②判定隨機事件的關(guān)系、計算隨機事件的概率 ③列表表示分布列、檢驗是否構(gòu)成必然事件

這樣設(shè)計的目的是想避免學(xué)生在沒有對數(shù)學(xué)概念和思想方法有基本了解的情況下就盲目進行大運動量的變式解題操練，導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要的根基，是要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)思維來解決問題。

在教學(xué)設(shè)計上要做整體的把握，應(yīng)該從基本點出發(fā)，形成交匯點，進而達(dá)到制高點。教學(xué)的基本點就是“雙基”： 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能。從雙基出發(fā)，使得基礎(chǔ)知識形成網(wǎng)絡(luò)、基本技能形成規(guī)律。教學(xué)的交匯點就是數(shù)學(xué)活動，在數(shù)學(xué)活動中形成基本思想方法和基本活動經(jīng)驗。

制高點是什么？制高點是重點，是可以達(dá)到必要深度的部分，但又不僅僅是重點。重點只是數(shù)學(xué)的結(jié)果，不指向如何應(yīng)對；而制高點致力于探尋問題解決的基本思路，形成解決問題的方法和規(guī)律。站在制高點上進行教學(xué)設(shè)計，就是首先要準(zhǔn)備貫徹什么樣的教學(xué)理念、采用什么樣的教學(xué)方法為支撐下的教學(xué)設(shè)計。所以我在教學(xué)設(shè)計時重視情境預(yù)設(shè)、更重視思維的發(fā)展歷程，關(guān)注知識的內(nèi)化、更關(guān)注形成知識的方法的理性建構(gòu)。數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)成長于每一節(jié)課堂、成敗于每一點基礎(chǔ)、影響于每一個細(xì)節(jié)，讓每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂都真正在有利于學(xué)生發(fā)展為本的道路上改革，牢牢把握這個制高點，成功就水到渠成了。

二、值得注意的地方

在教學(xué)過程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。在課堂上，無論是新教師還是老教師，通常會把自己當(dāng)做課堂上的主人而過多的會忽略學(xué)生的主體地位；或者學(xué)生會因為長時間的習(xí)慣于聽老師來講解而忘記自己是課堂的主人。在建立新知的過程中，教師力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步應(yīng)用所學(xué)的知識來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu)。每個問題在設(shè)計時，充分考慮了學(xué)生的具體情況，力爭提問準(zhǔn)確到位，便于學(xué)生思考和回答。使思考和提問持續(xù)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學(xué)生的思考有價值，對知識的理解和掌握在不斷的思考和討論中完善和加深。但由于時間的把握，以及對學(xué)生的放手程度上‘實施落實的可能還不到位，有待改進。

總之，在今后的教學(xué)工作中，需不斷總結(jié)、反思。作為數(shù)學(xué)教師，一方面要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生感覺到每解決一個數(shù)學(xué)問題，就有一種成就感；另一方面，更重要的是教師本人要不斷提高自己的專業(yè)水平。在總結(jié)、反思中不斷提升自己的教學(xué)水平，做一名真正合格的人民教師。

第二篇：教案09-2.1離散型隨機變量及其分布續(xù)

教學(xué)對象 計劃學(xué)時 2

管理系505-13、14、15；經(jīng)濟系205-

1、2 授課時間

2006年3月3日；星期五；1—2節(jié)

教學(xué)內(nèi)容

第二章 一維隨機變量及其概率分布 第一節(jié) 離散型隨機變量及其分布律（續(xù)）

三、常見離散型隨機變量的概率分布

1、二點分布和二項分布

2、泊松分布

通過教學(xué)，使學(xué)生能夠：

1、掌握兩點分布

2、掌握貝努利概型和二項分布

3、掌握泊松分布

教學(xué)目的

知 識：

1、兩點分布

2、貝努利概型和二項分布

3、泊松分布

技能與態(tài)度

1、將生活中的隨機現(xiàn)象與隨機變量的分布相聯(lián)系

2、會分析計算生產(chǎn)實際中的概率問題

教學(xué)重點 常見的分布 教學(xué)難點 貝努利概型

教學(xué)資源 自編軟件（演示貝努利概型）

教學(xué)后記

培養(yǎng)方案或教學(xué)大綱

修改意見 對授課進度計劃 修改意見 對本教案的修改意見 教學(xué)資源及學(xué)時 調(diào)整意見 其他 教研室主任：

系部主任：

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 1 頁

教學(xué)活動流程

教學(xué)步驟、教學(xué)內(nèi)容、時間分配

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課

復(fù)習(xí)內(nèi)容：（5分鐘）

1、隨機變量的概念

2、分布律的概念 導(dǎo)入新課：（2分鐘）

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)方法

提問講解

鞏固所學(xué)知識，與技能

上一次我們引入了隨機變量的概念，已經(jīng)學(xué)會了用含有引出本節(jié)要學(xué)習(xí)隨機變量的等式或不等式來表示不同的隨機事件。在實際問的主要內(nèi)容 題中，不同的離散型隨機變量擁有各自不同的分布律。但生

產(chǎn)管理和實際生活中，有很多隨機變量的分布規(guī)律是類似的，常見的分布有三類：兩點分布、二項分布、泊松分布

1、掌握兩點分布

二、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

2、掌握貝努利概型和二項分布

3、掌握泊松分布

三、知識學(xué)習(xí)（50分鐘）

三、常見的離散型隨機變量的分布

(一)兩點分布（0—1分布）若隨機變量X的分布律為

X01pP1?p，則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布。

若某個隨機試驗的結(jié)果只有兩個，如產(chǎn)品是否合格，試驗是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面，射擊是否中靶，新生兒的性別，等等，它們都可以用（0-1）分布來描述，只不過對不同的問題參數(shù)p的值不同而已。可見，（0-1）分布是經(jīng)常遇到的一種分布。

例

1、從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一球，?1,取到白球以X表示取出球的顏色情況，即X=?，求X的0,取到紅球?分布律。

解：P{X=1}=1C61C10=0.6，P{X=0}=

1C41C10=0.4

則X的分布律為XP010.40.6

(二)二項分布

二項分布是實際中很常見的一種分布，為了對它進行研究，需要先介紹一種非常重要的概率模型——貝努利概型

我們在實際中經(jīng)常會遇到這樣的情況:所考慮的試驗是

掌握兩點分布的 概念

講授法

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 2 頁 由一系列的子試驗組成的，而這些子試驗的結(jié)果是互不影響的，即子試驗之間是互相獨立的。例如，將一枚硬幣連續(xù)拋n次，我們可以將每拋一次看成一個子試驗，而每次拋硬幣出現(xiàn)正面與反面的結(jié)果是互不影響的。而且隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性是在大量的重復(fù)試驗的條件下才呈現(xiàn)出來的，因此對某個試驗獨立重復(fù)地進行n次，在概率分布的研究中也有重要的作用。

我們只討論每次只有兩個結(jié)果的n次獨立重復(fù)試驗。

1、貝努利(Bernoulli)試驗

定義：設(shè)隨機試驗E只有兩種可能的結(jié)果：A或A，在相同的條件下將E重復(fù)進行n次，若各次試驗的結(jié)果是互不影響，則稱這n重獨立試驗。

它是數(shù)學(xué)家貝努利首先研究的，因此也叫n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗，這時討論的問題叫貝努利概型

說明：貝努利試驗應(yīng)同時滿足以下條件：(1)在相同條件下進行n次重復(fù)試驗；

(2)每次試驗只有兩種可能結(jié)果：A發(fā)生或A不發(fā)生；(3)在每次試驗中，A發(fā)生的概率均相同，即P(A)=p；(4)各次試驗是相互獨立的

對于貝努利概型，我們主要研究在n次貝努利試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率。

定理：在貝努利概型中，設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為p，則在n次貝努利試驗中，事件A出現(xiàn)k次的概率kk為Pn(k)?Cn（k=0,1,2,?,n）p(1?p)n?k，理解貝努利概型

例2：將一枚均勻的硬幣拋擲3次（與3枚硬幣擲一次相當(dāng)），求正面出現(xiàn)1次的概率

解：n=3，k=1，p=0.5，1-p=0.5，則1P3(1)?C3(0.5)1(1?0.5)3?1=0.375 用古典概率解釋: Ω={正正正,正正反,正反正,正反反,．．．反正正,反正反,反反正,反反反} ．．．．．．說明:簡單問題用古典概型解決還可以,當(dāng)試驗次數(shù)太多時,樣本點有2n個，只能用公式求解

軟件演示：

例3：從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次取一件，求有兩次取得次品的概率

解：將每一次抽取當(dāng)做一次試驗，設(shè)A={取到次品}，有放回地抽取5次，看成是一個5重貝努利試驗，n=5，兩次取得次品，則有k=2，每次試驗中

p = P(A)=1C31C12?13，則1-p=，44

掌握計算公式

講授法

講授法 板書

軟件演示

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 3 頁 2因此P5(2)?C5()2(1?)5?2=1414135 5122、二項分布

定義：若隨機變量X的取值為0,1,2,?,n，且kkP{X=k}=Cnp(1?p)n?k，k =0,1,2,?,n

其中0

特例：當(dāng)n=1時，二項分布即為兩點分布 例4(P 21)

說明：二項分布的應(yīng)用非常廣泛，但是當(dāng)重復(fù)試驗的次數(shù)很多時，計算量又很大，平時解題可以不用計算，當(dāng)n>5時用式子表示即可。為便于應(yīng)用，可直接查閱二項分布表(P157附表6），查表結(jié)果是X取值從0到x的累計概率。即P{X≤x}。若計算X=m的概率，可用P{X=m}=P{X≤m}—P{X≤m—1}

例如：P{X=5}=P{X≤5}—P{X≤4}

例5(P22)、工廠生產(chǎn)的螺絲次品率為0.05，每個螺絲是否為次品是相互獨立的，產(chǎn)品出售時10個螺絲打成一包，并承諾若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)多于一個次品即可退貨。用X表示一包內(nèi)次品的個數(shù)。求（1）X的分布律；（2）工廠的退貨率

解：對一包內(nèi)的10個螺絲逐個進行檢驗，相當(dāng)于進行10重貝努利試驗，因此X~B(10,0.05)

k（1）X的分布律：P{X=k}=C10（k(0.05)k(0.95)10?k，=0,1,2,?,10）（2）當(dāng)X>1時退貨，退貨率為：P{X>1}= 1—P{X≤1}=1—k?0?1kC10(0.05)k(0.95)10?k

泊松定理（Poisson）:設(shè)λ>0是一常數(shù)，n是正整數(shù)。若npn=λ，則對任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有?k??lim(1?pn)?e。（證：P23注釋）n???k!定理的條件npn=λ，意味著n很大時pn必定很小，由定理知，當(dāng)X~B(n, p)，且n很大而p很小時，有kCnkpnn?kkP{X=k}=Cnp(1?p)kn?k?k? ?e，λ=np ≈k!?k? ?e計算在實際計算中，當(dāng)n≥20且p≤0.05時，用k!kkCnp(1?p)n?k的近似值效果頗佳；

?k? ?當(dāng)n≥100且np≤10時，效果更好。e的值有表可

k!

掌握二項分布的計算

理解定理內(nèi)容

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第 4 頁

N3k因λ=np =3，由泊松定理P(X≤N)≈?e?3，k!k?0

N3k?3故問題轉(zhuǎn)化為求N的最小值，使?e≥0.99

k!k?0

N3k??3k即1??e?3??e?3?0.01

k!k!k?0k?N?1

查書后附表2（P140）可知，當(dāng)N+1≥9即時N ≥8時，上式成立。因此，為達(dá)到上述要求，至少需配備8名維修工 人。

類似的問題在其他領(lǐng)域也會遇到，如電話交換臺接線員 的配備，機場供飛機起降的跑道數(shù)的確定等.(三)泊松分布

定義：若隨機變量X所有可能的取值為0,1,2,?,而理解泊松分布的定義 ?k? ?查（見書后附表P139）

例

6、某車間有同類型的設(shè)備300臺，各臺設(shè)備的工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，設(shè)一臺設(shè)備的故障由一名工人維修，問至少需配備多少名維修工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01？

解 設(shè)需配備N名工人，X為同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備的臺數(shù)，則X~B(300,0.01)。所需解決的問題是確定N的最小值，使P(X≤N)≥0.99 e，其中λ>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λk!的泊松分布，記為X~P(λ)

具有泊松分布的隨機變量在實際應(yīng)用中是很多的。例如，在每個時段內(nèi)電話交換臺收到的電話的呼喚次數(shù)、某商店在一天內(nèi)來到的顧客人數(shù)、在某時段內(nèi)的某放射性物質(zhì)發(fā)出的經(jīng)過計數(shù)器的粒子數(shù)、在某時段內(nèi)在車站候車的人數(shù)、單位面積上布匹的疵點數(shù)、單位時間內(nèi)商店銷售非緊俏商品的件數(shù)、等等，只要試驗的結(jié)果為兩個，且由很多因素共同作用來決定的隨機變量，都可認(rèn)為是服從泊松分布。泊松分布也是一種常見的重要分布。它是二項分布的極限分布，因此可用泊松分布的計算公式計算二項分布。

例15：每分鐘經(jīng)過收費站的汽車流量服從泊松分布：X ~P(5)，求每分鐘經(jīng)過該收費站的汽車不足9輛的概率。

解：P{X<9}=1—P{X≥9}=1-0.0681=0.9319 P{X=k}=

例1 某人獨立地射擊目標(biāo)，每次射擊的命中率為0.02，掌握分布律的性射擊200次，求目標(biāo)被擊中的概率。質(zhì)

解：把每次射擊看成一次試驗，這是200重貝努利試驗。設(shè)擊中的次數(shù)為X，則X~B(200,0.02)

四、技能學(xué)習(xí)（20分鐘）

教師提問

引導(dǎo)學(xué)生寫出答案

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

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=0,1,2,?,200）

所求概率：P{X≥1}=1—P{X=0}=1—0.98200=0.9824 說明：雖然每次的命中率很小，但當(dāng)射擊次數(shù)足夠大時，擊中目標(biāo)的概率很大。這個事實告訴我們，一個事件盡管在 一次實驗中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨立重復(fù)試驗中，kX的分布律為：P{X=k}=C200（k(0.02)k(0.98)200?k，這個事件的發(fā)生幾乎是必然的。也就是說，小概率事件在大量獨立重復(fù)室驗中是不可忽視的。

當(dāng)問題的規(guī)模很大時，一般n很大且p很小，無法查表。而直接計算又很麻煩，下面給出一個當(dāng)n很大而p很小時的近似計算公式.例

2、車間現(xiàn)有90臺同類型的設(shè)備，各臺設(shè)備的工作是相互獨立的，每臺發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設(shè)備的故障只能由一個人修理。配備維修工人的方法有兩種，一種是由三人分開維護，每人負(fù)責(zé)30臺；另一種是由3人共同維護90臺。分別求在兩種情況下車間的設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率。

解：設(shè)X為出現(xiàn)故障的設(shè)備臺數(shù)

（1）每人負(fù)責(zé)30臺設(shè)，可認(rèn)為是30重貝努利試驗，因此X~B(30,0.01)，當(dāng)X>1時等待修理。

λ=np =0.3，P{X>1}= P{X≥2}≈?(0.3)e?0.3≈

k?2??kk!0.0369 Ai=“第i個人負(fù)責(zé)的30臺設(shè)備發(fā)生故障而無人修理”。可知P(Ai)=0.0369，而90臺設(shè)備發(fā)生故障無人修理的事件為A1∪A2∪A3，故采用第一種方法，所求概率為

P(A1∪A2∪A3)= 1-P(A1A2A3)=1-(1-0.0369)3=0.1067

（2）三人共同維護90臺，認(rèn)為是90重貝努利試驗，因此X~B(90,0.01)，當(dāng)X>3時等待修理。

而所求概率為P{X>3}= P{X≥4}≈?(0.9)e?0.9≈

k?4??kk!0.0135 因為0.0135<0.0369，顯然共同負(fù)責(zé)比分塊負(fù)責(zé)的維修效率提高了。因此后者的管理效益更好。由此可以看到，用概率的知識可以解決運籌學(xué)所要解決的有效運用人力、物力資源的某些問題。

五、態(tài)度養(yǎng)成

六、技能訓(xùn)練（16分鐘）

做事認(rèn)真的態(tài)度

通過實際訓(xùn)練，學(xué)生練習(xí)練習(xí)：一大樓有五個同類型的獨立供水設(shè)備，在任意時使學(xué)生理解樣本老師巡刻每個設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時刻 的寫法與含義 視，解答《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 6 頁(1)恰好有兩個設(shè)備被使用的概率P1是多少?(2)至少有三個設(shè)備被使用的概率P2是多少?(3)至多有三個設(shè)備被使用的概率P3是多少?(4)至少有一個設(shè)備被使用的概率P4是多少? 解：在同一時刻觀察五個設(shè)備,它們工作與否是相互獨立的,故可視為5重貝努里試驗，n=5，p=0.1，于是可得：

2(1)P1＝P5(2)＝C5(0.1)2(0.9)53＝0.0729

－

問題

(2)P2＝P5(3)+ P5(4)+ P5(5)＝0.00856(3)P3＝P5(0)+ P5(1)+ P5(2)+ P5(3)＝0.99954(4)P4＝1－P5(0)＝1－0.95＝0.40951 {X=0}={沒有取到次品}，P{X=0}=

02C3C72C1011C3C72C1020C3C72C10?7 157 15{X=1}={取到一件次品}，P{X=1}=?{X=2}={取到兩件次品}，P{X=2}=?1 15XX的分布律為：P0715171521 1

5七、課堂小結(jié)（3分鐘）

在學(xué)習(xí)時要理解三種分布之間的關(guān)系：兩點分布討論的是一次貝努利試驗的結(jié)果，它只有兩個結(jié)果，二項分布討論的是N次貝努利試驗的結(jié)果，它有N+1個結(jié)果。兩點分布是二項分布的特例，泊泊松分布是二項分布的極限分布。它對應(yīng)無窮多次的貝努利試驗，因此，貝努利試驗是非常重要的一類試驗。

概括總結(jié)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系

簡要概括本節(jié)內(nèi)容

八、布置作業(yè)（1分鐘）

復(fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容

預(yù)習(xí)連續(xù)型隨機變量 P36—5、6、7

鞏固所學(xué)的知識 培養(yǎng)自學(xué)能力

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》09—§2-1離散型隨機變量及其概率分布（第二次）（共 7 頁）

第 7 頁

第三篇：離散型隨機變量的教學(xué)設(shè)計

“離散型隨機變量”的教學(xué)設(shè)計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

“隨機變量及其分布”一章的主要內(nèi)容就是要通過具體實例，幫助學(xué)生理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列、均值、方差的概念，理解超幾何分布和二項分布的概型并能解決簡單的實際問題，使學(xué)生認(rèn)識分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性，認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念。

“離散型隨機變量”是這一章的開門課。因此，在本節(jié)課中，讓學(xué)生了解本章的主要內(nèi)容及其研究該內(nèi)容所用的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)任務(wù)，提高他們的求知欲望，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣非常重要。于是，本節(jié)課的第一個教學(xué)任務(wù)就是要做好章頭圖的教學(xué)。教材的章頭圖從實例和圖形兩個方面展示了本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，一個是離散型隨機變量的產(chǎn)生背景和分布列的條形圖，另一個是正態(tài)分布的背景和正態(tài)分布密度曲線。教學(xué)時要充分地運用章頭圖的這兩個背景，通過問題的形式，幫助學(xué)生明確本章要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和意義。

對于一個隨機現(xiàn)象，就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率。對于隨機試驗，只要了解了它可能出現(xiàn)的結(jié)果，以及每一個結(jié)果發(fā)生的概率，也就基本把握了它的統(tǒng)計規(guī)律。為了使用數(shù)學(xué)工具研究隨機現(xiàn)象，需要用數(shù)字描述隨機現(xiàn)象，建立起連接數(shù)和隨機現(xiàn)象的橋梁——隨機變量。隨機變量能夠反映隨機現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實際問題中。而高中階段主要研究的是有限的離散型的隨機變量，因此，本節(jié)課的第二個教學(xué)任務(wù)就是通過具體實例，幫助學(xué)生掌握隨機變量和離散型隨機變量的概念，理解它們的意義和作用，能對一個隨機試驗的結(jié)果，用一個隨機變量表示，并能確定其取值范圍。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.了解本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容和意義。具體要求為：

（1）通過章頭圖中給出的射擊運動的情景，幫會學(xué)生了解，在射擊運動中，每次射擊的成績是一個非常典型的隨機事件。在這個離散型的隨機事件中，如何刻畫每個運用員射擊的技術(shù)水平與特點？如何比較兩個運動員的射擊水平？如何選拔運動員參加比賽獲勝的概率大？這些問題的解決需要離散型隨機變量的概率分布、均值、方差等有關(guān)知識；

（2）通過章頭圖中給出的高爾頓板游戲情景，幫助學(xué)生了解在這樣一個連續(xù)型的隨機事件的游戲活動中，小球落在哪個槽中的可能性更大？槽中的小球最后會堆積成什么形狀？這些問題與本章將要學(xué)習(xí)的正態(tài)分布有關(guān)；

（3）在上述兩個情景的基礎(chǔ)上，通過問題的形式，幫助學(xué)生提出本章要研究的問題和基本思想：隨機事件形形色色，隨機現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但如果舍棄具體背景，它們就會呈現(xiàn)出一些共性；如果把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，用隨機變量表示試驗結(jié)果，就可以用數(shù)學(xué)工具來研究這些隨機現(xiàn)象。這樣不僅闡述了本章的主要內(nèi)容，而且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們明確本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)以及研究本章內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想方法。

2.理解隨機變量和離散型隨機變量的描述性定義，以及隨機變量與函數(shù)的關(guān)系，能夠把一個隨機試驗的結(jié)果用隨機變量表示，能夠根據(jù)所關(guān)心的問題定義一個隨機變量。具體要求是：

（1）在對具體問題的分析過程中，幫助學(xué)生理解用隨機變量表示隨機試驗結(jié)果的意義和作用：為了使用數(shù)學(xué)工具研究隨機現(xiàn)象，需要用數(shù)字描述隨機現(xiàn)象，建立起連接數(shù)和隨機現(xiàn)象的橋梁——隨機變量，掌握隨機變量的描述性概念，了解隨機變量與函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造隨機變量應(yīng)當(dāng)注意的問題（如隨機變量應(yīng)該有實際意義、應(yīng)該盡量簡單，以便于研究），以及用隨機變量表示隨機事件的方法等；

（2）通過具體問題的對比分析，幫助學(xué)生理解隨機變量有兩個類型：

??取有限個值的離散型隨機變量?離散型隨機變量?

隨機變量? 隨型機變量?取無窮多個值的離散??連續(xù)型隨機變量能夠根據(jù)具體問題，把隨機試驗的結(jié)果用一個隨機變量表示，并能寫出其取值范圍；能夠熟練地用隨機變量的取值表示一個隨機事件；

（3）通過反思隨機變量的定義過程，引導(dǎo)學(xué)生體會，在實際應(yīng)用中如何根據(jù)實際問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機變量（如根據(jù)所關(guān)心的問題，定義隨機變量），以達(dá)到事半功倍的效果。

三、重點和難點解析

本節(jié)內(nèi)容是為求分布列作鋪墊的一節(jié)概念課。所以要把隨機變量和離散型隨機變量的概念講清楚。于是，可以確定的重點、難點是：

重點：用隨機變量表示隨機試驗結(jié)果的意義和方法；

難點：對隨機變量意義的理解；構(gòu)造隨機變量的方法；隨機變量取值范圍的確定。

四、教學(xué)問題診斷分析

1.是否講解“隨機試驗”的概念？

研究隨機現(xiàn)象，就是要研究隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（其中的每一個結(jié)果即為一個隨機事件）和每一個結(jié)果發(fā)生的概率（即描述每一個隨機事件發(fā)生可能性大小的度量），從而把握它的統(tǒng)計規(guī)律。這里有三個概念：隨機事件、隨機現(xiàn)象和隨機試驗。

在必修三中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機事件的概念（即在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件），之前，學(xué)生通過在初中數(shù)學(xué)和必修三的概率學(xué)習(xí)，又有了隨機現(xiàn)象的觀念，因此，學(xué)生對“隨機試驗”的概念是能夠不加定義而自明的，也就是“隨機試驗”可以作為不加定義的原始概念引入。事實上，教材在介紹隨機變量的概念時，不加定義地引入了“隨機試驗”的概念（教材第44頁第一個思考下方第一行），就是基于這樣的考慮，因此，在教學(xué)中，對“隨機試驗”的概念不需要（也根本沒有必要）引導(dǎo)學(xué)生下定義，以避免嚴(yán)格的定義可能造成學(xué)生理解的模糊，影響對主干概念“隨機變量”的理解。

事實上，“試驗”一詞有十分廣泛的含義：凡是對對象的觀察或為此而進行的實驗都稱之為試驗。如果一個試驗滿足以下條件，則稱之為隨機試驗：（1）試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；（2）試驗的所有結(jié)果是明確且可以知道的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。

2.怎樣建構(gòu)“隨機變量”的概念？

本節(jié)內(nèi)容圍繞隨機試驗的結(jié)果可以用“數(shù)”表示進行展開。擲骰子試驗、擲硬幣試驗是學(xué)生比較熟悉的兩個隨機試驗，對擲骰子試驗的結(jié)果和數(shù)字1~6對應(yīng)起來學(xué)生很容易理解，而擲硬幣試驗的結(jié)果則不容易聯(lián)想到數(shù)字。可以引導(dǎo)學(xué)生思考：值一枚硬幣的結(jié)果是否也可以用數(shù)字表示呢？通過把“正面向上”與1對應(yīng)，“反面向上”與0對應(yīng)，使得擲硬幣的試驗結(jié)果同樣也可以用數(shù)字表示，這樣的問題還可以列舉，如新生嬰兒性別抽查：可能是男，也可能是女，同樣可以分別用1和0表示這兩種結(jié)果，在此基礎(chǔ)上抽象概括出隨機變量的描述性定義。

3.怎樣深化對“隨機變量”概念本質(zhì)的理解？ 對隨機變量概念的理解，不是下個定義一步完成的，為了幫助學(xué)生深入地體會隨機變量的本質(zhì)，可以對擲硬幣的試驗結(jié)果的表示方法提出下面問題：還可以用其他的數(shù)來表示這兩個試驗結(jié)果嗎？目的是鼓勵學(xué)生提出其他表示方法，比如“正面向上”用1表示，“反面向上”用-1表示等，以使學(xué)生理解隨機變量的本質(zhì)。事實上，對于同一個隨機試驗，可以用不同的隨機變量來表示其所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。為了幫助學(xué)生體會，究竟選擇什么樣的隨機

變量更為合適？這就涉及到構(gòu)造隨機變量應(yīng)當(dāng)注意的一些基本問題：如隨機變量應(yīng)該有實際意義，應(yīng)該盡量簡單，以便于研究。例如，對于擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)?可以表示為???1??2????n，其中?i???1,第i次試驗出現(xiàn)正面?0,第i次試驗出現(xiàn)反面，通過這樣的例子，幫助學(xué)生體會用數(shù)字1和0表示，能夠直接反應(yīng)出正面向上的次數(shù)，這顯然很方便；而用1和-1分別表示試驗結(jié)果的反面和正面，那么擲n次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)?的表達(dá)式就會變得很復(fù)雜。為了進一步深化對概念的理解，可以引導(dǎo)學(xué)生將隨機變量與函數(shù)概念進行類比：隨機變量與函數(shù)有類似的地方嗎？使他們了解隨機變量的概念實際上也可以看作是函數(shù)概念的推廣。

4.如何通過隨機變量表示所關(guān)心的隨機事件？

引入隨機變量的目的是為了研究隨機現(xiàn)象，那么如何通過隨機變量表示所關(guān)心的隨機事件呢？可以通過一些例子介紹用隨機變量表示隨機事件的方法，特別是一些較為復(fù)雜的隨機事件的表示方法。例子的類型列舉可以廣泛：如有窮可列、無窮可列、不可列等三個類型。特別是對不可列的隨機變量問題，可以根據(jù)所關(guān)心的問題，能夠把它構(gòu)造成可列的隨機變量。從而進一步體會用隨機變量表示隨機事件的方法。

五、教學(xué)過程設(shè)計

1.情境引入

情境1：在射擊運動中，運動員每次射擊的成績具有什么特征？（隨機性）運動員每次射擊的成績是一個什么事件？（隨機事件）

如何刻畫每個運動員射擊的技術(shù)水平與特點？如何比較兩個運動員的射擊水平？如何選擇優(yōu)秀運動員代表國家參加奧運會的比賽才能使得獲勝的概率大？解決這個問題要涉及到離散型隨機變量的概率分布模型。

情境2：高爾頓是英國生物學(xué)家和統(tǒng)計學(xué)家，他設(shè)計了一個著名的游戲——高爾頓板游戲。如圖，在一塊木板上釘上釘著若干排相互平行并相互錯開的圓柱形小模塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃昂髶跤胁ＡВ缓笞屢粋€個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球落在哪個槽中的可能性更大？槽中的小球最后會堆積成什么形狀？

這個問題近似地服從正態(tài)分布，它是很多自然現(xiàn)象和生產(chǎn)、生活實際問題中經(jīng)常遇到的一種連續(xù)型隨機變量的概率分布模型。

以上兩個問題就是我們本章要學(xué)習(xí)的兩個重要的隨機變量概率分布模型，本章的課題是——隨機變量及其分布。

引言：我們知道，概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。無論是運動員的一次射擊，還是利用高爾頓板做一次游戲，都是隨機試驗，只要了解了這些隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即每一個結(jié)果就是一個隨機事件），以及每一個結(jié)果發(fā)生的概率，我們也就基本把握了它的統(tǒng)計規(guī)律。隨機事件形形色色，隨機現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但如果舍棄具體背景，他們就會呈現(xiàn)出一些共性；如果把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，應(yīng)隨機變量表示試驗結(jié)果，就可以用數(shù)學(xué)工具來研究這些隨機現(xiàn)象。

引導(dǎo)學(xué)生閱讀章頭圖的內(nèi)容。然后展示本章的知識結(jié)構(gòu)圖：兩類隨機變量的概率分布模型：離散型隨機變量——（在講概率分布列、均值和方差的基礎(chǔ)上）研究二項分布和超幾何分布模型；連續(xù)型隨機變量——正態(tài)分布模型。

2.離散型隨機變量

問題1：概率是描述在一次隨機試驗中某個隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。如擲骰子就是一個隨機試驗，它有六種可能性結(jié)果。你還能舉出一些隨機試驗的例子嗎？該隨機試驗的所有可能結(jié)果有哪些？

設(shè)計意圖：能夠判定簡單的隨機試驗，并能列舉出所有可能的結(jié)果，為用“數(shù)”表示這些結(jié)果做好準(zhǔn)備。

問題2：（1）擲一枚骰子，出現(xiàn)向上的點數(shù)X是1，2，3，4，5，6中的某一個數(shù)；

（2）在一塊地上種10棵樹苗，成活的棵樹Y是0，1，2，3，?，10中的某個數(shù)。

下面兩個隨機試驗的結(jié)果是否可以用數(shù)字表示呢？

（3）擲一枚硬幣所有可能的結(jié)果；正面向上——1；反面向上——0

（4）新生兒性別，抽查的所有可能的結(jié)果；男——1；女——0 設(shè)計意圖：通過討論引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)任何一個隨機試驗的結(jié)果都可用數(shù)字進行表示，這樣隨機試驗的結(jié)果與數(shù)字之間就構(gòu)成了一個對應(yīng)關(guān)系，這為引入隨機變量的概念奠定基礎(chǔ)。

問題3：上述四個例子說明，隨機試驗的結(jié)果與數(shù)字之間構(gòu)成了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗的結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示。這樣隨機試驗的結(jié)果就可以看成是一個變量，我們稱其為隨機變量。你能給隨機變量下一個定義嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過分析、綜合活動，嘗試給隨機變量下定義。這種定義方式是描述性的，學(xué)生可以憑借自己的理解下定義，只要這種描述比較準(zhǔn)確就可以，不一定按照課本的描述性定義。如一般地，如果一個隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量表示，這個變量就叫做隨機變量，等。

問題4：在（3）和（4）的兩個隨機試驗中，其試驗的結(jié)果是否還可以用其他人數(shù)字表示？

設(shè)計意圖：通過討論，得出結(jié)論：一個隨機試驗的結(jié)果可以用不同的隨機變量表示。如上面兩個試驗的結(jié)果還可以用-1和1表示等。

問題5：在擲一枚硬幣的隨機試驗中，其結(jié)果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他數(shù)字表示，那么，在5次擲硬幣的隨機試驗中，出現(xiàn)“正面向上”的次數(shù)?可以怎樣表示？由此你認(rèn)為定義一個隨機變量需要遵循哪些原則？

設(shè)計意圖：出現(xiàn)“正面向上”次數(shù)???1??2??????5，?1,第i次試驗出現(xiàn)正面，當(dāng)一次試驗的結(jié)果表示為?i?? ?=0，1，2，3，4，5；

?0,第i次試驗出現(xiàn)反面。?1,第i次試驗正面向上，當(dāng)一次試驗的結(jié)果表示為?i?? ?i?-5，-4，-3，-2，-1，0.-1,第i次試驗反面向上。?從使用意義上看，顯然把正面向上的次數(shù)表示成負(fù)數(shù)不太合適，而且這樣也不方便，因此，構(gòu)造隨機變量時，應(yīng)當(dāng)注意一些基本問題：如隨機變量應(yīng)該有實際意義，應(yīng)當(dāng)盡量簡單，以便于研究。

問題6：隨機變量和函數(shù)有類似的地方嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生把隨機變量和函數(shù)進行類比，使他們了解隨機變量的概念實際上也可以看作是函數(shù)概念的推廣：隨機變量和函數(shù)都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結(jié)果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)。在這兩種映射之間，試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當(dāng)與函數(shù)的值域。

例1 判斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由。（1）每天你接到的電話的個數(shù)X；（2）標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度T；（3）某一自動裝置無故障運轉(zhuǎn)的時間t；（4）體積64立方米的正方體的棱長a；（5）拋擲兩次骰子,兩次結(jié)果的和s.（6）袋中裝有6個紅球，4個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數(shù)η.設(shè)計意圖：進行隨機變量概念辨析。

例2.寫出下列各隨機變量可能的取值（或范圍）:

(1)從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張被取出的卡片的號數(shù)X．(2)一個袋中裝有3個白球和5個黑球，從中任取5個，其中所含白球數(shù)Y．(3)拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和ξ．

(4)接連不斷地射擊,首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)ξ．(5)某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被瀏覽的次數(shù)η.(6)某一自動裝置無故障運轉(zhuǎn)的時間T（7）電燈泡的壽命X。

設(shè)計意圖：訓(xùn)練寫出隨機變量的取值或范圍，并在此基礎(chǔ)上通過分類得到“離散型隨機變量”的概念。

問題7：在前面所舉這些例子中，這些隨機變量都有什么特征？ 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些隨機變量的取值都可以一一列出。

問題8：所有取值能夠一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。離散型隨機變量有兩類：一類是離散型隨機變量的取有限個值的，一類是離散型隨機變量取無限個值的（如例2（3）），我們主要研究取有限個值的離散型隨機變量。

例3.寫出下列離散型隨機變量可能的取值:

(1)在考試中需回答三個問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學(xué)回答這三個問題的總得分ξ的可能取值有哪些？

(2)本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為2元(不足1小時的部分按1小時計算)．甲乙兩人租車的時間都不超過4小時（兩人不一定同時回來），則兩人所付的總費用X的可能取值有哪些？

設(shè)計意圖：練習(xí)寫出較為復(fù)雜的離散型隨機變量取值

問題9：利用隨機變量可以表示一些事件。在例1中，你能說出｛X=0｝、｛X=4｝、｛X<3｝各表示怎樣的事件嗎？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用隨機變量表示隨機事件，使學(xué)生能夠清晰地說出每一個隨機變量取值的實際意義。

問題10：在研究隨機現(xiàn)象時，需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)诙x隨機變量。例如，對燈泡的使用壽命，如果我們僅關(guān)心燈泡的使用壽命是否不少于1000小時，那么就可以定義?0,壽命?1000小時如下的隨機變量：???，與燈泡的壽命X相比較，隨機變量?的構(gòu)造更?1,壽命?1000小時簡單，它只取兩個不同的值0和1，是一個離散型隨機變量，研究起來更加容易。你能根據(jù)實際意義，把能對（2）定義一個隨機變量嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生能夠根據(jù)所關(guān)心的問題，定義出離散型隨機變量。例4.請根據(jù)所關(guān)心的問題，定義一個離散型隨機變量：(1)擲一枚骰子，關(guān)心“擲出的點數(shù)是否為偶數(shù)”；

(2)任意抽取一瓶標(biāo)有2500 ml 的某飲料，其實際量與規(guī)定量之差在±5ml以內(nèi)為合格；(3)在某項體能測試中，跑1 km成績在4 min之內(nèi)的為優(yōu)秀；4 min以上5 min以內(nèi)為合格；某同學(xué)體能測試的結(jié)果.設(shè)計意圖：練習(xí)能夠根據(jù)所關(guān)心的問題定義一個隨機變量。

備用例題：下列隨機試驗的結(jié)果能否用離散型隨機變量表示？若能，請寫出可能取值，并說出這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果。

（1）棱長為1的正方體中，任意兩條棱之間的距離（兩條棱相交，可認(rèn)為距離為0）；

（2）如圖，從A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構(gòu)成一個“立體”，該“立體”的體積為V。

設(shè)計意圖：鞏固并強化定義離散型變量的方法，并能準(zhǔn)確寫出所求可能取值。

小結(jié)：以上我們通過一些具體實例研究了隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)字表示，引進了隨機變量的概念，并對如何根據(jù)實際需要定義一個離散型隨機變量，并判斷它的所有可能取值進行了系統(tǒng)的研究。實際上隨機變量的每一個取值，都表示一個隨機事件，每一個隨機事件發(fā)生的可能性大小的度量就是概念，如擲骰子試驗中P(X?1)?116就表示點數(shù)為1的概率為6規(guī)律了。我們學(xué)習(xí)隨機變量就是為了研究它的概率，這就是我們下節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。，也就是如果我們能夠知道每一個隨機變量取值的概率，也就把握了這個隨機現(xiàn)象的基本 6

第四篇：很好的離散型隨機變量（本站推薦）

“離散型隨機變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計 楊智平發(fā)布時間： 2010-8-4 23:33:52

“離散型隨機變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計

一、教學(xué)內(nèi)容解析

概率是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的．認(rèn)識隨機現(xiàn)象就是指：知道這個隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，以及每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率．而對于給定的隨機現(xiàn)象，首先要描述所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．在數(shù)學(xué)上處理時，一個常用的、也很自然的做法就是用數(shù)來表示結(jié)果，即把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，使得每個結(jié)果對應(yīng)一個數(shù)，這樣就可以通過實數(shù)空間（定量的角度）來刻畫隨機現(xiàn)象，從而就可以利用數(shù)學(xué)工具，用數(shù)學(xué)分析的方法來研究所感興趣的隨機現(xiàn)象．簡言之，隨機變量是連接隨機現(xiàn)象和實數(shù)空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關(guān)實數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型，這便是為什么要引入隨機變量的緣由.隨機變量在概率統(tǒng)計研究中起著極其重要的作用，隨機變量是用來描述隨機現(xiàn)象的結(jié)果的一類特殊的變量，隨機變量能夠反映隨機現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實際問題中．隨機變量就是建立了一個從隨機試驗結(jié)果的集合到實數(shù)集合的映射，這與函數(shù)概念在本質(zhì)上（一種對應(yīng)關(guān)系）是一致的，隨機試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．

離散型隨機變量是最簡單的隨機變量，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關(guān)系．本節(jié)課主要通過離散型隨機變量展示用實數(shù)空間刻畫隨機現(xiàn)象的方法．本節(jié)課的重點是認(rèn)識離散型隨機變量的特征，了解其本質(zhì)屬性，體會引入隨機變量的作用．

二、教學(xué)目標(biāo)解析

1．在對具體實例的分析中，認(rèn)識和體會隨機變量對刻畫隨機現(xiàn)象的重要性和建立隨機變量概念的必要性，并會恰當(dāng)?shù)囟x隨機變量來描述所感興趣的隨機現(xiàn)象，能敘述隨機變量可能取的值及其所表示的隨機試驗的結(jié)果；

2．在列舉的隨機試驗中，通過對隨機變量取值類型的分辨，歸納和概括離散型隨機變量的特征，形成離散型隨機變量的概念，并會利用離散型隨機變量刻畫隨機試驗的結(jié)果；

3．在舉例、觀察、思考、發(fā)現(xiàn)中經(jīng)歷將隨機試驗結(jié)果數(shù)量化的過程，滲透將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想方法，進一步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識．

三、教學(xué)問題診斷分析

本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的難點是對引入隨機變量目的與作用的認(rèn)識，以及隨機變量和普通變量的本質(zhì)區(qū)別．隨機變量這個概念其實早已存在于學(xué)生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺的“實際使用”，只是沒有明朗化．學(xué)生學(xué)習(xí)這一概念就是把這些“實際使用的”規(guī)則、程序、步驟等進一步加以明確．所以，教師的責(zé)任就是為學(xué)生建立隨機變量這個概念修通渠道．可通過學(xué)生熟悉的擲骰子的隨機試驗讓學(xué)生體會隨機變量概念的發(fā)生，在師生舉例中來體會隨機變量概念的發(fā)展，特別是諸如拋擲一枚硬幣等試驗，其結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，怎么讓學(xué)生自然地想到用數(shù)來表示其試驗結(jié)果，并且所用的數(shù)又盡量簡單，便于研究．教學(xué)中需多舉試驗結(jié)果本身已具有數(shù)值意義的實例，來發(fā)揮正遷移作用．通過多舉例讓學(xué)生理解：一旦給出了隨機變量，即把每個結(jié)果都用一個數(shù)表示后，認(rèn)識隨機現(xiàn)象就變成認(rèn)識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率．

另外，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關(guān)系，從學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式看，下位學(xué)習(xí)依靠的主要是同化，上位學(xué)習(xí)依靠的主要是順應(yīng)，上位學(xué)習(xí)一般采用的思維方法主要是概括和綜合，它主要通過改造（歸納和綜合）原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．因此，從這一角度來分析，學(xué)生對隨機變量概念的學(xué)習(xí)和真正理解比離散型隨機變量的學(xué)習(xí)要困難一些．故在隨機變量的教學(xué)中，要特別重視學(xué)生舉例，讓學(xué)生在充分的自主活動中體驗數(shù)學(xué)化的過程，體驗將隨機試驗結(jié)果數(shù)量化的過程，體會隨機變量對刻畫隨機現(xiàn)象的重要性和研究隨機現(xiàn)象的工具性作用，從而來把握隨機變量的內(nèi)核．

四、教學(xué)支持條件分析

學(xué)生在必修3概率一章中學(xué)習(xí)過的隨機試驗、隨機事件、簡單的概率模型和必修1中學(xué)習(xí)過的變量、函數(shù)、映射等知識是學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟和“接納”隨機變量概念的重要知識基礎(chǔ)，教學(xué)時應(yīng)充分注意這一教學(xué)條件；另外，為更好地形成隨機變量和離散型隨機變量兩個概念，教學(xué)中可借助媒體列舉和展現(xiàn)豐富的實例和問題，以留給學(xué)生更多的時間思考和概括．

五、教學(xué)過程設(shè)計

（一）教學(xué)基本流程

（二）教學(xué)過程

1.理解隨機變量概念

問題1：拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些？概率分別是多少？ [設(shè)計意圖] 以學(xué)生熟悉的隨機試驗為例，在復(fù)習(xí)舊知中孕育新知．

[師生活動] 畫表一，指出試驗結(jié)果分別有“1點的面朝上”、“2點的面朝上”、“3點的面朝上”、“4點的面朝上”、“5點的面朝上”、“6點的面朝上”，它們都是基本事件．為了研究這些事件，常常把它們分別與一個數(shù)字對應(yīng)起來．比如，用數(shù)字1與“1點的面朝上”這個試驗結(jié)果（樣本點）對應(yīng)，用數(shù)字2與“2點的面朝上”這個試驗結(jié)果（樣本點）對應(yīng)，等等．師生共同填寫數(shù)字，形成表二．

引導(dǎo)學(xué)生分析，像這樣“用數(shù)字表示隨機試驗的結(jié)果”的量用X來表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，說明X是一個變量．

[設(shè)計意圖] “用數(shù)字來表示隨機試驗的結(jié)果”實際上早已存在于學(xué)生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺地“實際使用”，如射擊比賽中會用“環(huán)數(shù)”去表示射擊成績，擲骰子時會用“點數(shù)”去表示擲出結(jié)果，抽獎時會先對獎券“編號”，隨機抽取一部分學(xué)生時會用“學(xué)號”去代替等等，只是沒有明朗化．因而，“用數(shù)字來表示隨機試驗的結(jié)果”可以通過教師有啟發(fā)地提問，有意義地講授進行，讓學(xué)生覺得問題的提出，概念的發(fā)生、發(fā)展過程較為自然，能夠從教師的講授中感受數(shù)學(xué)是怎樣一步步研究現(xiàn)實世界的．

問題2：在這里（指著表二），每一個試驗結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對應(yīng)，這個對應(yīng)關(guān)系是什么？

[設(shè)計意圖]建立一個從試驗結(jié)果的集合到實數(shù)集合的映射．讓學(xué)生感悟：一旦給出了隨機變量，即把每個結(jié)果都用一個數(shù)表示后，認(rèn)識隨機現(xiàn)象就變成認(rèn)識這個隨機變量所有可能的取值和取每一個值時的概率，從而感受把隨機試驗的結(jié)果數(shù)字化（成為實數(shù)）的必要性，體會引入隨機變量的必要性．同時讓學(xué)生感受概念的從無到有、自然形成的過程．

[師生活動] 啟發(fā)誘導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在這里建立了一個從試驗結(jié)果的集合到實數(shù)集合的映射．形成下表三：拋擲一枚骰子

讓學(xué)生觀察、思考：剛才，用數(shù)字表示試驗結(jié)果的變量X，它根據(jù)什么在變化？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它的取值隨試驗結(jié)果的變化而變化，它的變化是有規(guī)律的，這是個特殊的變量，與隨機試驗的結(jié)果有關(guān)，在試驗之前不知道會出現(xiàn)哪個值（即它的取值依賴于試驗結(jié)果，因此取值具有隨機性，即在試驗之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗，它的取值隨之確定）．同時，教師指出：在這個試驗中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系（也即建立了一個試驗結(jié)果到實數(shù)的映射）使得每一個試驗結(jié)果（樣本點）都用一個確定的數(shù)字表示（即所有可能取值是明確的）．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母表示．

問題3：隨機變量這個概念與我們曾經(jīng)學(xué)過的函數(shù)概念有類似的地方嗎?

[設(shè)計意圖]引導(dǎo)學(xué)生與曾經(jīng)學(xué)過的函數(shù)概念比較，從而加深對隨機變量概念的理解．

[師生活動]“類比”函數(shù)概念，領(lǐng)悟隨機變量和函數(shù)概念在本質(zhì)上都是一種對應(yīng)關(guān)系，都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結(jié)果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)，在這兩種映射之間，試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．隨機變量的取值范圍我們稱為隨機變量的值域．如拋擲一枚骰子，隨機變量的值域為；

引導(dǎo)學(xué)生利用隨機變量表達(dá)一些事件，例如拋擲一枚骰子中，表示“1點的面朝上”； “3點的面朝上”可以用表示；表示“5點的面朝上”或“6點的面朝上”．

同時指出：通過映射把隨機試驗結(jié)果與實數(shù)進行對應(yīng)，也就是，把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果，這樣“隨機試驗結(jié)果的集合到對應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應(yīng)概率集合的映射”來表示，即可把“對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究具體轉(zhuǎn)化為對隨機變量概率分布的研究”．這樣我們就可以借用有關(guān)實數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機現(xiàn)象的本質(zhì)了．

接著，進一步指出：在學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)（必修3）》時我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過概率、方差等概念，學(xué)過簡單的概率模型，在今后的學(xué)習(xí)中，我們將利用隨機變量描述和分析某些隨機現(xiàn)象，進一步體會概率模型的作用及運用概率思想思考和解決一些實際問題．（體現(xiàn)章引言）

2．對隨機變量的深刻認(rèn)識(對對應(yīng)思想——映射的體驗)

問題4：你能再舉些例子嗎？（請學(xué)生列舉隨機試驗，并將試驗結(jié)果數(shù)量化，不必寫出概率）

[設(shè)計意圖] 讓學(xué)生參與舉例，體驗將實際問題數(shù)學(xué)化（把實際問題數(shù)學(xué)化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極其重要的數(shù)學(xué)方法）和將隨機試驗結(jié)果數(shù)量化的過程.其意義在于兩個方面:其一,學(xué)生通過尋找(尋找本身就是一個甄別隨機與非隨機的過程),選擇自己感興趣的隨機現(xiàn)象,并學(xué)會用隨機變量表示隨機事件;其二,在將試驗結(jié)果數(shù)量化的過程中體會隨機變量在研究隨機現(xiàn)象中的重要作用.同時進一步深刻理解隨機變量的概念,領(lǐng)悟隨機變量學(xué)習(xí)的重要性，進一步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識．

[師生活動]教師關(guān)注學(xué)生的舉例，關(guān)注其關(guān)鍵過程：隨機試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些？如何將試驗的結(jié)果數(shù)量化？要求學(xué)生畫表，體會映射的過程．教師給學(xué)生充分展示和交流所舉例子的時間．同時，教師也參與舉例（教材中有關(guān)于抽取產(chǎn)品、射擊、瀏覽某網(wǎng)頁等例子可以納入進來），深刻體會將實際問題（隨機現(xiàn)象）數(shù)學(xué)化（數(shù)字化）的過程，感受建立隨機變量概念的重要意義．

對學(xué)生列舉的試驗結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機事件，諸如投擲一枚硬幣的試驗等，要引導(dǎo)學(xué)生分析比較，讓學(xué)生體會對于同一個隨機試驗，可以用不同的隨機變量來表示．但用哪兩個數(shù)字來表示，主要是要盡量簡單，合理，便于研究．如表四：拋擲一枚骰子

在學(xué)生舉例中學(xué)習(xí)如何用隨機變量去定義試驗結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機事件（中間表示映射的一欄表格可以省略）．

問題5：任何隨機試驗的所有結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？同一個隨機試驗的結(jié)果，可以用不同的數(shù)字表示嗎？

[設(shè)計意圖]讓學(xué)生領(lǐng)悟任何隨機試驗的所有結(jié)果都可以用數(shù)字來表示（試驗結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的可以通過賦值，將其數(shù)量化），同一個隨機試驗的結(jié)果，可以用不同的數(shù)字表示，表示的原則主要是有實際意義，簡單合理，便于研究．

3．形成離散型隨機變量概念

問題6：隨機變量的取值都是整數(shù)嗎？你能否舉個（些）例子，而隨機變量的取值不是整數(shù)呢？

[設(shè)計意圖] 關(guān)注學(xué)生的舉例，借學(xué)生舉出的例子，引導(dǎo)分析數(shù)學(xué)化之后的隨機變量取值的集合的特征（一個新概念產(chǎn)生之后，我們應(yīng)該端詳它一番），分辨隨機變量的類型，即某些隨機變量的取值是離散的，而有些不是,從而給出離散型隨機變量的概念．如果學(xué)生列舉的都是離散型隨機變量，則教師可啟發(fā)點撥，啟發(fā)后引導(dǎo)學(xué)生再舉例，或給出以下問題7：

問題7：請仿照剛才的例子，分析下列隨機現(xiàn)象，隨機變量可以取哪些值？你能夠一個一個列出來嗎?

（1）某公交車站每隔10分鐘有1輛汽車到站，某人到達(dá)該車站的時刻是隨機的,他等車的時間；

（2）檢測一批燈泡（相同型號）的使用壽命．

[設(shè)計意圖]通過與前面列舉例子的比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個試驗結(jié)果中，表示隨機事件的隨機變量的取值是一個區(qū)間，其值無法一一列出，以此形成離散型隨機變量的概念．同時明晰在隨機現(xiàn)象中隨機變量的取值類型是豐富多樣的，這也是對隨機變量概念（外延）的進一步認(rèn)識．

問題8：如果我們僅僅關(guān)心“某人等車的時間多于5分鐘或不多于5分鐘”兩種情況，那該怎樣定義隨機變量呢?

[設(shè)計意圖] 在研究隨機現(xiàn)象時，為研究方便，有時需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機變量．讓學(xué)生明白恰當(dāng)定義隨機變量給我們研究問題帶來方便．問（2）讓學(xué)生選擇自己關(guān)心的問題來恰當(dāng)定義隨機變量．

[師生活動]通過分析，讓學(xué)生明白，在研究隨機現(xiàn)象時，有時需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機變量．

4．練習(xí)反饋（見教科書第45頁）

下列隨機試驗的結(jié)果能否用離散型隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果．

（1）拋擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和；

（2）某足球隊在5次點球中射進的球數(shù)；

（3）任意抽取一瓶某種標(biāo)有2500ml的飲料,其實際量與規(guī)定量之差．

[設(shè)計意圖]在應(yīng)用中鞏固離散型隨機變量的概念，并能熟練利用離散型隨機變量刻畫隨機試驗的結(jié)果．

5．小結(jié)回授

問題9：你能用自己的語言描述隨機變量和離散型隨機變量的定義及它們之間的區(qū)別嗎？（學(xué)生回答后，可以再問：你能簡單地說說引入隨機變量的好處嗎？）

[設(shè)計意圖] 學(xué)生用自己的語言來概括本節(jié)課學(xué)到的知識，是一種“主動建構(gòu)”，也真正體現(xiàn)知識學(xué)到了手．

[師生活動]引入隨機變量后，隨機試驗中我們感興趣的事件就可以通過隨機變量的取值表達(dá)出來．認(rèn)識隨機現(xiàn)象就變成認(rèn)識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率．也即把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果，我們就可以借助于有關(guān)實數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究所感興趣的隨機現(xiàn)象了．

六、目標(biāo)檢測設(shè)計

人教A版教科書第49頁習(xí)題2.1中A組,第1,2,3題.教學(xué)反思 對隨機變量概念學(xué)習(xí)的設(shè)計上，分兩步走：第一步是認(rèn)識“用數(shù)字表示隨機試驗的結(jié)果”的量是一個變量，第二步是通過建立“一個從試驗結(jié)果的集合到實數(shù)集合的映射” 認(rèn)識到在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化，即這是一個特殊的變量，與隨機試驗的結(jié)果有關(guān)，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)隨機變量概念，并理解隨機變量的特征：它的取值依賴于試驗結(jié)果，具有隨機性，即在試驗之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗，它的取值隨之確定，且所有可能取值是明確的．進一步，如何讓學(xué)生深刻認(rèn)識和理解“隨機變量”這一概念？原教學(xué)設(shè)計采用讓學(xué)生舉例的方式，在學(xué)生的活動中來完成對“隨機變量”概念的理解，這一設(shè)計思路得到同行肯定．事實上，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識，必須要有他們身體力行的實踐，從自己親歷親為的探索思考中獲得體驗，從自己不斷深入的概括活動中，獲得對數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)的領(lǐng)悟．此處安排學(xué)生舉例正是基于這種考慮，其意義在于：其一，可以觀察學(xué)生是否領(lǐng)會把隨機試驗結(jié)果數(shù)學(xué)化的思想，以及怎樣把隨機試驗結(jié)果數(shù)學(xué)化（尤其是試驗的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的隨機現(xiàn)象）；其二，體會引入隨機變量概念后，隨機試驗中的事件就可以通過隨機變量的取值表達(dá)出來，“隨機試驗結(jié)果的集合到對應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應(yīng)概率集合的映射”來表示，（即研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律就可以轉(zhuǎn)化為研究隨機變量的概率分布）．

第五篇：“離散型隨機變量”的教學(xué)設(shè)計之我見

“離散型隨機變量”的教學(xué)設(shè)計之我見

人民教育出版社中數(shù)室 田載今

隨機變量是因隨機試驗結(jié)果的變化而變化的量．由于隨機試驗的結(jié)果是事先無法確定的，所以表示隨機試驗結(jié)果的量要因結(jié)果的不同而變化，這樣的量當(dāng)然屬于隨機變量．隨機變量的本質(zhì)是定義在樣本空間Ω上的一個映射，它把試驗結(jié)果映為實數(shù)，即其中，且對任意實數(shù)x，由滿足

R，的基本事件所組成的集合也是一個事件．

引入隨機變量的概念，其作用不僅是把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化從而帶來表示方法的簡化，更重要的是把對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究數(shù)學(xué)化，從而可以利用數(shù)學(xué)方法研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，其中對隨機變量的概率分布的研究是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．

如果樣本空間是可數(shù)的，即量的取值

或，則隨機變也可以一一列出，這樣的隨機變量即離散型隨機變量．離散型隨機變量比連續(xù)型隨機變量更容易理解，它是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要隨機變量類型．

一般地，關(guān)于離散型隨機變量的教學(xué)目標(biāo)大多規(guī)定為：

通過具體實例，歸納概括離散型隨機變量的特征，得出離散型隨機變量的概念；

體會引入隨機變量的作用；

滲透將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進行隨機分析的思想方法．

目前的高中數(shù)學(xué)教材中，離散型隨機變量和離散型隨機變量的分布列大都先后出現(xiàn)在兩個小節(jié)中的內(nèi)容．從教師教學(xué)用書中所附的教學(xué)設(shè)計案例和一般的實際教學(xué)過程看，將這兩個內(nèi)容分在兩節(jié)課中學(xué)習(xí)是一般的教學(xué)安排．在這部分內(nèi)容的第一課時中，通常只安排關(guān)于離散型隨機變量概念的內(nèi)容，而不涉及離散型隨機變量的分布列．筆者認(rèn)為，這樣安排是有一定道理的：第一，離散型隨機變量是基礎(chǔ)概念，離散型隨機變量的分布列是針對離散型隨機變量而定義的，從邏輯關(guān)系上說兩者有先后之分；第二，兩個概念的第一次出現(xiàn)分在不同課時內(nèi)，學(xué)習(xí)內(nèi)容單一，目標(biāo)明確，可以將其分別解決，避免認(rèn)識不清而產(chǎn)生混淆，從而使基本概念學(xué)得更扎實牢固；第三，這樣處理與現(xiàn)行教材的課文、練習(xí)、習(xí)題的安排順序保持基本一致，便于學(xué)生自學(xué)和做作業(yè)．

兵法曰：兵無常態(tài)，水無常勢．這就是說解決問題的方法不是一成不變的，應(yīng)根據(jù)實際情況權(quán)衡利弊相機行事．同樣地，教學(xué)有法，教無定法．一種教學(xué)設(shè)計難以方方面面都能兼顧，往往在保證了一些方面有利的同時，也存在另一些方面的不足．如前所述，引入離散型隨機變量的概念，體會引入隨機變量的作用，滲透將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進行隨機分析的思想方法，是本部分的教學(xué)目標(biāo)，三者是相互聯(lián)系的一個整體（三位一體）．如果只是引入離散型隨機變量的概念，而不能較明顯地體現(xiàn)為什么要引入它，則會影響對其作用和相關(guān)思想方法的體會．要體現(xiàn)引入隨機變量的作用，滲透將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進行隨機分析的思想方法，顯然離不開對離散型隨機變量的概率分布的研究，這是把對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵．從這個角度看，如果能在同一課時中引入離散型隨機變量后，緊接著出現(xiàn)分布列，使兩者更密切地聯(lián)系起來，可能更有利于教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)．

筆者考察實際教學(xué)發(fā)現(xiàn)，在一節(jié)課中僅討論離散型隨機變量，內(nèi)容上顯得比較單薄，時間上顯得比較寬余，效果上顯得比較拖沓，從提高教學(xué)效率考慮似還有潛力可挖．更重要的是，如果只引入隨機變量而不涉及概率分布，這節(jié)課至多只能使人感到隨機變量是對試驗結(jié)果的一種數(shù)量化表示，而無法認(rèn)識這種表示與隨機度量（即可能性大小）的密切聯(lián)系，這使得體會隨機變量作用的效果大打折扣．在高中數(shù)學(xué)教材的向量部分，曾指出“如果沒有運算，向量只是一個‘路標(biāo)’，因為有了運算，向量的力量無限．”與此類似，如果不涉及概率分布，隨機變量只是一種“表示”，因為有了概率分布，隨機變量才能在研究隨機現(xiàn)象時發(fā)揮作用．

筆者認(rèn)為，將離散型隨機變量和其分布列更緊密地聯(lián)系起來，在實際教學(xué)中具有可行性．為說明這一點，筆者不揣冒昧地提出如下一種教學(xué)過程的設(shè)計草案，敬請讀者指正．

離散型隨機變量及其分布列第一課時的教學(xué)過程草案

一、描述隨機變量

試驗結(jié)果經(jīng)常可以用表示計數(shù)或度量的量來表示，例如出現(xiàn)某種現(xiàn)象的次數(shù)，某物理量的長度，等等．即使是定性的試驗結(jié)果，也可以數(shù)量化表示．例如擲硬幣時，正面向上記為1，反面向上記為0．表示隨機試驗結(jié)果的量，其取值事先不能確定，它隨著試驗結(jié)果隨機確定．一般地，隨著試驗結(jié)果的變化而變化的量叫做隨機變量（random variable）．隨機變量通常用

表示．

二、考慮隨機試驗案例及相關(guān)問題

請看下面的隨機試驗，并考慮相關(guān)問題．

隨機試驗1 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子．

（1）用X表示擲出的點數(shù)，要表示試驗的全部可能結(jié)果，X應(yīng)取哪些值？

擲骰子時，擲出的點數(shù)可能是1，2，3，4，5，6中的一個，但事先不能確定，結(jié)果是隨機產(chǎn)生的．用X表示擲出的點數(shù)，X的值應(yīng)隨機地取1，2，3，4，5，6中的某個．

（2）X取到每一個值的概率各是多少？

由古典概型可知，X取1，2，3，4，5，6中每一個值的概率都是下：

這可以列表表示如

（3）X<5表示什么？它對應(yīng)的概率是多少？

X<5表示事件“點數(shù)小于5”，即事件“點數(shù)為1或2或3或4”．它的概率為

（4）如果多次重復(fù)擲一枚骰子，那么擲出點數(shù)的平均值最可能是多少？

每次擲出的點數(shù)無法事先確定，因此多次擲出的點數(shù)的平均值也無法事先確定．但是，我們可以依據(jù)“大量重復(fù)試驗時頻率穩(wěn)定于概率”對此進行估計．由于點數(shù)1，2，3，4，5，6出現(xiàn)的頻率都會穩(wěn)定于，所以多次重復(fù)擲骰子時點數(shù)的平均值最可能是

隨機試驗2 同時擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣．

（1）用X表示擲出正面的個數(shù)，要表示試驗的全部可能結(jié)果，X應(yīng)取哪些值？

擲兩枚硬幣時，擲出正面的個數(shù)可能是0，1，2中的一個，但事先不能確定，結(jié)果是隨機產(chǎn)生的．用X表示擲出正面的個數(shù)，X的值應(yīng)隨機地取0，1，2中的某個．

（2）X取到每一個值的概率各是多少？

由古典概型可知，X取0，1，2中每一個值的概率可以列表表示如下：

（3）X<2和X>0各表示什么？它們對應(yīng)的概率各是多少？

X<2表示事件“正面?zhèn)€數(shù)小于2”，即事件“正面?zhèn)€數(shù)為0或1”； X>0表示事件“正面?zhèn)€數(shù)大于0”，即事件“正面?zhèn)€數(shù)為1或2”．它捫的概率分別為和．

（4）如果多次重復(fù)這個試驗，那么擲出正面?zhèn)€數(shù)的平均值最可能是多少？

每次擲出的結(jié)果無法事先確定，因此多次擲出的正面?zhèn)€數(shù)的平均值也無法事先確定．但是，我們可以依據(jù)“大量重復(fù)試驗時頻率穩(wěn)定于概率”對此進行估計．由于點數(shù)0，1，2出現(xiàn)的頻率分別會穩(wěn)定于，和，所以多次重復(fù)試驗時正面?zhèn)€數(shù)的平均值最可能是

三、引出離散型隨機變量及其分布列

思考1 上面兩個X是隨機變量嗎？它們的取值形式有什么特點？這些取值與試驗結(jié)果有什么關(guān)系？

在上述試驗及相關(guān)問題中，兩個X分別表示“點數(shù)”和“正面?zhèn)€數(shù)”，它們都是表示隨機試驗的結(jié)果的量，都隨試驗結(jié)果的變化而變化，因此都是隨機變量．這兩個隨機變量的所有可能取值都可以一一列出，即分別為1，2，3，4，5，6和0，1，2．每一列數(shù)都對應(yīng)著一個試驗的所有可能結(jié)果．

一般地，所有可能取值能夠一一列出的隨機變量，叫做離散型隨機變量（discrete random variable）．

思考2 上面兩個表格的形式有什么特點？它們表示了什么內(nèi)容？

上面問題中的表格，分兩行列出隨機變量X的可取值，以及各值對應(yīng)的概率．它不僅表示出離散型隨機變量X的變化范圍，而且表示出各種變化的可能性大小，即從變化內(nèi)容及其可能性這兩方面全面地刻畫了離散型隨機變量X．

一般地，表示離散型隨機變量X的所有可能值及取各個值的概率的表格

叫做X的分布列（distribution series）．X的分布列也可以表示為

容易發(fā)現(xiàn)，由于概率的和

思考3 初步體會離散型隨機變量及其分布列的作用．

從上面的問題可以看出，對于研究隨機試驗問題，例如估計多次重復(fù)試驗結(jié)果的平均值，離散型隨機變量及其分布列是非常有用的工具．由此可以覺察，引入隨機變量給定量地表示和研究隨機性問題帶來方便；有了離散型隨機變量及其分布列，就可以對許多隨機試驗的結(jié)果從變化范圍和變化可能性兩方面有更清晰的認(rèn)識．

四、例題

此處例題為鞏固與加深對離散型隨機變量及其分布列的一般認(rèn)識而安排,二項分布、超幾何分布等內(nèi)容安排在后續(xù)課時．

例 用隨機變量X表示擲兩枚骰子的試驗結(jié)果,并寫出X的分布列．

解：設(shè)X表示兩枚骰子的點數(shù)之和，則X的分布列為

與隨機試驗的全部可能結(jié)果一一對應(yīng)，所以它們所對應(yīng)的，根據(jù)X的分布列，可以求出有關(guān)事件的概率．例如，五、小結(jié)

1.回顧離散型隨機變量及其分布列的概念；

2.初步體會離散型隨機變量及其分布列在研究隨機試驗問題時的作用．

前面已經(jīng)說過，教學(xué)有法，教無定法．教材和教學(xué)的設(shè)計方案具有多樣性，不同方案各有長短．選擇方案的關(guān)鍵在于從實際出發(fā)，在保證重點，突出要實現(xiàn)的主要教學(xué)目標(biāo)的前提下，力求教學(xué)效果的最大化．筆者提出上述意見及教學(xué)設(shè)計，只是一孔之見，意在拋磚引玉，能為改進教材和教學(xué)的討論提供參考．

2010-07-08 人教網(wǎng)