第一篇：“離散型隨機變量”的教學設計之我見

“離散型隨機變量”的教學設計之我見

人民教育出版社中數室 田載今

隨機變量是因隨機試驗結果的變化而變化的量．由于隨機試驗的結果是事先無法確定的，所以表示隨機試驗結果的量要因結果的不同而變化，這樣的量當然屬于隨機變量．隨機變量的本質是定義在樣本空間Ω上的一個映射，它把試驗結果映為實數，即其中，且對任意實數x，由滿足

R，的基本事件所組成的集合也是一個事件．

引入隨機變量的概念，其作用不僅是把隨機試驗的結果數量化從而帶來表示方法的簡化，更重要的是把對隨機現象統計規律的研究數學化，從而可以利用數學方法研究隨機現象的規律性，其中對隨機變量的概率分布的研究是實現這種轉化的關鍵．

如果樣本空間是可數的，即量的取值

或，則隨機變也可以一一列出，這樣的隨機變量即離散型隨機變量．離散型隨機變量比連續型隨機變量更容易理解，它是高中數學學習的主要隨機變量類型．

一般地，關于離散型隨機變量的教學目標大多規定為：

通過具體實例，歸納概括離散型隨機變量的特征，得出離散型隨機變量的概念；

體會引入隨機變量的作用；

滲透將實際問題轉化為數學問題進行隨機分析的思想方法．

目前的高中數學教材中，離散型隨機變量和離散型隨機變量的分布列大都先后出現在兩個小節中的內容．從教師教學用書中所附的教學設計案例和一般的實際教學過程看，將這兩個內容分在兩節課中學習是一般的教學安排．在這部分內容的第一課時中，通常只安排關于離散型隨機變量概念的內容，而不涉及離散型隨機變量的分布列．筆者認為，這樣安排是有一定道理的：第一，離散型隨機變量是基礎概念，離散型隨機變量的分布列是針對離散型隨機變量而定義的，從邏輯關系上說兩者有先后之分；第二，兩個概念的第一次出現分在不同課時內，學習內容單一，目標明確，可以將其分別解決，避免認識不清而產生混淆，從而使基本概念學得更扎實牢固；第三，這樣處理與現行教材的課文、練習、習題的安排順序保持基本一致，便于學生自學和做作業．

兵法曰：兵無常態，水無常勢．這就是說解決問題的方法不是一成不變的，應根據實際情況權衡利弊相機行事．同樣地，教學有法，教無定法．一種教學設計難以方方面面都能兼顧，往往在保證了一些方面有利的同時，也存在另一些方面的不足．如前所述，引入離散型隨機變量的概念，體會引入隨機變量的作用，滲透將實際問題轉化為數學問題進行隨機分析的思想方法，是本部分的教學目標，三者是相互聯系的一個整體（三位一體）．如果只是引入離散型隨機變量的概念，而不能較明顯地體現為什么要引入它，則會影響對其作用和相關思想方法的體會．要體現引入隨機變量的作用，滲透將實際問題轉化為數學問題進行隨機分析的思想方法，顯然離不開對離散型隨機變量的概率分布的研究，這是把對隨機現象統計規律的研究數學化的關鍵．從這個角度看，如果能在同一課時中引入離散型隨機變量后，緊接著出現分布列，使兩者更密切地聯系起來，可能更有利于教學目標的實現．

筆者考察實際教學發現，在一節課中僅討論離散型隨機變量，內容上顯得比較單薄，時間上顯得比較寬余，效果上顯得比較拖沓，從提高教學效率考慮似還有潛力可挖．更重要的是，如果只引入隨機變量而不涉及概率分布，這節課至多只能使人感到隨機變量是對試驗結果的一種數量化表示，而無法認識這種表示與隨機度量（即可能性大小）的密切聯系，這使得體會隨機變量作用的效果大打折扣．在高中數學教材的向量部分，曾指出“如果沒有運算，向量只是一個‘路標’，因為有了運算，向量的力量無限．”與此類似，如果不涉及概率分布，隨機變量只是一種“表示”，因為有了概率分布，隨機變量才能在研究隨機現象時發揮作用．

筆者認為，將離散型隨機變量和其分布列更緊密地聯系起來，在實際教學中具有可行性．為說明這一點，筆者不揣冒昧地提出如下一種教學過程的設計草案，敬請讀者指正．

離散型隨機變量及其分布列第一課時的教學過程草案

一、描述隨機變量

試驗結果經常可以用表示計數或度量的量來表示，例如出現某種現象的次數，某物理量的長度，等等．即使是定性的試驗結果，也可以數量化表示．例如擲硬幣時，正面向上記為1，反面向上記為0．表示隨機試驗結果的量，其取值事先不能確定，它隨著試驗結果隨機確定．一般地，隨著試驗結果的變化而變化的量叫做隨機變量（random variable）．隨機變量通常用

表示．

二、考慮隨機試驗案例及相關問題

請看下面的隨機試驗，并考慮相關問題．

隨機試驗1 擲一枚質地均勻的骰子．

（1）用X表示擲出的點數，要表示試驗的全部可能結果，X應取哪些值？

擲骰子時，擲出的點數可能是1，2，3，4，5，6中的一個，但事先不能確定，結果是隨機產生的．用X表示擲出的點數，X的值應隨機地取1，2，3，4，5，6中的某個．

（2）X取到每一個值的概率各是多少？

由古典概型可知，X取1，2，3，4，5，6中每一個值的概率都是下：

這可以列表表示如

（3）X<5表示什么？它對應的概率是多少？

X<5表示事件“點數小于5”，即事件“點數為1或2或3或4”．它的概率為

（4）如果多次重復擲一枚骰子，那么擲出點數的平均值最可能是多少？

每次擲出的點數無法事先確定，因此多次擲出的點數的平均值也無法事先確定．但是，我們可以依據“大量重復試驗時頻率穩定于概率”對此進行估計．由于點數1，2，3，4，5，6出現的頻率都會穩定于，所以多次重復擲骰子時點數的平均值最可能是

隨機試驗2 同時擲兩枚質地均勻的硬幣．

（1）用X表示擲出正面的個數，要表示試驗的全部可能結果，X應取哪些值？

擲兩枚硬幣時，擲出正面的個數可能是0，1，2中的一個，但事先不能確定，結果是隨機產生的．用X表示擲出正面的個數，X的值應隨機地取0，1，2中的某個．

（2）X取到每一個值的概率各是多少？

由古典概型可知，X取0，1，2中每一個值的概率可以列表表示如下：

（3）X<2和X>0各表示什么？它們對應的概率各是多少？

X<2表示事件“正面個數小于2”，即事件“正面個數為0或1”； X>0表示事件“正面個數大于0”，即事件“正面個數為1或2”．它捫的概率分別為和．

（4）如果多次重復這個試驗，那么擲出正面個數的平均值最可能是多少？

每次擲出的結果無法事先確定，因此多次擲出的正面個數的平均值也無法事先確定．但是，我們可以依據“大量重復試驗時頻率穩定于概率”對此進行估計．由于點數0，1，2出現的頻率分別會穩定于，和，所以多次重復試驗時正面個數的平均值最可能是

三、引出離散型隨機變量及其分布列

思考1 上面兩個X是隨機變量嗎？它們的取值形式有什么特點？這些取值與試驗結果有什么關系？

在上述試驗及相關問題中，兩個X分別表示“點數”和“正面個數”，它們都是表示隨機試驗的結果的量，都隨試驗結果的變化而變化，因此都是隨機變量．這兩個隨機變量的所有可能取值都可以一一列出，即分別為1，2，3，4，5，6和0，1，2．每一列數都對應著一個試驗的所有可能結果．

一般地，所有可能取值能夠一一列出的隨機變量，叫做離散型隨機變量（discrete random variable）．

思考2 上面兩個表格的形式有什么特點？它們表示了什么內容？

上面問題中的表格，分兩行列出隨機變量X的可取值，以及各值對應的概率．它不僅表示出離散型隨機變量X的變化范圍，而且表示出各種變化的可能性大小，即從變化內容及其可能性這兩方面全面地刻畫了離散型隨機變量X．

一般地，表示離散型隨機變量X的所有可能值及取各個值的概率的表格

叫做X的分布列（distribution series）．X的分布列也可以表示為

容易發現，由于概率的和

思考3 初步體會離散型隨機變量及其分布列的作用．

從上面的問題可以看出，對于研究隨機試驗問題，例如估計多次重復試驗結果的平均值，離散型隨機變量及其分布列是非常有用的工具．由此可以覺察，引入隨機變量給定量地表示和研究隨機性問題帶來方便；有了離散型隨機變量及其分布列，就可以對許多隨機試驗的結果從變化范圍和變化可能性兩方面有更清晰的認識．

四、例題

此處例題為鞏固與加深對離散型隨機變量及其分布列的一般認識而安排,二項分布、超幾何分布等內容安排在后續課時．

例 用隨機變量X表示擲兩枚骰子的試驗結果,并寫出X的分布列．

解：設X表示兩枚骰子的點數之和，則X的分布列為

與隨機試驗的全部可能結果一一對應，所以它們所對應的，根據X的分布列，可以求出有關事件的概率．例如，五、小結

1.回顧離散型隨機變量及其分布列的概念；

2.初步體會離散型隨機變量及其分布列在研究隨機試驗問題時的作用．

前面已經說過，教學有法，教無定法．教材和教學的設計方案具有多樣性，不同方案各有長短．選擇方案的關鍵在于從實際出發，在保證重點，突出要實現的主要教學目標的前提下，力求教學效果的最大化．筆者提出上述意見及教學設計，只是一孔之見，意在拋磚引玉，能為改進教材和教學的討論提供參考．

2010-07-08 人教網

第二篇：離散型隨機變量的教學設計

“離散型隨機變量”的教學設計

一、內容和內容解析

“隨機變量及其分布”一章的主要內容就是要通過具體實例，幫助學生理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列、均值、方差的概念，理解超幾何分布和二項分布的概型并能解決簡單的實際問題，使學生認識分布列對于刻畫隨機現象的重要性，認識正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念。

“離散型隨機變量”是這一章的開門課。因此，在本節課中，讓學生了解本章的主要內容及其研究該內容所用的數學思想方法，對學生明確學習目標和學習任務，提高他們的求知欲望，激發他們的學習興趣非常重要。于是，本節課的第一個教學任務就是要做好章頭圖的教學。教材的章頭圖從實例和圖形兩個方面展示了本章要學習的內容，一個是離散型隨機變量的產生背景和分布列的條形圖，另一個是正態分布的背景和正態分布密度曲線。教學時要充分地運用章頭圖的這兩個背景，通過問題的形式，幫助學生明確本章要學習的主要內容和意義。

對于一個隨機現象，就是要了解它所有可能出現的結果和每一個結果出現的概率。對于隨機試驗，只要了解了它可能出現的結果，以及每一個結果發生的概率，也就基本把握了它的統計規律。為了使用數學工具研究隨機現象，需要用數字描述隨機現象，建立起連接數和隨機現象的橋梁——隨機變量。隨機變量能夠反映隨機現象的共性，有關隨機變量的結論可以應用到具有不同背景的實際問題中。而高中階段主要研究的是有限的離散型的隨機變量，因此，本節課的第二個教學任務就是通過具體實例，幫助學生掌握隨機變量和離散型隨機變量的概念，理解它們的意義和作用，能對一個隨機試驗的結果，用一個隨機變量表示，并能確定其取值范圍。

二、目標和目標解析

1.了解本章學習的內容和意義。具體要求為：

（1）通過章頭圖中給出的射擊運動的情景，幫會學生了解，在射擊運動中，每次射擊的成績是一個非常典型的隨機事件。在這個離散型的隨機事件中，如何刻畫每個運用員射擊的技術水平與特點？如何比較兩個運動員的射擊水平？如何選拔運動員參加比賽獲勝的概率大？這些問題的解決需要離散型隨機變量的概率分布、均值、方差等有關知識；

（2）通過章頭圖中給出的高爾頓板游戲情景，幫助學生了解在這樣一個連續型的隨機事件的游戲活動中，小球落在哪個槽中的可能性更大？槽中的小球最后會堆積成什么形狀？這些問題與本章將要學習的正態分布有關；

（3）在上述兩個情景的基礎上，通過問題的形式，幫助學生提出本章要研究的問題和基本思想：隨機事件形形色色，隨機現象表現各異，但如果舍棄具體背景，它們就會呈現出一些共性；如果把隨機試驗的結果數量化，用隨機變量表示試驗結果，就可以用數學工具來研究這些隨機現象。這樣不僅闡述了本章的主要內容，而且激發了學生的學習興趣，使他們明確本章的學習目標以及研究本章內容的數學思想方法。

2.理解隨機變量和離散型隨機變量的描述性定義，以及隨機變量與函數的關系，能夠把一個隨機試驗的結果用隨機變量表示，能夠根據所關心的問題定義一個隨機變量。具體要求是：

（1）在對具體問題的分析過程中，幫助學生理解用隨機變量表示隨機試驗結果的意義和作用：為了使用數學工具研究隨機現象，需要用數字描述隨機現象，建立起連接數和隨機現象的橋梁——隨機變量，掌握隨機變量的描述性概念，了解隨機變量與函數的關系，構造隨機變量應當注意的問題（如隨機變量應該有實際意義、應該盡量簡單，以便于研究），以及用隨機變量表示隨機事件的方法等；

（2）通過具體問題的對比分析，幫助學生理解隨機變量有兩個類型：

??取有限個值的離散型隨機變量?離散型隨機變量?

隨機變量? 隨型機變量?取無窮多個值的離散??連續型隨機變量能夠根據具體問題，把隨機試驗的結果用一個隨機變量表示，并能寫出其取值范圍；能夠熟練地用隨機變量的取值表示一個隨機事件；

（3）通過反思隨機變量的定義過程，引導學生體會，在實際應用中如何根據實際問題恰當地定義隨機變量（如根據所關心的問題，定義隨機變量），以達到事半功倍的效果。

三、重點和難點解析

本節內容是為求分布列作鋪墊的一節概念課。所以要把隨機變量和離散型隨機變量的概念講清楚。于是，可以確定的重點、難點是：

重點：用隨機變量表示隨機試驗結果的意義和方法；

難點：對隨機變量意義的理解；構造隨機變量的方法；隨機變量取值范圍的確定。

四、教學問題診斷分析

1.是否講解“隨機試驗”的概念？

研究隨機現象，就是要研究隨機試驗可能出現的結果（其中的每一個結果即為一個隨機事件）和每一個結果發生的概率（即描述每一個隨機事件發生可能性大小的度量），從而把握它的統計規律。這里有三個概念：隨機事件、隨機現象和隨機試驗。

在必修三中，學生已經學習了隨機事件的概念（即在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件），之前，學生通過在初中數學和必修三的概率學習，又有了隨機現象的觀念，因此，學生對“隨機試驗”的概念是能夠不加定義而自明的，也就是“隨機試驗”可以作為不加定義的原始概念引入。事實上，教材在介紹隨機變量的概念時，不加定義地引入了“隨機試驗”的概念（教材第44頁第一個思考下方第一行），就是基于這樣的考慮，因此，在教學中，對“隨機試驗”的概念不需要（也根本沒有必要）引導學生下定義，以避免嚴格的定義可能造成學生理解的模糊，影響對主干概念“隨機變量”的理解。

事實上，“試驗”一詞有十分廣泛的含義：凡是對對象的觀察或為此而進行的實驗都稱之為試驗。如果一個試驗滿足以下條件，則稱之為隨機試驗：（1）試驗可以在相同條件下重復進行；（2）試驗的所有結果是明確且可以知道的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果。

2.怎樣建構“隨機變量”的概念？

本節內容圍繞隨機試驗的結果可以用“數”表示進行展開。擲骰子試驗、擲硬幣試驗是學生比較熟悉的兩個隨機試驗，對擲骰子試驗的結果和數字1~6對應起來學生很容易理解，而擲硬幣試驗的結果則不容易聯想到數字。可以引導學生思考：值一枚硬幣的結果是否也可以用數字表示呢？通過把“正面向上”與1對應，“反面向上”與0對應，使得擲硬幣的試驗結果同樣也可以用數字表示，這樣的問題還可以列舉，如新生嬰兒性別抽查：可能是男，也可能是女，同樣可以分別用1和0表示這兩種結果，在此基礎上抽象概括出隨機變量的描述性定義。

3.怎樣深化對“隨機變量”概念本質的理解？ 對隨機變量概念的理解，不是下個定義一步完成的，為了幫助學生深入地體會隨機變量的本質，可以對擲硬幣的試驗結果的表示方法提出下面問題：還可以用其他的數來表示這兩個試驗結果嗎？目的是鼓勵學生提出其他表示方法，比如“正面向上”用1表示，“反面向上”用-1表示等，以使學生理解隨機變量的本質。事實上，對于同一個隨機試驗，可以用不同的隨機變量來表示其所有可能出現的結果。為了幫助學生體會，究竟選擇什么樣的隨機

變量更為合適？這就涉及到構造隨機變量應當注意的一些基本問題：如隨機變量應該有實際意義，應該盡量簡單，以便于研究。例如，對于擲n次硬幣出現正面的次數?可以表示為???1??2????n，其中?i???1,第i次試驗出現正面?0,第i次試驗出現反面，通過這樣的例子，幫助學生體會用數字1和0表示，能夠直接反應出正面向上的次數，這顯然很方便；而用1和-1分別表示試驗結果的反面和正面，那么擲n次硬幣出現正面的次數?的表達式就會變得很復雜。為了進一步深化對概念的理解，可以引導學生將隨機變量與函數概念進行類比：隨機變量與函數有類似的地方嗎？使他們了解隨機變量的概念實際上也可以看作是函數概念的推廣。

4.如何通過隨機變量表示所關心的隨機事件？

引入隨機變量的目的是為了研究隨機現象，那么如何通過隨機變量表示所關心的隨機事件呢？可以通過一些例子介紹用隨機變量表示隨機事件的方法，特別是一些較為復雜的隨機事件的表示方法。例子的類型列舉可以廣泛：如有窮可列、無窮可列、不可列等三個類型。特別是對不可列的隨機變量問題，可以根據所關心的問題，能夠把它構造成可列的隨機變量。從而進一步體會用隨機變量表示隨機事件的方法。

五、教學過程設計

1.情境引入

情境1：在射擊運動中，運動員每次射擊的成績具有什么特征？（隨機性）運動員每次射擊的成績是一個什么事件？（隨機事件）

如何刻畫每個運動員射擊的技術水平與特點？如何比較兩個運動員的射擊水平？如何選擇優秀運動員代表國家參加奧運會的比賽才能使得獲勝的概率大？解決這個問題要涉及到離散型隨機變量的概率分布模型。

情境2：高爾頓是英國生物學家和統計學家，他設計了一個著名的游戲——高爾頓板游戲。如圖，在一塊木板上釘上釘著若干排相互平行并相互錯開的圓柱形小模塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前后擋有玻璃，然后讓一個個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球落在哪個槽中的可能性更大？槽中的小球最后會堆積成什么形狀？

這個問題近似地服從正態分布，它是很多自然現象和生產、生活實際問題中經常遇到的一種連續型隨機變量的概率分布模型。

以上兩個問題就是我們本章要學習的兩個重要的隨機變量概率分布模型，本章的課題是——隨機變量及其分布。

引言：我們知道，概率是描述隨機事件發生可能性大小的度量。無論是運動員的一次射擊，還是利用高爾頓板做一次游戲，都是隨機試驗，只要了解了這些隨機試驗可能出現的結果（即每一個結果就是一個隨機事件），以及每一個結果發生的概率，我們也就基本把握了它的統計規律。隨機事件形形色色，隨機現象表現各異，但如果舍棄具體背景，他們就會呈現出一些共性；如果把隨機試驗的結果數量化，應隨機變量表示試驗結果，就可以用數學工具來研究這些隨機現象。

引導學生閱讀章頭圖的內容。然后展示本章的知識結構圖：兩類隨機變量的概率分布模型：離散型隨機變量——（在講概率分布列、均值和方差的基礎上）研究二項分布和超幾何分布模型；連續型隨機變量——正態分布模型。

2.離散型隨機變量

問題1：概率是描述在一次隨機試驗中某個隨機事件發生可能性大小的度量。如擲骰子就是一個隨機試驗，它有六種可能性結果。你還能舉出一些隨機試驗的例子嗎？該隨機試驗的所有可能結果有哪些？

設計意圖：能夠判定簡單的隨機試驗，并能列舉出所有可能的結果，為用“數”表示這些結果做好準備。

問題2：（1）擲一枚骰子，出現向上的點數X是1，2，3，4，5，6中的某一個數；

（2）在一塊地上種10棵樹苗，成活的棵樹Y是0，1，2，3，?，10中的某個數。

下面兩個隨機試驗的結果是否可以用數字表示呢？

（3）擲一枚硬幣所有可能的結果；正面向上——1；反面向上——0

（4）新生兒性別，抽查的所有可能的結果；男——1；女——0 設計意圖：通過討論引導學生發現任何一個隨機試驗的結果都可用數字進行表示，這樣隨機試驗的結果與數字之間就構成了一個對應關系，這為引入隨機變量的概念奠定基礎。

問題3：上述四個例子說明，隨機試驗的結果與數字之間構成了一個對應關系，使得每一個試驗的結果都用一個確定的數字表示。這樣隨機試驗的結果就可以看成是一個變量，我們稱其為隨機變量。你能給隨機變量下一個定義嗎？

設計意圖：引導學生通過分析、綜合活動，嘗試給隨機變量下定義。這種定義方式是描述性的，學生可以憑借自己的理解下定義，只要這種描述比較準確就可以，不一定按照課本的描述性定義。如一般地，如果一個隨機試驗的結果可以用一個變量表示，這個變量就叫做隨機變量，等。

問題4：在（3）和（4）的兩個隨機試驗中，其試驗的結果是否還可以用其他人數字表示？

設計意圖：通過討論，得出結論：一個隨機試驗的結果可以用不同的隨機變量表示。如上面兩個試驗的結果還可以用-1和1表示等。

問題5：在擲一枚硬幣的隨機試驗中，其結果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他數字表示，那么，在5次擲硬幣的隨機試驗中，出現“正面向上”的次數?可以怎樣表示？由此你認為定義一個隨機變量需要遵循哪些原則？

設計意圖：出現“正面向上”次數???1??2??????5，?1,第i次試驗出現正面，當一次試驗的結果表示為?i?? ?=0，1，2，3，4，5；

?0,第i次試驗出現反面。?1,第i次試驗正面向上，當一次試驗的結果表示為?i?? ?i?-5，-4，-3，-2，-1，0.-1,第i次試驗反面向上。?從使用意義上看，顯然把正面向上的次數表示成負數不太合適，而且這樣也不方便，因此，構造隨機變量時，應當注意一些基本問題：如隨機變量應該有實際意義，應當盡量簡單，以便于研究。

問題6：隨機變量和函數有類似的地方嗎？

設計意圖：引導學生把隨機變量和函數進行類比，使他們了解隨機變量的概念實際上也可以看作是函數概念的推廣：隨機變量和函數都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結果映為實數，函數把實數映為實數。在這兩種映射之間，試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當與函數的值域。

例1 判斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由。（1）每天你接到的電話的個數X；（2）標準大氣壓下，水沸騰的溫度T；（3）某一自動裝置無故障運轉的時間t；（4）體積64立方米的正方體的棱長a；（5）拋擲兩次骰子,兩次結果的和s.（6）袋中裝有6個紅球，4個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數η.設計意圖：進行隨機變量概念辨析。

例2.寫出下列各隨機變量可能的取值（或范圍）:

(1)從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張被取出的卡片的號數X．(2)一個袋中裝有3個白球和5個黑球，從中任取5個，其中所含白球數Y．(3)拋擲兩枚骰子，所得點數之和ξ．

(4)接連不斷地射擊,首次命中目標需要的射擊次數ξ．(5)某網頁在24小時內被瀏覽的次數η.(6)某一自動裝置無故障運轉的時間T（7）電燈泡的壽命X。

設計意圖：訓練寫出隨機變量的取值或范圍，并在此基礎上通過分類得到“離散型隨機變量”的概念。

問題7：在前面所舉這些例子中，這些隨機變量都有什么特征？ 設計意圖：引導學生發現這些隨機變量的取值都可以一一列出。

問題8：所有取值能夠一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。離散型隨機變量有兩類：一類是離散型隨機變量的取有限個值的，一類是離散型隨機變量取無限個值的（如例2（3）），我們主要研究取有限個值的離散型隨機變量。

例3.寫出下列離散型隨機變量可能的取值:

(1)在考試中需回答三個問題，考試規則規定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學回答這三個問題的總得分ξ的可能取值有哪些？

(2)本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租車不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費標準為2元(不足1小時的部分按1小時計算)．甲乙兩人租車的時間都不超過4小時（兩人不一定同時回來），則兩人所付的總費用X的可能取值有哪些？

設計意圖：練習寫出較為復雜的離散型隨機變量取值

問題9：利用隨機變量可以表示一些事件。在例1中，你能說出｛X=0｝、｛X=4｝、｛X<3｝各表示怎樣的事件嗎？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？

設計意圖：引導學生學習用隨機變量表示隨機事件，使學生能夠清晰地說出每一個隨機變量取值的實際意義。

問題10：在研究隨機現象時，需要根據所關心的問題恰當第定義隨機變量。例如，對燈泡的使用壽命，如果我們僅關心燈泡的使用壽命是否不少于1000小時，那么就可以定義?0,壽命?1000小時如下的隨機變量：???，與燈泡的壽命X相比較，隨機變量?的構造更?1,壽命?1000小時簡單，它只取兩個不同的值0和1，是一個離散型隨機變量，研究起來更加容易。你能根據實際意義，把能對（2）定義一個隨機變量嗎？

設計意圖：引導學生能夠根據所關心的問題，定義出離散型隨機變量。例4.請根據所關心的問題，定義一個離散型隨機變量：(1)擲一枚骰子，關心“擲出的點數是否為偶數”；

(2)任意抽取一瓶標有2500 ml 的某飲料，其實際量與規定量之差在±5ml以內為合格；(3)在某項體能測試中，跑1 km成績在4 min之內的為優秀；4 min以上5 min以內為合格；某同學體能測試的結果.設計意圖：練習能夠根據所關心的問題定義一個隨機變量。

備用例題：下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示？若能，請寫出可能取值，并說出這些值所表示的隨機試驗的結果。

（1）棱長為1的正方體中，任意兩條棱之間的距離（兩條棱相交，可認為距離為0）；

（2）如圖，從A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，該“立體”的體積為V。

設計意圖：鞏固并強化定義離散型變量的方法，并能準確寫出所求可能取值。

小結：以上我們通過一些具體實例研究了隨機試驗的結果可以用數字表示，引進了隨機變量的概念，并對如何根據實際需要定義一個離散型隨機變量，并判斷它的所有可能取值進行了系統的研究。實際上隨機變量的每一個取值，都表示一個隨機事件，每一個隨機事件發生的可能性大小的度量就是概念，如擲骰子試驗中P(X?1)?116就表示點數為1的概率為6規律了。我們學習隨機變量就是為了研究它的概率，這就是我們下節課要學習的內容。，也就是如果我們能夠知道每一個隨機變量取值的概率，也就把握了這個隨機現象的基本 6

第三篇：很好的離散型隨機變量（本站推薦）

“離散型隨機變量”的教學反思與再設計 楊智平發布時間： 2010-8-4 23:33:52

“離散型隨機變量”的教學反思與再設計

一、教學內容解析

概率是研究隨機現象的數量規律的．認識隨機現象就是指：知道這個隨機現象中所有可能出現的結果，以及每一個結果出現的概率．而對于給定的隨機現象，首先要描述所有可能出現的結果．在數學上處理時，一個常用的、也很自然的做法就是用數來表示結果，即把隨機試驗的結果數量化，使得每個結果對應一個數，這樣就可以通過實數空間（定量的角度）來刻畫隨機現象，從而就可以利用數學工具，用數學分析的方法來研究所感興趣的隨機現象．簡言之，隨機變量是連接隨機現象和實數空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關實數的數學工具來研究隨機現象的本質，從而可以建立起應用到不同領域的概率模型，這便是為什么要引入隨機變量的緣由.隨機變量在概率統計研究中起著極其重要的作用，隨機變量是用來描述隨機現象的結果的一類特殊的變量，隨機變量能夠反映隨機現象的共性，有關隨機變量的結論可以應用到具有不同背景的實際問題中．隨機變量就是建立了一個從隨機試驗結果的集合到實數集合的映射，這與函數概念在本質上（一種對應關系）是一致的，隨機試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域．

離散型隨機變量是最簡單的隨機變量，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關系．本節課主要通過離散型隨機變量展示用實數空間刻畫隨機現象的方法．本節課的重點是認識離散型隨機變量的特征，了解其本質屬性，體會引入隨機變量的作用．

二、教學目標解析

1．在對具體實例的分析中，認識和體會隨機變量對刻畫隨機現象的重要性和建立隨機變量概念的必要性，并會恰當地定義隨機變量來描述所感興趣的隨機現象，能敘述隨機變量可能取的值及其所表示的隨機試驗的結果；

2．在列舉的隨機試驗中，通過對隨機變量取值類型的分辨，歸納和概括離散型隨機變量的特征，形成離散型隨機變量的概念，并會利用離散型隨機變量刻畫隨機試驗的結果；

3．在舉例、觀察、思考、發現中經歷將隨機試驗結果數量化的過程，滲透將實際問題轉化為數學問題的思想方法，進一步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識．

三、教學問題診斷分析

本節課學生學習的難點是對引入隨機變量目的與作用的認識，以及隨機變量和普通變量的本質區別．隨機變量這個概念其實早已存在于學生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺的“實際使用”，只是沒有明朗化．學生學習這一概念就是把這些“實際使用的”規則、程序、步驟等進一步加以明確．所以，教師的責任就是為學生建立隨機變量這個概念修通渠道．可通過學生熟悉的擲骰子的隨機試驗讓學生體會隨機變量概念的發生，在師生舉例中來體會隨機變量概念的發展，特別是諸如拋擲一枚硬幣等試驗，其結果不具有數量性質，怎么讓學生自然地想到用數來表示其試驗結果，并且所用的數又盡量簡單，便于研究．教學中需多舉試驗結果本身已具有數值意義的實例，來發揮正遷移作用．通過多舉例讓學生理解：一旦給出了隨機變量，即把每個結果都用一個數表示后，認識隨機現象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率．

另外，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關系，從學習的認知方式看，下位學習依靠的主要是同化，上位學習依靠的主要是順應，上位學習一般采用的思維方法主要是概括和綜合，它主要通過改造（歸納和綜合）原有認知結構中的有關內容而建立新的認知結構．因此，從這一角度來分析，學生對隨機變量概念的學習和真正理解比離散型隨機變量的學習要困難一些．故在隨機變量的教學中，要特別重視學生舉例，讓學生在充分的自主活動中體驗數學化的過程，體驗將隨機試驗結果數量化的過程，體會隨機變量對刻畫隨機現象的重要性和研究隨機現象的工具性作用，從而來把握隨機變量的內核．

四、教學支持條件分析

學生在必修3概率一章中學習過的隨機試驗、隨機事件、簡單的概率模型和必修1中學習過的變量、函數、映射等知識是學習、領悟和“接納”隨機變量概念的重要知識基礎，教學時應充分注意這一教學條件；另外，為更好地形成隨機變量和離散型隨機變量兩個概念，教學中可借助媒體列舉和展現豐富的實例和問題，以留給學生更多的時間思考和概括．

五、教學過程設計

（一）教學基本流程

（二）教學過程

1.理解隨機變量概念

問題1：拋擲一枚骰子，可能出現的結果有哪些？概率分別是多少？ [設計意圖] 以學生熟悉的隨機試驗為例，在復習舊知中孕育新知．

[師生活動] 畫表一，指出試驗結果分別有“1點的面朝上”、“2點的面朝上”、“3點的面朝上”、“4點的面朝上”、“5點的面朝上”、“6點的面朝上”，它們都是基本事件．為了研究這些事件，常常把它們分別與一個數字對應起來．比如，用數字1與“1點的面朝上”這個試驗結果（樣本點）對應，用數字2與“2點的面朝上”這個試驗結果（樣本點）對應，等等．師生共同填寫數字，形成表二．

引導學生分析，像這樣“用數字表示隨機試驗的結果”的量用X來表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，說明X是一個變量．

[設計意圖] “用數字來表示隨機試驗的結果”實際上早已存在于學生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺地“實際使用”，如射擊比賽中會用“環數”去表示射擊成績，擲骰子時會用“點數”去表示擲出結果，抽獎時會先對獎券“編號”，隨機抽取一部分學生時會用“學號”去代替等等，只是沒有明朗化．因而，“用數字來表示隨機試驗的結果”可以通過教師有啟發地提問，有意義地講授進行，讓學生覺得問題的提出，概念的發生、發展過程較為自然，能夠從教師的講授中感受數學是怎樣一步步研究現實世界的．

問題2：在這里（指著表二），每一個試驗結果用唯一確定的數字與它對應，這個對應關系是什么？

[設計意圖]建立一個從試驗結果的集合到實數集合的映射．讓學生感悟：一旦給出了隨機變量，即把每個結果都用一個數表示后，認識隨機現象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每一個值時的概率，從而感受把隨機試驗的結果數字化（成為實數）的必要性，體會引入隨機變量的必要性．同時讓學生感受概念的從無到有、自然形成的過程．

[師生活動] 啟發誘導，引導學生發現在這里建立了一個從試驗結果的集合到實數集合的映射．形成下表三：拋擲一枚骰子

讓學生觀察、思考：剛才，用數字表示試驗結果的變量X，它根據什么在變化？讓學生發現它的取值隨試驗結果的變化而變化，它的變化是有規律的，這是個特殊的變量，與隨機試驗的結果有關，在試驗之前不知道會出現哪個值（即它的取值依賴于試驗結果，因此取值具有隨機性，即在試驗之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗，它的取值隨之確定）．同時，教師指出：在這個試驗中，我們確定了一個對應關系（也即建立了一個試驗結果到實數的映射）使得每一個試驗結果（樣本點）都用一個確定的數字表示（即所有可能取值是明確的）．在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母表示．

問題3：隨機變量這個概念與我們曾經學過的函數概念有類似的地方嗎?

[設計意圖]引導學生與曾經學過的函數概念比較，從而加深對隨機變量概念的理解．

[師生活動]“類比”函數概念，領悟隨機變量和函數概念在本質上都是一種對應關系，都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結果映為實數，函數把實數映為實數，在這兩種映射之間，試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域．隨機變量的取值范圍我們稱為隨機變量的值域．如拋擲一枚骰子，隨機變量的值域為；

引導學生利用隨機變量表達一些事件，例如拋擲一枚骰子中，表示“1點的面朝上”； “3點的面朝上”可以用表示；表示“5點的面朝上”或“6點的面朝上”．

同時指出：通過映射把隨機試驗結果與實數進行對應，也就是，把隨機試驗的結果數量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，這樣“隨機試驗結果的集合到對應概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應概率集合的映射”來表示，即可把“對隨機現象統計規律的研究具體轉化為對隨機變量概率分布的研究”．這樣我們就可以借用有關實數的數學工具來研究隨機現象的本質了．

接著，進一步指出：在學習《數學（必修3）》時我們曾經學習過概率、方差等概念，學過簡單的概率模型，在今后的學習中，我們將利用隨機變量描述和分析某些隨機現象，進一步體會概率模型的作用及運用概率思想思考和解決一些實際問題．（體現章引言）

2．對隨機變量的深刻認識(對對應思想——映射的體驗)

問題4：你能再舉些例子嗎？（請學生列舉隨機試驗，并將試驗結果數量化，不必寫出概率）

[設計意圖] 讓學生參與舉例，體驗將實際問題數學化（把實際問題數學化是學習數學極其重要的數學方法）和將隨機試驗結果數量化的過程.其意義在于兩個方面:其一,學生通過尋找(尋找本身就是一個甄別隨機與非隨機的過程),選擇自己感興趣的隨機現象,并學會用隨機變量表示隨機事件;其二,在將試驗結果數量化的過程中體會隨機變量在研究隨機現象中的重要作用.同時進一步深刻理解隨機變量的概念,領悟隨機變量學習的重要性，進一步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識．

[師生活動]教師關注學生的舉例，關注其關鍵過程：隨機試驗中所有可能出現的結果有哪些？如何將試驗的結果數量化？要求學生畫表，體會映射的過程．教師給學生充分展示和交流所舉例子的時間．同時，教師也參與舉例（教材中有關于抽取產品、射擊、瀏覽某網頁等例子可以納入進來），深刻體會將實際問題（隨機現象）數學化（數字化）的過程，感受建立隨機變量概念的重要意義．

對學生列舉的試驗結果沒有數量標志的隨機事件，諸如投擲一枚硬幣的試驗等，要引導學生分析比較，讓學生體會對于同一個隨機試驗，可以用不同的隨機變量來表示．但用哪兩個數字來表示，主要是要盡量簡單，合理，便于研究．如表四：拋擲一枚骰子

在學生舉例中學習如何用隨機變量去定義試驗結果沒有數量標志的隨機事件（中間表示映射的一欄表格可以省略）．

問題5：任何隨機試驗的所有結果都可以用數字表示嗎？同一個隨機試驗的結果，可以用不同的數字表示嗎？

[設計意圖]讓學生領悟任何隨機試驗的所有結果都可以用數字來表示（試驗結果不具有數量性質的可以通過賦值，將其數量化），同一個隨機試驗的結果，可以用不同的數字表示，表示的原則主要是有實際意義，簡單合理，便于研究．

3．形成離散型隨機變量概念

問題6：隨機變量的取值都是整數嗎？你能否舉個（些）例子，而隨機變量的取值不是整數呢？

[設計意圖] 關注學生的舉例，借學生舉出的例子，引導分析數學化之后的隨機變量取值的集合的特征（一個新概念產生之后，我們應該端詳它一番），分辨隨機變量的類型，即某些隨機變量的取值是離散的，而有些不是,從而給出離散型隨機變量的概念．如果學生列舉的都是離散型隨機變量，則教師可啟發點撥，啟發后引導學生再舉例，或給出以下問題7：

問題7：請仿照剛才的例子，分析下列隨機現象，隨機變量可以取哪些值？你能夠一個一個列出來嗎?

（1）某公交車站每隔10分鐘有1輛汽車到站，某人到達該車站的時刻是隨機的,他等車的時間；

（2）檢測一批燈泡（相同型號）的使用壽命．

[設計意圖]通過與前面列舉例子的比較，引導學生發現這兩個試驗結果中，表示隨機事件的隨機變量的取值是一個區間，其值無法一一列出，以此形成離散型隨機變量的概念．同時明晰在隨機現象中隨機變量的取值類型是豐富多樣的，這也是對隨機變量概念（外延）的進一步認識．

問題8：如果我們僅僅關心“某人等車的時間多于5分鐘或不多于5分鐘”兩種情況，那該怎樣定義隨機變量呢?

[設計意圖] 在研究隨機現象時，為研究方便，有時需要根據所關心的問題恰當地定義隨機變量．讓學生明白恰當定義隨機變量給我們研究問題帶來方便．問（2）讓學生選擇自己關心的問題來恰當定義隨機變量．

[師生活動]通過分析，讓學生明白，在研究隨機現象時，有時需要根據所關心的問題恰當地定義隨機變量．

4．練習反饋（見教科書第45頁）

下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值并說明這些值所表示的隨機試驗的結果．

（1）拋擲兩枚骰子,所得點數之和；

（2）某足球隊在5次點球中射進的球數；

（3）任意抽取一瓶某種標有2500ml的飲料,其實際量與規定量之差．

[設計意圖]在應用中鞏固離散型隨機變量的概念，并能熟練利用離散型隨機變量刻畫隨機試驗的結果．

5．小結回授

問題9：你能用自己的語言描述隨機變量和離散型隨機變量的定義及它們之間的區別嗎？（學生回答后，可以再問：你能簡單地說說引入隨機變量的好處嗎？）

[設計意圖] 學生用自己的語言來概括本節課學到的知識，是一種“主動建構”，也真正體現知識學到了手．

[師生活動]引入隨機變量后，隨機試驗中我們感興趣的事件就可以通過隨機變量的取值表達出來．認識隨機現象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率．也即把隨機試驗的結果數量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，我們就可以借助于有關實數的數學工具來研究所感興趣的隨機現象了．

六、目標檢測設計

人教A版教科書第49頁習題2.1中A組,第1,2,3題.教學反思 對隨機變量概念學習的設計上，分兩步走：第一步是認識“用數字表示隨機試驗的結果”的量是一個變量，第二步是通過建立“一個從試驗結果的集合到實數集合的映射” 認識到在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化，即這是一個特殊的變量，與隨機試驗的結果有關，在此基礎上學習隨機變量概念，并理解隨機變量的特征：它的取值依賴于試驗結果，具有隨機性，即在試驗之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗，它的取值隨之確定，且所有可能取值是明確的．進一步，如何讓學生深刻認識和理解“隨機變量”這一概念？原教學設計采用讓學生舉例的方式，在學生的活動中來完成對“隨機變量”概念的理解，這一設計思路得到同行肯定．事實上，要使學生真正理解數學知識，必須要有他們身體力行的實踐，從自己親歷親為的探索思考中獲得體驗，從自己不斷深入的概括活動中，獲得對數學概念、原理的本質的領悟．此處安排學生舉例正是基于這種考慮，其意義在于：其一，可以觀察學生是否領會把隨機試驗結果數學化的思想，以及怎樣把隨機試驗結果數學化（尤其是試驗的結果不具有數量性質的隨機現象）；其二，體會引入隨機變量概念后，隨機試驗中的事件就可以通過隨機變量的取值表達出來，“隨機試驗結果的集合到對應概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應概率集合的映射”來表示，（即研究隨機現象的統計規律就可以轉化為研究隨機變量的概率分布）．

第四篇：離散型隨機變量數學期望教學設計

教學設計

熟練理解并掌握離散型隨機變量的定義、意義和計算方法； 教學重點：離散型隨機變量的定義、意義和計算方法； 教學難點：理解離散型隨機變量的定義； 教學方法：啟發式教學和案例推理式教學相結合； 教學手段：多媒體教學； 教學內容：

第一：由1653年法國的賭資分配問題引出數學期望概念的由來和產生背景。以動畫故事形式講述賭資分配問題的產生和概率論學科及數學期望概念的誕生背景。

第二：以射手選拔問題為例引出問題——射中環數平均值的穩定值如何確定？由最簡單的平均環數計算公式——總環數除以射擊次數，逐步分析得出結論——用射中每個環數的可能只與對應概率乘積的和可以表示射中環數平均值。從而抽象出離散型隨機變量數學期望的概念。

第三：離散型隨機變量數學期望的定義。從三個主要方面分析定義的掌握要點。1.數學期望是一個數，完全由隨機變量分布律決定的數。2.定義要求級數絕對收斂。因為XK的取值可正可負，而一般項級數的絕對收斂性則可以保證當級數項的位置發生改變時級數仍然收斂且和不變。而條件收斂就不一定了：比如我們知道調和級數是條件收斂的，但當我把它的項按照這樣的次序改變之后，這個級數竟然變成了原級數的1/2，也就是說：它的和變成了原來和的1/2。這個例子就說明：條件收斂的級數它的和不一定是穩定的，所以定義要求這個級數絕對收斂。3.數學期望代表的隨機變量的平均取值，確切地說是加權平均值，并舉例說明加權平均值與算術平均值的不同。

第四：根據定義解決賭資分配問題中甲乙選手平均水平的高低 分別把甲乙射中環數看作隨機變量X，Y，在已知X，Y分布律的條件下，計算X，Y的數學期望，就得到了甲乙的平均射中環數也就比較出了他們平均水平的高低。

第五：分析賭資分配問題與數學期望的關系。分析兩種錯誤的分配方案及其原因，指出帕斯卡和費馬提出的分配方案及計算依據，并分析這種分配方案的合理性以及數學期望名字的由來。

第六：通過這堂課的學習我們得到的啟示。提出問題的重要性和由具體到一般歸納方法的運用。

第五篇：“離散型隨機變量”的教學反思與再設計

“離散型隨機變量”的教學反思與再設計

浙江省紹興市高級中學 陳柏良

2009年12月2—6日，人民教育出版社A版普通高中數學課程標準實驗教材全國經驗交流會暨“中學數學核心概念、思想方法及其教學設計的理論與實踐”全國第9次課題研討會在山西省晉中市召開，會上筆者開設了一節“離散型隨機變量”的研討課，引起與會專家和代表的一陣熱議．自然地，也促使筆者教學后的深入反思和對本節課教學設計的重新思考．

第一部分 教學反思

1．教學設計的邏輯把握

一個好的教學設計，除了對教學內容的數學理解要到位外，至少還必須具備兩個特點:其一，構思簡單；其二，邏輯清晰．所謂構思簡單，就是整個教學設計有一條主線貫穿，讓人一下子能識別和讀懂教學內容的“核心”和“精華”；所謂邏輯清晰，就是整個設計從教學起點，到教學過程，再到教學結果，各個環節清清楚楚，自然流暢．

“離散型隨機變量”是人教A版數學選修2-3第二章 隨機變量及其分布的起始課，是學生在學習《必修3》概率的基礎上對隨機現象的進一步研究．其教學內容主要是隨機變量的概念、離散型隨機變量的概念，以及如何通過離散型隨機變量展示用實數空間刻畫隨機現象的方法，體會和領悟隨機變量在研究隨機現象中的重要作用，滲透將實際問題轉化為數學問題的思想方法．由于它的引入，大大簡化了各種事件的表示，且使得我們可以借助于有關實數的數學工具來研究隨機現象的本質，從而可以建立起應用到不同領域的概率模型．應該說，原教學設計對教學內容的數學理解是到位的，瑕疵是稍多地強調了“隨機變量的每一個取值（X）與它所對應的概率值（P）建立了一個函數關系”，與會有專家認為，這個提法雖然沒有錯誤，但對于理解隨機變量的概念和以后的應用沒有多大意義，可以不提（該提法在第二部分的再設計中已作刪減）．就該課整個教學設計而言，邏輯清楚，問題自然：先從學生熟知的拋擲一枚骰子（一個熟悉的簡單的背景）入手，理解隨機變量的概念；接著讓學生舉例，在學生活動中完成對“隨機變量”概念的深刻理解；再在學生的舉例中分辨隨機變量的取值類型，形成離散型隨機變量概念．

2．隨機變量的概念教學

教師對隨機變量概念的認識和理解，以及教學采取怎樣的方式讓學生自然“接納”和“領悟”隨機變量概念，是要下番功夫的，因為這會直接影響教學的成敗．為此，探討以下兩個問題：

（1）為什么要學習隨機變量

眾所周知，概率論是從數量上來研究隨機現象內在規律性的數學分支．認識隨機現象就是指：知道這個隨機現象中所有可能出現的結果，知道每一個結果出現的概率．對于給定的隨機現象，首先要描述所有可能出現的結果．在數學上處理時，一個常用的、也很自然的做法是用數來表示結果，即把每個結果對應一個數．這樣，就建立起了一個統一的刻畫不同概率模型中所提及的事件的方法，就可以用數學分析的方法方便有力地研究隨機現象了．也就是說，為了便于數學上的推導和計算，就需將任意的隨機試驗的結果數量化，即將隨機試驗結果用唯一確定的數字與它對應，建立起隨機變量的概念（概言之，隨機變量是隨機試驗可能結果的數量化表示，它是隨試驗結果而變化的量，其本質是樣本空間到實數集之間的一個映射）．建立隨機變量概念后，隨機試驗中我們感興趣的事件就可以通過隨機變量的取值表達出來．認識隨機現象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率，即對隨機現象統計規律的研究就可以具體轉化為對隨機變量概率分布的研究．這樣就可以借助于有關實數的數學工具來研究所感興趣的隨機現象的本質，從而可以建立起應用到不同領域的概率模型，這就是新概念產生的必要性，也就是為什么要學習隨機變量的緣由．

我們再從另外一個角度來認識為什么要學習隨機變量: 我們知道概率論是研究隨機現象的統計規律性的一門數學學科，也就是從表面上雜亂無章、形式偶然的現象中探索出現象的規律性的一門數學學科(這里的規律性，無非是指各種試驗結果以多大概率出現這一問題)．正是因為如此,探求這個規律性的工具應該適用于各種形式的隨機現象，而且還應該簡便、有力．分布函數

就是這樣一個工具，但這個函數是在引入隨機變量后定義的，的概率．分布函數可以把各種類型的隨機試，即分布函數是事件驗的結果的概率分布用一個統一的形式表示出來，它就是一個普通的函數，它有很好的分析性質,便于處理，它的引入使得許多概率論問題得以簡化而歸結為普通函數的運算,這樣就能利用數學分析的結果研究隨機現象規律性．

一般地,在學習概率論之前，研究普通變量與函數所采用的思路和方法已為人們所熟悉．自然，人們希望采用熟悉的方法和已有的研究成果研究新的課題，隨機變量的引入無疑也有這方面的原因．

（2）用怎樣的方式學習和理解“隨機變量”

“隨機變量”這個概念（或者簡單地說隨機試驗結果與實數的這種對應）實際上早已存在于學生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺地“實際使用”（對應思想），如在玩擲骰子時會用“點數”去表示擲出結果，在觀看射擊比賽時會用“環數”去評價射擊成績，抽獎時會先對獎券“編號”，隨機抽取一部分學生時會用“學號”去代替，觀看比賽足球比賽時，贏、平、輸分別會用“得分”去量化、隨意選購商品時會用“價格”去衡量等等，只是沒有“明朗化”．因而，對隨機變量概念的教學上筆者覺得沒有必要創設更多的問題情境，讓學生來概括提煉．實際上，把所有試驗結果都數字化，要讓學生自己想出來也是十分困難的（盡管已經在不自覺地使用）．因為，這要求對數學本質有很好的認識才行．故設計中主要考慮如何通過教師有啟發地提問，學生有意義地學習來“內化”這個概念．教學中讓學生覺得問題的提出，概念的發生、發展過程較為自然，能夠從教師的講授，自己的思考中感受數學是怎樣一步步研究現實世界的．故在教學設計中可以從一個簡單的學生熟悉的例子（作為新概念引入的背景）入手，循循善誘，使得通過這個例子，就好像通過一道門戶，把學生引入一個“建構”新知的領域．原教學設計中對“隨機變量”概念的教學是以拋擲一枚骰子為背景的，對“隨機變量”的理解，是從函數（隨機變量的取值X與隨機事件發生的概率P之間的對應）和映射（隨機試驗的結果與隨機變量的取值的對應）的強調中進行的，意在讓學生體會隨機變量在研究隨機現象中的作用．教學實踐后有專家認為，讓學生明白“隨機變量的取值X與隨機事件發生的概率P之間的對應（函數關系）”對理解隨機變量的概念沒有多大好處．反思后，筆者認為，就本節課的教學任務而言，只要學生能認識到：建立隨機變量概念后，隨機試驗中我們感興趣的事件就可以通過隨機變量的取值表達出來，“隨機試驗結果的集合到對應概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應概率集合的映射”來表示，即可“把對隨機現象統計規律的研究具體轉化為對隨機變量概率分布的研究”，這樣就可以借用有關實數的數學工具來研究隨機現象的本質了．這樣就可以了．

因此，反思后的教學設計著意彰顯這一主旨．對隨機變量概念學習的設計上，分兩步走：第一步是認識“用數字表示隨機試驗的結果”的量是一個變量，第二步是通過建立“一個從試驗結果的集合到實數集合的映射” 認識到在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化，即這是一個特殊的變量，與隨機試驗的結果有關，在此基礎上學習隨機變量概念，并理解隨機變量的特征：它的取值依賴于試驗結果，具有隨機性，即在試驗之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗，它的取值隨之確定，且所有可能取值是明確的．進一步，如何讓學生深刻認識和理解“隨機變量”這一概念？原教學設計采用讓學生舉例的方式，在學生的活動中來完成對“隨機變量”概念的理解，這一設計思路得到同行肯定．事實上，要使學生真正理解數學知識，必須要有他們身體力行的實踐，從自己親歷親為的探索思考中獲得體驗，從自己不斷深入的概括活動中，獲得對數學概念、原理的本質的領悟．此處安排學生舉例正是基于這種考慮，其意義在于：其一，可以觀察學生是否領會把隨機試驗結果數學化的思想，以及怎樣把隨機試驗結果數學化（尤其是試驗的結果不具有數量性質的隨機現象）；其二，體會引入隨機變量概念后，隨機試驗中的事件就可以通過隨機變量的取值表達出來，“隨機試驗結果的集合到對應概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應概率集合的映射”來表示，（即研究隨機現象的統計規律就可以轉化為研究隨機變量的概率分布）．

3．離散型隨機變量概念的形成離散型隨機變量是隨機變量的下位概念，而下位學習依靠的主要是同化．原教學設計中是這樣考慮的：在學生的舉例中通過分析數學化之后的隨機變量取值的集合的特征來引發離散型隨機變量的概念．即通過學生的舉例，分辨隨機變量取值的不同情況：隨機變量的取值有可數的，有不可數的，有有限個數的，有無限個數的，從中來歸納概括離散型隨機變量的特征：所有取值可以一一列出的隨機變量．如學生列舉的都是隨機變量取值為整數的例子，則引導學生去發現問題、提出問題：隨機變量的取值都是整數嗎？你能否舉個（些）例子，而隨機變量的取值不是整數呢？再讓學生舉例，以此來學習離散型隨機變量的概念．從這個角度來提出問題比較自然，這是因為，了解隨機變量的取值的多種情況本身也是對隨機變量概念的認識．所以，提出隨機變量的取值都是整數嗎？這個問題本身也是理解和進一步認識隨機變量概念的需要．教學實踐表明，這樣的設計建立在“學生的最近發展區”，新概念（離散型隨機變量）的形成水到渠成、渾然天成．而在原教學設計之前，還有過這樣的設計：安排如下一個練習，然后再提出一個問題

練習：下列隨機試驗的結果能否用隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值.（1）在含有10件次品的100件產品中，任意抽取4件,取到次品的件數；

（2）接連不斷地射擊,首次命中目標需要的射擊次數；

（3）某公園內積雪最厚處達17厘米，則該公園內各處的積雪厚度.問題：以上隨機變量可能的取值有什么不同?

這里設計練習，一方面起到鞏固隨機變量概念的目的，另一方面通過比較讓學生明白隨機變量的取值可以有不同的情況，即隨機變量取值有可數的，有不可數的，有有限個數的，有無限個數的．從中來“同化”離散性隨機變量的概念．

兩者設計相比，顯然是改進后的設計更為自然、流暢，它意在借助學生所舉出的例子，分辨隨機變量的類型，即某些隨機變量的取值是離散的，從而給出離散型隨機變量的概念，而不再單獨用問題的方式(另起爐灶)提出來（把問題中的例子也納入進來）．何況分辨隨機變量的類型也是對“隨機變量”概念（外延）的進一步理解與認識．

第二部分 反思后的教學設計

一、教學內容解析

概率是研究隨機現象的數量規律的．認識隨機現象就是指：知道這個隨機現象中所有可能出現的結果，以及每一個結果出現的概率．而對于給定的隨機現象，首先要描述所有可能出現的結果．在數學上處理時，一個常用的、也很自然的做法就是用數來表示結果，即把隨機試驗的結果數量化，使得每個結果對應一個數，這樣就可以通過實數空間（定量的角度）來刻畫隨機現象，從而就可以利用數學工具，用數學分析的方法來研究所感興趣的隨機現象．簡言之，隨機變量是連接隨機現象和實數空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關實數的數學工具來研究隨機現象的本質，從而可以建立起應用到不同領域的概率模型，這便是為什么要引入隨機變量的緣由.隨機變量在概率統計研究中起著極其重要的作用，隨機變量是用來描述隨機現象的結果的一類特殊的變量，隨機變量能夠反映隨機現象的共性，有關隨機變量的結論可以應用到具有不同背景的實際問題中．隨機變量就是建立了一個從隨機試驗結果的集合到實數集合的映射，這與函數概念在本質上（一種對應關系）是一致的，隨機試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域．

離散型隨機變量是最簡單的隨機變量，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關系．本節課主要通過離散型隨機變量展示用實數空間刻畫隨機現象的方法．本節課的重點是認識離散型隨機變量的特征，了解其本質屬性，體會引入隨機變量的作用．

二、教學目標解析

1．在對具體實例的分析中，認識和體會隨機變量對刻畫隨機現象的重要性和建立隨機變量概念的必要性，并會恰當地定義隨機變量來描述所感興趣的隨機現象，能敘述隨機變量可能取的值及其所表示的隨機試驗的結果；

2．在列舉的隨機試驗中，通過對隨機變量取值類型的分辨，歸納和概括離散型隨機變量的特征，形成離散型隨機變量的概念，并會利用離散型隨機變量刻畫隨機試驗的結果；

3．在舉例、觀察、思考、發現中經歷將隨機試驗結果數量化的過程，滲透將實際問題轉化為數學問題的思想方法，進一步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識．

三、教學問題診斷分析

本節課學生學習的難點是對引入隨機變量目的與作用的認識，以及隨機變量和普通變量的本質區別．隨機變量這個概念其實早已存在于學生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺的“實際使用”，只是沒有明朗化．學生學習這一概念就是把這些“實際使用的”規則、程序、步驟等進一步加以明確．所以，教師的責任就是為學生建立隨機變量這個概念修通渠道．可通過學生熟悉的擲骰子的隨機試驗讓學生體會隨機變量概念的發生，在師生舉例中來體會隨機變量概念的發展，特別是諸如拋擲一枚硬幣等試驗，其結果不具有數量性質，怎么讓學生自然地想到用數來表示其試驗結果，并且所用的數又盡量簡單，便于研究．教學中需多舉試驗結果本身已具有數值意義的實例，來發揮正遷移作用．通過多舉例讓學生理解：一旦給出了隨機變量，即把每個結果都用一個數表示后，認識隨機現象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率．

另外，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關系，從學習的認知方式看，下位學習依靠的主要是同化，上位學習依靠的主要是順應，上位學習一般采用的思維方法主要是概括和綜合，它主要通過改造（歸納和綜合）原有認知結構中的有關內容而建立新的認知結構．因此，從這一角度來分析，學生對隨機變量概念的學習和真正理解比離散型隨機變量的學習要困難一些．故在隨機變量的教學中，要特別重視學生舉例，讓學生在充分的自主活動中體驗數學化的過程，體驗將隨機試驗結果數量化的過程，體會隨機變量對刻畫隨機現象的重要性和研究隨機現象的工具性作用，從而來把握隨機變量的內核．

四、教學支持條件分析

學生在必修3概率一章中學習過的隨機試驗、隨機事件、簡單的概率模型和必修1中學習過的變量、函數、映射等知識是學習、領悟和“接納”隨機變量概念的重要知識基礎，教學時應充分注意這一教學條件；另外，為更好地形成隨機變量和離散型隨機變量兩個概念，教學中可借助媒體列舉和展現豐富的實例和問題，以留給學生更多的時間思考和概括．

五、教學過程設計

（一）教學基本流程

（二）教學過程

1.理解隨機變量概念

問題1：拋擲一枚骰子，可能出現的結果有哪些？概率分別是多少？

[設計意圖] 以學生熟悉的隨機試驗為例，在復習舊知中孕育新知．

[師生活動] 畫表一，指出試驗結果分別有“1點的面朝上”、“2點的面朝上”、“3點的面朝上”、“4點的面朝上”、“5點的面朝上”、“6點的面朝上”，它們都是基本事件．為了研究這些事件，常常把它們分別與一個數字對應起來．比如，用數字1與“1點的面朝上”這個試驗結果（樣本點）對應，用數字2與“2點的面朝上”這個試驗結果（樣本點）對應，等等．師生共同填寫數字，形成表二．

引導學生分析，像這樣“用數字表示隨機試驗的結果”的量用X來表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，說明X是一個變量．

[設計意圖] “用數字來表示隨機試驗的結果”實際上早已存在于學生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺地“實際使用”，如射擊比賽中會用“環數”去表示射擊成績，擲骰子時會用“點數”去表示擲出結果，抽獎時會先對獎券“編號”，隨機抽取一部分學生時會用“學號”去代替等等，只是沒有明朗化．因而，“用數字來表示隨機試驗的結果”可以通過教師有啟發地提問，有意義地講授進行，讓學生覺得問題的提出，概念的發生、發展過程較為自然，能夠從教師的講授中感受數學是怎樣一步步研究現實世界的．

問題2：在這里（指著表二），每一個試驗結果用唯一確定的數字與它對應，這個對應關系是什么？

[設計意圖]建立一個從試驗結果的集合到實數集合的映射．讓學生感悟：一旦給出了隨機變量，即把每個結果都用一個數表示后，認識隨機現象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每一個值時的概率，從而感受把隨機試驗的結果數字化（成為實數）的必要性，體會引入隨機變量的必要性．同時讓學生感受概念的從無到有、自然形成的過程．

[師生活動] 啟發誘導，引導學生發現在這里建立了一個從試驗結果的集合到實數集合的映射．形成下表三：拋擲一枚骰子

讓學生觀察、思考：剛才，用數字表示試驗結果的變量X，它根據什么在變化？讓學生發現它的取值隨試驗結果的變化而變化，它的變化是有規律的，這是個特殊的變量，與隨機試驗的結果有關，在試驗之前不知道會出現哪個值（即它的取值依賴于試驗結果，因此取值具有隨機性，即在試驗之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗，它的取值隨之確定）．同時，教師指出：在這個試驗中，我們確定了一個對應關系（也即建立了一個試驗結果到實數的映射）使得每一個試驗結果（樣本點）都用一個確定的數字表示（即所有可能取值是明確的）．在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母

問題3：隨機變量這個概念與我們曾經學過的函數概念有類似的地方嗎?

[設計意圖]引導學生與曾經學過的函數概念比較，從而加深對隨機變量概念的理解．

[師生活動]“類比”函數概念，領悟隨機變量和函數概念在本質上都是一種對應關系，都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結果映為實數，函數把實數映為實數，在這兩種映射之間，試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域．隨機變量的取值范圍我們稱為隨機變量的值域．如拋擲一枚骰子，隨機變量的值域為

引導學生利用隨機變量表達一些事件，例如拋擲一枚骰子中，點的面朝上”； “3點的面朝上”可以用朝上”或“6點的面朝上”．

表示；

表示“

1；

表示．

表示“5點的面同時指出：通過映射把隨機試驗結果與實數進行對應，也就是，把隨機試驗的結果數量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，這樣“隨機試驗結果的集合到對應概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應概率集合的映射”來表示，即可把“對隨機現象統計規律的研究具體轉化為對隨機變量概率分布的研究”．這樣我們就可以借用有關實數的數學工具來研究隨機現象的本質了．

接著，進一步指出：在學習《數學（必修3）》時我們曾經學習過概率、方差等概念，學過簡單的概率模型，在今后的學習中，我們將利用隨機變量描述和分析某些隨機現象，進一步體會概率模型的作用及運用概率思想思考和解決一些實際問題．（體現章引言）

2．對隨機變量的深刻認識(對對應思想——映射的體驗)

問題4：你能再舉些例子嗎？（請學生列舉隨機試驗，并將試驗結果數量化，不必寫出概率）

[設計意圖] 讓學生參與舉例，體驗將實際問題數學化（把實際問題數學化是學習數學極其重要的數學方法）和將隨機試驗結果數量化的過程.其意義在于兩個方面:其一,學生通過尋找(尋找本身就是一個甄別隨機與非隨機的過程),選擇自己感興趣的隨機現象,并學會用隨機變量表示隨機事件;其二,在將試驗結果數量化的過程中體會隨機變量在研究隨機現象中的重要作用.同時進一步深刻理解隨機變量的概念,領悟隨機變量學習的重要性，進一步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識．

[師生活動]教師關注學生的舉例，關注其關鍵過程：隨機試驗中所有可能出現的結果有哪些？如何將試驗的結果數量化？要求學生畫表，體會映射的過程．教師給學生充分展示和交流所舉例子的時間．同時，教師也參與舉例（教材中有關于抽取產品、射擊、瀏覽某網頁等例子可以納入進來），深刻體會將實際問題（隨機現象）數學化（數字化）的過程，感受建立隨機變量概念的重要意義．

對學生列舉的試驗結果沒有數量標志的隨機事件，諸如投擲一枚硬幣的試驗等，要引導學生分析比較，讓學生體會對于同一個隨機試驗，可以用不同的隨機變量來表示．但用哪兩個數字來表示，主要是要盡量簡單，合理，便于研究．如表四：拋擲一枚骰子

在學生舉例中學習如何用隨機變量去定義試驗結果沒有數量標志的隨機事件（中間表示映射的一欄表格可以省略）．

問題5：任何隨機試驗的所有結果都可以用數字表示嗎？同一個隨機試驗的結果，可以用不同的數字表示嗎？

[設計意圖]讓學生領悟任何隨機試驗的所有結果都可以用數字來表示（試驗結果不具有數量性質的可以通過賦值，將其數量化），同一個隨機試驗的結果，可以用不同的數字表示，表示的原則主要是有實際意義，簡單合理，便于研究．

3．形成離散型隨機變量概念

問題6：隨機變量的取值都是整數嗎？你能否舉個（些）例子，而隨機變量的取值不是整數呢？

[設計意圖] 關注學生的舉例，借學生舉出的例子，引導分析數學化之后的隨機變量取值的集合的特征（一個新概念產生之后，我們應該端詳它一番），分辨隨機變量的類型，即某些隨機變量的取值是離散的，而有些不是,從而給出離散型隨機變量的概念．如果學生列舉的都是離散型隨機變量，則教師可啟發點撥，啟發后引導學生再舉例，或給出以下問題7：

問題7：請仿照剛才的例子，分析下列隨機現象，隨機變量可以取哪些值？你能夠一個一個列出來嗎?

（1）某公交車站每隔10分鐘有1輛汽車到站，某人到達該車站的時刻是隨機的,他等車的時間；

（2）檢測一批燈泡（相同型號）的使用壽命．

[設計意圖]通過與前面列舉例子的比較，引導學生發現這兩個試驗結果中，表示隨機事件的隨機變量的取值是一個區間，其值無法一一列出，以此形成離散型隨機變量的概念．同時明晰在隨機現象中隨機變量的取值類型是豐富多樣的，這也是對隨機變量概念（外延）的進一步認識．

問題8：如果我們僅僅關心“某人等車的時間多于5分鐘或不多于5分鐘”兩種情況，那該怎樣定義隨機變量呢?

[設計意圖] 在研究隨機現象時，為研究方便，有時需要根據所關心的問題恰當地定義隨機變量．讓學生明白恰當定義隨機變量給我們研究問題帶來方便．問（2）讓學生選擇自己關心的問題來恰當定義隨機變量．

[師生活動]通過分析，讓學生明白，在研究隨機現象時，有時需要根據所關心的問題恰當地定義隨機變量．

4．練習反饋（見教科書第45頁）

下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值并說明這些值所表示的隨機試驗的結果．

（1）拋擲兩枚骰子,所得點數之和；

（2）某足球隊在5次點球中射進的球數；

（3）任意抽取一瓶某種標有2500ml的飲料,其實際量與規定量之差．

[設計意圖]在應用中鞏固離散型隨機變量的概念，并能熟練利用離散型隨機變量刻畫隨機試驗的結果．

5．小結回授

問題9：你能用自己的語言描述隨機變量和離散型隨機變量的定義及它們之間的區別嗎？（學生回答后，可以再問：你能簡單地說說引入隨機變量的好處嗎？）

[設計意圖] 學生用自己的語言來概括本節課學到的知識，是一種“主動建構”，也真正體現知識學到了手．

[師生活動]引入隨機變量后，隨機試驗中我們感興趣的事件就可以通過隨機變量的取值表達出來．認識隨機現象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率．也即把隨機試驗的結果數量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，我們就可以借助于有關實數的數學工具來研究所感興趣的隨機現象了．

六、目標檢測設計

人教A版教科書第49頁習題2.1中A組,第1,2,3題.2010-07-08 人教網