第一篇：分式不等式放縮、裂項(xiàng)、證明

放縮法的常見(jiàn)技巧

（1）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)（2）在分式中放大或縮小分子或分母。（3）應(yīng)用基本不等式放縮(例如均值不等式）。（4）應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮（5）根據(jù)題目條件進(jìn)行放縮。（6）構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行放縮。（7）構(gòu)造裂項(xiàng)條件進(jìn)行放縮。（8）利用函數(shù)切線、割線逼近進(jìn)行放縮。使用放縮法的注意事項(xiàng)

（1）放縮的方向要一致。（2）放與縮要適度。

（3）很多時(shí)候只對(duì)數(shù)列的一部分進(jìn)行放縮法，保留一些項(xiàng)不變（多為前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)）。（4）用放縮法證明極其簡(jiǎn)單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會(huì)出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象。所以對(duì)放縮法，只需要了解，不宜深入。

先介紹工具

柯西不等式（可以通過(guò)向量表示形式記住即摸摸大于向量乘積）

均值不等式

調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)

絕對(duì)值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推論1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性質(zhì)可推廣為|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推論2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立． 常用放縮思想

這幾個(gè)務(wù)必牢記

不常見(jiàn)不常用的不等式

這幾個(gè)一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂項(xiàng)部分

二項(xiàng)平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

1.分式不等式中的典范，典范中的典范，放縮、裂項(xiàng)、去等，步步精彩

解析：

步步經(jīng)典，用筆化化就能明白思想，換元或許更直觀，即令t=1/（x+2）

第一步意義--開(kāi)不了方的，開(kāi)方，并且可取等號(hào) 第二步意義--開(kāi)不了方的，開(kāi)方，裂項(xiàng)，并且可取等號(hào) 個(gè)人認(rèn)為這倆個(gè)放縮，很犀利，沒(méi)見(jiàn)過(guò)，看似難實(shí)則簡(jiǎn)單，看似簡(jiǎn)單實(shí)則難

2.構(gòu)造+三角形 ★★★★

平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C，連接三點(diǎn)，令A(yù)B=c，AC=b，BC=a，求 解析：

構(gòu)造，主要就是構(gòu)造，b/c就是很明顯的提示。三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

構(gòu)造 ★★★★

為了方便觀察，沒(méi)有采用換元，直接寫(xiě)更清楚，這題應(yīng)該是一直在向目標(biāo)上湊得題目了

3.反證法典例 ★★

解析：

4.柯西不等式典例 ★★★

有些方法就是那么氣人，神奇的氣人

或者用三角函數(shù)也可以不過(guò)要用到三角恒等式： 令x+2y+3z=t則(t-3z)^2／√5≤√(5-z^2)即14z^2-6tz+t^2-25≤0△=-20t^2+1400≤0 所以tmax=√70

5.

第二篇：裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式

策略

一、裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式

若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解題。例1-

1、（全國(guó)I理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn?項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

2n

43an?

?

2n?

1?

23，n?1,2,3,???（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通

n

Sn，n?1,2,3,???，證明：?Ti?

i?1

例1-

2、（湖北理-17）已知二次函數(shù)y?f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)?6x?2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)

?

和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)(n?N)均在函數(shù)y?f(x)的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn?

3anan?

1，Tn是

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn?

m20

對(duì)所有n?N?都成立的最小正整數(shù)m；

例1-

3、（重慶理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列{a}滿足a1?2,an?1?an?

n

1an

(n?1,2,?).（Ⅰ）證明a?

n

2n?1對(duì)一切正整數(shù)n

成立；（Ⅱ）令bn?

ann

(n?1,2,?)，判定b與b

n

n?

1的大小，并說(shuō)明理由

例1-

4、已知n?N*，求1?

例1-

5、設(shè)an?1?

2a

?

3???

1n

＜2n

?

a

???

1n

a,a?2.求證：an?2.策略

二、均值不等式放縮證明不等式 例2-

1、設(shè)Sn?

例3-

2、已知函數(shù)f(x)?

例3-

3、已知a,b為正數(shù)，且a?b

1?

1?2?2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)

.4x

x

1?

4求證：f(1)?f(2)???f(n)?n?

n?1

?

.，試證：對(duì)每一個(gè)n?N?，(a?b)n

?a?b?2

nn2n

?2

n?1

.策略

三、調(diào)整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）

一個(gè)分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變小；一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）---姐妹不等式:

ba?b?ma?m

(b?a?0,m?0)和

ba?b?ma?m

(a?b?0,m?0)

例3-

1、（福建理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an?1=2an+1(n∈N?)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1明:

例3-

2、證明：(1?1)(1?3)(1?5)?(1?2n?1)?

即證：1?3?5???(2n?1)?

例3-

3、證明:(1?1)(1?)(1?)?(1?

713n?

2)?

－1 b2－2

4?

4bn－

1=(a

n

+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列;（Ⅲ）證

n2

?

3＜

a1a2

?

a2a3

???

anan?1

＜

n2

(n∈N).*

2n?1和(1?

?

12)(1?1

14)(1?

16)?(1?

12n)?

12n?1

2?4?6??2n

2n?1

和

1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n

2n?1

3n?1.例3-

4、已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜

例3-

5、求證:

13?

1?

13?2?1

???

13?

2n?1

abc

＋＋＜2。b?ca?ca?b

?1

?

策略

四、單調(diào)性放縮證明不等式

例4-

1、（湖南理-19）已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{an}滿足:0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,?.證明:（I）．0?an?1?an?1;（II）．a(chǎn)n?1?

例4-2（遼寧理-21）已知函數(shù)f(x)?ax?

0?a1?

2,an?1?f(an),n?N

?

an.32

x的最大值不大于

.16，又當(dāng)x?[

11,]42

時(shí)

f(x)?

.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)，證明an?

1n?

1x1例4-

3、（北京理-19）數(shù)列?xn?由下列條件確定：

xn?1??a?0，1?a?

?xn??,n?N．（I）證明：對(duì)n?2總有xn???2?xn?

a；

(II)證明：對(duì)n?2總有xn?xn?

1例4-

4、設(shè)Sn??2?

例4-

5、求證：(1?1)(1?)(1?)?(1?

12n?

1)?

2n?1.2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)2

.策略五：二項(xiàng)式放縮證明不等式

nn01nn01

2?(1?1)?Cn?Cn???Cn,2?Cn?Cn?n?1,2?C?C?C?例5-

1、已知a1?1,an?1?(1?

例5-

2、證明2?(1?

n

例5-

3、設(shè)n?1,n?N，求證(3)

n

0n1n2n

n

?n?2

212

n

.證明a

n

?n(n?1)(n?2)

?e

1n?n)an?

n

1n)?3.n

?

8(n?1)(n?2)

策略六：遞推放縮證明數(shù)列不等式

例6-

1、（全國(guó)高考）設(shè)數(shù)列?a?滿足an?1?an?nan?1?n?N??，當(dāng)a1?3時(shí)證明對(duì)所有n?1, 有(i)an?n?2；

n

(ii)

11?a

1?

11?a

2???

11?an

?

例6-

2、(重慶理-22壓軸題)數(shù)列{an}滿足a1?1且an?1?(1?

1n?n)an?

2n

(n?1).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

an?2(n?2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1?x)?x對(duì)x?0成立,證明:an?e(n?1)，其中無(wú)理數(shù)e?2.71828?

例6-

3、（湖北理-22壓軸題）已知不等式

12?13???

1n?12[log

n],n?N,n?2.[log

?

2n]表示不超過(guò)log2b,n?3.n 的最大

整數(shù)。設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1?b(b?0),an?

nan?1n?an?

1,n?2,n?N?，證明：an?

2?b[log

n]

例6-

4、（浙江理-20壓軸題）已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列{xn}（xn＞0）的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：

*

曲線y=f（x）在（xn+！，f（xn+！））處的切線與經(jīng)過(guò)（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)直線平行（如圖）。求證：當(dāng)n∈N時(shí)

2（Ⅰ）xn?xn?3xn?1?2xn?1（Ⅱ）()

n?

11n?2

?xn?()

策略七：分項(xiàng)討論放縮證明數(shù)列不等式

例

7、（2004年全國(guó)3理-22壓軸題）（14分）已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn?2an?(?1)n,n?1.（1）寫(xiě)出數(shù)列?an?的前三項(xiàng)a1,a2,a3；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)m?4，有

策略八： 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

例8-

1、（江西理-21倒二題）（12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)（1）證明an?an?1?2,n?N;（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.例8-

2、（江西理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝

1a4

?

1a5

???

1am

?

.,且滿足:a0?1,an?1?

an,(4?an),n?N.，且an＝

n?2，n?N）（1）求數(shù)列｛an｝

2an－1＋n－1

3nan－1

?的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1?a2???an?2?n！

第三篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書(shū)寫(xiě)不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題

化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過(guò)變量替換可以改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過(guò)大或縮得過(guò)小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

數(shù)學(xué)題目是無(wú)限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對(duì)那無(wú)限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無(wú)邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒(méi)有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒(méi)有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要;二是利用做題來(lái)鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。

解題需要豐富的知識(shí)，更需要自信心。沒(méi)有自信就會(huì)畏難，就會(huì)放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會(huì)輕言放棄，才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來(lái)屬于自己的春天。

第四篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領(lǐng)導(dǎo)：年級(jí)組長(zhǎng)：使用時(shí)間：

放縮法證明不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡(jiǎn)單的不等式。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：放縮法證明不等式。

難點(diǎn)：放縮法證明不等式。

【學(xué)法指導(dǎo)】

1.據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，自學(xué)課本內(nèi)容，限時(shí)獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案；

2.紅筆勾出疑難點(diǎn)，提交小組討論；

3.預(yù)習(xí)p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時(shí)，有時(shí)可以通過(guò)縮小（或）分式的分母（或），或通過(guò)放大（或縮小）被減式（或）來(lái)證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時(shí)常使用的方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，即多項(xiàng)式加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，或多項(xiàng)式減上一些正的值，多項(xiàng)式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮小）：分母變大，分式值減小，分母變小，分

式值增大。

如當(dāng)(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數(shù)，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

本節(jié)小結(jié)：

第五篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

在學(xué)習(xí)不等式時(shí)，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過(guò)程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在。現(xiàn)例析如下，供大家討論。例1：設(shè)a、b、c是三角形的邊長(zhǎng)，求證

abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c

且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0

∴

? ∴abcabc???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0

b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無(wú)法放縮。所以在運(yùn)用放

c?a?b[評(píng)析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因?yàn)?c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無(wú)法判斷符號(hào)，因此縮法時(shí)要注意放縮能否實(shí)現(xiàn)及放縮的跨度。

例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長(zhǎng)，求證

abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

3證明：由不等式的對(duì)稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a?

b?c?a?0

左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評(píng)析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個(gè)式了，有了一定的難度。由例

1、例2也可知運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號(hào)。

例3：設(shè)a、b、c?R?且abc?1求證

111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設(shè)a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。

∴1?a?b?xyz?x3?y3

∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2

∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z)

∴

1z1?≤

xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對(duì)稱性可得[評(píng)析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對(duì)稱性。

39例4：設(shè)a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥

22證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1?又∵(44。∴a??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc

23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?)

2383

341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥

2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥

22[評(píng)析]：本題運(yùn)用對(duì)稱性確定符號(hào)，在使用基本不等式可以避開(kāi)討論。

例5：設(shè)a、b、c?R?，p?R，求證：

abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c)

證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，于是

左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc)

?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2

≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證：

abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡(jiǎn)單不等式

a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因?yàn)樽筮???(1?a)(1?b)(1?c)

a?b?1a?b?1a?b?1

?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab)

a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(gè)(或多個(gè))中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時(shí)成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過(guò)頭，縮不能不及。