第一篇：二項分布的期望和方差的詳細證明

二項分布的期望的方差的證明

山西大學附屬中學韓永權

離散型隨機變量的二項分布:

在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是Pn(??k)?Cnkpkqn?k，（k?0,1,2n q?1?p）

稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記Cnkpkqn?k＝b(k；n，p)．求證：服從二項分布的隨機變量?的期望E??np.kk?1證明如下：預備公式：kcn?ncn?1

00n?10n?220n?2k?1k?1(n?1)?(n?k)n?1n?10(p?q)n?1?(cn?c1?cn?...?cnq?...?cnq)?1pqn?1pq?1pq?1p?1p

kkkkn?k因為p(??k)?cnp(1?p)n?k?cnpq,00n1n?122n?2kkn?kn0n所以 E??0?cnpq?1?c1??2?cnpq?...?k?cnpq?...?ncnpq npq

00n?110n?220n?2k?1k?1(n?1)?(n?k)n?1n?10=np(cnpq?cpq?cpq?...?cpq?...?cq)?1n?1n?1n?1n?1p

=np(p?q)n?1?np

所以E??np

方法二：

證明：若 X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù)，現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學期望。

若設Xi???1如第i次試驗成功i?1,2,?0如第i次試驗失敗n

則X?X1?X2?...?Xn，因為 P(Xi?1)?P，P(Xi?0)?1?P?q

所以E(Xi)?0?q?1?p?p，則E(X)?E[?Xi]??E(Xi)?np

i?1i?1nn

可見，服從參數(shù)為n和p的二項分布的隨機變量X的數(shù)學期望是np 需要指出，不是所有的隨機變量都存在數(shù)學期望。求證：服從二項分布的隨機變量?的方差公式D??npq(q?1?p)

?1k?2預備公式：k2Cnk?nCnk?1?n(n?1)Cn?2

kk?1k?1k2Cn?knCn)?1]Cn?1?n[(k?1?1

k?1k?12kk?1k?2k?1k?2?nCn)Cn?1?n(k?1)Cn?1?nCn?1?n(n?1?2 ?kCn?nCn?1?n(n?1)Cn?2

22方法一：證明：D??E??(E?)

iin?iE???i2Cnpq 2

i?0

nnn

?Cpq1

nn?1??nC

i?2

ni?1n?1pqin?ii?2in?i??n(n?1)Cn ?2pqi?2

?npqn?1?np?C

i?1i?1n?1pqi?1n?i?npCq0n?1n?1?n(n?1)p2?Ci?2ni?2n?2pi?2qn?i

?npqn?1?np(p?q)n?1?npqn?1?n(n?1)p2(p?q)n?2

?npqn?1?np?npqn?1?n(n?1)p2?np?n2p2?np2?np(1?p)?n2p2?npq?n2p2

22由公式D(X)?E(X2)?[E(X)]2知，D??E??(E?)

?npq?n2p2?(np)2?np(1?p)

方法二： 設?~B(n,p), 則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù)。

若設Xi??

n?1如第i次試驗成功i?1,2,?0如第i次試驗失敗n 則????i是n次試驗中“成功”的次數(shù)，E(?i)?0?q?1?p?p，i?1

故 D(?i)?E(?i2)?[E(?i)]2?p?p2?p(1?p)，i?1,2，n 由于?1,?2,...,?n相互獨立，于是

nD(?)??D(?i)?np(1?p)i?1

第二篇：二項分布的期望與方差的證明

二項分布的期望與方差的證明

二項分布是概率統(tǒng)計里面常見的分布，是指相互獨立事件n次試驗發(fā)生x次的概率分布，比較常見的例子。種子萌發(fā)試驗，有n顆種子，每顆種子萌發(fā)的概率是p，發(fā)芽了x顆的概率就服從二項分布。

如果還是迷茫，就聽我說說故事，在古代，大概明末清初的時候，瑞士有個家族，叫伯努利家族，出了很多數(shù)學家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比較喜歡做試驗，他的試驗有特點，是一系列的試驗，沒發(fā)生就是失敗，而且每次的成功概率都是p，若果失敗了就是q=(1-p)，只有這兩種情況，后來人們給了這除了成功就是失敗的性質一個比較抽象的名稱，叫相互對立事件。在這些試驗中，每次得出的結果與其他次試驗都不發(fā)生關系，同樣人們也給了這種不發(fā)生關系的性質一個比較抽象的名稱，叫相互獨立事件，同時把這種試驗叫做伯努利試驗。在n次伯努利試驗中，發(fā)生x次的概率滿足二項分布。

如果令q=(1-p)，那么很容易得出發(fā)生x次的概率為C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因為決定該分布的只有n、p，所以為了簡單起見，人們把x服從n，p的二項分布記做x～B(n，p)。

現(xiàn)在的目標是計算二項分布的期望和方差，在網(wǎng)上尋找二項分布的期望和方差大都給一個結果，np、npq，很難找到它是怎么來的。好不容易查到，還是花錢才能看的，就那幾步過程，有必要藏著蓋著嗎？今天我把過程寫出來，讓大家都了解了解，都是原創(chuàng)，互相學習，希望支持。

首先，不厭其煩地說一下期望與方差的關系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自變量記做ξ，如果對于結果為ξ的概率為Pξ那么，其期望為Eξ=∑ξ*Pξ，方差為Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外還有一個常見的量叫做標準差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根據(jù)方差的概念，可知： Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ

=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)

=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因為∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面計算數(shù)學期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)

=n*p*(p+q)^(n-1)=n*p

如果要計算方差，根據(jù)公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出結果，過程如下，Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ，n}＋C{ξ，n}*q)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ，n}*q－(C{ξ，n}－C{ξ-1，n-1})]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]

=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ ∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]

=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]

=n*p*[n*q－(n-1)*q]

=n*p*q

以上就是二項分布的期望與方差的證明，過程比較簡單，就是一個思路，要想更深入的領悟，就須要自己親自地證明一遍了，也許你的方法將會更簡單……

第三篇：樣本方差證明

一弛，你好！

樣本方差有2種表達方式：

S2

n1n??(Xi?)2-----（1）ni?1

1n

Sn?1?(Xi?)2-----（2）?n?1i?12

從理論上說這2種定義都是可行的，現(xiàn)實生活中更經(jīng)常使用方程（2），是因為方程（2）是總體方差真實值?2的無偏估計量，而（1）是有偏估計量。無偏性在應用中非常重要，估計量只有無偏才能保證在樣本數(shù)目足夠大時無限趨近于真實值，估計才有意義。證明方程（2）的無偏性如下，思路是對估計量求期望，看是否等于總體方差：

n1E(Sn?1)?E[(Xi?)2]?n?1i?1

n1?E{?[(Xi??)?(??)]2}n?1i?1

nn12?E{?[(Xi??)?2?(Xi??)(??)?n(??)2}n?1i?1i?12

n1?{?E(Xi??)2?2nE(??)2?nE(??)2}n?1i?1

n1?{?E(Xi??)2?nE(??)2}n?1i?1

?212?{n??n()}n?1n

??2

證畢。

如果有問題，可隨時聯(lián)系我。

祝好！

陳謝晟

第四篇：方差和標準差

4.4

方差和標準差

〖教學目標〗

◆1、了解方差、標準差的概念.◆2、會求一組數(shù)據(jù)的方差、標準差，并會用他們表示數(shù)據(jù)的離散程度．

◆3、能用樣本的方差來估計總體的方差．

◆4、通過實際情景，提出問題，并尋求解決問題的方法，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力．

〖教學重點與難點〗

◆教學重點：本節(jié)教學的重點是方差的概念和計算。.◆教學難點：方差如何表示數(shù)據(jù)的離散程度，學生不容易理解，是本節(jié)教學的難點.〖教學過程〗

一、創(chuàng)設情景，提出問題

甲、乙兩名射擊手的測試成績統(tǒng)計如下表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

甲命中環(huán)數(shù)

乙命中環(huán)數(shù)

①請分別

算出甲、乙兩名射擊手的平均成績；

②請根據(jù)這兩名射擊手的成績在圖中畫出折線圖；

二、合作交流，感知問題

請根據(jù)統(tǒng)計圖，思考問題：

①、甲、乙兩名射擊手他們每次射擊成績與他們的平均成績比擬，哪一個偏離程度較低？

②、射擊成績偏離平均數(shù)的程度與數(shù)據(jù)的離散程度與折線的波動情況有怎樣的聯(lián)系？

③、用怎樣的特征數(shù)來表示數(shù)據(jù)的偏離程度？可否用各個數(shù)據(jù)與平均的差的累計數(shù)來表示數(shù)據(jù)的偏離程度？

④、是否可用各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和來表示數(shù)據(jù)的偏離程度？

⑤、數(shù)據(jù)的偏離程度還與什么有關？要比擬兩組樣本容量不相同的數(shù)據(jù)的偏離平均數(shù)的程度，應如何比擬？

三、概括總結，得出概念

1、根據(jù)以上問題情景，在學生討論，教師補充的根底上得出方差的概念、計算方法、及用方差來判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。

2、方差的單位和數(shù)據(jù)的單位不統(tǒng)一，引出標準差的概念。

〔注意：在比擬兩組數(shù)據(jù)特征時，應取相同的樣本容量，計算過程可借助計數(shù)器〕

3、現(xiàn)要挑選一名射擊手參加比賽，你認為挑選哪一位比擬適宜？為什么？

〔這個問題沒有標準答案，要根據(jù)比賽的具體情況來分析，作出結論〕

四、應用概念，穩(wěn)固新知

1、某樣本的方差是4，那么這個樣本的標準差是。

2、一個樣本1，3，2，X，5，其平均數(shù)是3，那么這個樣本的標準差是。

3、甲、乙兩名戰(zhàn)士在射擊訓練中，打靶的次數(shù)相同，且中環(huán)的平均數(shù)X甲=X乙，如果甲的射擊成績比擬穩(wěn)定，那么方差的大小關系是S2甲

S2乙

4、一個樣本的方差是S=[〔X1—4〕2+〔X2—4〕2+…+〔X5—4〕2]，那么這個樣本的平均數(shù)是，樣本的容量是。

５、八年級〔５〕班要從黎明和張軍兩位侯選人中選出一人去參加學科競賽，他們在平時的５次測試中成績如下〔單位：分〕

黎明：　652

653

654

652

654

張軍：

667

662

653

640

643

如果你是班主任，在收集了上述數(shù)據(jù)后，你將利用哪些統(tǒng)計的知識來決定這一個名額？〔解題步驟：先求平均數(shù)，再求方差，然后判斷得出結論〕

五、穩(wěn)固練習，反應信息

１、課本“課內練習〞第１題和第２題。

２、課本“作業(yè)題〞第３題。

3、甲、乙兩人在相同條件下各射靶

（1

〕

次，每次射靶的成績情況如下圖．

（1

〕請?zhí)顚懴卤恚?/p>

（2)請你就以下四個不同的角度對這次測試結果進行分析：

①

從平均數(shù)和方差相結．合看，誰的成績較好？

②

從平均數(shù)和命中

環(huán)以上的次數(shù)相結合看，誰的成績較好？

③

從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看，誰更有潛力？

六、通過探究，找出規(guī)律

兩組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5和101，102，103，104，105。

1、求這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和標準差。

2、將這兩組數(shù)據(jù)畫成折線圖，并用一條平行于橫軸的直線來表示這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察你畫的兩個圖形，你發(fā)現(xiàn)了哪些有趣的結論？

3、假設兩組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5和3，6，9，12，15。你要能發(fā)現(xiàn)哪些有趣的結論？

4、用你發(fā)現(xiàn)的結論來解決以下的問題：

數(shù)據(jù)X1，X２，X３，…Xn的平均數(shù)為a，方差為b，標準差為c。那么

①

數(shù)據(jù)X1＋３，X２＋３，X３＋３…，Xn＋３的平均數(shù)為，方差為，標準差為。

②

數(shù)據(jù)X1—３，X２—３，X３—３…Xn—３的平均數(shù)為，方差為，標準差為。

③

數(shù)據(jù)４X1，４X２，４X３，…４Xn的平均數(shù)為，方差為，標準差為。

④

數(shù)據(jù)２X1—３，２X２—３，２X３—３，…２Xn—３的平均數(shù)為，方差為，標準差為。

七、小結回憶，反思提高

１、這節(jié)課我們學習了方差、標準差的概念，方差的實質是各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)。方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定。

２、標準差是方差的一個派生概念，它的優(yōu)點是單位和樣本的數(shù)據(jù)單位保持一致，給計算和研究帶來方便。

３、利用方差比擬數(shù)據(jù)波動大小的方法和步驟：先求平均數(shù)，再求方差，然后判斷得出結論。

八、分層作業(yè)，延伸拓展

１、必做題：作業(yè)本底頁。

２、選做題：

在某旅游景區(qū)上山的一條小路上有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺階，如以下圖是其中的甲、乙段臺階路的示意圖〔圖中的數(shù)字表示每一級臺階的高度〕．請你用所學過的統(tǒng)計量〔平均數(shù)、中位數(shù)、方差等〕進行分析，答復以下問題：

（1

〕兩段臺階路每級臺階的高度有哪些相同點和不同點？

（2

〕哪段臺階路走起來更舒服？為什么？

（3

〕為方便游客行走，需要重新整修上山的小路，對于這兩段臺階路，在臺階數(shù)不變的情況下，請你提出合理的整修建議．

第五篇：n次方差的證明

n次方差公式的證明方法

n次方差公式：

an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1)，n?N?

證法一：

an?bn?an?an?1b?an?1b?an?2b2?an?2b2?.....?abn?1?bn

?an?1(a?b)?an?2b(a?b)?.....?bn?1(a?b)?(a?b)(a

證法二： n?1?an?2b?.....?bn?1)

?b?設等比數(shù)列?an?的通項公式為an???，則其前n項和為：

?a?

n??b?n?b??b???1????b?1????23n?1na?b?b??b???a?????a???b(an?bn)?b??b?????????......?????????nba?a??a?a?ba(a?b)?a??a?1?a23n?1n n??a(a?b)bbbbb????????故：an?bn?????????......???????b?a??a????a?a??a??n ?(a?b)?an?1?an?2b?an?3b2?......?abn?2?bn?1?