第一篇：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)隨機(jī)項(xiàng)方差無偏估計(jì)量的證明

?i，是完全可以計(jì)因?yàn)椋瑯颖練埐羁梢钥醋魇强傮w隨機(jī)項(xiàng)的估計(jì)量，而樣本殘差?i?yi?y

算的，因此，可以用樣本殘差的方差來估計(jì)總體隨機(jī)項(xiàng)的方差。

我們目的是得到?的無偏估計(jì)量，因此，我們需要確定樣本殘差平方和的自由度fe，使得

???i??2?

???2（3.4.3）E?

??fe??

由于?0，所以，上式等價(jià)于

??i2?

???2（3.4.4）E?

?f??e?

可以證明fe?n?2，其中n是樣本容量。下面給出證明：

第二篇：樣本方差證明

一弛，你好！

樣本方差有2種表達(dá)方式：

S2

n1n??(Xi?)2-----（1）ni?1

1n

Sn?1?(Xi?)2-----（2）?n?1i?12

從理論上說這2種定義都是可行的，現(xiàn)實(shí)生活中更經(jīng)常使用方程（2），是因?yàn)榉匠蹋?）是總體方差真實(shí)值?2的無偏估計(jì)量，而（1）是有偏估計(jì)量。無偏性在應(yīng)用中非常重要，估計(jì)量只有無偏才能保證在樣本數(shù)目足夠大時(shí)無限趨近于真實(shí)值，估計(jì)才有意義。證明方程（2）的無偏性如下，思路是對(duì)估計(jì)量求期望，看是否等于總體方差：

n1E(Sn?1)?E[(Xi?)2]?n?1i?1

n1?E{?[(Xi??)?(??)]2}n?1i?1

nn12?E{?[(Xi??)?2?(Xi??)(??)?n(??)2}n?1i?1i?12

n1?{?E(Xi??)2?2nE(??)2?nE(??)2}n?1i?1

n1?{?E(Xi??)2?nE(??)2}n?1i?1

?212?{n??n()}n?1n

??2

證畢。

如果有問題，可隨時(shí)聯(lián)系我。

祝好！

陳謝晟

第三篇：n次方差的證明

n次方差公式的證明方法

n次方差公式：

an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1)，n?N?

證法一：

an?bn?an?an?1b?an?1b?an?2b2?an?2b2?.....?abn?1?bn

?an?1(a?b)?an?2b(a?b)?.....?bn?1(a?b)?(a?b)(a

證法二： n?1?an?2b?.....?bn?1)

?b?設(shè)等比數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an???，則其前n項(xiàng)和為：

?a?

n??b?n?b??b???1????b?1????23n?1na?b?b??b???a?????a???b(an?bn)?b??b?????????......?????????nba?a??a?a?ba(a?b)?a??a?1?a23n?1n n??a(a?b)bbbbb????????故：an?bn?????????......???????b?a??a????a?a??a??n ?(a?b)?an?1?an?2b?an?3b2?......?abn?2?bn?1?

第四篇：二項(xiàng)分布的期望與方差的證明

二項(xiàng)分布的期望與方差的證明

二項(xiàng)分布是概率統(tǒng)計(jì)里面常見的分布，是指相互獨(dú)立事件n次試驗(yàn)發(fā)生x次的概率分布，比較常見的例子。種子萌發(fā)試驗(yàn)，有n顆種子，每顆種子萌發(fā)的概率是p，發(fā)芽了x顆的概率就服從二項(xiàng)分布。

如果還是迷茫，就聽我說說故事，在古代，大概明末清初的時(shí)候，瑞士有個(gè)家族，叫伯努利家族，出了很多數(shù)學(xué)家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比較喜歡做試驗(yàn)，他的試驗(yàn)有特點(diǎn)，是一系列的試驗(yàn)，沒發(fā)生就是失敗，而且每次的成功概率都是p，若果失敗了就是q=(1-p)，只有這兩種情況，后來人們給了這除了成功就是失敗的性質(zhì)一個(gè)比較抽象的名稱，叫相互對(duì)立事件。在這些試驗(yàn)中，每次得出的結(jié)果與其他次試驗(yàn)都不發(fā)生關(guān)系，同樣人們也給了這種不發(fā)生關(guān)系的性質(zhì)一個(gè)比較抽象的名稱，叫相互獨(dú)立事件，同時(shí)把這種試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)。在n次伯努利試驗(yàn)中，發(fā)生x次的概率滿足二項(xiàng)分布。

如果令q=(1-p)，那么很容易得出發(fā)生x次的概率為C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因?yàn)闆Q定該分布的只有n、p，所以為了簡(jiǎn)單起見，人們把x服從n，p的二項(xiàng)分布記做x～B(n，p)。

現(xiàn)在的目標(biāo)是計(jì)算二項(xiàng)分布的期望和方差，在網(wǎng)上尋找二項(xiàng)分布的期望和方差大都給一個(gè)結(jié)果，np、npq，很難找到它是怎么來的。好不容易查到，還是花錢才能看的，就那幾步過程，有必要藏著蓋著嗎？今天我把過程寫出來，讓大家都了解了解，都是原創(chuàng)，互相學(xué)習(xí)，希望支持。

首先，不厭其煩地說一下期望與方差的關(guān)系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自變量記做ξ，如果對(duì)于結(jié)果為ξ的概率為Pξ那么，其期望為Eξ=∑ξ*Pξ，方差為Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外還有一個(gè)常見的量叫做標(biāo)準(zhǔn)差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根據(jù)方差的概念，可知： Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ

=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)

=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因?yàn)椤芇ξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面計(jì)算數(shù)學(xué)期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)

=n*p*(p+q)^(n-1)=n*p

如果要計(jì)算方差，根據(jù)公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出結(jié)果，過程如下，Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ，n}＋C{ξ，n}*q)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ，n}*q－(C{ξ，n}－C{ξ-1，n-1})]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]

=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ ∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]

=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]

=n*p*[n*q－(n-1)*q]

=n*p*q

以上就是二項(xiàng)分布的期望與方差的證明，過程比較簡(jiǎn)單，就是一個(gè)思路，要想更深入的領(lǐng)悟，就須要自己親自地證明一遍了，也許你的方法將會(huì)更簡(jiǎn)單……

第五篇：二項(xiàng)分布的期望和方差的詳細(xì)證明

二項(xiàng)分布的期望的方差的證明

山西大學(xué)附屬中學(xué)韓永權(quán)

離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:

在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是Pn(??k)?Cnkpkqn?k，（k?0,1,2n q?1?p）

稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記Cnkpkqn?k＝b(k；n，p)．求證：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量?的期望E??np.kk?1證明如下：預(yù)備公式：kcn?ncn?1

00n?10n?220n?2k?1k?1(n?1)?(n?k)n?1n?10(p?q)n?1?(cn?c1?cn?...?cnq?...?cnq)?1pqn?1pq?1pq?1p?1p

kkkkn?k因?yàn)閜(??k)?cnp(1?p)n?k?cnpq,00n1n?122n?2kkn?kn0n所以 E??0?cnpq?1?c1??2?cnpq?...?k?cnpq?...?ncnpq npq

00n?110n?220n?2k?1k?1(n?1)?(n?k)n?1n?10=np(cnpq?cpq?cpq?...?cpq?...?cq)?1n?1n?1n?1n?1p

=np(p?q)n?1?np

所以E??np

方法二：

證明：若 X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù)，現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望。

若設(shè)Xi???1如第i次試驗(yàn)成功i?1,2,?0如第i次試驗(yàn)失敗n

則X?X1?X2?...?Xn，因?yàn)?P(Xi?1)?P，P(Xi?0)?1?P?q

所以E(Xi)?0?q?1?p?p，則E(X)?E[?Xi]??E(Xi)?np

i?1i?1nn

可見，服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np 需要指出，不是所有的隨機(jī)變量都存在數(shù)學(xué)期望。求證：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量?的方差公式D??npq(q?1?p)

?1k?2預(yù)備公式：k2Cnk?nCnk?1?n(n?1)Cn?2

kk?1k?1k2Cn?knCn)?1]Cn?1?n[(k?1?1

k?1k?12kk?1k?2k?1k?2?nCn)Cn?1?n(k?1)Cn?1?nCn?1?n(n?1?2 ?kCn?nCn?1?n(n?1)Cn?2

22方法一：證明：D??E??(E?)

iin?iE???i2Cnpq 2

i?0

nnn

?Cpq1

nn?1??nC

i?2

ni?1n?1pqin?ii?2in?i??n(n?1)Cn ?2pqi?2

?npqn?1?np?C

i?1i?1n?1pqi?1n?i?npCq0n?1n?1?n(n?1)p2?Ci?2ni?2n?2pi?2qn?i

?npqn?1?np(p?q)n?1?npqn?1?n(n?1)p2(p?q)n?2

?npqn?1?np?npqn?1?n(n?1)p2?np?n2p2?np2?np(1?p)?n2p2?npq?n2p2

22由公式D(X)?E(X2)?[E(X)]2知，D??E??(E?)

?npq?n2p2?(np)2?np(1?p)

方法二： 設(shè)?~B(n,p), 則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù)。

若設(shè)Xi??

n?1如第i次試驗(yàn)成功i?1,2,?0如第i次試驗(yàn)失敗n 則????i是n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)，E(?i)?0?q?1?p?p，i?1

故 D(?i)?E(?i2)?[E(?i)]2?p?p2?p(1?p)，i?1,2，n 由于?1,?2,...,?n相互獨(dú)立，于是

nD(?)??D(?i)?np(1?p)i?1