第一篇：淺談用放縮法證明不等式

淺談用放縮法證明不等式

山東省 許 曄

不等式的證明是中學數學教學的重點，也是學生接受時感到頭痛的難點。不等式的證明方法很多。如：比較法（比差商法）、分析法、綜合法、數學歸納法、反證法和放縮法等。限于篇幅，下面僅就用放縮法證明不等式的問題加以證明。

所謂放縮法，就是針對不等式的結構特征，運用不等式及有關的性質，對所證明的不等式的一邊進行放大或縮小或兩邊放大縮小同時兼而進行，似達到證明結果的方法。但無論是放大還是縮小都要遵循不等式傳遞性法則，保證放大還是縮小的連續性，不能牽強附會，須做到步步有據。比如：證a＜b，可先證a＜h1，成立，而h1＜b又是可證的，故命題得證。

利用放縮法證明不等式，既要掌握放縮法的基本方法和技巧，又須熟練不等式的性質和其他證法。做到放大或縮小恰到好處，才有利于問題的解決。現舉例說明用放縮法證明不等式的幾種常用方法。

一、運用基本不等式來證明

①求證：lg8·lg12＜

1證明：∵lg8＞0，lg12＞0，而 lg96＜lg100=2 ∴lg8·lg12＜1.說明：本題應用對數函數的單調性利用不等式平均值，不等式兩次放大，使不等式獲證。

說明：本題采用了與基本不等式結合進行放縮的有關解題技巧。

解：

∵a2b2≥2ab（當且僅當a=b時，等號成立）同理a2+c2≥2ac（當且僅當a=c時，等號成立）b2＋c2≥2bc（當且僅當b=c時，等號成立）

∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（當且僅當a=b=c時，等號成立）∵由已知可得a2+b2＋c2=ab＋bc＋ac，說明：此題完全使用了不等式的基本性質便可解此題。

二、運用放大、縮小分母或分子的辦法來達到放縮的目的證明：

說明：本題觀察數列的構成規律，采用通項放縮的技巧把一般數列轉化成特殊數列，從而達到簡化證題的目的。

證明：

本題說明采用了分別把各項的分母換成最大的2m或最小的m＋1的技巧。③求證：

證明：

本題說明：此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即放不能太寬、縮不能太窄，真正做到恰到好處。

④求證：

證明：

本題說明，此題采用了通項放縮，使放縮后能拆項相消的技巧。⑤若a、b、c為不全相等的非實數 求證：

證明：

∵a、c、b不全為零，上述三式不能全取等號，相加得

說明：本題考慮到是齊次對稱式，應用不舍棄非負項縮小的技巧。⑥求證：

證明：

當a＋b=0時，不等式顯然成立。

當a＋b≠0時，∵0＜｜a＋b｜≤｜a｜+｜b｜，即：左邊≤右邊.說明：本題是運用了放大分母而縮小一個正分數的技巧。

三、放縮法在數學歸納法和數列中的應用

證明：當n=k+1時，則得

本題采用放縮法和數學歸納法相結合的解題方法。

證明：由遞推公式有：

∴x100＞45.本題采用了數列的遞增和放縮法相結合的解題技巧。

以上例題足以說明，如果掌握了不等式證明的基本方法，并能巧用放縮法，很多難下手的題型，就能找到解題途徑，使不等式證明簡化。誠然，要掌握放縮法必須掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。

第二篇：淺談用放縮法證明不等式

淮南師范學院2012屆本科畢業論文 1

目錄

引言?????????????????????????????????（2）1.放縮法的常用技巧??????????????????????????（3）

1.1 增減放縮法???????????????????????????（3）1.2 公式放縮法???????????????????????????（5）1.3 利用函數的性質?????????????????????????（6）1.4 綜合法?????????????????????????????（9）1.5 數列不等式的證明????????????????????????（11）2.放縮法要放縮得恰到好處???????????????????????（12）

2.1 調整放縮量的大小????????????????????????（12）2.2 限制放縮的項和次數???????????????????????（13）2.3 將不等式的一邊分組進行放縮???????????????????（14）總結?????????????????????????????????（16）致謝?????????????????????????????????（17）參考文獻???????????????????????????????（18）

淺談用放縮法證明不等式 2 淺談用放縮法證明不等式

學生： 指導老師：

淮南師范學院數學與計算科學系

摘要：本文介紹了放縮法的基本概念, 在此基礎上總結出增減放縮法、公式放縮法、利用函數的性質放縮和綜合法等用放縮法證明不等式的常用技巧,以及數列不等式證明中放縮法的應用,并進而從三個方面闡述使用放縮法過程中如何使放縮適當的問題.這對證明不等式很有幫助。關鍵詞：不等式;放縮法;技巧;適當

Proving the Inequity by Amplification and Minification

Student： Guide teacher：

Huainan Normal University Department of Mathematics

Abstract: This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification method.And on the basis of this, it sums up some commonly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence inequality.In addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three aspects.They do much help to demonstrating inequality.Key words: inequality;amplification and minification;skill;appropriate

引 言

在證明不等式的過程中,我們的基本解題思路就是將不等式的一邊通過若干次適當的恒等變形或不等變形(放大或縮小),根據等式的傳遞性①和不等式的傳遞性②逐步轉化出另外一邊.與等式的證明相比較,不等式的證明最大特色就是在變形過程中它有“不等的”變形,即對原式進行了“放大”或“縮小”.而這種對不等式進行不等變形,從而使不等式按同一方向變換,達到證明目的的特有技巧我們稱之為放縮法.因其技巧性強,方法靈活多變,同學們一直較難掌握.想要很好的在不等式證明中運用放縮法,應當注意以下兩點：?掌握放縮法的一些常用策略和技巧；?放縮法要放縮得恰到好處,才能達到證題的目的.本文著重就這兩點舉例加以說明.淮南師范學院2012屆本科畢業論文 3 放縮法的常用技巧

1.1 增減放縮法

1.1.1 增加（減去）不等式中的一些正（負）項

在不等式的證明中常常用增加（減去）一些正(負)項,從而使不等式一邊的各項之和變大(小),從而達到證明的目的.例1 設a,b,c都是正數,ab?bc?ca?1,求證：a?b?c?3.證明：??a?b?c?2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca

?12??a?b?2??b?c???c?a??3?ab?bc?ca?

22??3?ab?bc?ca??3

33?a?b?c?3,當且僅當a?b?c?時取等號.1.1.2 增大（減小）不等式一邊的所有項

將不等式一邊的各項都增大或減小,從而達到放縮的目的.例2[1](02年全國卷理科第21題)設數列?an?滿足an?1?an2?nan?1,且an?n?2?n?1,2,3,??,求證：

11?a1?11?a2?11?a3???11?an?12

證明：由an?1?an2?nan?1,得：an?1?an?an?n??1, ?an?n?2,?an?1?2an?1,?1?an?1?2?1?an??0, ?11?an?111?121?an1?1,于是有：

1?a211?a311?a4?21?a11?1?，122?21?a21?1??11?a111?a1, ?21?a3?123?，淺談用放縮法證明不等式 4 ??, 11?an?1?1?12n?121?an?1?11?a1，1?11?a1?11?a2?11?a3???1?an111?1???1??2???n?1??222??1?a11??1?1n2?1?2?1?111?a11?32

1.1.3 增大（減小）不等式一邊的部分項

在不等式的證明中,有時候增大或減小不等式一邊的所有項會造成放縮過度,因此,在考慮這些問題時要根據題目的具體情況進行部分項的放縮.例3 求證證明：?122?132?142???1n2?n?22n?n?N，?,n?2?.1n2?1n?n12?1n?n?1?12?1n?1n?11 ?122??133,?13?14,?,?n?1?2?1n?1?1n.把以上（n-2）個不等式相加,得 122?132?142???1?n?1?2?12?1n?n?22n

??122?132?1n2142???n?22n1?n?1?2?1n2

n?22n??故原不等式成立.1.1.4 增大（減小）分子或分母的值

增大或減小不等式一邊分數中分子或分母的值,從而達到放縮目的.淮南師范學院2012屆本科畢業論文 5 例4 求證?91125???1?2n?1?21?14?n?N?.*證明：?1?2k?1?219?125??2k?1?2?11?14k(k?1)?1?11?????k?1?, 4?kk?1?????2n?1?2 ?1??1??11?1???1???1????????????? 4??2??23??nn?1??1?1?1?1???,4?n?1?4

19125???1?14.?

即?

1.2 公式放縮法

?2n?1?2即利用已有的大家熟悉的不等式來進行放縮,這里我們主要利用的是均值不等式1以及ab?a?ma?m,a,b,m?R,a?b???,下面分別舉例說明.1.2.1 均值不等式

例5 若n?N,n?1,求證：?n!?*2??n?1??2n?1????.?6??2n證明：?1?2???n?n2221?2???nn1622，而12?22???n2? 故n12?22???nn? 即?n!?2???16n?n?1??n?2?

?n?1??2n?1?

n??n?1??2n?1??6 ?.?例6 已知:Sn?1?2?2?3???n??n?1?

n?均值不等式： a1a2?an?a1?a2???ann,ai?R??i?1,2,?n?.淺談用放縮法證明不等式 6 求證:證明:?n?n?n?1?2?Sn??n?1?22.n?n?n?n?1??n??n?1?2 ?Sn?1?2?2?3???n??n?1?

? ?32?52??2n?12 n?n?1?2??n?1?22 又Sn?1?2?2?3???n??n?1?

?1?2???n? 1.2.2 ab?a?ma?m,a,b,m?R,a?bn?n?1?2

???

a1?a?b1?b?c1?c.例7[4] 若正數a,b,c滿足a?b?c,求證：證明：?a?b?c,?a?b?c?0;

?c1?c?c??a?b?c?1?c??a?b?c??a

1?a?b?b1?a?b?a1?a?b1?b，即原不等式成立.1.3 利用函數的性質

主要指利用函數的單調性和有界性來進行放縮.1.3.1 利用特殊函數的單調性

這里的特殊函數主要指一些已知單調性的函數,如指數函數和對數函數等.例8 求證：log23?log34.證明：我們先給出常規解法；

log23?log34?lg3lg2?lg4lg32?lg3?lg2?lg4lg2?lg322，?lg2?lg4??lg8??lg9?2?lg2?lg4??????????lg3，2???2??2? 淮南師范學院2012屆本科畢業論文 7 ?log23?log34?0,?log23?log34.另外,還有更簡便的方法.log23?log827?log816?log916?log34.1.3.2 利用特殊函數的有界性

這里的特殊函數主要指一些大家熟知有界性的函數,如|sinx|?1,|cosx|?1,x2?0等.例9[5] 已知?,?為整數,并且?????,求證：

1sin?2?1sin2??sin22???2.證明： ???0,??0,?????，?sin??0,sin??0,cos??????cos??????1，?1sin?2?41sin2??2sin?sin?2?4cos??????cos?????

?1?cos??????sin2???2.(當且僅當???時取等號).1.3.3 利用一般函數的性質

利用一般函數的單調性和有界性進行放縮.例10 求證a?3時,證明：令f?n??1n?11n?1??1n?21n?2???13n?113n?1?2a?5,n?N.N?，????n?1f?n?1??f?n???213n?2?13n?3?3n?4?1n?1

3?n?1??3n?2??3n?4??0.?f?n?1??f?n?，f?n?是增函數,其最小值為f?1?,f?n?min?f?1??

12?13?14?1312，淺談用放縮法證明不等式 8 故對一切自然數,f?n??1312?1；

再由a?3,知2a?5?1,比較得： 當a?3時，1n?1?1n?2???xx?a213n?1?2a?5,n?N.例11 設定義在R上的函數f?x??的充要條件是a?1.,求證：對任意的x,y?R,|f?x??f?y?|?1證明：利用求導數、均值不等式或判別式法均可求得：

f?x?max?12a,f?x?min??12a.根據f?x?max?1a12a,f?x?min??12a，得??f?x??f?y??1a, ，即|f?x??f?y?|max? 故對x,y?R，1a|f?x??f?y?|?1?|f?x??f?y?|max?1

?1a?1?a?1.例12 已知an?1?n1t??n2?t1?,t?[,2],Tn是?an?的前n?2?n項和

?2??求證:Tn?2n???2???.證明:令f?t??1?n1??t?n?,則: 2?t?n?n?11??n?1? ?t2?t? f??t??令f??t??0,得t?1.淮南師范學院2012屆本科畢業論文 9 1 當2?t?1時, f??t??0；當1?t?2時, f??t??0;

12從而可知f?t?在[,1]上遞減,在[1,2]上遞增,故：

?f?t??max?max?f??,f?2???2n???2????1??12n

?f?t??2n?即an?2n?12n12n ,n?1,2,?2n?1?111????2nTn??2?2???2??????????2?2?2??2????n1??1?? ?2?1??1????

2??2????nn??11??n ?2??1????

2??2????n?1? ?2??21???2?2?n1

?2?? ?2n???2???n

1.4 綜合法

對于比較復雜的不等式證明,有時需要綜合以上兩種放縮手法進行不止一次的放縮.例13(1985年高考題)證明：?n?n?1??n2[7]

n?n?1?2?n?1?2?2?3???n?n?1???n?1?22,?n?N?

n?n?1?2 1?2?2?3??n?n?1??1?2???n? 而n?n?1??n?n?1?2 ①

1?22?2?32??n??n?1?2 ?1?2?2?3??n?n?1??

淺談用放縮法證明不等式 10 ? ?32?52??2n?12?12?32?52??2n?12 ②

?1?2n?1??n?1?2?2??n?1?22.在①中運用了增減放縮法,②運用了公式放縮法和增減放縮法.例14 數列?an?滿足a1?1且an?1??1???1??n?1? a??n2nn?n?21(Ⅰ)用數學歸納法證明an?2?n?2?；(Ⅱ)已知不等式ln?1?x??x對x?0成立.證明：(Ⅰ)用數學歸納法證明,略；(Ⅱ)用遞推公式及(Ⅰ)的結論有 an?1??1???111???a??1?????an,?n?1? n2n2nn?n?2n?n2??1 兩邊取對數并利用已知不等式得： lnan?1?ln?1???1n?n1n?n1n?n222?1???lnann2??12?n

?lnan?

n ?lnan?1?lnan?12,?n?1?

上式從1到n?1求和可得： ?lnan?1?lnan?11?2?12?3???1n?n?1??12?122??12n?1

?1?1?11?????2?23?1n12n1?1??1?n?112?2??????1n?1n1?2

?1??1??2

證明過程中分別運用了增減放縮法和利用特殊函數性質的放縮法.淮南師范學院2012屆本科畢業論文 11 1.5 數列不等式的證明

在數列不等式的證明中,我們大量采用放縮法,在這里我們把它單獨提出來說明.而這里的數列主要指“疊加”模型的數列不等式,可以利用放縮法對疊加的數列進行化簡,從而達到證明的目的.這里“疊加”模型指的是形如：a1?a2???an?f?n?,這里的?也可以是?、?或?.例15 已知n?2,n?N,證明

122?132???1n2?n?1n

證明：?122?11?2132??11?112；

?12?13

2?3；

?? 1n2?1n?n?1??1n?1?1n；

各式相加,得：

122?132???1n2?1?1n?n?1n*

例16 若Sn?1?12?13???1n,n?N

求證：2?n?1?1??Sn?2n

證明：?1k?2k?1kk?2k?2k?kk?1?2?k?k?1

? 又???2k?k?1?2?k?1?k

? 當k?1,2,3,?,n?1,n時, 2?2?1?? 2?3?2?? ??

1112?2??1?0

??22?1

?

淺談用放縮法證明不等式 12 2?n?n?1?? 2?n?1?n??1n?11n?2?2?n?1?n?2

??n?n?1

? 將上式相加,得到：2?n?1?1??Sn?2n.在數列不等式的放縮中,放縮的主要目的是使不等式裂項相消,也可以組成等差、等比數列,利用公式求和,或者運用根式有理化后的放縮,探索n項相加的遞推式,然后逐項相消.放縮法要放縮得恰到好處

2.1 調整放縮量的大小

放縮量的大小,即放縮的“精確度”,直接影響到是否能達到欲證明的目標.放大多少,縮小多少,把握“度”的火候,要因題適宜.例17 已知Sn?1?(Ⅰ)Sn?12?13???1n,求證：

n；

(Ⅱ)Sn?2?n?1?1?；(Ⅲ)Sn?2n.證明：(Ⅰ)Sn?1?1n12?13???1n

1n ??1n???1n?n??n；

(Ⅱ)是(Ⅰ)的加強不等式,為此需調整放縮幅度, ?1k?22k?2?2k?k?1?k?1

?12k,k?1,2,3,?,n

? ?Sn?1??13???1n

淮南師范學院2012屆本科畢業論文 13

?2?2??2?1?2???3?2???2??n?1?n?

n?1?1.(Ⅲ)改變放縮方向,故 ?1k?22k?2?2k?k?1

?k?k?1,k?1,2,3,?,n

? ?Sn?1??2?212?13???1n2?

?1?0?2??1???2??n?n?1?

?n?.1n!?2；(Ⅱ)

11!?12!???1n!?74,?n?N?.例18 求證(Ⅰ)?1!112!???證明：(Ⅰ)1n!?1n?n?1??n?2????2?112n?1?12?2???2?1

??n?3? 12!2?1n?1 ?左邊?1? ?2?122?123???12n?1

(Ⅱ)是(Ⅰ)的加強不等式,將放縮間距調整小些,得到：

1n!?1n?n?1??n?2????2?112?3n?2?13?3???3?2?1

??n1?4? ?13!?12 則左邊?1?2?3717? ??n?2412?342!?12?33???12?3n?2

2.2 限制放縮的項和次數

若對不等式中的每一項都進行放縮,很可能造成放得過大或縮得太小,若限制放縮

淺談用放縮法證明不等式 14 的項,保留一些特定項不變,可以通過這樣來調整放縮的“度”,逼近欲證明的目標,這與第一部分的1.1.3也是相通的.例19 求證112?122???1n2?6136?1n?n?3,n?N?.*證明：這是一個常見問題的改編題,我們先給出一般算法： 112?122???1n2?112?11?21n?12?3??1?n?1?n

?2? 由2?1n?6136?1n ,顯然放得過大,要減少放大的項；

先試試減少一項： 112?122???1n2?112?122?12?3?13?4??1?n?1?n

?1? ? 由 11211??11??11??1??????????????4?23??34??n?1n?1n

74?

74?1n?6136?1n.再試試減少兩項：

?112?122???1n2?122?132?13?4??1?n?1?n

?6136?1n

如此可得出,放縮時減少兩項可以得到欲證目標.2.3 將不等式的一邊分組進行放縮

把不等式的一邊進行分組,將有關聯的項放在一起進行放縮,不僅可以減少放縮的項,還可以有效地控制放縮的“度”,減少誤差,并且更有方向性,盡量避免放縮的盲目性和隨意性.例20 已知數列的通項公式是

an?3???2?

nn(Ⅰ)求證：當k為奇數時,1ak?1ak?1?43k?1；

淮南師范學院2012屆本科畢業論文 15(Ⅱ)求證：1a1?1a2??1an?12?n?N?.*證明：(Ⅰ)略

(Ⅱ)當n為偶數時, 1a1?1a2??1an?11???????a?a2??1432?1?11?1???????? ???a??a?aa4?n??3?n?16 ? ??434?43???43n

1?1?1?1?n??2?3?21an?11a2

當n為奇數時,因為1a11a21an1a1?0,則：

???????1an?1an?1

?? ???11???? ???a??1a2??432?1?11?1?????????a?aa4?an?1?3??n???43n?1?434?436

?12?13?14??1?1?1?1?n?1??2?3?21210

例21 求證5?證明：由于12?13?1214???1215??1216?10

?2?1； ?17?14?14?14?14?14?4?1；

?? ??

1210129?12?19???1210?1?1119??????2?1； 99992??222???????291 由?1,將上面的不等式兩邊相加,得到：

12?1213??1214???1210

?10

又由于

；

淺談用放縮法證明不等式 16 ?311416??1417??1418??1418?2??18?1218；

?18?18?4?12 ?51；

?? ??

12?19?12?29???1210?11 ????1010102??22???????291 ?將上面的不等式兩邊相加,得到：

12?13?14???1212101210?2?912；

?513?1；

???1210 于是,綜上得到5?

?4?10.總 結

綜上可知,放縮法的技巧千變萬化,靈活多樣.而事實上,放縮法貫穿于整個不等式的證明過程中,不等式證明的每一步幾乎都與“放”與“縮”密切相關.在證明的過程中要注意幾點：

(1)在放縮過程中不等號的方向必須一致；

(2)運算時要注意總結規律,有些不等式用特定的放縮方法可以使計算簡便,而有些不等式可以用很多種方法解決；

(3)不等式的放縮法在不等式的證明中應用廣泛,但是遇到具體題目時不能生搬硬套,必須根據實際情況考慮是用什么方法.另外,用放縮法證明不等式關鍵就是“度”的把握,如果放得過大或太小就會導致解題失敗,而如果放縮不適當要學會調整,一些實用的技巧可以幫助我們把握放縮中的“度”,而具體怎樣放縮才適度,需要我們在解題過程中去體會.放縮法有著高度的靈活性和極強的技巧性,放縮方法更是多種多樣,要能恰到好處的想到具體解題中的放縮方法,需要積累一定的不等式知識,同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧.淮南師范學院2012屆本科畢業論文 17 致謝

感謝我的導師，她在我的論文寫作過程中傾注了大量心血，從選題開始到開題報告，從寫作提綱到一遍遍的指出稿中的具體問題，每一個工作她都做得那么的細致認真，她的嚴謹的態度和工作風深深的感動著每一個了解她的人。我還要感謝我的許多同學，他們在我的論文寫作中給予了大量的支持和幫助，同學都對我的論文格式和內同的修改給予了大量的幫助，在此我也深深的感謝他們，同時我還要感謝在我大學學習期間給我極大關心和支持的各位老師同學還有朋友，感謝你們！感謝老師！

參考文獻：

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第三篇：用放縮法證明不等式

用放縮法證明不等式

蔣文利飛翔的青蛙

所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。下面舉例談談運用放縮法證題的常見題型。

一.“添舍”放縮

通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規思路。

例1.設a，b為不相等的兩正數，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜4。

3證明：由題設得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋

＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜

例2.已知a、b、c不全為零，求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。3

3證明：因為a2?ab?b2?

同理b2?bc?c2＞b?c，2（a?b23）?b2＞42（a?b2）2?a?bb≥a?，22c2?ac?a2＞c?a。

23（a?b?c）2所以a2?ab?b2?

二.分式放縮 b2?bc?c2?c2?ac?a2＞

一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數則分式值變大，利用這些性質，可達到證題目的。

例3.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜abc＋＋＜2。b?ca?ca?b

證明：由于a、b、c為正數，所以baab＞＞，b?ca?b?ca?ca?b?c

cc

＞a?ba?b?c，所以

abcabc

＋＋＞＋＋＝1，又a，b，c為三角形的b?ca?ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca?b

邊，故b+c＞a，則

c2c，＜

a?ba?b?c

a2a2b

為真分數，則a＜，同理b＜，b?ca?b?ca?ca?b?cb?c

故

abc2a2b2c

＋＋＜＋＋?2.b?ca?ca?b?ca?b?ca?b?ca?b

abc

＋＋＜2。b?ca?ca?b

綜合得1＜

三.裂項放縮

若欲證不等式含有與自然數n有關的n項和，可采用數列中裂項求和等方法來解題。例4.已知n∈N*，求1?

1n

??

1n

2n?

n

?

???

1n

＜2n。

證明：因為?＜

n?n?13?

?2（n?n?1），則1???

＜1?2（2?1）?2（2）???2（n?n?1）?2n?1＜2n，證畢。

例

n(n?1)2

5.?an?

已知

(n?1)2

n?N

*

且

an?

?2?2?3???n(n?1)，求證：

對所有正整數n都成立。

n

證明：因為n(n?1)?又n(n?1)?

1?22

?n，所以an?1?2???n?

n(n?1)，n(n?1)

?2?32，n(n?1)

2n?12

(n?1)

所以an?立。

?????????，綜合知結論成四.公式放縮

利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。

例6.已知函數f(x)?證明：由題意知

f(n)?

nn?1

?2?12?1

nn

2?12?1

x

x，證明：對于n?N*且n?3都有f(n)?

nn?1。

?

nn?1

?(1?

22?1

n)?(1?

1n?1)?

1n?1

?

22?1

n

?

2?(2n?1)(n?1)(2?1)

n

n

又因為n?N*且n?3，所以只須證2n?2n?1，又因為，n

?(1?1)

n

?Cn

?Cn?Cn

???Cn

n?1

?Cn

n

?1?n?

n(n?1)

???n?1?2n?1

所

以f(n)?

nn?1。

例7.已知f(x)??x2，求證：當a?b時f（a）?f（b）?a?b。證

f（a）?f（b）?

1?a2?

?b2?

明

a2?b2?a

：

?

?b

?

a?ba?b?a

b2

?1?

?

a?ba?ba?b

?

(a?b)a?b

a?b

?a?b證畢。

五.換元放縮

對于不等式的某個部分進行換元，可顯露問題的本質，然后隨機進行放縮，可達解題目的。

例8.已知a?b?c，求證

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?0。

證明：因為a?b?c，所以可設a?c?t，b?c?u(t?u?0)，所以t?u?0則

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?

1t?u

?1u?1t?1u?1t?t?utu

?0，即

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?0。

例9.已知a，b，c為△ABC的三條邊，且有a2?b2?c2，當n?N*且n?3時，求證：an?bn?cn。

證明：由于a2?b2?c2，可設a=csina，b=ccosa（a為銳角），因為0?sina?1，0?cosa?1，則當n?3時，sinna?sin2a，cosna?cos2a，所以an?bn?cn(sinna?cosna)?cn(sin2a?cos2a)?cn。

六.單調函數放縮

根據題目特征，通過構造特殊的單調函數，利用其單調性質進行放縮求解。例10.已知a，b∈R，求證

x1?x

a?b1?a?b

?

a1?a

?

b1?b。

證明：構造函數f(x)?

f(x1)?f(x2)?

x11?x1

?

(x?0)，首先判斷其單調性，設0?x1?x2，因為

x21?x2

?

x1?x2(1?x1)(1?x2)

?0，所以f?x1??f?x2?，所以f(x)在[0,??]上是增函數，取x1?a?b，x2?a?b，顯然滿足0?x1?x2，所以f(a?b)?f(|a|?|b|)，即

|a?b|1?|a?b|

?

|a|?|b|1?|a|?|b|

?

|a|1?|a|?|b|

?

|b|1?|a|?|b|

?

|a|1?|a|

?

|b|1?|b|

。證畢。

第四篇：用放縮法證明不等式1

用放縮法證明不等式

時間:2009-01-13 10:47 點擊:

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不等式是高考數學中的難點，而用放縮法證明不等式學生更加難以掌握。不等式是衡量學生數學素質的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養考生數學式的變形能力

不等式是高考數學中的難點，而用放縮法證明不等式學生更加難以掌握。不等式是衡量學生數學素質的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養考生數學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。放縮法的理論依據是不等式性質的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開。證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯系，選擇適當的放縮方法。

⒈利用三角形的三邊關系

［例1］ 已知a，b，c是△ABC的三邊，求證：

證明：∴﹥。

∵=為增函數，又∵點評：學生知道要利用三角形的三邊關系，但無法找到放縮的方法，難在構造函數。⒉利用函數的單調性

［例2］ 求證：對于一切大于1的自然數n，恒有。

證明： 原不等式變形為，令 則

，所以。

即 是單調增函數（n=2，3，?），所以。故原不等式成立。

點評：一開始學生就用數學歸納法進行嘗試，結果失敗，就放棄了。若使不等式的右邊變為常數，再用單調性放縮就好了。⒊利用基本不等式

［例3］已知f（x）=x+證明：設

（1）+（2）得(x﹥0)求證：－，（1）（2）

點評：用數學歸納法證明，思路簡單，但是難度很大，可以通過二項式定理展開，倒序法與基本不等式相結合進行放縮。⒋利用絕對值不等式 ［例4］設證明：∵=，∴，當，時，總有，，求證：。

又∵所以∴，∴

=7。

點評：本題是一道函數與絕對值不等式綜合題，學生不能找到解題的突破口，關鍵在于找到a，b，c與f（0），f（1），f（-1）的聯系，再利用絕對值內三角形不等式適當放縮。⒌利用不等式和等比數列求和

［例5］求證：。

證明：=，利用不等式

∴﹤=﹤。

點評：有些學生兩次用錯位相減進行放縮，但是沒有找到恰當的變形放縮，對利用不等式進行放縮不熟悉。若經過“湊”與不等式求和放縮就到了。⒍ 利用錯位相減法求和

相結合，再利用等比數列［例6］已知a1, a2, a3, ??, an, ??構成一等差數列，其前n項和為Sn＝n2, 設bn＝記{bn}的前n項和為Tn,(1)求數列{an}的通項公式；(2)證明：Tn<1。

解：(1)a1＝S1＝1, 當n≥2時, an＝Sn－Sn－1＝2n－1;由于n＝1時符合公式，, ∴ an＝2n－1(n≥1).(2)Tn＝, , ∴ Tn＝ 兩式相減得Tn＝＋＝＋(1－)－, ∴ Tn＝＋(1－)－<1。

⒎ 利用裂項法求和

［例7］已知函數在上有定義，且滿足①對任意的

②當證明：令上為奇函數.設時，則

.證明不等式.令，則，故

.在，且由可得，則由題有，即從而函數在時，.，所以

為，故上減函數.所以，即

.點評：本題將數列與不等式、函數綜合考查數學邏輯推理能力，分析問題能力，變形能力，可以用數學歸納法證明不等式，但學生解題的過程不過完善。若用裂項法進行數列求和放縮就簡單 ⒏利用二項式定理展開

［例8］已知數列滿足(n∈N*),是的前n項的和，并且．

（1）求數列的前項的和；（2）證明：≤．（3）求證： 解：(1)由題意得

兩式相減得

所以再相加

所以數列是等差數列．又又

所以數列的前項的和為．

而

≤.（3）證明：

點評：這是一道很有研究價值的用放縮法證明不等式的典例。考查了與 an 的關系，有些學生沒有對an中的n進行討論，也沒有合并，雖用了二項式展開，但無法構造不等式進行放縮。對第3小題的放縮也可裂項法求和進行放縮。

第五篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

數學題目是無限的，但數學的思想和方法卻是有限的。我們只要學好了有關的基礎知識，掌握了必要的數學思想和方法，就能順利地應對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關鍵是你有沒有培養起良好的數學思維習慣，有沒有掌握正確的數學解題方法。當然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學的定義、定理、法則、公式，形成良性循環。

解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學習，才有希望攻克難關，迎來屬于自己的春天。